与时间相关的利润率方程

（12） 那么‘β’是β的一种“自加权移动平均值”，其含义如下（见附录）：（1）对于每个t，等式（12）唯一地定义了‘β（t）。（2） 如果β是常数函数β，则β=β。（3） If（所有t）β≤ β然后是β≤\'-β；尤其是βi的任何（下限或上限）限，β的任何（下限或上限）限。此外，第二个平均值与第一个平均值密切相关，因为如附录所示，β1- e-tβ=hβi1- e-B（t，0）（13），以进一步揭示加权因子e的直观含义-B其中定义了平均h·i，让我们观察到，根据（10）和（4），B（t，t）是L和生产力的综合增长率之和。如果我们暂时引入asymbol∏来表示生产率，并定义Q=L∏，那么β=˙L/L+˙∏/π是对数Q的变化率，其积分B就是Q（t）/Q（t）的对数。ThuseB（t，s）=Q（t）/Q（s）（14）是一种衡量经济生产能力在t和t之间增长程度的指标，以及我们的权重因子e的影响-在上述综合中，B（t，s）是指当生产能力较小时，按比例对给定历史时刻的贡献进行折现。在一个不断增长的经济体中，这样的平均值会抵消早期的贡献。由于这些观察结果，我们还可以表示平均（11）灰分σ（t）i=tZQ（s）σ（s）dstZQ（s）ds（11a），而相应的β重铸显示为1- e-t'β（t）'β（t）=tZQ（s）dsQ（t）。（12a）考虑到这些定义，我们可以组合方程式（9）、（14）、（11a）和（12a），以获得[其中Z=Z（t），Q=Q（t），\'β=\'β（t）]Z=ZQQ+hσi1- e-借助恒等式（13），βt变为z=ZQQ+hσi1- 重排后的Q/Qhβior，Z=hσihβi+QQZ-hσihβi（15） 这是我们的主要结果，用Z=σ/π表示。

在一个高度成熟的经济体（已经扩大了一个大系数的经济体）中，Q/Q与Unit相比将很小，我们将得到近似的等式，Z=hσi/hβi。最后，我们可以用Z的定义（7）来代替，以获得时间t时的利润方程，在进行小的重新排列后，提供了π的主要方程：π=hβiσ/hσi1+QQhhβiπσhσi- 1i（16）在成熟经济体中，包含Q/Q的术语可以再次删除，在这种情况下，我们只剩下近似等式π=hβiσhσi（17）。即使没有对成熟度作出任何假设，我们也可以从（16）中推导出不等式π≤ hβiσhσi（1- Q/Q）-1（18）用一个不比（17）大得多的表达式来限定上述收益率，而用该值乘以（1+Q/Q）来更精确地限定上述收益率，这是一个接近统一的因素，应该为任何一个非常年轻的经济体提供足够的近似值。最后三个方程说明的是，除了初始瞬态和暂时性波动外，收益率与历史近期平均增长率β相一致。他们还告诉我们，关于该平均值的影响来自于因子σ/hσi，只有当σ（剩余价值率）急剧上升超过或急剧下降低于其历史上最近的平均值hσi时，该因子才是可观的。由于σ在任何情况下都小于1，只有当它最近远小于1时，才有可能急剧上升。五、 评论和延伸在均衡条件下，人们会期望收益率直接反映潜在增长率，因为后者是整个过程的特征，无论选择何种变量进行监控，人们都会期望认识到这一相同的增长率。因此，平衡模型（“新李嘉图”和其他模型）产生π=β的结果也就不足为奇了。

然而，在非均衡条件下，一些变量将增加，而另一些变量将减少，如果不占主导地位，波动将是显著的，均衡结果背后的推理将失败。因此，有趣的是，至少在本文的simplemodel中，收益率仍然在很大程度上受增长率r和˙L/L（β是它们的总和）的控制。然而，不同之处在于π的同期值不再与β的同期值相关，而是与精确定义的历史平均值hβi相关。此外，π的短期波动通常会发生，这取决于剩余价值σ与其历史平均hσi的持续比率。在相对年轻的经济体中，初始条件也很重要。（当然，可以在任何时候设置初始时间。公式仍将保持不变。）举例说明为了说明我们的结论，让我们设想一个封闭的经济体，其初始时间t=0，被选择在上一次“世界大战”结束前后，因此目前t=70年，并假设其“生产能力”Q自那时起已经扩大了一个系数：Q/Q=10。然后，进入我们等式的历史平均值将使β和σ的近期值的权重比70年前的值重10倍左右。因此，后者仍可能产生一些差异，但不会太大。让我们进一步假设，β最近徘徊在每年2%左右，之前更高，目前hβi=0.025/yr，平均开采率已达到σi=0。50、让我们也假设，在过去几年中，资本家们在努力提高利润的过程中，将σ推到了最大可能的统一值：σ=1（当然，他们永远无法真正实现）。

因此，不平等（18）将允许目前的劳动力价值收益率为most0.025/yr×1.00.5×1- 0.1=0.056/yrIn换言之，即使工人被要求“在空中生活”，目前年利润率也不能超过5.6%。即使超过hβ，也只是暂时的。事实上，人们通常可以估计，π（t）在远大于1/ε的时间内不能超过β（t），或者更精确地说，这个时间乘以ln（1/σ）+ln（1/（β′+ε）），β′是周期结束时β的值。关于平衡模型的进一步评论我在这里已经不止一次地表达了平衡模型不可信的观点。或许这方面最具破坏性的证据是，观察到均衡根本不是最基本的规则，但人们也可以提出更多“技术”理由，为什么假设的均衡收益率可能是错误的。因为利率本质上是最大可能利率，从某种意义上说，这是弗罗贝尼乌斯伯龙定理的内容，该定理特别指出，对于任何一组价格，都至少有一个行业的利润处于或低于其平衡值。就其本身而言，这是一个非常弱的限制，但可以想见的是，任何远离公平的增长轨迹都会很快遇到严重的短缺，从而出现严重的“实现”问题，导致利润显著下降。对这种情况进行更全面的分析也可能能够阐明在引进新技术或新产品后，回归平衡所固有的利润损失。在任何情况下，如果均衡利率是一个上限，那么经济衰退可以将利润降低到低于这个假设值的水平，而不是繁荣可以提高利润。

因此，即使价格和产品组合的平均值达到其平衡值，它们与（整体）价格之间的（非线性）关系通常会导致后者系统地偏离其自身的平衡值。同样，投资者对波动价格和市场的反应中的任何非线性都会使大石定理类型的论点无效，这些论点采用了资本主义理性的概念，仅与当前均衡价格向量有关（例如[4]）。可能的扩展在推导我们的主要结果，方程（5）和（16）时，我们依赖于几个假设和理想化。其中一些人很容易放松。例如，我们可以通过使用方程式（1a）代替方程式（1）来适应并非所有剩余价值都会导致资本形成的情况，选择φ来计算资本家的股息和个人消费。资本未被破坏的假设也可以通过将变量r合并为代表其破坏率的相加贡献来放宽。Suchan r不能再简单地解释为一只生长的h-鼠e，但从数学上讲，上述分析将像以前一样进行。像（11a）和（12a）这样的方程式将变得不正确，但通过（14）用B（t，s）重新表示，我们所有的最终结果都将保持不变。如果没有我们其他的一些理想化，尤其是假设所讨论的经济是一个封闭的系统，那将更加困难。人们可能还想知道（3）在服务型经济中是否是一个很好的近似值。

同样，人们可能会质疑是否或如何将“有效”的金融资本纳入变量K，或者如何考虑在某种意义上“非生产性”的劳动力。可能的测试这些“技术”问题是由劳动力价值观的使用引起的概念性问题。在本文中，我们只是简单地以劳动价值观为出发点，并从数学上得出结果。这样做的好处首先是我们避免了平衡作用（如果我可以这么说的话），其次，我们至少可以对衡量生产率增长的关键参数有一个非常明确的定义。人们还感到，劳动力价值观挖掘了经济的一些基本要素，而经验价格却没有。出于这个原因，π本身也可能有一定的分析兴趣。（一个好问题是，如果劳动力价值观无关紧要，为什么经济学家会如此担心“生产率”。）这一观察似乎与此相关，即劳动力是一种商品（忽略奴隶市场和类似的例外情况）不是由资本家生产出售的。在这方面，人们可能想知道是否可以用其他一些“普遍”的价值衡量标准来代替劳动时间。事实上，β仅代表生产能力的增长率（更准确地说，如果所有可用劳动力都用于生产资本货物的假设能力），这一事实表明，与π和β相关的某种形式的等式可能是可以证明的，而无需求助于任何价值理论。然而，任何以这种方式定义β（更不用说σ）的尝试都会遇到定义增长率固有的模糊性，因为新商品和技术的不断涌现以及经济增长所依赖的旧商品和技术的消失。

目前的处理方法基于分配给每种商品的劳动力价值，使得关键变量β在很大程度上明确无误。然而，很明显，在影响其定义的两个因素中，即工作时间和生产率，后者的定义不如前者。从实证角度来看，问题在于，现象收益率是否以及在多大程度上可以与本文研究的劳动力价值收益率相一致。一些经济学家似乎认为我做不到，其他许多人则认为不行。在经济理论的这一阶段，我相信人们必须将任何一个答案简单地视为一个假设，可以采用（或不采用）作为进一步分析的基础，就像人们对待物理科学中的假设一样。就个人而言，我对如何从理论上解决这个问题知之甚少，但我们上面的结果提供了一种从经验上解决这个问题的方法。（一开始是因为我们所做的一些简化需要纠正或证实。）在可以观察到r、π和σ（L无疑可以）的范围内，可以计算（从（16）或（5）连同βa和σ）π作为时间的函数，并将结果图与数据进行比较。或者，如果由于σ（t）太难观察到可靠的可用统计数据，因此该检验太困难，可以作为第二好的检验，从（5）以及π和β中推断σ（t），反之亦然，并查看所得图形是否至少在直觉上是可行的。附录功能F（x）方面的一些技术细节≡1.- e-xx=Ze-xsds，（A1）“βreadsF”（“β”）的定义（12）=tZe-B（t，s）ds。（A2）我们希望证明β因此得到了很好的定义，并建立文本中的进一步断言。首先请注意，因为（A1）中的被积函数是x的单调递减函数，所以F也是单调递减函数。

此外，很明显F(-∞) = +∞,F级(+∞) = 0，所以F是实到正实的一对一映射。因此（A2）有一个独特的溶液‘β；这是文本的断言（1）。如果β=β是常数，那么从（10）开始，B（t，s）=（t- s） β，其中（A2）中的积分是-β（t-s） ds=1- e-βtβ。那么（A2）的唯一解显然是β=β，这就是断言（2）。有鉴于此，断言（3）的第二部分从第一部分开始。为了证明上述结果，请注意，如果β逐点增加，则-B（t，s）dsreduces，因此（A2）中的β必须增加，因为F是单调递减的。最后，让我们来演示同一性（13）。为此，让我们首先写出hβ（t）iin的形式（紧随（11）和（12）），hβi=(R)β1- e-tβtZe-B（t，s）β（s）ds（19）接下来观察/s e公司-B（t，s）=β（s）e-B（t，s），并将其代入（19），得到hβi=(R)β1- e-tβTZDse公司-B（t，s）=β1- e-tβ1.- e-B（t，0）,（13）紧随其后。该研究部分由NSERC通过RGPIN-418709-2012资助。这项研究部分得到了周界理论物理研究所的支持。Peri Meter研究所的研究由加拿大政府通过加拿大工业部和安大略省通过经济发展和创新部提供支持。参考文献[1]Piero Sra ffa，《通过商品生产商品：经济理论批判的前奏》（剑桥大学出版社，1960）[2]J.冯·诺依曼，“¨Uber ein–okonomisches Gleichungssystem und ein verallgeminerungdes Brouwerschen Fixpunktsatzes”，Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums 8:73-83（1937），翻译为“一般均衡模型”，《经济学研究回顾》13:1-9（1945-46）[3]卡尔·马克思/弗里德里希·恩格斯，《资本》，第3组，第3组。

Teil:Gesetz des tendenziellenFalls der Pro fi，检索自http://ciml。250倍。com/archive/marxengels/german/kapital3。pdf；翻译自K.Marx（ed.F.Engels），《资本论》第三卷（纽约国际出版社，1967年），第三部分[4]J.E.Roemer，“关于堕落的大鼠的持续争议：固定资本和其他问题”，剑桥J.Econ。3:379（19 79）