汽车销售动态的最大熵原理

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英文标题：
《Maximum Entropy Principle underlying the dynamics of automobile sales》
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作者：
A. Hernando, D. Villuendas, M. Sulc, R. Hernando, R. Seoane, A.
  Plastino
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We analyze an exhaustive data-set of new-cars monthly sales. The set refers to 10 years of Spanish sales of more than 6500 different car model configurations and a total of 10M sold cars, from January 2007 to January 2017. We find that for those model configurations with a monthly market-share higher than 0.1% the sales become scalable obeying Gibrat\'s law of proportional growth under logistic dynamics. Remarkably, the distribution of total sales follows the predictions of the Maximum Entropy Principle for systems subject to proportional growth in dynamical equilibrium. We also encounter that the associated dynamics are non-Markovian, i.e., the system has a decaying memory or inertia of about 5 years. Thus, car sales are predictable within a certain time-period. We show that the main characteristics of the dynamics can be described via a construct based upon the Langevin equation. This construct encompasses the fundamental principles that any predictive model on car sales should obey.
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中文摘要：
我们分析了一组详尽的新车月度销售数据。这组数据是指从2007年1月到2017年1月，西班牙10年来共售出6500多辆不同车型配置的汽车和1000万辆汽车。我们发现，对于那些月度市场份额高于0.1%的车型配置，在逻辑动力学下，其销售额可以根据Gibrat比例增长定律进行扩展。值得注意的是，总销售额的分布遵循了动态平衡中比例增长系统的最大熵原理的预测。我们还发现，相关的动力学是非马尔可夫的，即系统具有大约5年的衰减记忆或惯性。因此，汽车销售在一定时期内是可以预测的。我们表明，动力学的主要特征可以通过基于Langevin方程的构造来描述。这种结构包含了任何汽车销售预测模型都应该遵循的基本原则。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Maximum_Entropy_Principle_underlying_the_dynamics_of_automobile_sales.pdf (920.62 KB)

2022-5-31 12:17:30 上传

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关键词：汽车销售 最大熵 Quantitative proportional Applications

汽车销售动力学的最大熵原理d。Villendas，A.Hernando，2，3，*M、 Sulc、R.Hernando、R.Seoane和A.Plastino5，6数据科学管理和市场情报，SEAT，S.A.，Martorell，空间热力学应用研究（SThAR SA），EPFL创新园B^at。C、 洛桑、瑞士联邦理工学院、西卡学院、巴塞罗那大学、西班牙科学技术学院（CCiT）、巴塞罗纳大学、巴塞罗纳大学、西班牙普拉塔学院、西班牙国立拉普拉塔大学、阿根廷物理系和巴利阿里群岛大学、马洛卡棕榈岛分校、，SpainWe分析了一组详尽的新车月度销售数据。这组数据是指从2007年1月到2017年1月，西班牙10年来共售出6500多辆不同车型，共计1000万辆汽车。我们发现，对于月度市场份额高于0.1%的模型配置，其销售额可以根据Gibrat比例增长定律和逻辑动力学进行扩展。值得注意的是，总销售额的分布遵循动态平衡中比例增长系统的最大熵原理的预测。我们还发现，相关的动力学是非马尔可夫的，即系统具有大约5年的衰减记忆或惯性。因此，汽车销售在一定时期内是可以预测的。我们表明，动力学的主要特征可以通过基于Langevin方程的构造来描述。这个结构包含了任何汽车销售预测模型都应该遵守的基本原则。汽车工业正在经历深刻的经济和技术变革。

它正在从（i）化石燃料、私有制、手动驾驶转变为（ii）电动、共享、无驾驶员驾驶[1，2]。了解汽车销售的供需动态有助于实现（i）和（ii）之间的平稳经济过渡。事实上，2016年，全球共售出8810万辆汽车和轻型商用车【3】，每年涉及数十亿美元。意外情况或预测失败可能会在这个市场及其联系中产生月经损失，就像2007年之后在过去的危机和经济转型中一样[4]。由于大数据和数字工具的兴起，我们今天可以访问详尽的数据库，这些数据库允许我们使用统计物理学的思想分析社会经济系统[5-7]。例如，城市人口的异速生长规律【8-10】、企业规模的演变【11】、交通网络【12、13】和人类流动【14】、数字产品的拓扑数量【15】、互联网的结构【16】甚至模因的扩散【17】。在这种环境下，我们在此分析2007年1月至2017年1月西班牙新型商用车的销售情况。相应的详尽数据库由西班牙交通运输总局（DGT）发布，包含超过6500种不同配置（车型+车身形状+发动机）和1000多万辆售出汽车的注册信息【18】。为了分析汽车销售的演变，我们特别应用了REFS中使用的程序。参考文献[19]提供的每种汽车配置（车型）的月度注册（或销售）汇总数据。程序总结如下：1。我们首先确定主要的动力学变量。在我们的例子中，变量是在时间t，xi（t）时第i种车型的总销量。2.

我们将xi（t）与其时间导数˙xi（t）进行比较，以发现基本运动方程中任何可能的标度规则的迹象，形式为˙xi（t）=vi（t）[xi（t）]q，（1）其中vi（t）是时间t的增长率，q是动力学参数化的指数。由于增长率的随机性，很容易将xi与˙xi的方差进行比较，这是从所有赋予x类似值的i中获得的。因此，我们将方差转换为形式Var[˙x]=Tqx2q的表达式，其中Tqx2q用于测量流体的大小，这可能被称为“温度”[27，28]。如果发现多个独立成分的贡献以等式（1）的形式存在不同的指数-如˙xi（t）=Pqvq，i（t）[xi（t）]q-我们将从fit Var[˙x]=PqTqx2q中定义与每个术语相关的温度。3、接下来，我们独立分析了p（x）dx车型总销量的密度分布。具有动态信息的最大熵原理（MaxEnt）指出，测量熵的自然变量是将运动方程线性化的变量，将基本对称性转化为平移对称性[22]。对于方程（1）中的运动方程，这是通过Tsallis对数及其反函数Tsallis指数来实现的，Tsallis指数定义了新变量u=logq（x/x）-或x=xexpq（u）-其中xisany参考值（需要保持参数无量纲）。在这个变换之后，运动方程变成˙ui（t）=vi（t），这确实是平移不变的。如果系统处于平衡状态，则最可能的分布是在系统的可观测约束下使熵最大化的分布。如果2007年2012年2009年2011年2015年（t）销售额(1000）型号二手车(1000）200100015001300110009001020304050图。1： 上图：数据库CARMODEL样本的汽车销售演变。

观察到饱和度（如logistic方程所述）。中间：数据库中记录的通常年份内每月可用的不同型号数量的演变。下图：西班牙的每月新车销量，过去十年共有10 062 193辆。经验分布的形式符合MaxEnt预测的形式，我们可以直接从平衡分布执行q的独立定量测量。4、如果q one的值来自运动方程，q的值来自分布树，我们假设我们的程序是正确的，前提是系统处于动态平衡，并遵守最大熵原理。作为我们程序的附加测试，我们还通过定义与在实验系统中观察到的运动方程等效的微观运动方程来进行数值实验。然后，我们按照与经验系统相同的步骤分析模拟系统的演化。如果我们获得同等结果，我们将再次确认我们的程序是正确的。如步骤1所述，我们的相关变量是第i个车型的汽车销售总额XI。我们在图1中展示了我们的数据集所涵盖的十年内的一些轨迹样本，其中逻辑曲线清晰可见（即饱和增长）。当一款车型的受欢迎程度因新版本的可用性而下降，或者如果竞争对手在相同的市场利基上取得进展，就会发生饱和。我们还在图1中显示了数据集所包含的十年内每月销售的不同车型数量的变化。10 100 103104辆已售出汽车（x）106105104103105增长差异（Var[x\'）˙增长差异（Var[x]）˙109108107103104105106107FIG。2： 顶部：销售增长与汽车总销量的经验方差（灰点）。

我们将移动平均值（红线）与公式（1）（黑线）的分析结果进行比较。我们发现了三种指数不同的制度。底部：相同的astop，但通过logistic方程（见正文）校正增长，符合等式（3）的形式。当我们比较x与Var[˙x]以拟合公式（1）时，我们发现什么是三分量运动方程，指数i）对于低销售额q=0.75±0.01，ii）对于中销售额q=0.63±0.01，以及iii）对于高销售额q=0.33±0.01。R2采用0.9997的值（见图2）。一种天真的解释可能是，式（1）与基本的运动方程有关。问题是要解释上述三个指数的值的来源。更糟糕的是，从平衡分布得出的q的独立评估将与这3个值不匹配，我们将在后面说明。然而，注意图2（箭头）中的高销售额，我们认为存在低方差点。事实上，这里的增长率下降到一个接近饱和的程度，这将导致对指数的低估。为了更深入地了解实际的基本动态，我们需要校正每个汽车模型的饱和效应。为此，我们需要重新考虑logistic方程的形式【15】˙xi（t）=vi（t）xi（t）[1- xi（t）/xi]，（2）其中xi是汽车总销量的最终数量。如果我们通过首先定义xi（t）=xi（t）/[1来重新考虑轨迹- xi（t）/xi]，我们应该恢复式（1）的表达式，如˙xi=vixit，它修正了增长10-30.1月市场份额（%）8060402010可扩展性（%）10010-2FIG。3： 可扩展性（定义为比例项对等式总增长的贡献。

（3） ）作为月度市场份额的函数：在市场份额为0.005%的情况下，比例项开始占据主导地位，以0.03%的月度销售额达到总贡献的90%左右，以0.1%的市场份额达到95%（蓝色虚线和阴影区域）。单个车型的平均最大市场份额约为2%（灰色虚线）。饱和影响率。以这种方式比较x与Var[˙x]，我们得到了图2中显示的曲线，它很好地描述了一个三项函数：一个hasVar[˙x]=Tx2q+T1/2x+T，q=1.016±0.002，R2系数等于0.9998[对数（T）=-3.41±0.05，对数（T1/2）=1.60±0.06，对数（T）=5.73±0.06]。这个新结果证明了一个形式为˙xi（t）=v1，i（t）xi（t）+v1/2，i（t）pxi（t）+v0，i（t）的运动方程。（3） 这三个组成部分已经在企业规模【11】、城市人口【24】方面得到了观察，并得到了很好的理解。q=1的第一项是Gibrat比例增长定律[21]，这是乘法过程的预期结果。这种行为表明，随着汽车销量的增加，车型的数量也在增长，遵循一种“越富越富”的机制。指数q=1/2的第二项是作为中心极限定理的一个侧面效应（或有限尺寸效应）从比例增长中产生的，如参考文献25所示。据了解，该组件具有不相关噪声的特征，预计不会有额外的物理特性。最后，等式（3）中的最后一项对应于线性力（q=0），与x的值无关。

最后一个术语仅适用于少量销售。在我们的程序中，我们将只关注比例区域，即最有趣的物理发生的地方。然而，有人可能会问：哪一个是二手车的临界数量，以便考虑相关的轨迹将由比例制度来适应？通过公式（3）的第一项和第二项之间的重叠，可以获得第一个估计值，得到X=T1/2/T=129辆车。在这个临界值上，我们从这两个术语中得到的贡献是相等的。它是时间间隔（年）时间相关性10410510310262-0.24000.20.80.20.40.60.81累计（P（x）/N）售出汽车（x）80.40.61图。4： 左：作为时间间隔函数的增长率的时间相关性。发现明显的衰变，5年后变为轻度负。因此，可预测性是可能的，但不超过5年。右图：与MaxEnt预测（见公式（8））（黑线）相比，每种车型总销量的经验累积分布（灰点）。我们很自然地会问，什么时候可以考虑这种动态完全由比例增长或可伸缩增长所控制。我们可以将之前的两项数据结合起来，比较市场份额或每月售出汽车的相对数量χ=˙x/Pj˙xj与比例项对总增长的相对贡献，我们称之为可扩展性：κ（x）=pTx/Var[˙xi]。如图3所示，当汽车模型达到每月相对销售额或市场份额的χ=0.1%时，汽车模型的可扩展增长率为κ=95%。关于增长率的另一个相关问题在这一点上是合理的。这对于可预测性至关重要：汽车销售是否是一个非马尔可夫过程？换句话说，今天的销售额是否与昨天的销售额相关，从而可以预测？买车是个人的决定，是根据各种各样的考虑因素做出的。

我们正在研究一个复杂的决策过程，该过程需要时间，并且依赖于其他人以前做出的决策。正如我们在参考文献中对城市人口所做的那样。10，26揭示了城市中“记忆”的存在，我们试图将假定系统的记忆定义为时间相关性c（τ）=Cor[˙x（t），˙x（t+τ）]，其中τ是相关时间间隔。我们发现一个指数型衰减，τ=5年后略有负值，如图所示。这反过来又确立了可预测性的限度：在更长的时间内，无法对销售额进行准确预测。我们现在继续第1页所述的步骤3。为了最大化熵S，参考文献15表明，由于资源单位的限制，具有物流增长的系统的唯一可观察和客观约束是总可用单位（在我们的情况下，出售的汽车总数X）和共享这些单位的元素数量（对于我们，可用汽车型号N的数量）。仅考虑那些在十年内销量超过x=130辆的车型（之前得出的比例增长极限），我们得到x=9 957 537，N=3 084。以下参考。11、23–25，我们将热力学势写成：Ohm = -T S公司- uN+∧X（4），其中T、u和∧是热力学势一般变分问题的伴随拉格朗日乘子Ohm（S、N、X）。对于具有任意q的一般运动方程，我们假设基本概率密度p（u）控制我们的过程，其中u=logq（x/x），N=R∞dup（u）和X=R∞dup（u）expq（u）。我们显式地将MaxEnt问题转换为p-变分一：0=δpOhm = δpZ∞dup（u）T对数[p（u）/N]- u- ∧expq（u）（5） 其中δ相对于p（u）存在变化。

我们发现溶液p（u）=zN exp[-∧*expq（u）]变量x中的哪一项是幂律，具有指数效应：p（x）=zNexp(-∧*x/x）xq，（6）其中∧*= ∧/T和z=exp（u/T）。第一个约束将p（u）标准化为车型数量N，第二个约束将标准化为汽车总销量，得出状态方程：z=（x∧）*)1.-q/Γ（1- q、 ∧*), （7a）xN/X=∧*Γ（1- q、 ∧*)/Γ（2- q、 ∧*). （7b）累积分布可以写成asP（x）/N=1-Γ（1- q、 ∧*x/x）Γ（1- q、 ∧*). （8） 现在转到第1页的步骤4，我们在图4中显示了MaxEnt预测与汽车总销量经验累积分布的比较。我们只考虑了通过对数（x）、q和对数（λ）大于x=130和fit Eq.（8）的尺寸*) （对数用于数值稳定性）。我们发现，对数（x）=4.884±0.001，q=1.048±0.001，以及对数（λ*) = -4.560±0.003。我们的R2值为0.99993-与经验值log（130）、1和-4.8712（取自q、X和N的值）分别为0.3%、5%和8.8%。因此，我们可以肯定地说，汽车销售的动态非常接近平衡，总销售额的分布服从无标度系统的最大熵原理。最后，我们通过定义执行经验系统微观模拟所需的方程式，进入第2页的第5步。为了编写这些方程，我们需要考虑以下因素：L/T1L*10410510310210-210-410-410-310-510-310-20.10.20.40.60.81累积（P（x）/N）xFIG。5： 左：∧*根据平衡分布与模拟中∧/Tused的值进行测量。Eachdot是一个独立的实现，使用文本中描述的∧和Tη的值范围。颜色表示具有相同值的实现t、 1。几何布朗步行者遵守吉布拉特定律，并根据熵定律再现动力学平衡状态。