带默认跳转的BSDE

通过[20]中命题A.1的证明中的归纳论证，可以证明ζ的可积性性质适用于allinteger p≥ 最后一个断言来自Dol\'eans-Dade公式。备注2.13。不等式γθ≥ -1 a.s.等于不等式γt≥ -1，dt dP a.s。。实际上，我们有E[1γθ<-1] =E【R】+∞γr<-1dNr）=E[R+∞γr<-1λrdr]，因为过程（Rtλrdr）是默认跳跃过程N的G-可预测补偿器。定理2.14（λ-线性BSDE解的表示）。Letξ∈ L（GT）。Letg是形式（2.12）的λ-线性驱动器。设（Y，Z，K）为与驱动器g和终端条件ξ相关的BSD E a S的解i n S×IH×IHλ，即-dYt=（Дt+δtYt+βtZt+γtKtλt）dt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。（2.15）对于每个t∈ [0，T]，let（ΓT，s）s∈[t，t]（称为伴随过程）是下列正向S DEdΓt，S=Γt，S的唯一解-[δsds+βsdWs+γsdMs]；Γt，t=1。（2.16）过程（Yt）满足度Yt=E[Γt，tξ+ZTt，sΓsds | Gt]，0≤ t型≤ T、 a.s.（2.17）备注2.15。过程（Γt，s）∈[t，t]，由（2.16）定义，满足，s=eRstδsdsexp{ZstβrdWr-Zstβrdr}exp{-Zstγrλrdr}（1+γθ{s≥θ>t}）。注意，过程（eRstδsds）t≤s≤因为δ是有界的，所以它是有界的。使用命题2.12，因为β和γ√λ是有界的，我们推导出E[supt≤s≤TΓT，s]<+∞.此外，如果γθ≥ -1（分别>-1） a.s.，然后是Γt，s≥ 每秒钟0（响应>0）a.s∈ [t，t]。证据修复t∈ [0，T]。通过将It^o乘积公式应用于YsΓt，s，我们得到-d（YsΓs）=-Ys公司-dΓs- Γs-dYs公司- d【Y，Γ】s=-YsΓsδsds+Γs[Дs+δsYs+βsZs+γsKsλs]ds- βsZsΓsds- ΓsγsKsλsds- Γs（Ysβs+Zs）dWs- Γs-[Ks（1+γs）+Ys-γs]dMs，（其中Γt，sis由Γs表示）。设置DMS=-Γt，s（Ysβs+Zs）dWs- Γt，s-[Ks（1+γs）+Ys-γs]dMs，我们得到-d（YsΓs）=ΓsΓsds- dms。通过t和t之间的积分，我们得到y=ξΓt，t+ZTtΓt，sΓsds- （公吨- mt）a.s.（2.18）在备注2.15中，我们有（Γt，s）t≤s≤T∈ S

此外，Y∈ S、 Z∈ IH，K∈ IHλ、β和γ是有界的。因此，局部鞅m=（ms）t≤s≤这是一个鞅。因此，通过取等式（2.1 8）中的条件期望，我们得到等式（2.17）。通过类似的论证，我们得到了广义表示的结果。提案2.16。Letξ∈ L（GT），设D为有限变分RCLL适应过程，具有平方可积全变分过程。设（δt），（βt）和（γt）为R值可预测过程，使得（δt），（βt）和（γt√λt）有界。设（Y，Z，K）为B SDE的解：-dYt=（δtYt+βtZt+γtKtλt）dt+dDt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。对于每个t∈ [0，T]，我们有y=E[ΓT，Tξ+ZTtΓT，sdDs | Gt]a.s.，（2.19），其中（ΓT，s）s∈[t，t]是（2.16）定义的伴随过程。2.4带默认跳变的BSDE的比较定理我们在这里给出了一个比较定理和一个在驾驶员附加假设下带默认跳变的BSDE的严格比较结果。定理2.17（带默认跳转的BSDE的比较定理）。设ξ和ξ∈L（GT）。设gand-gbe为两个λ-容许驱动。对于i=1，2，设（Yi，Zi，Ki）为BSDE的S×IH×IHλ的解- dYit=gi（t，Yit，Zit，Kit）dt- ZitdWt公司- KitdMt；YiT=ξi.（2.20）（i）（比较定理）。假设存在一个可预测过程（γt），其中（γtpλt）有界且γt≥ -1，dt d P a.s.（2.21），使G（t，Yt，Zt，Kt）- g（t、Yt、Zt、Kt）≥ γt（Kt- Kt）λt，t∈ [0，T]，dt dP a.s.（2.22）还假设ξ≥ ξa.s.和g（t，Yt，Zt，Kt）≥ g（t，Yt，Zt，Kt），t∈ [0，T]，dt dP a.s.（2.23）然后是Yt≥ Ytfor all t公司∈ [0，T]。（二）（Str-ict比较定理）。此外，假设（2.21）中的secon d不等式是strict，即γt>-1、如果Yt=0，对于某些t∈ [0，T]，那么（2.23）中的不等式就是等式。证据

设置“Ys=Ys”- Ys；\'\'Zs=Zs- Zs；(R)Ks=Ks- Ks，我们有-d？Ys=hsds-(R)ZsdWs-(R)KSDM；\'Ys=ξ- ξ、 其中hs：=g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks）。设置δs：=（g（s，Ys-, Zs、Ks）- g（s，Ys）-, Zs，Ks））/“Ysif”Ys6=0，否则为0。设置βs：=（g（s，Ys-, Zs、Ks）- g（s，Ys）-, Zs，Ks））/“Zsif”Zs6=0，否则为0。通过经典线性化技术，我们得到hs=δs'Ys+βs'Zs+g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s，Ys，Zs，Ks）+Дs，其中Дs：=g（s，Ys-, Zs、Ks）- g（s，Ys）-, Zs，Ks）。使用假设（2.22），我们得到≥ δs'Ys+βs'Zs+γs'Ksλs+Дsds 数据处理- a、 s.（2.24）由于满足条件（2.3），可预测过程δ和βar有界。修复t∈[0，T]。让我来看看，。流程由（2.16）定义。因为δ、β和γ√λ有界，根据备注2.15，Γt，。∈ S、 同样，由于γS≥ -1、我们有，。≥ 根据It^o公式和定理2.1 4证明中的类似计算，我们得出-d（\'YsΓt，s）=Γt，s（hs- δs？Ys- βs？Zs- γs'Ksλs）ds- dms，其中m是鞅（因为Γt，。∈ S、 是的∈ S、 \'\'Z∈ IH，(R)K∈ IHλ和β，γ√λ有界）。利用不等式（2.24）得到Γ的非负性，从而得到-d（\'YsΓt，s）≥ Γt，sΓsds-d ms.通过对t和t进行积分，并采用条件预测，我们得到了“Yt”≥ E[Γt，t（ξ- ξ） +ZTtΓt，s|sds | Gt），0≤ t型≤ T、 a.s.（2.25）根据假设（2.23），Дs≥ 0和ξ- ξ≥ 0，这与t的非负性Y，t一起表示Y=Y- Y≥ 因此，断言（i）如下。假设γt>-通过注释2.15，Γt，t>0 a.s.因此，断言（ii）来自（2.2 5）。我们在这里给出了一些反例，这些反例与带有缺省j ump的BSDE的比较定理有关。备注2.18。

让我们给出一个例子，表明在违反假设（2.21）的情况下，即γ取<-如果使用正测度，则即使终端条件为非负，具有默认跳变的线性BSDE的解Y也可能采用严格的负值。因此，在这种情况下，比较定理并不成立。假设过程λ是有界的。设g为λ-线性驱动器，其特定形式为g（t，ω，k）=γkλt（ω），（2.26），其中γ为实常数（这对应于δs=βs=νs=0和γs=γ的λ-线性BS DE（2.15）的驱动器）。在结束时间T，相关伴随过程Γ0，ssatis fies（见（2.16）和备注2.15）：Γ0，T=exp{-ZTγλrdr}（1+γ1{T≥θ}）=exp{-ZTγλrdr}（1+γNT），（2.27），其中第二个等式来自默认跳跃过程N的定义。设Y为与驱动和终端条件ξ=NT相关的BSDE的解。具有缺省跳变的线性盲源数据集的表示性质（见（2.17））给定sy=E[Γ0，Tξ]=E[Γ0，TNT]。因此，在（2.27）中，我们getY=E[Γ0，TNT]=E[E-γRTλsds（1+γNT）NT]=（1+γ）E[E]-γRTλsdsNT]，（2.28），其中对于最后一个等式，我们使用了NT=NT的fac t。方程式（2.28）表明，当γ<-1，Y<0，尽管ξ≥ 0 a.s。该示例还通过取γ=-实际上，在这种情况下，时间0的关系式（2.28）得出Y=0。现在，我们有E[ξ]=E[NT]=1- P（θ>T）。（2.29）因此，在附加假设P（ξ>T）<1下，我们将T E[ξ]>0，这表示P（ξ>0）>0，尽管Y=0。命题2.19（BSDE与“广义驱动程序”的比较定理）。设ξ和ξ∈ L（GT）。设gand-gbe为两个λ-容许驱动器。让Dand定义具有平方可积总变差的变量RCLL适应过程。

设（Yi，Zi，Ki）为BSDE的S×IH×IHλ中的解-dYit=gi（t，Yit，Zit，Kit）dt+dDit- ZitdWt公司- KitdMt；YiT=ξi.（i）（比较理论）。假设存在一个满足（2.22）和（2.21）且（2.23）成立的可预测过程（γt）。此外，假设过程D：=D- Dis不递减。然后我们就有了≥ Ytfor all t公司∈ [0，T]。（ii）（严格比较定理）。假设γt>-1、如果Yt=0，对于某些∈ [0，T]，则（2.23）中的不等式为等式和D-时间间隔上的常数[t，t]。证据使用与上述相同的参数和符号，我们得到：(R)Yt≥ E[Γt，t（ξ- ξ） +ZTtΓt，s（Дsds+d'Ds）| Gt），0≤ t型≤ T、 a.s.因此，年初至今≥ 0 a.s.（ii）此外，假设t:Yt=0 a.s.，γt>-1、自γt>-1，我们有Γt，t>0。因此，我们得到ξ=ξa.s.和Дt=0，t∈ [t，t]dtdP-a.s.Set▄Dt：=Rt，tΓt，sd'Ds，对于每个t∈ [t，t]。根据假设，~DT≥ 0 a.s.和E[| DT | Gt]=0 a.s.因此| DT=0a。s、 现在，由于Γt，s>0，s≥ 助教。s、 ，我们可以写\'DT-\'Dt=Rt，TΓ-1t，sdDs。因此，我们得到“DT=”Dta。s3违约金融市场中的非线性定价3.1可违约风险资产的金融市场我们考虑一个由一项无风险资产组成的国家市场，其价格过程为dSt=Strtdt，以及两项价格过程为S的风险资产，根据以下等式进行求解：dSt=St[utdt+σtdWt]dSt=St-[utdt+σtdWt- dMt]，其中过程（Mt）由（2.1）给出。请注意，第二项风险资产是可违约的，完全违约。我们有St=0，t≥ θa.s.所有过程σ、σ、r、u、u都是可预测的（即P-可测量的）。我们设置σ=（σ，σ）′。我们假设σ，σ>0，r，σ，σ，（σ）-1, (σ)-1有界。让我们考虑一位可以投资这三种可交易资产的投资者。在时间0时，Heinvest的金额为x≥ 三个资产中的0。对于i=1，2，我们用νit表示投资于其风险资产的金额。

由于timeθ之后，投资者无法将其财富投资于可违约的资产组合（因为其价格等于0），因此我们对每一个资产组合都有θt=0≥ θ. 属于H×Hλ的过程Д=（Д，Д）′称为arisky资产策略。设CT是在时间0和时间t之间从市场投资组合中提取的累计现金金额。过程C属于A，即，C是一个RCLL适应的非递减过程，满足C=0和E[CT]<+∞.t时间t内相关投资组合（或财富）的价值用Vx、Д、Ct表示。然后，Vx、ν、Ct给出在时间t投资于非风险资产的金额- （Дt+Дt）。3.2完美市场模型中具有独立投资者的欧式期权定价在本节中，我们假设市场模型是完美的。在这种情况下，根据自我融资条件，财富过程Vx，Д，C（简单地用V表示）遵循动态：dVt=rtVt+Дt（ut- rt）+Дt（ut- rt））dt- dCt+（Дtσt+Дtσt）dWt- ^1tdMt=rtVt+（Дtσt+Дtσt）θt- Дtθtλtdt公司- dCt+Д′tσtdWt- |tdMt，其中θt：=ut- rtσt，θt：=-ut- σtθt- rtλt{t≤θ}.粗略地说，DCT表示在时间段内从投资组合中提取的金额【t，t+dt】。假设过程θ和θ√λ有界。让T>0。设ξ是属于L的GT可测随机变量，设D是属于a的一个非递减过程。我们考虑一个具有到期日T、支付ξ和累积股息过程D的欧式期权∈ [0，T]，ddt表示在时间T和时间T+dt之间支付给期权持有人的分割金额。目的是为该或有债权定价。让我们考虑一个卖家，他想在t时间0出售期权。

利用他在时间0从买方收到的金额，他希望能够构建一个投资组合，允许他在时间向买方支付金额ξ和中间股息。根据命题2.8，存在一个独特的过程（X，Z，K）∈ 以下λ-线性BSDE的S×H×Hλ解：- dXt=-（rtXt+Ztθt+Ktθtλt）dt+dDt- ZtdWt公司- KtdMt；XT=ξ。（3.1）请注意，此BSDE的驱动程序由g（ω，t，y，z，k）=-rt（ω）y- zθt（ω）- θt（ω）λt（ω）k.（3.2）因为根据假设，系数r，σ，θ，θ√λ是可预测且有界的，因此g是λ-线性驱动因素（见定义2.10）。解决方案（X、Z、K）对应于复制端口对开。更准确地说，对冲风险资产策略是这样的：Дt′σt=Zt；-Дt=Kt，（3.3），其中Дt′σt=Дtσt+Дtσt。请注意，这定义了变量Φ的变化，定义为：Φ：H×Hλ→ H×Hλ；（Z，K）7→ Φ（Z，K）：=Д，其中Д=（Д，Д）由（3.3）给出，相当于Дt=-Kt；^1t=Zt- ^1tσtσt=Zt+σtKtσt。（3.4）过程D对应于累计现金提取。过程X与VX，ν，D一致，与初始财富X=X，投资组合策略Д和累计（股息）现金提取D相关的投资组合的价值。从卖方的角度来看，该投资组合是一个对冲投资组合，因为通过投资初始金额Xin，参考值集沿着策略Д，它允许他在时间T向买方支付ξ金额和中间股息。我们推导出Xis是期权的初始价格，称为h ed gingprice，用XD（ξ）表示。

类似地，每次t∈ [0，T]，x是期权的套期保值价格，用XDt（ξ）表示。由于（3.2）给出的驱动器g是λ-线性的，因此在BSDE附近aλ-li的解的表示性质（见定理2.14）yieldsXDt（ξ）=E[E-RTtrsdsζt，tξ+ZTte-Rstruduζt，sdDs | Gt），（3.5），其中ζ满足ζt，s=ζt，s-[-θsdWs- θsdMs]；ζt，t=1。（3.6）这定义了线性价格系统X：（ξ，D）7→ XD（ξ）。假设θt<1，0≤ t型≤ θdt dP-a.s.Moroever，按Pro位置2.12，过程ζ0，。是平方可积正鞅。根据经典结果，密度为ζ0的概率测度是唯一的鞅概率测度，X对应于经典的自由套利价格体系（参见[16]中的命题7.9.11）。3.3违约完美市场中带红利欧式期权的非线性定价从现在起，我们假设市场中存在缺陷，这些缺陷是通过财富动态的非线性考虑的。更准确地说，我们假设，与初始财富x、策略Д=（Д，Д）在H×Hλ中以及累积提款过程C相关的财富过程Vx、Д、Ct（或简单地说Vt）满足以下动态：- dVt=g（t，Vt，Дt′σt，-^1t）dt- Дt′σtdWt+dCt+ДtdMt；V=x，（3.7），其中g是非线性λ-容许驱动器（见定义2.2）。等效地，设置Zt=Дt′σtand Kt=-^1t，- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt- ZtdWt+dCt- KtdMt；V=x.（3.8）注意，在完美市场的特殊情况下，g由（3.2）给出。让我们考虑一个到期日为T的欧式期权，最终支付额为ξ∈ L（GT）和股息过程D∈ 这是一种市场模式。

设（XD（T，ξ），ZD（T，ξ），KD（T，ξ）），也可由（X，Z，K）表示，是与终端时间T相关的BSDE的解，“广义DDriver”g（·）dt+dd和终端条件ξ，满足-dXt=g（t，Xt，Zt，Kt）dt+滴滴涕- ZtdWt公司- KtdMt；XT=ξ。过程X=XD（T，ξ）等于与初始值X=X，策略Д=Φ（Z，K）（见（3.4））和现金提取的累计金额D（即X=VX，Д，D）相关的财富过程。因此，其初始值X=XD（T，ξ）是卖方期权的合理价格（在时间0），因为该金额允许他/她构建一个交易策略Д，称为对冲策略，这样关联的po r tfolio的值在时间t等于ξ。此外，现金提取完美地复制了期权的股息。类似地，Xt=XDt（T，ξ）是卖方在时间T时的合理价格∈ [0，T]和每对“派息”（ξ，D）∈ L（GS）×A，我们通过Eg，Dt，S（ξ）：=XDt（S，ξ），t定义g值过程∈ [0，S]。请注意，通过设置Eg，Dt，S（ξ）：=EgS，DSt，T（ξ），可以在整个间隔[0，T]上定义Eg，Dt，S（ξ），用于T≥ S、 式中，g（t，）：=g（t，.）1吨≤砂DSt：=Dt∧S、 这导致了一个非线性定价系统，如：·：（S，ξ，D）7→ 例如，D·，S（ξ）。当没有股息时，它会退化为非线性定价系统，例如，0（通常由Eg指出），首先由El Karoui-Quenez（[15]）在布朗框架中引入。我们现在给出了这个非线性定价系统的一些性质，例如，它将[15]中的观点推广到了带有默认跳跃和股息的情况一致性根据BSDE的流量特性，例如，·是一致的。

更准确地说，让我们∈ [0，T]，ξ∈ L（GT），D∈ A、 设停车时间小于S′。然后，对于每一次t小于S，与payoffξ（累积）股息过程D和到期日S′相关的期权的g值与与与到期日S、payoffeg、DS、t（ξ）和股息过程D相关的期权的g值一致，即isEg、Dt、S′（ξ）=Eg、Dt、S（Eg、DS、S′（ξ））a.S.o零一定律。如果g（t，0，0，0）=0，则支付为空且无股息的欧式期权的价格等于0。更准确地说，例如，满足了Zero-onelaw属性：适用于所有到期日∈ [0，T]，对于所有付款ξ∈ L（GS）和累积股息过程D∈ A、 Eg，DAt，S（1Aξ）=1AEg，Dt，S（ξ）A.S代表t≤ 美国∈ Gt和ξ∈ L（GS），其中DAis由DAs定义的过程：=（Ds- Dt）1As≥t、 由于违约跳跃的存在，非线性定价系统Eg，·不一定是关于（ξ，D）单调的。我们引入以下假设。假设3.1。假设存在映射γ：[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k，k）7→ γy，z，k，kt（ω）P B（R）-可测量，满足dP dt-a.s.，每个（y、z、k、k）∈ R、 （γy，z，k，ktpλt）有界且γy，z，k，kt≥ -1和G（t、y、z、k）- g（t，y，z，k）≥ γy，z，k，kt（k- k） λt，（3.9）回想一下，λ在θ之后消失，g（t，·）不依赖于{t>θ}上的k。因此，在{t>θ}上，质量指数（3.9）总是令人满意的。注意，上述假设成立，例如，如果g（t，·）相对于tok不递减，或者如果g是cink，则千克（吨，·）≥ -λton{t≤ θ}.在完美市场的情况下，当θt≤ 1、在给出一些附加属性（在此假设下成立）之前，我们引入以下偏序关系，为每个固定时间S定义∈ [0，T]，在成对“派息”集合上，通过：对于每个（ξ，D），（ξ，D）∈ L（GS）×Aby（ξ，D） （ξ，D）如果ξ≥ ξa.s。