带默认跳转的BSDE

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英文标题：
《BSDEs with default jump》
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作者：
Roxana Dumitrescu, Marie-Claire Quenez and Agn\\`es Sulem
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the properties of nonlinear Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) driven by a Brownian motion and a martingale measure associated with a default jump with intensity process $(\\lambda_t)$. We give a priori estimates for these equations and prove comparison and strict comparison theorems. These results are generalized to drivers involving a singular process. The special case of a $\\lambda$-linear driver is studied, leading to a representation of the solution of the associated BSDE in terms of a conditional expectation and an adjoint exponential semi-martingale. We then apply these results to nonlinear pricing of European contingent claims in an imperfect financial market with a totally defaultable risky asset. The case of claims paying dividends is also studied via a singular process.
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中文摘要：
研究了由布朗运动和鞅测度驱动的非线性倒向随机微分方程（BSDE）的性质。我们给出了这些方程的先验估计，并证明了比较定理和严格比较定理。这些结果推广到涉及奇异过程的驱动因素。研究了$\\λ$-线性驱动的特例，给出了相关BSDE解的条件期望和伴随指数半鞅表示。然后，我们将这些结果应用于具有完全违约风险资产的不完善金融市场中欧洲未定权益的非线性定价。还通过奇异过程研究了支付股息的债权的情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：BSDE SDE Differential Quantitative Applications

带默认jumpRoxana Dumitr escu的BSDE*Marie Claire Quenez+Agn\'es Sulem2017年9月4日摘要我们研究了由布朗运动和鞅测度驱动的非线性倒向随机微分方程（BSDE）的性质，该鞅测度与强度过程（λt）的adefault跳跃相关。我们给出了这些方程的先验估计，并证明了比较定理和严格比较定理。这些结果推广到涉及奇异过程的驱动因素。研究了λ-线性驱动的特例，给出了相关BSDE解的条件期望和伴随指数半鞅表示。然后，我们将这些结果应用于具有完全违约风险资产的非完美金融市场中欧洲未定权益的非线性定价。还通过一个奇异过程研究了支付股息的债权的情况。关键词：倒向随机微分方程、非线性定价、股息、违约跳跃、财务缺陷1简介本论文的目的是研究布朗运动驱动的BSDE，以及与强度过程λ=（λt）的违约跳跃过程相关的阿马丁格尔测度。我们考虑的应用是在有违约的不完善金融市场中或有索赔的定价和对冲问题。由布朗运动和泊松-随机m测度驱动的BSDE理论已经被一些作者广泛研究（werefer，例如to Barles、Buckdahn和Par-doux【3】、Royer【21】、Quenez和Sulem【20】）。目前的研究依赖于本文献中使用的许多论点。然而，处理默认跳转需要一些特定的参数，这些参数不是直接的，我们在这里对这些具有默认跳转的BSDE进行了严格的分析。据我们所知，对于具有默认跳变的非线性盲源分离系统，几乎没有结果。

文献[7]和[1]只关注在不同假设下建立的解的存在性和唯一性（更多细节见备注2.7）。在本文中，我们首先提供了一些有用的*伦敦国王学院数学系，United Kingdo m，电子邮箱：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk+LPMA，巴黎大学7 Denis Didero t，Boite courrier 7012，75251 Paris cedex 05，France，电子邮件：quenez@math.univ-巴黎狄德罗。frINRIA Paris，France，and Universit'e Paris Est，电子邮件：agnes。sulem@inria.fra先验估计的存在性和唯一性直接由先验估计得到。我们还给出了当驱动器为λ-线性时解的一个表示性质，以及一般情况下的比较定理和严格比较定理。此外，我们还允许这些方程的驱动程序具有一些奇异分量，因为驱动程序可能是广义形式g（t，ω，y，z，k）dt+dDt（ω），其中D是具有平方可积条件的有限变分c\'adl\'agprocess。这使我们能够在财务应用中处理股息的情况。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了带缺省跳的盲源分离系统的理论。更准确地说，在第2.1节中，我们介绍了数学设置。在第2.2节中，我们陈述了一些先验估计，从中我们导出了解的存在性和唯一性。在第2.3节中，我们介绍了λ-线性驱动的定义，其中λ是指跳跃过程的强度，它将BSDE文献中给出的线性驱动的概念推广到默认跳跃的情况。当驱动因子为λ-l i近于时，我们给出了关联BSDE的条件期望和伴随指数半鞅ale的显式解。在第2.4节中，我们建立了一个比较定理，该定理在驾驶员的适当假设下成立。

我们还证明了一个严格的比较定理，这需要一个额外的假设。当违背这些定理的假设时，给出了比较定理的一些有趣的反例。然后，我们将在第3节讨论数学金融中的应用。我们考虑了一个具有可违约风险资产的金融市场，并研究了在到期日T支付ξ的欧式期权的定价和套期保值问题，以及通过奇异过程D建模的中间股息。首先通过λ-线性BSDE理论研究了完美市场模型的情况，而不完美市场模型的情况，通过财富动态的非线性表示，然后用第2节开发的具有广义驱动力的非线性BSDE理论进行处理。在此设置中，定价系统表示为非线性期望/评估，例如：·：（ξ，D）7→ 例如，D（ξ），由具有默认跳跃的非线性BSDE（在原始概率测度P下求解）和g广义驱动rg（t，·）dt+dDt引起。该定价体系的一致性、单调性、凸性、无n-套利性依赖于相关BSD E的属性。作为市场缺陷的一个示例，我们考虑期权卖方是大型ge投资者的情况，其交易策略可能会影响市场资产价格和违约强度。2个带默认跳线的BSDE 2.1概率设置let(Ohm, G、 P）b e具有两个随机过程的完全概率空间：二维标准布朗运动W和由Nt=1θ定义的跳跃过程≤t对于任何t∈ [0，T]，其中θ是对默认时间建模的随机变量。我们假设该默认值可以在P（θ）的任何时间出现≥ t） >0表示任何t≥ 我们用G={Gt，t表示≥ 0}W和N的完全自然过滤。

我们假设W是aG布朗运动。设（∧t）为非递减过程（Nt）的可预测补偿器。注意（∧t∧则是（Nt）的可预测补偿器∧θ）=（Nt）。通过可预测补偿器的唯一性∧t∧θ=∧t，t≥ 我们假设∧是绝对连续的w.r.t.Lebesgue测度，因此存在一个非负过程λ，称为强度过程，因此∧t=Rtλsds，t≥ 0.自∧t起∧θ=∧t，λ在θ之后消失。我们用M表示满足T=Nt的补偿martinga le-Ztλsds。（2.1）设T>0为最终层位。我们生产了以下几组：oSis一组G适应的RCLL过程，以便E[sup0≤t型≤T |ДT |]<+∞.o Ais是实值非递减RCLL a自适应过程a的集合，a=0，E（AT）<∞.o His是一组G-可预测过程，使得k Zk：=EhRT | Zt | dti<∞.o Hλ是G-可预测过程的集合，使得k Ukλ：=EhRT | Ut |λtdti<∞.下面，P表示G-pr可预测的σ-代数Ohm ×[0，T]。请注意，对于每个U∈ Hλ，我们有kUkλ=EhRT∧θUt |λtdtib因为G-强度λ在θ之后消失。此外，我们可以假设对于Hλ中的每个U（=L(Ohm×[0，T]，P，dPλtdt）），其代表，仍由U表示，在θ之后消失。此外，T是停止时间τ的集合，使得τ∈ [0，T]a.s.对于T中的每个s，Ts是一组停止时间τ，使得s≤ τ≤ T a.s.我们回顾了这个框架中的鞅表示定理（参见例[16]）：引理2.1。任意G-局部鞅m=（mt）0≤t型≤代表MT=m+ZtzsdWs+ZtlsdMs，t型∈ [0，T]a.s.，（2.2），其中z=（zt）0≤t型≤串联l=（lt）0≤t型≤皮重是可预测的过程，因此上述两个随机积分都得到了很好的定义。如果m是平方可积鞅，则z∈ 汉德尔∈ Hλ。我们现在介绍以下定义。定义2.2（驱动因素，λ-可接受驱动因素）。

函数g称为驱动程序ifg：Ohm ×【0，T】×R→ R（ω，t，y，z，k）7→ g（ω，t，y，z，k）是PB（R）- 可测量，例如g（，0，0，0）∈ H、 如果存在一个常数C，则称d ri v er g为λ-容许驱动器≥ 0个这样的dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k），（y，z，k），（y，z，k），| g（t，y，z，k）- g（t，y，z，k）|≤ C（| y- y |+| z- z |+√λt | k- k |）。（2.3）正实C被称为与驱动器g相关的λ-常数。注意，条件n（2.3）意味着对于每个t>θ，因为λt=0，g确实依赖于k。换句话说，对于每个（y，z，k），我们有：g（t，y，z，k）=g（t，y，z，0），t>θdP dt公司- a、 s.De定义2.3（带默认跳转的BSDE）。设g为λ-容许驱动，设ξ∈ L（GT）。如果满足以下条件，则S×H×Hλ中的p过程（Y、Z、K）被称为BSDE的解决方案，其中默认跳线与终端时间T、驱动器g和终端条件ξ相关：- dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。（2.4）2.2默认跳变为β>0，φ的B SDE的第一属性∈ IH和l∈ IHλ，我们引入范数kφkβ：=E[RTeβsφsds]，和kkkλ，β：=E[RTeβsksλsds]。我们首先给出了带defaultjump的BSDE的一些先验估计，从中我们得出了解的存在性和唯一性。2.2.1具有默认jumpProposition 2.4的B SDE的先验估计。设ξ，ξ∈ L（GT）。设gand-gbe为两个λ-容许驱动。对于i=1，2，le t（Yi，Zi，Ki）是与终端时间t、驱动器和终端条件ξi相关的BSDE的解。设ξ：=ξ-ξ和？g（s）：=g（s，Ys，Zs，Ks）-g（s、Ys、Zs、Ks）。对于[0，T]中的s，den ote'Ys：=Ys- Ys，(R)Zs：=Zs- Zs，(R)Ks：=Ks- 堪萨斯州。设η，β>0，使得β≥η+2C和η≤C、 对于每个t∈ [0，T]，然后是eβT（(R)Yt）≤ E【EβT’ξ| Gt】+ηE【ZTteβs’g（s）ds | Gt】a。s、 （2.5）此外，k’Y kβ≤ T[eβTE[(R)ξ]+ηk'gkβ]。（2.6）如果η<C，我们有k'Zkβ+k'Kkλ，β≤1.- ηC[eβTE[(R)ξ]+ηk'gkβ]。（2.7）证明。

通过将It^o公式应用于t与t之间的半鞅eβs'yst，我们得到了eβt'Yt+βZTteβs'Ysds+ZTteβs'Zsds+ZTteβs'Ksλsds=eβt'Yt+2ZTteβs'Ys（g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s，Ys，Zs，Ks））ds- 2ZTteβs’Ys’ZsdWs-ZTteβs（2英寸）-“Ks+”Ks）dMs。（2.8）取给定的条件期望Gt，我们得到βt'Yt+EβZTteβs'Ysds+ZTteβs（'Zs+'Ksλs）ds'Gt≤ EeβT'YT'Gt+ 2E类ZTteβs'Ys（g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks））ds | Gt. （2.9）现在，g（s、Ys、Zs、Ks）- g（s，Ys，Zs，Ks）=g（s，Ys，Zs，Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks）+gs。由于gsatis条件（2.3），我们得出| g（s、Ys、Zs、Ks）- g（s、Ys、Zs、Ks）|≤ C | Ys |+C | Zs |+C | Ks|√λs+| gs |。注意，对于所有非负数λ、y、z、k、g和ε>0，我们有2y（Cz+Ck√λ+g）≤yε+ε（Cz+Ck√λ+g）≤yε+3ε（Cy+Ckλ+g）。因此，eβt'Yt+eβZTteβs'Ysds+ZTteβs（'Zs+'Ksλs）ds'Gt≤ EeβT'YT'Gt+E（2C+ε）ZTteβs'Ysds+3CεZTteβs（'Zs+'Ksλs）ds+3εZTteβs'gsds'Gt. （2.10）让我们改变变量η=3。然后，对于按比例选择的每个β，η>0，这些不等式导致（2.5）。通过积分（2.5），我们得到（2.6）。使用InEngineQuality（2.10），我们导出（2.7）。备注2.5。通过半鞅范数的i类ca l结果，一个类似的结果显示k'Y kS≤ KE[(R)ξ]+k'gkIH, 其中K是一个正常数，仅取决于T和c。2.2.2具有默认jumpProposition 2.6的BSDE的存在性和唯一性结果。设g为λ-容许驱动，设ξ∈ L（GT）。BSDE（2.4）的S×H×Hλ存在唯一解（Y，Z，K）。备注2.7。该结果推广了文献[7]在更强假设下的存在唯一性结果。

的确，假设ξ是Gθ∨T-可测量（如[7]中所示），且thatg由g1t代替≤τ（是λ-容许的驱动因素），则关联BSDE（2.4）的解（Y，Z，K）等于BSDE的解，其中包含随机终端时间θ、驱动因素g和终端条件ξ，如【7】所述。注意，[7]中的默认强度过程（λt）的有界性a s sumptionmade对于确保该结果是不必要的。证据我们使用命题2中给出的先验估计来证明这个结果。这些论点是经典的，并给出了完整性的简短证明。让我们首先考虑驱动程序g（t）不依赖于解决方案的情况。利用G-鞅（引理2.1）的表示性质和经典计算，可以证明存在与终端条件ξ相关的BSDE（2.4）a的唯一解∈ L（FT）和驱动程序进程g（t）∈ IH。让我们转向具有一般λ容许驱动器g（t，y，z，k）的情况。用IHβ表示空间IH×IH×IHλ，带有形式kY，Z，Kkβ：=kY kβ+kZkβ+kKkλ，β。我们定义了从IHβ到其自身的映射Φ。给定（U、V、L）∈ IHβ，设（Y，Z，K）=Φ（U，V，L）是与驱动程序g（s）相关联的BSD的解：=g（s，Us，Vs，Ls）。让我们证明映射Φ是从IHβ到IHβ的收缩。设（U′，V′，L′）是IHβ的另一个元素，设（Y′，Z′，k′）：=Φ（U′，V′，L′），即与驱动过程g（s，U′，V′，L′）相关的theRBSDE的解。设置“U=U”- U′，V=V- V′，L=L- L′，Y=Y- Y′，Z=Z- Z′，K=K- K′。允许g·：=g（·，U，V，L）-g（·，U′，V′，L′）。

使用λ-常量t为0的估计值（2.6）和（2.7）（因为驱动程序gdoes不依赖于解），我们得出对于所有η，β>0，β≥η、 我们有k'Y kβ+k'Zkβ+k'Kkλ，β≤ η（T+1）kgkβ。由于驱动器g与λ-常数Cλ-可容许，我们得到k'Y kβ+k'Zkβ+k'Kkλ，β≤ η（T+1）3C（k'Ukβ+k'V kβ+k'Lkλ，β），对于所有η，β>0且β≥η。选择η=（T+1）6Candβ=η，我们导出k（Y，Z，k）kβ≤k（U，V，k）kβ。因此，对于β=18（T+1）C，Φ是从IHβ到IHβ的收缩，因此在Banach空间IHβ中有一个唯一的固定点（Y，Z，K），这是SDE（2.4）的解。通过类似的论证，我们得到了以下广义结果。提案2.8。[带默认跳转和“广义驱动程序”的B SDEs]设g为λ-可容许驱动程序，设ξ∈ L（GT），设D为有限变分RCLL适应过程，具有平方可积全变分过程。BSDE的S×H×Hλ中存在一个唯一解（Y，Z，K）（也表示为（YD（T，ξ），ZD（T，ξ），KD（T，ξ）），与“广义DDriver”g（T，·）dt+dd和终端条件ξ相关，即- dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt+滴滴涕- ZtdWt公司- KtdMt；YT=ξ。（2.11）备注2.9。设D为有限变分RCLL适应过程。其关联的全变分过程是平方可积的，当且仅当D可以分解如下：D=a- A′，带A，A′∈ A、 2.3带默认跳线的λ-线性BSDE我们在带默认跳线的f框架中引入了λ-线性BSDE的概念。定义2.10（λ-线性驱动器）。如果驱动器g的形式为：g（t，y，z，k）=Дt+δty+βtz+γtkλt，（2.12），则称其为edλ-线性，其中（Дt）∈ H、 其中（δt），（βt）和（γt）是R-v值的可预测过程，例如（δt），（βt）和（γt√λt）有界。备注2.11。

请注意，如果驱动器g的形式为：g（t，y，z，k）=Дt+δty+βtz+νtkpλt，（2.13），则驱动器g为λ-线性，其中（Дt）∈ H、 其中（δt），（βt）和（νt）是有界的R-v值可预测过程。根据这一观察，可以得出λ-线性驱动器是λ-容许的。我们现在将证明λ-线性BSDE的解，即与λ-线性驱动程序相关联的BSDE（2.4）的解，可以通过一个经验一元半鞅写成条件期望。我们首先展示了初步结果。提案2.12。设（βs）和（γs）是两个实值G-可预测过程，使得随机变量rt（βr+γrλr）dr有界。设（ζs）为满足正向的过程：dζs=ζs-（βsdWs+γsdMs），ζ=1。过程（ζs）满足所谓的Dol'eans-Dade公式，即ζs=exp{ZsβrdWr-Zsβrdr}exp{-Zsγrλrdr}（1+γθ{s≥θ}）。对于每个T>0，过程（ζs）0≤s≤这是一个马丁格尔和萨提斯≤s≤Tζps]<+∞,对于所有p≥ 2、此外，如果γθ≥ -1（分别>-1） a.s.，然后是ζs≥ 每秒钟0（响应>0）a.s∈ [0，T]。证据根据定义，过程（ζs）是一个局部鞅。让T>0。让我们展示一下≤s≤Tζs]<+∞. 通过It^o公式应用于ζs，我们得到dζs=2ζs-dζs+d[ζ，ζ]s。我们得到[ζ，ζ]s=ζs-βsds+ζs-γSDN。使用（2.1），我们由此得出thatdζs=ζs-[2βsdWs+（2γs+γs）dMs+（βs+γsλs）ds]。因此，ζ是一个经验半鞅，可以写成：ζs=ηsexp{Zs（βr+γrλr）dr}，（2.14），其中η是满足ηs=ηs的指数局部鞅-[2βsdWs+（2γs+γs）dMs]，η=1。通过等式（2.14），局部鞅aleη为非负。因此，它是asupermartingale，它产生E[ηT]≤ 现在，根据假设，RT（βr+γrλr）dr是有界的。由（2.14）可知，e[ζT]≤ E[ηT]K≤ K、 其中K是一个正常数。利用鞅不等式，我们导出了≤s≤Tζs]<+∞. 因此，过程（ζs）0≤s≤这是一个鞅。