带默认跳转的BSDE

和D- Dis非递减。粗略地说，D的非递减性质-d对应于以下事实，即在s a和s+d s之间支付的瞬时股息与d对应的股息大于或等于d，即dDs≥ dDs.o单调性。在假设3.1下，非线性定价系统（例如：）相对于支付和股息而言是非递减的。更准确地说，对于所有成熟度∈ [0，T]，f或所有付款ξ，ξ∈ L（GS）和累计股息处理D、D∈ A、 以下性质成立：请注意，当市场完美时，g由（3.2）决定，因此满足g（t，0，0，0）=0。If（ξ，D） （ξ，D），那么我们有Eg，Dt，S（ξ）≥ Eg，Dt，S（ξ），t∈ [0，S]a.S.这一性质允许BSDE的比较定理，其中“广义驱动”（命题2.19（i））适用于g=g和ξ，ξ，D，D（实际上，在这种情况下，根据假设3.1，假设（2.22）适用于γt：=γYt-,Zt、Kt、Ktt）。利用这个比较定理，我们还导出了以下性质：o凸性。在假设3.1下，如果g对于（y，z，k）是凸的，那么非线性定价系统，例如，非凸的，即对于任何α∈ [0，1]，S∈ [0，T]，ξ，ξ∈ L（GS），D，D∈ AEg，αD+（1-α） Dt，S（αξ+（1- α)ξ) ≤ αEg，Dt，S（ξ）+（1-α） 例如，Dt，S（ξ），对于所有t∈ [0，S]。o非负性。在假设3.1下，当g（t，0，0，0）≥ 0，非线性定价系统Eg，·不是负的，也就是说，对于每个S∈ [0，T]，对于所有非负ξ∈ L（GS）和所有D∈ A、 我们有Eg，D·，S（ξ）≥ 此外，在附加假设γy，z，k，kt>-1在假设3.1中，利用严格比较定理（命题2.19（ii）），我们得出以下无套利性质：o无套利。

假设3.1下，γy，z，k，kt>-非线性定价系统，例如，满足无套利性质：对于所有成熟度∈ [0，T]，对于所有付款ξ，ξ∈ L（GS）和累积分割过程D，D∈ A、 t型∈ [0，S]和∈ Gt，假设（ξ，D） （ξ，D）和Eg，Dt，S（ξ）=a上的Eg，Dt，S（ξ）a.S∈ 燃气轮机。那么，ξ=ξa.s.在a和（Dt-Dt）t≤t型≤Sis a.s.常数，即DS-Dt=DS-Dta。s、 换言之，在A上，T与s之间的支付和即时股息等于A.s.在A上，无套利性质还确保当γy，z，k，kt>-非线性定价系统是严格单调的。注意，当市场完善时，条件γy，z，k，kt>-当θt<1时，满足1。备注3.2。几位作者研究了定义为B SDE解决方案的动态风险度量（参见[19，4，20]）。在我们的默认跳跃框架中，给定λ-容许驱动因素，可以定义风险ρgas的动态度量如下：对于each S∈ [0，T]和ξ∈ L（GS），设ρg·（ξ，S）=-例如·，S（ξ），其中，Eg·，S（ξ）表示与终端条件ξ、终端时间T和驱动因素g相关的BSDE的解。然后，根据本节的结果，动态ris k-度量ρg与非线性定价系统的性质类似，例如·，S=Eg，0·，S（对应于没有分割ds的cas e）。我们现在介绍Eg，D-超鞅的定义，它概括了Eg-超鞅的经典概念。定义3.3。让D∈ A和Y∈ S、 如果Eg，Dσ，τ（Yτ），则过程Y称为Eg，D-超鞅（分别为Eg，D-鞅）≤ Yσ（resp=Yσ）a.s.onσ≤ τ、 对于所有σ，τ∈ T、 提案3.4。

对于所有S∈ [0，T]，payoffξ∈ L（GS）和股息过程D∈ A、 关联g值过程Eg，D·，S（ξ）是Eg，D-鞅。此外，对于所有x∈ R、 投资组合策略∈ H×Hλ和现金提取程序sD∈ A、 相关的财富过程Vx，ν，Dis an-Eg，D-鞅。证据第一个断言来自Eg，D的一致性属性。第二个断言是通过注意到Vx，Д，Dis是BSDE的解，其中“广义驱动因素”g（·）dt+dDt，终端时间t和终端条件Vx，Д，dt。示例（大型投资者卖方）当卖方是大型交易员时，其对冲组合可能会影响风险资产的价格和违约概率。他可以在其市场模型中考虑这些反馈效应，如下所示。为了简化陈述，我们考虑了卖方策略仅影响违约强度的情况。我们给出了一系列由V和ν参数化的概率测度。更准确地说，对于每个V∈ 砂土^1∈ H、 设QV，Д是与P等价的概率度量，它允许LV，Д作为相对于P的密度，其中（LV，Д）是以下SDE的解：dLV，Дt=Lt-γ（t，Vt-, ^1t）dMt；LV，Д=1。这里，γ：（ω，t，y，Д，Д）7→ γ（ω，t，y，Д，Д）是P B（R）/B（R）-可测量的功能定义Ohm×【0，T】×r，γ（T，·）>-1，这样（γ（t，·））√λt）一致有界。注意，根据命题2.1 2，我们有L∈ S、 根据Girsanov定理，过程W是一个QV，Д-布朗运动，过程MV，Д定义为asMV，Дt：=Nt-Ztλs（1+γ（s，Vs，νs））ds=Mt-Ztλsγ（s，Vs，νs）ds（3.10）是QV，ν-鞅。因此，在QV，Д下，G-defa ult int-ensity过程等于λt（1+γ（t，Vt，Дt））。

过程γ（t，Vt，νt）表示卖方策略对违约强度的影响。与初始财富x和风险资产战略相关的财富过程动态=rtVt+（Дtσt+Дtσt）θt- Дtθtλtdt公司- d Ct+Д′tσtdWt- ИtdMV，Дt，（3.11）让我们证明，该模型可以被视为上述模型的一部分，与适当的映射λ-容许驱动因素g相关。首先，请注意，财富的动态（3.11）可以被写为vt=rtVt+（Дtσt+Дtσt）θt- Дtθtλt+γ（t，Vt，Дt）λtДtdt公司- dCt+Д′tσtdWt- |tdMt，等效地，设置Zt=|t′σtand Kt=-^1t，- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt- ZtdWt+dCt- KtdMt，（3.12），其中g（t，y，z，k）=-rty公司-zθt- θtλtk+γt、 y，（σt）-1（z+σtk），-kλtk。因此，我们得到了上述与此驱动程序相关的通用模型。该模型可以很容易地推广到系数u、σ、u、σ也依赖于对冲成本V（等于期权价格）和对冲策略Д的情况。p的附录≥ 2，我们介绍了定义如下的空间Sp、Hp和Hpλ。设Spbe为G适应RCLL过程的集合，使得E[sup0≤t型≤T |ДT | p]<+∞.设Hp为G-可预测过程集，使得kZkpp：=Eh（RT | Zt | dt）p/2i<∞.设Hpλ为G-可预测过程集，使得kUkpp，λ：=Eh（RT | Ut |λtdt）p/2i<∞.LpProposition a.1中具有默认跳转的BSDE。让p≥ 2并让T>0。设g为λ-容许驱动，使得g（t，0，0，0）∈ IHp。Letξ∈ Lp（GT）。在默认情况下（2.4），BSDE的Sp×Hp×Hpλ中存在唯一的解（Y，Z，K）。备注A.2。当W和M有G-鞅表示定理时，即使G不是由W和M证明生成的，上述结果仍然成立。该证明依赖于与[20]中命题A.2证明中相同的论点，以及命题2.6证明中使用的论点。

具有缺省跳跃和概率测度变化的BSDEs（βs）和（γs）是两个实值G-可预测过程，使得rt（βr+γrλr）dris有界。设（ζs）为满足正向SDE的过程：dζs=ζs-（βsdWs+γsdMs），ζ=1。根据命题2.12，ζ是一个p-可积鞅，即ζT∈ Lpfor allp≥ 1、我们假设γ>-1，这意味着ζs>0，s∈ [0，T]a.s.L et Q是概率测度，相当于P，它允许相对于GT上P的ζTas密度。根据Girsanov定理（见【16】第9.4章推论4.5），过程Wβt：=Wt-Rtβsds是Q-布朗运动，过程Mγ定义为asMγt：=Mt-Ztλsγsds=Nt-Ztλs（1+γs）ds（A.1）系数也可能取决于Д=（Д，Д），但在这种情况下，我们必须假设映射ψ：（ω，t，y，Д）7→ （z，k），z=Д′σt（ω，t，y，Д），k=-Д是相对于Д的一对一，并且其逆ψ-1х为P B（R）-可测量。是一个Q-鞅。我们现在给出了（Q，G）-局部鞅关于Wβ和Mγ的一个表示定理。提案A.3。设m=（mt）0≤t型≤Tbe a（Q，G）-局部martinga l e。存在一对唯一的可预测过程s（zt，kt），使得mt=m+ZtzsdWβs+ZtksdMγs0≤ s≤ T a.s.（a.2）证明。因为m是一个Q-局部鞅，所以过程mt：=ζtmtis是一个P-局部鞅。根据鞅r表示定理（引理2.1），存在一对唯一的可预测过程（Z，K），使得“mt=”m+ZtZsdWs+ZtKsdMs0≤ t型≤ 然后，通过将It^o公式应用于mt=(R)mt（ζT）-通过经典计算，我们可以证明（z，k）满足（A.2）的存在性。从这个结果以及命题A.1和备注A.2，我们得出以下推论。推论A.4。让p≥ 2，让T>0。设g为λ-容许驱动，使得g（t，0，0，0）∈ IHpQ。Letξ∈ LpQ（GT）。

此处，e x在BSDE的SpQ×HpQ×HpQ，λ中显示唯一解（Y，Z，K），默认值为：-dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt- ZtWβt- KtdMγt；YT=ξ。参考文献[1]Ankirchner，S.、Blanchet Scalliet，C.、Eyraud Loisel，A.：信贷风险溢价和单跳二次BSD Es。内景：理论杂志。和应用程序。鳍2010,13（7），第1103-1129页。[2] Bank，P.和Baum D.（2004）：金融市场中的对冲和投资组合优化与大型交易员，数学。财务1 4（1），1-18。[3] Barles G.、R.Buckdahn和E.Pardoux（1995）：反向随机微分方程和积分偏微分方程，随机和随机报告。[4] Barrieu P.和N.El K aroui：《动态风险度量下的最优衍生品设计》，《金融数学》，《当代数学》（A.M.S.Proceedings），（2004），第13-26页。[5] Bielecki，T.、Crepey，S.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.，《危险过程模型中的可违约g ame选项》，国际随机分析杂志，2009年。[6] Bielecki，T.、Jeanblanc，M.和Rutkowski，M.，《可违约债权的对冲》，《巴黎普林斯顿数学金融讲座》，《数学讲稿1847》，第1-132页，斯普林格。2004年，ISBN:3-54 0-22266-9 DOI:1 0.1007/b98353[7]Blanchet-Scalliet，C.，Eyraud Loisel，A.，Royer Carenzi，M.：使用时间范围不确定的BSDE对冲可违约或有债权。《法国精算师公报》，2010年，20（10）。[8] Cvitani\'c J.和Karatzas，I.，《限制投资组合对冲未定权益》，《应用概率年鉴》。199 3.[9] Cvitani\'c J.和Ma，J.，《大型投资者的对冲期权和远期期权》，《应用概率年鉴》。1996年6月，n.2 370-398。[10] Dumitrescu R.、M.-C.Quenez和A。

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