分位数和预期短缺联合回归框架

（2017年），在整个模拟研究中，我们的fixg（z）=0。（2.22）-（2.24）。三种正均一的规格可以得到最准确的估计，而选项g（z）=-√-zandG（z）=-日志(-z） 倾向于表现略好于选项g（z）=-/z、 此外，有界选项g（z）=log+ exp（z）仍然比unboundedeponential函数性能更好。250 500 1000 2000 5000样品尺寸0.00.10.20.3均方误差dgp-（1）G2（z）=-日志(-z）-√-z-1/zlog（1+exp（z））exp（z）250 500 1000 2000 5000样品尺寸0.00.51.01.5DGP-（2）G2（z）=-日志(-z）-√-z-1/zlog（1+exp（z））exp（z）250 500 1000 2000 5000样品尺寸010203DGP-（3）G2（z）=-日志(-z）-√-z-1/zlog（1+exp（z））exp（z）图1：所有三个DGP参数估计的均方误差之和。结果显示了（4.4）中给出的规格函数的选择和一系列样本大小。表1报告了三个DGP和（4.4）中给出的五种规格函数选择的真实渐近协方差矩阵下三角部分以及相应（下三角）分位数规格和ES规格子矩阵的Frobenius范数。为了比较，我们还报告了分位数回归估计量渐近协方差下三角部分的Frobenius范数。我们使用定理2.6中的公式以及真实密度和条件截断方差，通过样本量为10的蒙特卡罗积分来近似真实渐近协方差矩阵。

平均而言，规范函数g（z）=-日志(-z） andG（z）=-√-zexhibit最小渐近协方差，紧随其后的是aG（z）=-/Z分位数特定参数联合估计方法（从正齐次损失函数）到分位数回归估计，我们大致获得了相同的渐近效率。表1：该表报告了三个DGP的渐近协方差矩阵下三角部分的Frobenius范数以及相应的分位数规格和ES规格子矩阵，以及（4.4）中给出的规格函数的五种选择。为了进行比较，我们报告了分位数回归估计量的渐近协方差的相同数量。DGP-（1）DGP-（2）DGP-（3）Q ES Full Q ES Full Q ES Full G（z）=-日志(-z）7.5 13.1 9.2 17.9 26.9 20.0 581.1 1739.1 1053.0G（z）=-√-z 7.0 11.8 8.4 18.0 25.4 19.3 584.5 1740.1 1054.4G（z）=-1/z 9.1 16.9 11.8 24.1 39.4 28.5 613.7 1851.9 1119.8G（z）=log（1+exp（z））15.4 21.5 16.6 72.4 80.1 67.1 987.9 2393.0 1496.4G（z）=exp（z）15.8 22.6 17.2 74.6 84.5 70.0 1001.9 2440.4 1524.6分位数回归6.8––21.4––600.5––4.3。比较本节中的方差-协方差估计，我们比较第3.2节中讨论的渐近协方差估计的经验性能。为了比较它们的精度，图2报告了估计协方差和估计参数的经验协方差之间差异下三角部分的Frobenius范数的平均值。

我们报告了三个齐次损失函数和三个250 500 1000 2000 50000246810Frobenius NormDGP-（1）G2（z）=- 日志(-z） iid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000246810DGP-（1）G2（z）=-√-ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000246810DGP-（1）G2（z）=-1/ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000510152025Frobenius NormDGP-（2）G2（z）=- 日志(-z） iid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000510152025DGP-（2）G2（z）=-√-ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 50000510152025DGP-（2）G2（z）=-1/ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 5000样本大小05001000 FROBENIUS NormDGP-（3）G2（z）=- 日志(-z） iid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 5000样本大小05001000DGP-（3）G2（z）=-√-ziid/indnid/scl Nnid/scl-spBootstrap250 500 1000 2000 5000样本大小05001000DGP-（3）G2（z）=-1/ziid/INDID/scl Nnid/scl spBootstrapFigure 2：该图比较了第3.2节中描述的三种数据生成过程、一系列样本大小和G函数的三种正齐次选择的四种协方差估计方法。我们报告了估计的渐近协方差和M-估计的经验方差之间的差异的下三角部分的平均F范数。DGPs，其中每个图表示四个协方差估计量（iid/nid、nid/scl-N、nid/scl sp和iid引导）的平均范数差异，具体取决于样本量。我们发现，iid/nid估计器在第一个同余节拍DGP中表现良好，而在其他两个DGP中，它无法捕获数据的潜在更复杂动态。

nid/scl Nestimator在前两个DGP中优于其他估计方法，其中基础条件分布遵循正态分布，而在第三个DGP中，其性能下降，后者遵循学生分布。对于所有三个DGP，灵活nid/scl sp估计器的性能最好，而与其他估计器相比，它在小样本情况下特别好。所提供的R包包含所有四个协方差估计量。5、实证应用在这个实证应用中，我们使用我们的联合回归框架预测IBM股票近距离对数收益的VaR和ES。为此，我们采用Zikes和Baruník（2016）的预测框架，联合预测每日财务回报的VaR和ES rtbyQα（rt | RVt-1） =θq+θqRVt-1和ESα（rt | RVt-1） =θe+θeRVt-1，（5.1），其中RVT=(irt，i）1/2表示dayt的已实现波动率估值器（Andersen和Bollerslev，1998），其中，irt，idenotes thei the th high frequency return of dayt。我们的数据集包括2001年1月3日至2017年7月18日五分钟的IBM股票回报，总计4120天，我们从剩余3120天的预测中获得。我们比较了该模型与文献中三个标准模型的预测能力。第一种是历史模拟（HS）方法，该方法预测daytas样本模型（Bollerslev，1986）的VaR和ES，第三种是Corsi（2009）的异质自回归（HAR）模型，基于上述已实现的波动率估计。HARmodel的VaR和ES预测来自波动率预测，并通过假设高斯回报分布获得。

虽然前两种方法仅依赖每日数据，但第三种方法与我们的方法包含相同的高频信息。我们通过Fissler和Ziegel（2016）的VaR和ES的严格一致损失（评分）函数来评估这些模型的VaR和ES的预测能力。我们使用了Ehm et al.（2016）和Ziegel et al.（2017）提出的墨菲图，该图提供了一种节约的方法，可以同时评估一类完全一致的损失函数的竞争预测。事实上，单负（正）。关于墨菲图的理论和实施的更多细节，werefer to Ehm等人（2016年）和Ziegel等人（2017年）。-0.10-0.05 0.00阈值-0.008-0.006-0.004-0.0020.000分数与HS不同-0.10-0.05 0.00与GARCH的阈值差异-0.10-0.05 0.00与Har的阈值差异图3：VaR/ES回归的基本得分差异和各自的比较模型图3显示了Ziegel等人（2017）提供的VaR和ES对的基本得分的联合VaR和ES回归的基本得分差异的平均值。使用这种图形方法，我们可以看到，对于绝大多数阈值，联合回归预测模型与历史模拟和AR（1）-GARCH（1,1）T模型的基本得分差异显著为负。这意味着联合回归预测模型在其他两种预测方法中占有显著优势。尽管我们也观察到了严格的负基本分数，但我们不能显著优于该模型。结论在本文中，我们介绍了分位数（VaR）和ES的联合回归技术。ThisZiegel（2016），允许分位数和ES的联合引出。我们为联合回归模型的参数引入了一个M和aZ估计量。

在给定一组标准正则条件的情况下，我们证明了这两个估计量的一致性和渐近正态性，并通过大量的仿真进行了数值验证。估计量的基本损失函数、估计方程和渐近协方差矩阵取决于两个规格函数的选择，这两个规格函数根据产生的力矩条件、渐近效率、数值性能和计算时间进行研究。在我们的数值模拟中，我们发现导致正同质损失函数的选择在上述标准的其他选择中占主导地位。此外，我们还提出了几种能够处理函数的渐近协方差矩阵的估计方法、数值优化方法和渐近协方差矩阵的估计方法。和ES。通过推广分位数回归在VaR上的现有应用，可以使用这种回归方法对ES（与VaR一起）进行建模，例如Koenker和Xiao（2006）、Engleand Manganelli（2004）、Chernozhukov和Umantsev（2001）、ikes和Baruník（2016）、Halbleib和Pohlmeier（2012）、Komunger（2013）和Xiao等人（2015）。作为一个例子，我们在本文中提出了一个经验应用程序，我们使用该回归框架基于已实现的波动率估计联合预测VaR和ES。此外，拜耳和Dimitriadis（2017b）利用该回归开发anES回溯测试，鉴于最近将ES引入巴塞尔监管框架，以及目前缺乏准确的ES回溯测试方法，该回溯测试尤其相关。感谢Tobias Fissler、Lyudmila Grigoryeva、Roxana Halbleib、Phillip Heiler、Frederic Menninger、Winfried Pohlmeier、Patrick Schmidt、Johanna Ziegel和随机学术讨论会的参与者对本文的结果表示感谢。