分位数和预期短缺联合回归框架

尽管假设2.1中的参数空间Θ的紧性通常可以简化证明，但在这种设置中，由于估计方程ψ是正齐次损失函数，因此Z-估计量的一致性至关重要。有关详细信息，请参阅第3.1节。定理2.4。假设假设2.1、假设2.2和力矩条件（M-1）in^θψ，n∈ Θnni=1ψ（Yi，Xi，^θψ，n）a.s。-→这是θψ，na。s-→ θ。定理2.5。假设假设2.1、假设2.2和附录A中的力矩条件（M-2）成立。然后，对于每个序列^θρ，n∈ Θ这样nni=1ρ（Yi，Xi，^θρ，n）≤nni=1ρ（Yi，Xi，θ）+oP（1），它认为^θρ，nP-→ θ。定理2.6。假设假设2.1、假设2.2和附录A中的力矩条件（M-3）成立。然后，对于每个序列^θψ，n∈ Θ令人满意√nni=1ψ（Yi，Xi，^θψ，n）P-→0，我认为√n^θψ，n- θd-→ N0，λ-1C∧-1., （2.4）带∧=∧0∧和C=中国交建, （2.5）式中∧=αE（X X）fY | X（Xθq）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）, （2.6）∧=E（X X）G（1）（Xθe）, （2.7）C=1- ααE（X X X）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）, （2.8）C=C=1- ααE（X X X）Xθq- XθeαG（1）（Xθq）+G（Xθe）G（1）（Xθe）, （2.9）C=E（X X X）G（1）（Xθe）αVarY- XθqY≤ Xθq，X+1.- ααXθq- Xθe. （2.10）定理2.7。假设假设2.1、假设2.2和附录A中的力矩条件（M-4）成立。然后，对于每个序列^θρ，n∈ Θ这样nni=1ρ（Yi，Xi，^θρ，n）≤infθ∈Θnni=1ρ（Yi，Xi，θ）+oP（n-1） ，它认为√n^θρ，n- θd-→ N0，λ-1C∧-1., （2.11）其中矩阵∧和C如定理2.6所示。备注2.8（分位数回归）。请注意，分位数特定参数的渐近协方差矩阵估计α（1）给出的^θqis-α） D-1DD-1，其中d=E（X X）fY | X（Xθq）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）和（2.12）D=E（X X X）αG（1）（Xθq）+G（Xθe）.

（2.13）G（z）=zandG（z）=0，这意味着忽略损失函数和估计方程的ES特定部分。这表明分位数回归方法嵌套在我们的回归过程中，也嵌套在其渐近分布方面。备注2.9（ES和Oracle估计量的渐近协方差）。渐近协方差的ES特定部分主要由c项控制，c项取决于数量αVarY- XθqY≤ Xθq，X+1.- ααXθq- Xθe=αVar（Y）- Xθq）1{Y≤Xθq}十、. （2.14）ES回归参数的渐近协方差取决于ygivenx的截断方差是合理的，因为平均回归参数的无症状协方差是由ygivenx的条件（非截断）方差驱动的。第二学期Xθq- Xθe包括（2.14），因为ES表示截断平均值，其中截断点本身是一个统计函数（θegiven由损失函数ρOracle（Y，X，θe）=（Y- Xθe）{Y≤Xθq}，（2.15），其中我们假设真实分位数回归参数θqa已知。由此产生的渐近协方差由Avar给出θeOracle=αEX X X-1·E（X X）VarY- XθeY≤ Xθq，X· EX X X-1，（2.16），表明附加条款Xθq-Xθe不包括在该估值器中，带有固定截断点Xθq。备注2.10（样本分位数和ES的联合估值）。我们可以使用此回归框架联合估计同分布样本的分位数和ES，仅在恒定条件下回归。定理2.6和定理2.7中给出的渐近协方差矩阵可简化为∑，分量∑=α（1- α） fY（θq），（2.17）∑=∑=（1- α） θq- θefY（θq），（2.18）∑=αVar（Y- θq | Y≤ θq）+1- αα（θq- θe），（2.19），其中θqandθeare是y的真分位数和ES。

Zwingmann和Holzmann（2016）也得到了同样的结果，他们进一步考虑了在严格正导数的分位数上不可区分的分布函数。请注意，在这种没有协变量的简单情况下，协协方差矩阵独立于损失函数和估计方程中的规格函数。此外，（2.17）意味着我们的联合估计程序得出的分位数估计与最小化广义分段线性损失得出的分位数估计（Gneiting，2011）和样本分位数（cf.Koenker，2005）具有相同的渐近效率。Brazauskas et al.（2008）和Chen（2008）的样本ES估计（基于样本分位数）的效率也是如此。备注2.11（伪随机选择a（Y））。通过在（2.2）中选择a（Y）=αG（Y）+G（Y），我们可以保证非负损耗ρ（Y，X，θ）≥0.这一选择使我们能够定义Koenker和Machado（1999）意义上的联合回归框架的apseudo Rf，RQE=1-ρ（Y，X，^θ）ρ（Y，X，^θ），（2.20），其中^θ表示全回归模型的参数估计，而^θ表示仅限于截距项的回归模型的参数估计。然而，选择a（Y）是以更严格的力矩条件为代价的，因为我们需要施加EG（Y）+G（Y）< ∞.2.3。规格函数的选择（2.2）和（2.3）中给出的损失函数和估计方程取决于两个规格函数GandG（带导数EG），它们必须满足假设2.2中的正则条件（A-3）。Fissler等人（2016年）已经提到了可行选项G（z）=0，G（z）=z，G（z）=exp（z）和G（z）=exp（z）/+ exp（z）以显示此类为非空。

与均值、分位数和期望值回归的损失函数相比，分位数和ES的规格函数还没有自然选择（Nolde和Ziegel，2017）。然而，作为效率的选择、回归器的必要矩条件和优化算法的数值性能，我们将在下面讨论合理的选择标准。利用的损失函数是b阶正齐次的至关重要∈ R在ρ（cY，X，cθ）=cbρ（Y，X，θ）（2.21）c>损失函数的意义上，遵循该性质，我们可以改变标度，并仍然获得相同的预测值，从而获得相同的参数估计值。对于由分位数和ES组成的对，b对于我们限制G的域的情况，即条件ES为负实数线4，b<0：G（z）=-c、 G（z）=c(-z） b+c，（2.22）b=0：G（z）=d{z≤0}+d{z>0}，G（z）=-木屐(-z） +c，（2.23）b∈ （0，1）：G（z）=d{z≤0}+d{z>0}|z | b- c、 G（z）=-c类(-z） b+c，（2.24）对于某些常量c、d、d∈ Rwithd公司≤ d、 d，d≥0和C>0。不存在正同质B≥偏离选项g（z）=0的数值精度（另见Fissler et al.，2016；Nolde and Ziegel，2017；Ziegel et al.，2017），这也与同质性结果一致。因此，我们在下面使用g（z）=0。通过选择G（andG），可以得出选择规范函数的不同自然指导原则，以便附录A中的力矩条件（M-1）-（M-4）限制性最小，且尽可能节约。例如，选择其倒立二阶导数为有界函数（且g（z）=0）的这类函数会导致矩条件E||X | |+| | X | | E|Y型|十、+ ||X | | EY十、+ |a（Y）|< ∞. 这激发了有界funcGG（z）=exp（z）的使用/+ exp（z）是标准物流配送的配送功能。

边界函数的进一步示例包括实线上绝对连续分布的分布函数。在第4.2节的模拟研究中，我们比较了不同规格函数在均方误差、估计量的渐近效率和计算时间方面的性能。3、模型的数值估计在本节中，我们将讨论我们遇到的困难以及我们为估计联合回归模型提出的解决方案。第3.1节说明了我们用于估计回归参数的数值优化程序，第3.2节讨论了估计器方差矩阵的不同估计方法。3.1。优化定理2.6和定理2.7意味着回归参数θ的M-估计和Z-估计都具有相同的渐近效率，因此，我们在termsForb=0时讨论这些估计方法，只有损失差异是正齐次的。然而，在这种略微较弱的属性下，损失的排序仍然没有受到影响。由于小概率水平下金融资产的条件ES始终为负值，因此这不是关键限制。然而，对于数值参数估计，我们必须限制参数空间Θ，以便xiθe<0表示所有θ∈ 对于基础样本中的所有XI。有关详细信息，请参阅第3.1节。注意，正齐次损失函数显示无界函数。然而，由于函数g（z）的增长速度不超过线性，因为z趋于完整，因此产生的有限力矩条件没有太大限制。（2.3）中给出的估计方程的求根，我们通过最小化内积实现GMM估计iψ（Yi，Xi，θ）·iψ（Yi，Xi，θ）。

然而，估计方程是gψ（Y，X，θ）→Xθe→ -∞因此，对于θ，θq=θqandXθe→ -∞, 我们得到了Z-估计目标函数的相同最小值iψ（Yi，Xi，θ）·iψ（Yi，Xi，θ）作为真实回归参数θ。因此，Z估计量在数值上是不稳定的，并且在许多设置中是发散的。因此，我们依赖以下回归参数的M估计。由于（2.2）中给出的损失函数对于所有适用的特定函数选择都是不可区分和非凸的（Fissler，2017），我们采用了无导数的全局优化技术。更具体地说，我们使用Lourenco等人（2003）的迭代局部搜索（ILS）元启发式算法，该算法通过迭代扰动起始值的重复优化来成功地确定参数估计。我们的θqθetwo yonx分位数回归用于概率水平α和|α，其中我们选择|α，使得|α损失函数具有无导数且鲁棒的Nelder-Mead单纯形算法（Nelder和Mead，1965）。第三，我们通过添加具有零均值估计的正态分布噪声来扰动得到的参数估计。第四，我们用扰动参数估计作为新的起始值对模型进行重新优化。m=连续迭代。我们的数值实验表明，这种重复优化过程是模拟退火的，而ILS的主要优点是计算时间大大减少。对于导致正齐次损失函数的规格函数的选择，我们必须将范围限制为负实线，如第2.3节所述。因此，我们必须限制Θ，使得xiθe对于所有θ都<0∈ Θ对于alli=，继续优化过程。

尽管在金融风险管理中，响应变量通常由真实（有条件）ES严格为负的金融回报给出，但仍可能存在一些异常值，如xiθe≥在这种情况下，对于alli=，…，施加限制xiθe<0，优化过程会产生对θe有很大偏差的估计。为了避免这种情况，我们估计回归- max（Y）并将max（Y）添加到估计的截距参数中，以撤消转换6.2017a）。该软件包包含M和Z估计量的实现，其中可以使用渐近理论和我们在下一节中讨论的结果技术，或使用非参数iid bootstrap（Efron，1979）来估计差异。我们建议将其与ILS算法结合使用，因为该程序在精度、稳定性和计算时间方面在我们的数值实验中表现出最佳性能。请注意，此数据转换会更改平均损失函数，因为应用的损失函数通常是非平移不变的。因此，优化转换损失函数可能导致不同的参数估计。然而，在xiθe≥0表示某些∈ {，…n}。我们的数字- 最大（Y）Xiθe<i∈ {1，…n}，但如果Xisuch有一个离群值，那么Xiθe可能相当大≥ 0.3.2。渐近协方差估计虽然定理2.6和定理2.7中给出的渐近协方差矩阵的大部分是向前估计的，但两个讨厌的量带来了一些困难。第一个是密度分位数函数fy | X（Xθq），这在分位数回归文献中已经得到了很好的研究。

特别是，我们考虑了Koenker（1994）提出的估计量，此后用iid表示，以及byHendricks和Koenker（1992）提出的估计量，此后用nid表示。这两者之间的主要区别在于，第二个允许线性依赖结构。这两种方法都取决于带宽参数，我们根据Hall和Shecker（1988）选择带宽参数。考虑到这些残差为负Y- XθqY≤ Xθq，X= 风险值uq公司uq公司≤ 0，X. （3.1）由于两个原因，需要对该数量进行估算。首先，对于金融风险管理中典型的极小概率水平，例如α=。5%，截断UQ≤除极少数α·nx外，0切割具有挑战性，特别是考虑到非常小的样本量。在同质性假设下，即QIs的分布独立于协变量X，我们可以通过负分位数残差的样本方差简单地估计（3.1），我们在下面将此估计称为ind。我们提出了两个进一步的估计量，考虑到分位数残差对卵巢的依赖性。为此，我们假设位置-尺度过程具有条件平均值和标准偏差的线性规定，以明确建模某些参数向量ζ、φ的条件关系uqonx，uq=Xζ+Xφ·ε，（3.2）∈ Rkand式中ε~ G（，）遵循零均值、单位方差分布，uq | X~ GXζ，（Xφ）fgfg qgivenuq的截断方差≤0，即（Xφ）的截断变量，一种可能性是仅对Uq≤0

然而，这种方法特别支持极少数负分位数残差，因为与ind方法相比，我们需要估计额外的参数。我们通过使用准广义伪极大似然法（Gourieroux和Monfort，1995，第8.4.4节）的所有可用观测值来估计参数ζ和φ，提出了一种可行的替代方法，并通过标度公式（uq | uq）获得了截断条件方差≤ 0，X）=-∞zh（z）dz--∞zh（z）dz, 其中h（z）=fG（z）/fG（）是qgivenxanduq的截断条件密度≤我们提出了一个参数估计量，此后用scl-N表示，其中我们假设分布为正态分布，并将闭式解应用于缩放公式。我们进一步提出了一个半参数估计量，此后用scl sp表示，其中我们以非参数方式估计分布，然后通过数值积分应用该估计密度的标度公式。4、模拟研究在本节中，我们研究了M估计的有限样本行为，并通过模拟验证了第2.2节中得出的渐近性质。此外，我们还比较了偏离这些线性规范不会增加的性能。规范函数的不同选择，并评估第3.2.4.1节所述不同协方差矩阵估值器的精度。数据生成过程为了评估估计联合回归模型的数值特性，我们模拟了线性位置-尺度数据生成过程（DGP）中的数据，Y=Xγ+（Xη）·v，（4.1）v~ F（，）X=, 十、Xk公司γ、 η∈ Rk真条件分位数和ES是X中的线性函数，由qα（Y | X）=X（γ+zαη）和ESα（Y | X）=X（γ+ξαη），（4.2）zαξαF（，）θq=γ+zαηθe=γ+ξαη给出。

此外，分位数和ES残差的条件分布由uq | X给出~ F-zα（Xη），（Xη）和ue | X~ F-ξα（Xη），（Xη）. （4.3）对于模拟研究，我们希望评估我们的回归程序在各种设置中的性能。因此，我们指定γ、η和fin如下，这样我们得到的数据是同向的（DGP-（1））和异向的（DGP-（2））。此外，我们还包括一个具有多重相关回归器的回归设置和一个轻量级的条件分布（DGP-（3）），DGP-（1）：X=（1，X），X~ χ和Y | X~ N-十、 1个DGP-（2）：X=（1，X），X~ χ和Y | X~ N-十、 （1+0.5倍）DGP-（3）：X=（1，X，X）X，X~ U[0，1]带corr（X，X）=0.5 andY | X~ t型十、- 十、 （1+X+X）.我们对这三个过程进行了25000次模拟，样本大小分别为n=250、500、1000、2000和5000次观察。对于每个复制和每个样本量，我们使用联合回归方法回归协变量X上的模拟Y，概率水平α=2.5%。4.2。比较规格函数，我们通过研究基于（2.2）中损失函数中规格函数8的不同选择的估计器的数值性能，开始讨论模拟结果。b=-b=和b=0.5分别为9，有界G函数和（无界）指数函数：G（z）=-1/z，G（z）=-日志(-z） ，G（z）=-√-z、 G（z）=对数1+扩展（z）, G（z）=exp（z）。（4.4）图1显示了（4.4）中给出的规格函数的均方误差（MSE）之和（2K回归参数）。正如渐近理论所暗示的，当所有三个DGP的均方误差收敛到零时，我们获得了所有五种规格函数选择的一致参数估计。然而，它们在小样本特性方面存在显著差异。遵循第2.3节以及Nolde和Ziegel（2017）的推理；Ziegel等人。