连续时间大资产定价的一个基本定理

让我们更精确一点：过程（πt（fj））t∈Ij带有时间网格Ij [0，1]是不相交封闭区间的一个单位，期权实际上是在这里交易的。一个特殊的示例是Ij={tj，…，tjn}，这意味着期权j只能在时间tjk，k进行交易∈ {1，…，n}。此外，我们在第1.1小节的最后一部分中应用了贝叶斯不确定性的混合设置：考虑一系列概率度量Pθ作为参数θ∈ Θ，其中Θ携带先验度量ν。假设P（A）=ZΘPθ（A）ν（dθ）定义良好。注意，关于这个混合度量的null集是关于ν-几乎每个Pθ的null集。过滤G被选为常数过滤Gt：=F，对于t∈ [0，1]。假设价格不变(Ohm, G、 （Gt）t∈[0,1]，P）位于某个Lp中(Ohm) 对于交易ba sedon F。关于这种过滤，我们当然可以通过πt（fj）：=πmin{s，将价格扩展到[0，1]上的Gadapted过程≥t | s∈Ij}（fj）。这个过程不再适应过滤F，而是适应G。因为我们不需要路径属性，所以这个过程实际上是“agl”ad并不重要。这种结构的优点是，Ij上的半静态对冲现在可以通过标准随机积分来表达。这里G需要是一个足够大的过滤器，以包含下一个未来交易时间期权价值的信息。由于我们对G没有任何假设，这当然可以使用，我们选择的过滤显然可以完成这项工作。第4节的超级复制结果如下所示：for everyf∈ Lp（P）supQ∈MqEQ[f]=inf{x： g级∈cpx+g≥ f} 。集合mq由度量值Q组成~ P、 dQdP∈ Lq（P）使得Eq[πt（fj）| Fs]=s的πs（fj）≤ Ij中的t（sic！）对于所有j∈ J、 当然，每个价格过程的optionalprojection（与S自身合并）是一个Qmartingale。

另一方面，几乎可以肯定的是，对于每一个f∈ Lp（P）在S和半S交易中有一系列简单的交易，在许多选项中减去一些消费，Lp（P）中收敛到一个极限g，该极限g支配着f减去超级价格x P-a.S.，即在可测量的S和a上 Ohm 对于ν-几乎所有θ，满足Pθ（A）=1（有关详细信息，请参阅Matteo Burzoni和Martin Larsson指出的这一点。6 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF TEICHMANNSection 4）。这是第一个连续时间的超级套期保值结果，在不同的时间网格上，以aBayesian的方式解释了一系列不同的套期保值设置。备注1.2。当然，我们可以将ed视为一个全面的贝叶斯稳健设置，其中价格过程也不适用于过滤率n F。备注1.3。包含半静态套期保值的技巧是，通过编写带有预期信息的逐段consta ntprocesses（取决于套期保值应该具有的静态属性的数量：如果想要在区间s，t上进行静态套期保值） [0，1]，那么时间t信息必须已经存在于s+，这是因为我们的g通用性g是可行的）通常可以工作的，因此可以在两个过滤设置内为每个单一资产在不同的网格上建模交易。这使得我们的研究范围极为广泛。这符合[3]中的离散时间小金融市场设置。示例1.4（拥有大量半静态交易期权和不确定性掉期的大量资产）。假设贝叶斯不确定性的设置，如第1.1节所述，允许包括人工导数π（fj），forj∈ J在t=0时以F-可测量价格进行交易。

我们将FJ定义为依赖于不确定性参数θ的FJ，并将其称为不确定性掉期（即使它们在t=0时的价格不一定为0）。这些掉期代表与不确定性相关的风险，即。截至Θ的确定ar e的可能性有多大。我们可以考虑不确定的波动性，即参数θ代表市场中所有可能的进化配置，或价格行为中未充分反映的风险，如能源市场中的温度。示例1.5（价格不确定的资产）。二次过滤设置最简单、最具文本性的例子可能如下：假设在过滤概率空间上有一个标准价格过程(Ohm, G、 P），例如BlackScholes或Heston价格模型，并另外假设存在一个中心的（即对P的期望值为Vanishing）一致有界的G-适应过程Z，该过程完全独立于Y，其每次的值都独立于任何时候的分配值，正如建模微结构噪声时通常假设的那样。当然，Z不能有任何合理的路径属性。定义S：=Y+Z，则当在一段时间间隔内观察o时，价格看起来像Y，但转换可能会导致意外。我们的设置允许在极端但现实的情况下获得超级复制结果。2、大型柏拉图式金融市场我们考虑以下连续时间的大型柏拉图式金融市场模型。设I为任意参数空间，可为任意集，可数或不可数。Le t=1表示时间范围，让(Ohm, G、 P）成为过滤G=（Gt）t的可能性空间∈[0,1]。在这个概率空间上，我们给出了一类G-适应随机过程（Sit）t∈[0,1]，i∈ 一、 特别是不需要路径属性。

在这种情况下，P-almo st肯定是了解G是最大σ-代数的。我们确定，对于每个n≥ 1，I的子集的一个族ANO，它正好包含元素：（2.1）An={所有/一些子集a 一、 这样| A |=n}，其中| A |表示集合A的基数。此外，我们假设如果A，A∈序号≥1An，然后A∪ A.∈序号≥1An（重新装修物业）。我们考虑一系列过滤FA=（FAt）t∈[0,1]，索引为∈序号≥1An，均包含在过滤G=（Gt）t中（可能小于）∈上述两种过滤设置7中的[0,1]FTAP。另外，我们假设两个集合A，A∈序号≥1安，例如 A、 那个FA FA，即对于每个t，FAt 脂肪 Gt（单调性）。对于每个A∈序号≥1根据小型金融市场中确定时间点的简单策略，我们可以定义以下一组投资组合财富过程a，这些策略可以预测较小的过滤FA=（FAt）t∈[0,1]。Tobe precis e：定义2.1。让t，tl公司∈ [0，1]表示确定性时间点的集合，并考虑由a={α，…，αn}索引的小市场∈ 一D enote FA简单有界过程byHA=lXi=1HAti-1（ti-1，ti]与HAti-1=（Hαti-1.Hαnti-1)∈ FAti-1对于所有i∈ {1，…，l}。然后，从有界、FA简单交易策略中获得的简单投资组合财富过程集定义为asXA={（HA·SA）t∈[0,1]：HARn值，有界，FA simple}，其中SA=（Sα。

，Sαn）和（HA·SA）t=nXj=1lXi=1Hαjti-1.∧t（Sαjti∧t型- Sαjti-1.∧t） ，这意味着交易是以FA可预测的方式进行的。接下来，我们定义了所有投资组合财富流程的集合Xnof，涉及最多包含n项资产（但所有可能的n项资产的不同选择）的简单类别。实际上，对于每个n≥ 1，我们考虑以下集合Xn（2.2）Xn=[A∈AnXA。请注意，集合Xnar既不是凸的，也不满足[11]意义上的串联属性，因为在大多数情况下，组合中可能涉及2n个资产。因此，结果宁愿在更大的集合X2nthan inXn中。定义2.2。我们介绍了（F-simple）投资组合财富过程的凸集、其最终评估和所有超可复制债权的凸锥：（i）定义了在F-simple战略中定义的所有财富过程集，涉及大型金融市场中的有限数量资产，如X=Sn≥1Xn。（ii）我们用K={X:X表示∈ X}T=1时X元素的求值。（iii）我们用C表示大型金融市场中所有超可复制债权的凸锥（用F-简单范畴），即C=K- L+(Ohm, G、 P）。备注2.3。到目前为止，我们的设置不仅是完全通用的，而且非常真实，因为它可以完全捕获介绍中提到的所有预期功能，尤其是延迟交易和市场摩擦。注意，我们不需要为价格过程假设任何路径属性。请注意，上述设置包括以Marzia DeDonno、Paolo Guasoni和Maurizio Pratelli【7】的工作中所述的资产序列为基础的大型金融市场，以及债券市场（具有连续的资产），交易如定义2.1所述。有关光盘使用的更多详细信息，请参阅[6]。8 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichman3。

1无渐近Lp免费午餐和FTAPF≤ p<∞ 我们在续集Lp中表示(Ohm, G、 P）=Lp（G，P）。此外，对于某些集合E Lp（G，P）我们用E=Ek·kLp（G，P）表示E的Lp（G，P）-闭包。允许我们在Lp环境中工作的关键假设是：假设3.1，正如Stricker在其著作《单一过滤和小型市场的设置》中所做的那样。对于某些固定p，1≤ p<∞, 我们用ppp表示以下度量集pp={P′~ P |座∈ 所有i的Lp（G，P′）∈ 一、 t型∈ [0 , 1]}.我们假设Pp6= , i、 e.有一个等价的概率测度P′~ 坐下的Psuch∈ Lp（G，P′），对于所有i∈ 一、 t型∈ [0，1]。请注意，在可数资产的情况下，即当i可数时，假设3.1始终满足（对于每个p）。备注3.2。假设3.1可以稍微减弱。假设存在一些P′就足够了~ P使（Siu- Sit）-∈ Lp（G，P′），对于所有i∈ 一、 t型≤ u∈ [0，1]对于某些固定的1≤ p<∞ 当我们只考虑资产中的长期投资时。相应的结果会稍微弱一些，因为我们只能得到一个度量，使得可选的投影是上鞅（而不是假设3.1中的鞅）。我们参考第3.2节了解相应结果。我们现在可以定义无套利的概念，尤其是不应用随机积分，此时，随机积分还不能完全通用。定义3.3。我们认为，如果存在概率测度P′，大型金融市场满足无症状Lp免费午餐（NAFLp）的条件~ 假设3.1中的P如下所示：Cp（P′）∩ Lp+（G，P′）={0}，（3.1），其中Cp（P′）=C∩ 定义2.2（iii）中引入了Lp（G，P′）和C。从【10】中，我们知道，C在处理大量资产和大量交易时间时，在LW关闭。

因此，不属于inCp（P′）的元素inCp（P′）必然涉及到所有资产和/或许多交易时间。备注3.4。（i） 很明显，Cp（P′）6=, 因为策略是有界的。的确，K Lp（G，P′）及其预测值（P′）=K- Lp+（G，P′）。（ii）也可以考虑设定Cp：=C∩TP′型∈PpLp（G，P′）。自K起TP′型∈PpLp（G，P′），我们与上面的cp相似：=K-\\P′∈PpLp+（G，P′）。对于某些固定的P′，则认为Cp（P′）和cpa的Lp（G，P′）闭包是相同的。实际上，如果闭包中的g是Lp（P′）极限fgn=fn- Hn其中fn∈ Kand hn公司≥ 0我们始终可以选择hn∈L∞+（G）TeP公司∈PpLp+（G，eP）为L∞+（G） 是Lp+（G，P′）中的密度e，表示Lp（P′）范数。两个过滤设置9Furthmore e（3.1）中的FTAP等于PLP（G，P′）∩\\eP公司∈PpLp+（G，eP）={0}。（3.2）事实上，假设（3.2）成立，但（3.1）不成立。以上是g∈带G的CpLp（G，P′）≥ 0，g 6=0，这是gn=fn的Lp（P′）极限- hn公司∈TeP公司∈PpLp（G，eP）。那么，显然fgn=gn- （gn）- 1） 1I{gn≥1}∈TeP公司∈PpLp（G，eP），并在Lp（G，P′）中收敛到G∧ 1位于∩eP公司∈PpLp+（G，eP）\\{0}，由此产生矛盾。另一个方向是明确的。下面的例子说明，除了不确定的小金融市场的设置外，选择CP（P′）而不是（NAFLp）的定义是至关重要的。示例3.5。仔细阅读[14]中的示例3.3表明，不可能通过定义（NAFLp）来代替Cp（P′）。事实上，设p=1，并考虑一个单期市场，在时间t=1时，由[14]中示例3.3的随机变量fn给出可数个导数，在时间t=0时，价格为0。同样，我们可以创建一个两过滤设置，在这个大型金融市场中，对冲实际上是买入并持有，而过滤F是微不足道的。在此设置中，K包含fn的所有（有限）线性组合。

如[14]所示，我们可以证明gn=Pnk=1fk∈ 对于每个n和P′（gn），Kis以-1为界≥ （1）→ 1.因此▄gn=gn- （gn）- 1） 1I{gn≥1}→ 1在Lby主导的收敛。因此e1∈ C（P′）和（3.1）并不令人满意。然而，类似于[14]中的a s，我们可以证明K∩ L+（G，P′）={0}。备注3.6。我们强调，对于我们的投资组合财富过程，我们不假设任何可容许性，相反，我们假设关于与物理测度P等价的测度P′的Lp可积性。这允许设置[15]。然而，它并不具有各自的无套利条件依赖于P本身的缺点，而只依赖于P的等价nc e类，这是一个可取的特征，尤其是Freddy Delbaen和Walter Schachermayer在[8]中引入的经典NFLVR条件。此外，我们手边不需要一个精确的积分理论，在我们的一般环境中，与[15]的设定相比，这个理论还不可用。立即修复1<q≤ ∞ 对于假设3.1中给出的p，对偶到p，即p+q=1。对于I的所有有限子tsA，我们定义了一组Lq概率度量，其中过程（SAt）相对于过滤Fa的可选投影是鞅，如下所示：Mq={Q~ P | P′∈ Pps。t、 dQdP′∈ Lq（G，P′）和EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0, 1 ]}.此外，对于q=1，我们定义了等效概率测度的一组无逻辑集合，而不具有氡Nikodymdensity的qth矩的额外性质，即M={q~ P | EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α。

，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}10 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichmanlet us指出，第2组中过滤减弱的唯一实例实际上是明确发生在上述对1的双重对象MQ1的定义中≤ q≤ ∞.备注3.7。很明显，不凸。对于1<q≤ ∞, 集合mq也是凸的。事实上，为了这个目的，我们考虑以下稍微更一般的说法：对于所有的气<< P带DQIDPI∈ Lq（G，Pi）表示度量Pi~ P，我∈ {1，2}，凸组合Qs：=sQ+（1- s） QsatisfydQsdeP∈ 0的Lq（G，eP）≤ s≤ 1，其中EP=（P+P）。假设1<q<∞, 因为q=∞. Indeedwe haveEeP公司dQideP公司q≤ 第2季度-1EePdQideP公司qdePdPi公司q-1.= 第2季度-1EPidQidPiq< ∞对于i=0，1，自2dePdPi起≥ 1.接下来是三角形不等式。备注3.8。a-bove凸性断言与局部凸向量空间形成为空间Lp（G，P′）的交集有关，其中P′~ P runsover一组受附加约束的概率测度（例如，在我们的例子中，概率测度P′，使得所有价格过程都是P-可积的），具有asa（强）对偶空间，即Lq（g，P′）相对于相同测度族P′的并集。相应的拓扑是射影和内射局部凸拓扑，即初始和最终拓扑使所有c规范映射连续。让我们在X=∩P′∈PpLp（P′）：请注意，PpLp是一个继承其（反射、传递和反对称）关系的有向集。”≤” 从空间Lp（G，P′）的逆包含出发。的确，P′≤^P，如果Lp（G，^P） Lp（G，P′）。对于P′≤^P，考虑Lp中的夹杂物（G，^P）→Lp（G，P′）。那么，X是关于这些映射的射影极限。

X的拓扑现在是X上最粗糙的拓扑，这使得包含ma psx到Lp（G，P′）连续。因此，半径约为0的Lp（G，P′）球与X的交点构成该拓扑的邻域基。Henceany线性泛函l 关于这个拓扑，可以用Pp中的^P扩展一些Lp（G，^P），仅仅是因为开邻域l-1(] - 0的1，1[）包含了L（G，P′）球与X的一些相互作用，l 可以代表l : 十、→ R、 f 7级→Zfgd^Pfor some g∈ Lp（G，^P）。结合这一事实，对于某些^P，所有这种形式的线性泛函∈ P和一些g∈ Lq（G，^P）是对偶的元素，yields断言X的强对偶实际上是[P′∈PLq（G，P′）。强对偶上的强拓扑y只意味着在某些Lq（G，P′）中总是存在收敛。在这种情况下，也可以使用局部凸向量空间≥1\\P′∈PpLp（G，P′）及其自然射影极限拓扑。相应的“无套利”条件是将定义3.3中的固定p替换为“存在一些p”，相应的鞅测度集将为∪q> 1Mq。FTAP在两次过滤设置中11我们现在收集了所有成分，以在当前两次过滤的背景下制定资产定价的基本定理。定理3.9。假设假设假设3.1适用于某些固定1≤ p<∞. 当且仅当Mq6= 式中，q满意度+q=1。证据首先假设（NAFLp）成立。这意味着存在so meP′~ 使（3.1）保持不变。注意，这意味着M=Cp（P′）时附录A.1中的条件（ii）。这又等价于定理A.1中的条件（iii），从而产生一些Z∈ Lq（G，P′）s uch thatZ>0 a.s.和supf∈Cp（P′）EP′[Zf]<∞. 由于Cp（P′）是一个凸锥，这意味着supf∈Cp（P′）EP′[Zf]≤ 0