连续时间大资产定价的一个基本定理

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英文标题：
《A fundamental theorem of asset pricing for continuous time large
  financial markets in a two filtration setting》
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作者：
Christa Cuchiero, Irene Klein and Josef Teichmann
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We present a version of the fundamental theorem of asset pricing (FTAP) for continuous time large financial markets with two filtrations in an $L^p$-setting for $ 1 \\leq p < \\infty$. This extends the results of Yuri Kabanov and Christophe Stricker \\cite{KS:06} to continuous time and to a large financial market setting, however, still preserving the simplicity of the discrete time setting. On the other hand it generalizes Stricker\'s $L^p$-version of FTAP \\cite{S:90} towards a setting with two filtrations. We do neither assume that price processes are semi-martigales, (and it does not follow due to trading with respect to the \\emph{smaller} filtration) nor that price processes have any path properties, neither any other particular property of the two filtrations in question, nor admissibility of portfolio wealth processes, but we rather go for a completely general (and realistic) result, where trading strategies are just predictable with respect to a smaller filtration than the one generated by the price processes. Applications range from modeling trading with delayed information, trading on different time grids, dealing with inaccurate price information, and randomization approaches to uncertainty.
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中文摘要：
我们提出了连续时间大型金融市场的资产定价基本定理（FTAP）的一个版本，该市场在1美元/平方米/平方米/平方米的情况下有两个过滤。这将尤里·卡巴诺夫（YuriKabanov）和克里斯托夫·斯特里克（ChristopheStricker）的结果扩展到连续时间和大型金融市场环境，但仍然保持了离散时间环境的简单性。另一方面，它将Stricker的FTAP{s:90}的$L^p$版本推广到具有两个过滤的设置。我们既不假设价格过程是半马尔蒂加莱过程（由于交易涉及到较小的过滤），也不假设价格过程具有任何路径属性，既不具有所讨论的两个过滤的任何其他特定属性，也不具有投资组合财富过程的可采性，但我们更倾向于获得一个完全一般（和现实）的结果，在这种情况下，交易策略的可预测性仅限于比价格过程产生的过滤更小的过滤。应用范围包括用延迟信息建模交易、在不同时间网格上交易、处理不准确的价格信息以及随机方法处理不确定性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> A_fundamental_theorem_of_asset_pricing_for_continuous_time_large_financial_marke.pdf (271.76 KB)

2022-5-31 19:13:29 上传

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关键词：连续时间 资产定价 Applications Mathematical Differential

连续时间大型金融市场资产定价的基本定理。我们提出了连续时间大型金融市场的资产定价基本定理（FTAP）的一个版本，其中anLp设置为1≤ p<∞. 这将尤里·卡巴诺夫（YuriKabanov）和克里斯托夫·斯特里克（ChristopheStricker）[10]的结果推广到了连续时间和大型金融市场环境，但仍然保持了离散时间环境的简单性。另一方面，它将Stricker的Lp版本的FTAP【15】推广到SA设置，包括两种过滤。我们既不认为价格过程是半马尔蒂格尔过程（并且由于交易涉及较小的过滤），也不认为价格过程具有任何路径属性，无论是所讨论的两种过滤的任何其他特定属性，还是投资组合财富过程的可采性，但我们更倾向于获得一个完全一般（真实）的结果，在这种情况下，交易策略的可预测性比价格过程产生的过滤性要小。应用范围包括用延迟信息建模交易、在不同时间网格上交易、处理不准确的价格信息，以及不确定性的随机化方法。1、引言在金融市场建模中，一个经常被一致接受的假设如下：标准假设。对价格的观察是完美的，可以立即纳入交易决策。本文的目的是考虑一种超越这一假设的情况：想象一个在连续时间内给出流动价格的证券交易所，它的信息内容被编码在一个大的过滤中，其价格过程是由适应这种过滤的随机过程引导的模式。

然而，就像柏拉图著名的《洞穴探险家》（the cave）一样，价格s并没有完全向美国市场观察家透露，但美国读者只能看到其中的一个影子，即对s的不安观察。然而，鉴于我们的观察基础，我们必须在市场上进行交易。我们称之为柏拉图式证券交易所。我们认为，柏拉图式证券交易所有助于将连续时间模型的理想假设和实际观测现实编码为过滤和交易组合模型。有几个例子可以直接应用Platonic stock exchange：2000数学科目分类。60G48、91B70、91G99。关键词和短语。资产定价基本定理、大型金融市场、融资收缩、贝叶斯金融、稳健金融。作者衷心感谢ETH基金会的支持。

本文的部分内容是在第一作者访问ETH Z¨urich时撰写的；她很感激福申森数学研究所（Forschungsinstitutef–ur Mathematik）。2 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichman：价格呈离散型，可能具有一定程度的可靠性，因此观测过滤小于pric e过程的理想连续时间模型过滤：价格还可能伴随着摩擦（交易成本或流动性），实际交易价格和观察到的价格（交易决策依据）不一定一致：随机投资组合理论的背景，其中相对资本化（与市场资本化相关的价格被视为num'eraire）在不同的数量级上引用，具有不同的精度和不同的摩擦程度。在这里，实际交易价格和观察价格并不一定一致为基础资产和衍生产品联合编写的市场模型，反映了不同时间网格上的经济价格，例如，衍生产品可能每天进行交易，而基础资产通常在更高的网格上进行交易。引入实际观察价格和交易价格之间的差异非常有用：接收市场信息（或应用市场信息）的时间延迟，这导致交易员的过滤只是与价格过滤比n相比的延迟。例如，在所有主要市场中都会出现不同的标的物交易时间尺度，这些标的物在高频率的基础上进行再交易订单执行延迟的市场：量化校准误差的影响，校准误差在市场数据上表现为加性误差变量。例如，在期限结构模型中，市场价格仅大致满足，这是（简单）内部或外推程序的结果。。。

当然，模型不确定性的设置与现实的市场信息相结合，如续集所述。从形式上讲，柏拉图式的金融市场是由随机基础给出的(Ohm, G、 P）连同两次过滤F G和一系列适应G的随机过程S（对路径性质没有任何假设）。在给定的集合中进行交易是可能的，但只能使用F-可预测的简单策略（以及S-uchstrategies的限制，稍后将对其进行精确化）。较小的过滤F对应于实际进入交易决策的代理信息，而较大的过滤G则对价格过程中的所有信息进行编码，这些信息不一定能即时用于交易决策。我们在第2节中介绍的精确设置在涉及的过滤方面更为一般，但为了简单起见，我们在此不详细介绍。我们强调（并在续集中更准确地概述这一点）这种框架也是一种纳入模型不确定性的方法，因为缺乏观察实际上会导致模型选择本身的不确定性。在任何情况下，度量值P都不一定具有历史度量的意义：另一种自然解释是一类模型的客观先验随机化，其中一类模型无法通过实际观测加以区分。作为一种创新，我们既不认为价格过程是半鞅（也没有理由这样做，因为交易只使用可预测的策略来响应s较小的过滤F），也不通过过滤“真实价格”来构成标准过滤问题。

我们认为价格过程的非半鞅性（以及路径性质的缺失）是一个特殊的挑战，也是我们方法的一个优势，例如，从解释众所周知的经济证据的角度来看，例如在高频数据中遇到的证据。本文的主要目标是研究数学金融的所有基本问题，即基本定理、超边缘和对偶。我们的主要结果表明，在两次过滤设置中，大型金融市场的某种“无套利”条件（见定义3.3），即我们所有人（NAFLp），相当于存在一个等价的度量，在此条件下，价格过程S在较小过滤F上的可选预测是鞅（见orem 3.9和推论3.10）。我们的“无套利”条件涉及终端投资组合值的Lp可积性和Lp收敛性，对于1≤ p<∞, 结果表明，在一次过滤和有界价格过程的情况下，与经典（NFLVR）条件等价。这一概念之所以出现，是因为拓扑结构实际上相当强大，经济合理，不需要进一步的可接受性假设。据我们所知，这是连续时间内资产定价（FTAP）的第一个基本定理，当考虑仅就较小的过滤进行交易时。因此，它将Y.Kabanov和C.Stricker的结果扩展到了连续时间和大型金融市场环境。另一方面，它将Stricker的Lp版FTAP【15】推广到具有两种过滤的设置。此LP设置允许将离散时间数学财务的简单性转换为连续时间，即对路径没有假设，对可接受性没有假设。

我们的设置还允许克服Stricker设置的缺点，即无套利条件取决于度量值，而不仅仅取决于其等效类别，然而，有不同的方法可以做到这一点：因此，我们提供了几种竞争（和等效）版本的“无套利”条件。然后，获得的两次过滤FTAP构成了超边际结果的基础，在此情况下，交易再次只允许针对较小的过滤比率n。如例1.1所示，我们的设置自然嵌入了半静态对冲。结合下文所述的贝叶斯不确定性建模，这些超边缘结果为稳健金融领域的相应结果提供了新的解释（参见Bruno Bouchard和Marcel Nutz的工作【3】）。本文的其余部分组织如下。以下第1.1小节介绍了贝叶斯不确定性建模的概念，而第1小节介绍了贝叶斯不确定性建模的概念。2通过举例说明我们方法的相关性。在第2节中，我们介绍了柏拉图式大型金融市场的正式设置，而第3节和第4节则致力于“无套利”定义、FTAP和超额收益。1.1。贝叶斯不确定性建模。上述两种过滤设置是建立不确定性建模动态框架的第一步，在该框架中，可以分析新信息的区域时间包含，从而减少（或增加）模型不确定性。我们从Bayesian的角度理解不确定性，也就是说，我们对不同的度量进行了细化。

我们将其称为贝叶斯不确定性建模（Bayesianuncertainty modeling）和全过程贝叶斯金融，因为OptionalProjects将在贝叶斯过滤等方面发挥关键作用。让我们概述一下贝叶斯不确定性建模的含义，以及它与两个过滤框架的自然联系：这里假设一些路径空间D与其规范过滤F和一系列（规范的）价格过程相结合，以适应F。此外，我们还给出了参数θ的一类概率测度s Pθ∈ Θ。我们假设一个先验给定的概率测度νonΘ（当然，我们也可以在这一点上引入一些依赖于时间的e onΘ，但为了简单起见，我们将其去掉）。从形式上讲，我们的两种过滤设置可以通过以下方式引入：首先，在D×Θ（完整信息）上，约瑟夫·泰奇曼感谢迪玛·克拉姆科夫在上午的跑步中就这一观点进行了多次讨论。4 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichman过滤G：=eF B（Θ），概率测度p（A×B）=ZBPθ（A）ν（dθ）。当然，pric e过程也可以在D×Θ上定义，即简单地通过St（ω，θ）=ω（t）。在完美信息的情况下，就交易而言，我们再次发现自己处于经典设置中，因为交易者可以使用S生成的信息。我们现在对市场数据的本质进行编码，即交易和校准的基础，通常在离散的、不一定等距的、可能不可预测的时间网格上进行具有额外的不可靠性；o考虑可接受的校准精度（即。

流动性价格应进行完美校准，流动性越低的价格越不完美，等等）；通过指定较小的过滤英尺 σ（Ss）0≤s≤t型eFt公司 B（Θ），用于t≥ 0，在产品概率s速度上，对应于实际观测值的信息通常严格小于s生成的过滤值。即使数据完全可靠，观测值的圆盘网特征也会导致过滤收缩。如果数据不完全可靠（由于市场摩擦或简单的观测问题或延迟），则较小的滤波与实际观测相对应，而较大的滤波则考虑了模型的不确定性以及一些无ise干扰，例如市场数据的附加性。现在，我们发现自己处于一个全面的双刃过滤环境中（实际上是一个三过滤环境：关于价格过程S和θ的全面信息，只有关于S的全面信息和关于S的实际观察信息），其中交易策略是可预测的，相对于实际（理想化）价格过程产生的过滤F而言，F更小，在最大过滤G中编码了对价格过程和扰动噪声的充分了解。因此，我们可以在这种情况下分析市场观察如何一方面减少不确定性，即更新ν，另一方面分析市场观察如何用于交易。这种贝叶斯不确定性设置可以简化为一种混合模型设置，与上述设置相比，我们的工作不是在乘积空间D×Θbuton D上，而是在elf上，并考虑了形式P（a）=ZΘPθ（a）ν（Dθ）的可能性度量。虽然这一设置允许回答融资中出现的许多问题（例如示例1.1），但它可以不包括以参数θ为终点的衍生工具（参见示例1.4）。

请注意，不仅是该设置的名称，而且整个建模都符合Damiano Brigo和Fabio Mercurio[4]所考虑的混合模型的精神。这种贝叶斯不确定性方法将对Θ的主观信念编码为概率，这绝不是物理度量的风险意义上的概率。然而，在金融领域，我们无论如何都习惯于亲婴儿，这并不一定具有统计风险的含义，即风险中性概率。在这里，我们添加了概率实际含义的第三个维度，即对模型有效性的主观信念。当然，我们并不是第一个在金融领域引入贝叶斯观点的人，参见Per Mykland的开创性论文[12]或关于dynamicrisk度量的大型文献（例如Beatrice Acciaio和Irina Penner的工作[1]及其引用），其中更新和时间一致性起着重要作用。在这方面，我们特别提到[5、13、2]。然而，据我们所知，我们是两个过滤设置中的FTAP，第一个将贝叶斯方法与FTAP和双重概念相结合的过滤设置。换言之，长期目标是两项开创性工作的结合。1.2。例子。以下示例说明了我们的二次过滤设置的普遍适用性及其与贝叶斯不确定性模型相结合的优势。示例1.1（具有大量半静态交易期权的有限多个资产）。我们支持众多的流动贸易数据集，即我们考虑一定数量的适应流程。S适应于过滤F，以及（大）系列期权价格过程π（fj），在时间t=1时支付fj，对于j∈ J与J的某些索引集。