连续时间大资产定价的一个基本定理

现在用dqdp′=ZEP′[Z]定义Q。我们有等式[f]≤ 0表示所有f∈Cp（P′）。特别是，±1IB（Sαiu- Sαit）∈ Cp（P′）堡≤ u∈ [0，1]和A={α，…，αl}∈序号≥1 AN，1≤ 我≤ l和B∈ 脂肪因此，我们得到等式[1IB（Sαiu- Sαit）]=0，i=1，l和so（3.3）EQ[SAu | FAt]=EQ[SAt | FAt]几乎可以肯定。这显示了定理的第一个方向。关于另一个方向，让Q∈ Mq。根据Mqthere的定义，一些P′是性别歧视者∈ Ppsuch thatdQdP′∈ Lq（G，P′）。假设（3.1）对这个P′和对偶P没有作用，那么存在f 6=0，f∈Cp（P′）∩ Lp+（G，P′）。定义f=limn→∞fn其中极限为Lp（G，P′），fn=Xn- hn带hn∈ Lp+（G，P′）和Xn∈ K、 显然，公式[Xn]=0，因此公式[fn]≤ 对于所有n，fnto f在Lp（G，P′）中的收敛性意味着fnto f收敛于f inL（G，Q），因此方程[f]≤ 这与f相矛盾≥ 0和f 6=0。上述基本定理也可以用以下方式重新表述，表明在一次过滤设置中，当前无套利条件相当于[8]中小型金融市场的NFLVR条件，以及[6]中大型金融市场的NAFLVR条件，当ll Si存在一个不等价的martinga le测度时（例如，如果所有Siare都有界，则为这种情况）。特别注意，上述结果仅取决于P的等效类，而不取决于P本身。推论3.10。条件（NAFLp）适用于约1≤ p<∞ 如果且仅如果M6= .备注3.11。如果M6= 然后总是存在一些q>1，使得Mq6=.实际上，取任意Q∈ 设P′=Q，然后Q∈ M∞asdQdP′=1和allSi∈ L（G，Q）。证据如果（NAFLp）成立，则根据定理3.9，Mq6=. 而且，很明显Mq M、 注释3.11后面是反向，因为（NAFL1）适用于Q∈ M3.1。（NAFLp）的等效配方。

根据备注3.8的精神，可以通过考虑∩P′∈PpLp（G，P′）。对于集合E∈ ∩P′∈PpLp（G，P′）表示关于该拓扑的闭包∩.推论3.12。以下条件是等效的。（NAFLp）<=>\\P′∈PpCp（P′）∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}<=>\\P′∈PpCp（P′）∩∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}。（3.4）12 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichmanremark 3.13。注意tp′∈PpCp（P′）∩=Cp公司∩其中，在Remark3.4（ii）中引入了Cp。证据事实上，影响（NAFLp）=>\\P′∈PpCp（P′）∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}=>\\P′∈PpCp（P′）∩∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}保持sinceCp（P′）\\P′∈PpCp（P′）\\P′∈PpCp（P′）∩.因为我们可以用∩P′∈（NAFLp）定义中的PpLp+（G，P′）（见备注3.4（ii））。为了证明最后一个条件隐含（NAFLp），我们应用Hahn-Banach定理，在这个局部凸的情况下构造一个元素Q∈ Mq，即一个规范化的、分离的连续线性泛函，它通过穷举参数将P（a）>0的可测集a的特征函数1a映射为正数（与[16，15]中定理a.1的证明相比）。请注意，此处使用的相关事实是∪P′∈PpLq（G，P′）是∩P′∈PpLp（G，P′）如备注3.8所示。度量的存在性∈ mq通过定理3.9表示（NAFLp）成立。双极theo-rem现在允许显示以下集合的相等\\P′∈PpCp（P′）∩=\\P′∈（NAFLp）下的PpCp（P′），得到了一个很好的∩P′∈投影局部凸拓扑中的PpCp（P′）。为此，让我们介绍凸锥E的极锥∈ ∩P′∈PpLp（G，P′）用E表示o:Eo=g级∈[P′”∈PpLq（G，P′）：E【fg】≤ 0，对于所有f∈ E.定理3.14。在（NAFLp）（或（3.4）中的一个等效条件）下，我认为∈PpCp（P′）∩=\\P′∈PpCp（P′）。证据

让我们首先展示一下\\P′∈PpCp（P′）∩|{z}：=Vo=\\P′∈PpCp（P′）{z}：=Wo=[λ≥0λMq∪,其中MQ∪表示关于内射局部凸拓扑的闭包∪P′∈PpLq（G，P′）。首先假设对于某些Q，Z=dQdP′∈Mq公司∪和P′∈ Pp.让f∈ 五、 W。然后是f∈Cp（P′）和等式[f]≤ 0.此显示λ≥0λMq∪五、o, Wo.现在假设Z∈ 五、o, Wo. 像- ∩P′∈PpLp+（G，P′） 五、 这立即意味着Z≥ 0 a.s.假设P（Z>0）>0和def-nea概率测度Q的非平凡情况<< P′对于某些P′∈ PpviadQdP′=ZEP′[Z]。因此我们得到eq[f]≤ 0表示所有f∈ 五、 W。因为所有人都在∩P′∈PpLp（G，P′）我们知道了，福特≤ u、 ±1IB（Siu- Sit）∈ 五、 在适当的配合下，W代表B，所有i∈ 一、 这显示了双过滤设置13Q中的SFTAP∈ Mqand证明了上述说法。通过在这个局部凸的情况下应用双极性定理，我们得到了oo= 五、 Woo=W∩.当北极星Vo= Wo它允许V=W∩. 但是自从W V=W∩它允许W=W∩= 五、备注3.15。利用拓扑上更复杂的Lp和Lq空间的相交和并集设置，我们发现（NAFLp）可以通过P′定义∈PpCp（P′）∩\\P′∈PpLp+（G，P′）={0}。在有界价格过程的情况下，这已经处于类似于（NFLVR）的“无套利”条件的水平（在一个有很多资产的单一过滤设置中），但是没有（明确的）可接受性，这是一个假设，但由于我们简单的有界交易策略，这是隐含的。3.2。只有长期投资组合和FTAP没有渐近Lpfree午餐。我们现在将使备注3.2的设置精确，并以类似的方式进行。事实上，在本小节中，我们将假设以下内容。假设3.16。我们假设有一个等价的概率测度p′~ P使（Siu- Sit）-∈ Lp（G，P′），对于所有i∈ 一、 t型≤ u∈ [0，1]对于某些固定的1≤ p<∞.

我们表示所有测度的集合P′~ P满足Plongp的这一性质。让我们定义所有等效Lq度量的集合，例如每个Siare supermarting ales的可选投影：Sq={Q~ P |P′∈ 扑通一声。t、 dQdP′∈ Lq（G，P′）和EQ【Sαiu | FAt】≤ 公式[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}在定义财富过程XAas的定义2.1中，对于所有setsA，我们现在使用了Hαjti-1.≥ 这意味着我们只允许在所有资产中持有多头头寸。K、Cp（P′）、Cp（P′）和（NAFLp）的相应定义与定义2.2和定义3.3类似。注意，根据假设3.16，很明显Cp（P′）6=. 的确，对于f∈ Kde定义有界非负F-简单被积函数，例如，F∧ 1=f- （f）- 1）1I{f>1}∈ Cp（P′），as，通过被积函数的有界性和假设3.16，我们得到（f∧1)-∈ Lp（G，P′）和定义f∧ 1.≤ 1、定理3.17。假设假设假设3.16适用于某些固定的1≤ p<∞.当且仅当Sq6= 其中qsatis fiesp+q=1。证据假设（NAFLp）成立。我们完全按照定理3.9的步骤进行。但在这个方向的最后一步，我们只得到1IB（Sαiu- Sαit）-∈14 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF TEICHMANNLp（G，P′），这立即意味着（1IB（Sαiu- Sαit））∧ n=1IB（Sαiu- Sαit）- （1IB（Sαiu- Sαit）- n） 1I{1IB（Sαiu-Sαit）>n}∈ Cp（P′），适用于所有n≥ 因此，公式[（1IB（Sαiu- Sαit））∧ n]≤ 0，对于所有n≥ 通过Fatou引理，我们得到等式[1IB（sαiu- Sαit）]≤ 0表示定理的第一个方向。关于另一种情况，让Q∈ Sq.根据Sq的定义，因此存在一些P′∈ Plongpsuch thatdQdP\'∈ Lq（G，P′）。现在假设（3.1）（对于非负策略）不适用于这个P′和对偶P。

在orem 3.9的证明中，由于策略的非负性、被积函数的有界性和as Q∈ 我们得到EQ[Xk]≤ 其余部分与定理3.9的证明类似。4、超级复制结果本节专门用于在prese ntLp设置中显示超级复制结果。在本节中，我们假设≤ p<∞,（3.1）对原始测量P有效，我们说（NAFLp）对P有效，对Cp（P）有效。这特别意味着P∈ 让我们还介绍以下度量集Mq=Mq（P）={Q~ P | dQdP∈ Lq（G，P）和EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}，这在我们的超级复制结果中起着关键作用。请注意，Mq=SP′∈PpMq（P′），定理3.9的证明包含以下断言。推论4.1。当且仅当Mq6=.此后，我们确定了措施Q∈ mq及其密度dqdpso，我们可以将mq视为Lq（G，P）的子集。回想一下，mq是Mqin Lq（G，P）的闭包。备注4.2。Mqin Lqjust的闭包由相应的绝对连续度量组成，即Mq={Q<< P、 dQdP∈ Lq（G，P）：EQ[Sαiu | FAt]=EQ[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α，…，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0，1]}（4.1）实际上，取任意Q∈mq和Q′∈ Mq。那么Qn=（1- 2.-nq）Q+2-nqQ′号∈ mq相对于Lq（G，P）-范数收敛到Q。与第3.1节类似，用E表示o凸锥E的极锥Lp（G，P），即o= {g∈ Lq（G，P）：E【fg】≤ 0，对于所有f∈ E} 。与定理3.14的证明类似，我们可以显示以下对偶结果。引理4.3。对于极锥，以下等式成立（Cp）o= （Cp）o=[λ≥0λMq。双过滤设置中的FTAP 15引理证明4.3。对于某些Q，首先假设t Z=dqdpf∈Mq。

让f∈ Cp.So f=limn→∞fnin Lp（G，P）和fn∈ Cp.因此等式[fn]≤ 所有n为0，Zfn的L（G，P）-极限为0，因此等式[f]≤ 0.此显示λ≥0λMq （Cp）o. 和c learly（Cp）o （Cp）o.现在假设Z∈ （Cp）o. 像-Lp+（G，P） CPZ这立即意味着≥ 0 a.s.评估P（Z>0）>0的非平凡情况，并确定婴儿期测量值Q<< P viadQdP=ZEP[Z]。因此我们得到等式[f]≤ 0表示所有f∈ Cp和in theLp（G，P）-closureCp。作为Lp（G，P）中的所有Sitare作为P∈ PPT我们有，对于t≤ u、 ±1IB（Siu- Sit）∈ CPB在适当的条件下所有i∈ 一、 这表明Q∈Mq。这就完成了证明。我们现在可以证明以下超级复制结果。定理4.4。让f∈ Lp（G，P）。然后是SUPQ∈MqEQ[f]=infx个∈ R | g级∈cpx+g≥ f定理4.4的证明。根据引理4.3，很明显sup≤ inf.现在让x=supQ∈MqEQ[f]，并假设x<inf{x∈ R | g级∈cpx+g≥ f. 然后- x个/∈Cp.因此存在Z∈ Lq（G，P），使supg∈CpE【Zg】≤ 0和[Z（f- x） ]>0。这意味着Z∈ （Cp）oZ 6=0，因此我们可以定义测量值Q∈ MqbydQdP=ZEP[Z]。我们得到x<等式[f]≤ supR公司∈MqER【f】。这意味着inf≤ 辅助。备注4.5。如定理3.14中的证明过程所示\\P′~PpCp（P′）∩o=\\P′~PpCp（P′）o=[λ≥0λMq∪这是真的。回忆一下这里∩和E∪用射影对应内射局部凸拓扑表示集e的闭集∩P′∈分别为PpLp（G，P′）∪P′∈PpLq（G，P′）。这导致了另一个略有不同的超级复制结果，即f∈ ∩P′∈PpLp（G，P′），我们有supq∈MqEQ[f]=infx个∈ R | g级∈\\P′∈带x+g的PpCp（P′）≥ f在第3.2小节的设置中，在较弱的假设3.16下，我们得到了Sq中仅长期策略和度量的分析超级计算结果，定义如下：Sq={Q~ P | dQdP∈ Lq（G，P）和EQ【Sαiu | FAt】≤ 公式[Sαit | FAt]a.S.，对于所有a={α。

，αl}∈[n≥1 AN，1≤ 我≤ l和所有t≤ u∈ [0, 1 ]}.定理4.6。让f∈ Lp（G，P）。然后是SUPQ∈SqEQ【f】=infx个∈ R | g级∈Cpfor long only策略，如x+g≥ f.16 CHRISTA CUCHIERO、IRENE KLEIN和J O SEF Teichmanproof。对于Theo rem 4.6的proo f，我们必须通过替换MqbySq来调整引理4.3。在证明中，我们通过被积函数的有界性和as Q得到∈ SqthatEQ[fn]≤ 0表示fn=Xn- HN带fn∈ Lp（G，P），Xn∈ Kand hn公司∈ L+（G，P）。其余部分相同。下一个定理表示可复制claimsminus消费的PAS L极限元素，并进一步阐明了CP∩ -Cp公司 吉隆坡∩ Lp（G，P）以及套利价格的适当区间是开放的。这里我们用K的L-闭包来表示。当然，这些考虑几乎是经典的，它们的证明与经典的证明没有太大区别。备注4.7。（i） 请注意，CP∩ -Cp公司 K、 其中Kis为K.（ii）集Cp的Lp闭包∩-Cpis的双重特征是元素g的集合，使得对于所有Q，eq[g]=0∈Mqby双极性定理。对于（ii），请注意，如果g是inCp∩ -Cp.然后，对于所有Q，明确等式[g]=0∈ Mq。另一方面，假设所有Q的EQ[g]=0∈Mq。然后g和-g在Sλ≥0λMqo=Cp，其中最后一个等式由双极定理成立。定理4.8。假设（NAFLp）适用于P。（i） 每克∈Cp可表示为Lp极限g=limn→∞fn公司- hn）=f- h、 其中f和h为单位值随机变量，f=limn→∞fn仅作为序列fn概率的极限出现∈ K、 和limn→∞hn=h≥ 0再次成为定值非负随机变量hn概率的极限。（ii）让▄g∈ Lp（G，P）。那么▄g是可复制的（可实现的），即▄g- x个∈Cp公司∩ -Cp=\\Q∈MqKL（Q）∩ Lp（G，P）吉隆坡∩ 某些x的Lp（G，P）∈ R、 或者至少有两个度量Q，Q′∈ Mqsuchthat EQ【】g】6=EQ‘【】g】。

在第二种情况下，超级复制价格x=supQ∈MqEQ[g]不是通过任何等效度量Q获得的∈ Mq。证据对于第一个断言，取g=limn→∞（gn）-kn），Lp限值，其中gn∈ Kand千牛∈ Lp+（G，P）。根据Komlos定理，我们可以选择元素kn，kn+1。这样hn→ 概率h，其中h≥ 0是一个非必需的定值随机变量。采用具有相同权重的前向凸组合o gn，gn+1。并用fn表示。然后再次fn- hn公司→ g在Lp中。现在取任意Q∈ Mq。那么EQ[fn]=0和byLp（G，P）-收敛，我们有limn→∞均衡器[-hn]=等式[g]>-∞. 作者：Fatou\'sLemma0≤ 等式【h】≤ 画→∞等式【hn】<∞,其中h是有限值以及极限极限→∞fn=f，这仅在L中理解。对于第二个断言，取▄g∈ Lp（G，P）和x∈ R使得g=~g- x个∈Cp公司∩ -Cp.根据备注4.7，对于所有Q，等式【g】=0∈ Mq。与前一步一样，绕过前向凸组合，我们发现两个序列s fn∈ Kand hn公司≥ 0，每个收敛于Lto单位值随机变量，因此fn- hn公司→ gin Lpas n→ ∞. 取任意Q∈ Mq，然后是0≤ 画→∞等式【hn】=-公式[g]=0，在Lp中收敛。因此，实际上h=0。因此g∈吉隆坡∩Lp（G，P）。MoreoverFTAP在两个过滤设置17中，我们有hn→ L（G，Q）中的0和henceEQ[| fn- g |]≤ 等式[| fn- hn公司- g |]+等式[hn]→ 0，表示n→ ∞ 作为fn- hn公司→ Lp（g，P）和hn中的g→ 0英寸L（G，Q）。所以我们有，实际上，g∈TQ公司∈MqKL（Q）。当只有一个元素Q时，此参数也成立∈ mq使得eq[~g]=x，这是最后一个必须开放适当定价区间的断言，而这反过来只出现在不可实现的情况下。最后观察g∈TQ公司∈MqKL（Q）∩对于anyQ，我们有等式【g】=0∈mq，因此g在Cp中∩ -显示两个集合相等的Cp。备注4.9。

请注意，在我们的设置中，一个可复制的声明是由K元素的L-limitsof复制的，而不一定是由其Lp限制复制的。这种微妙之处无法消除。下面的示例显示C∩ -C（KL∩ L（G，P）：示例4.10。考虑一个具有可数个衍生品fj的单周期市场≥-时间T=1时为1，j≥ 0，时间t=0时价格为0。为简单起见，假设历史测量值已经满足以下两个条件：oe【fj】=0表示j≥ 0.o序列Fjconverge to-1几乎可以肯定的是，关于P，因此——当然——趋同不在L。在这种情况下，我们可以创建一个两过滤设置，在这个大型金融市场中，对冲实际上是买入和卖出，过滤是重要的。在此设置中，K包含fj的所有（有限）线性组合，其closurein仅包含具有消失期望的元素，然而，即使与Lclosure相交，其Lclosure也包含常数函数-1和1（后者采用-fj公司∈ K） 。然而{-1, 1} /∈C∩ -C、 whenceC公司∩ -C（KL∩ 五十、 附录A.技术结果如下定理，可追溯到贾安燕[16]关于p=1的定理和托让·帕斯卡·安塞尔关于案例1的定理≤ p<∞ 摘自【15】：定理A.1。设E是Lp（G，P）的凸子集，0∈ E、 那么以下三个条件是等价的：（i）对于每个η∈ Lp+（G，P），η6=0，存在一些c>0，使得cη/∈E- Lp+（G，P）。（ii）对于每个A∈ G使得P[A]>0，存在一些c>0使得c1a/∈ E- Lp+（G，P）。（iii）存在随机变量Z∈ Lq（G，P），使得Z>0 a.s.和supy∈EE【ZY】<∞.参考文献【1】B.Acciaio和I.Penner。动态风险度量。《金融高级数学方法》第1-34页。施普林格，海德堡，2011年。[2] N.B–auerle和A.Mundt。将模型模糊性纳入dynamicrisk度量的贝叶斯方法。统计学家。《决定》，26（3）：219–242，2008年。[3] B。

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