最小R\enyi熵投资组合

α的上诉∈ [0，1]在portfolioselection上下文中，上一节讨论了减少α值如何使人们获得一个熵的度量，该度量受尾部事件的影响越来越大。在本节中，我们更具体地表明，投资者应该倾向于设定α∈ [0，1]，在这种情况下，Hexpα提供了方差的外观范围作为风险标准。首先，对于α∈ [0，1]，Hexpα与扩散测量有密切联系。通过最小化方差，投资者确保投资组合回报的大部分概率分布集中在均值周围的某个小区间。这是由切比雪夫不等式建立的，给定集Ak={x∈ Ohm | |x个-E（X）|≥k} ，s表示P（X∈ Ak）≤Var（X）k。类似地，对于α∈ [0，1]，Hexpα（X）的一个小值意味着X的大多数概率分布集中在一组小的Lebesgue测度上。这是由坎贝尔（1966）的扩展切比雪夫不等式确定的。提案2.5。设X为连续随机变量，其R′enyi熵定义为α∈ [0，1]。那么，给定α∈ [0，1]和A′k={x∈ Ohm | 外汇（x）≤ k} ，以下不等式成立：P（X∈ A′k）≤kHexpα（X）1.-α。（2.8）该不等式比切比雪夫不等式更一般，因为它不仅处理平均值周围的绝对偏差，而是根据大多数概率密度所在的集的大小来关联扩散。对于具有Ohm = R和fX（x）→ 0作为x→ ±∞, 这对于资产回报来说很常见，那么只有两个x值，其中fX（x）=k（如果k<模式（x））。表示它们x-kand x+k，我们有x-k<模式（X）<X+k（2.8）表示P（X-k<X<X+k）≥ 1.-kHexpα（X）1.-α→ 1as Hexpα（X）→ 0

换句话说，如果Hexpα（X）很小，X集中在其模式周围的一个小间隔上的概率接近1。支持设置α的第二个参数∈ [0，1]与第3.2节中推导的r’enyi熵的Gram-Charlier展开式有关。扩展将显示，当α∈ [0，1]，X峰度前面的系数为正（α>1则为负），因此峰度的增加会降低R′enyi熵，这是投资者所期望的。第三，第5.2节中的经验结果显示，当α∈ [0，1]也是。3、最小R′enyi熵组合为了使Hexpα的理论性质与投资组合选择标准的期望特征很好地匹配，我们将此方法作为目标函数来设计投资策略。特别是图2.1：Hexpα对X尾部不确定性的敏感性~ t-Student（ν）随α减小而增大。注：我们在（2.7）中报告了Hexpα（X）的不同值α，作为X.3 4 6 8 10 12 14 16 18 20νHexpα（X）α=0.4α=0.5α=0.7α=1α=2的函数，以构建一个最小风险投资组合，称为最小R'enyi熵（MRE）投资组合，该投资组合将指数R'enyi熵最小化。我们用P表示投资组合回报，这样P=w′X=Pni=1wixi，其中w=（w，…，wn）′是投资组合权重的向量，X=（X，…，Xn）′是资产回报的随机向量。3.1。

定义给定α的n个资产投资集的MRE投资组合定义为aswα： =参数最小值∈WHexpα（P），（3.1），其中W是W上的一组约束，包括全投资约束1′nw=1。请注意，受权重非凸函数的高阶模型的影响（Jur czenko和Maillet 2006），在（3.1）中的优化程序可能不一定是凸的，即只具有一个局部最优。因此，在解决MRE投资组合时，必须完全采用全局优化技术，而不是标准的局部优化器。我们回到第5.1.4.3.2节。与基于动量的投资组合的联系：格拉姆-查利尔扩展传统的最小风险投资组合是根据投资组合回报的特定动量（通常是方差）构建的，导致最小方差投资组合，以及可能的更高阶矩，如马泰利尼和齐曼（2010）、阿德科克（2014）和范杜夫和姚（2017），我们称之为高阶投资组合。在经典的Markowitz-Gaussian设置中，MREportfolio与最小方差portfolio一致，因为Hexpα与高斯随机变量的方差之间存在一对一的对应关系。然而，在更一般的情况下，MRE投资组合比最小方差投资组合更有吸引力，因为它可以解释来自高阶矩的不确定性。要看到这一点，推导R'enyi熵的truncatedGram特征（GC）展开式很有用。提案3.1。让X∈ L(Ohm) 并注意▄X=（X- E（X））/pVar（X）其标准化副本。defineskew（X）=E（X）和Kurt（X）=E（X）- 然后，Hα（X）的截断GC展开式，表示为HGCα（X），写入asHGCα（X）：=HαN0，pVar（X）+ k（α）Kurt（X）+k（α）Skew（X）+k（α）Kurt（X），（3.2），系数k（α）=1- α8α，k（α）=-3α- 6α+524α3/2，k（α）=-3α- 12α+ 42α- 60α+35384α5/2。（3.3）证明。

见附录B。图3.1显示了系数k（α）、k（α）和k（α）。设置α=1，我们得到GC展开式HGC（X）=HN0，pVar（X）-倾斜（X）-Kurt（X）源自Hyv¨arinen等人（2001）。因此，控制kurto sis的能力是R’enyi熵相对于Shannon熵的显著优势，如后一种情况k（1）=0。MRE和高阶投资组合之间的联系现在已经明确。我们有hαN0，pVar（P）= HαN（0，1）+ln Var（P），图3.1：R’enyi熵的Gram-Charlier展开系数k（α）、k（α）和k（α）。注：公式（3.2）和（3.3）中显示了图特征展开和系数表达式。0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5α-2-1.5-1-0.50.5更高的力矩系数k（α）k（α）k（α）k（α）yieldswα≈ arg最小值∈Wln Var（P）+k（α）Kurt（P）+k（α）Skew（P）+k（α）Kurt（P）。（3.4）当fPis接近高斯时，主要贡献的高阶项是k（α）Kurt（P）。当α<1，k（α）>0时，MRE投资组合类似于最小方差峰度投资组合，正如Martellini和Ziemann（2010）所指出的，这是一个良好的高阶投资组合，因为偶数矩的估计量比奇数矩的估计量噪音小。然而，当α>1时，k（α）<0，因此影响是相反的。根据投资者对峰度的偏好，设置α∈ 如我们在第2.4节中所述，[0，1]因此更为自然。因此，根据第2.3节，通过使用αo netrades函数最小化中心（方差）和尾部（峰度）不确定性，即前两个偶数矩。示例3.1。考虑n=2资产X=X⊥ X=Y遵循零平均Student t分布，其中（σX，νX）=（0.3，10）和（σY，νY）=（0.2，6）。我们构建了一个投资组合P=wX+（1- w） Y，并通过数值积分计算Hexpα（P）。在图3.2中，我们显示了hexpα（P）、pVar（P）和Kurt（P）如何依赖于w。

我们可以看到，当α足够高时，w因为σX>σ，并且当α较高时，大多数中心事件都很重要，所以与最小方差解一致。然而，α减少的越多，Y（νY<νX）的肥尾巴的影响就越重要，因此w接近最小峰度解。假设k（α）和k（α）对于所有α都是负值，那么两个附加项k（α）Skew（P）和k（α）Kurt（P）可以解释为使解远离最小化Hexpα（P），或者Hα（P）等价于exp（x）是一个单调递增的函数。高斯偏态和峰度。这很直观，因为在固定的均值和方差下，高斯分布的香农熵最大化（Cover and Tomas 2006）。最后，请注意，（3.1）中的优化程序可以容纳对形式为E（P）=w′u的投资组合预期回报的额外约束≥ u用u表示资产的预期回报，以说明投资者不仅关注ris k，还关注回报的事实。鉴于GC的扩展，这种框架将与Adcock（2014）和Qi et a l（2017）等研究的更高的力矩效率前沿相联系。然而，在实证研究中，我们将重点放在风险最小化上，因为估算向量u（见第1节）中固有的技术困难会导致样本外性能的显著损失。4、Hexpα的稳健m-spacings估计量在本节中，我们解释了在给定有限样本{Pt}16t6Twith Pt=Pni=1wiXi，t的情况下，如何稳健地估计Hexpα（P）。特别地，我们提出了一种基于样本间距的估计，并讨论了其一致性和鲁棒性。4.1. mspacings估计量的动机和表达式为了避免对投资组合收益的分布作出假设，我们正在寻找Hexpα（P）的非参数估计量。

关于Shannon熵的非参数估计存在大量研究，可在Beirlant et al.（1997）中找到。估计熵的一种自然方法是插入式估计，即将密度估计器插入熵的积分定义中。例如，我们可以使用著名的Parzen（也称为kernel）估计器。然而，已知该估计器对带宽参数非常敏感，这会产生图3.2的稳定性问题：最小R'enyi熵组合权衡方差和峰度的最小化。注：X⊥ Y遵循零均值Student t分布（σX，νX）=（0.3，10）和（σY，νY）=（0.2，6）。我们考虑一个portfolioP=wX+（1- w） Y并绘制其标准偏差pvar（P）、超额峰度Kurt（P）和经验R′enyientropy Hexpα（P），用于α和w的不同值∈ [0，1]。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1wpV ar（P）Kurt（P）α=0.2α=0.25α=0.3α=0.4α=0.5α=0.6α=0.8α=1.5我们的投资组合优化背景。相反，熵的m-spacingsestimation更为可靠：Wachowiak e t al.（2005）表明，此类估计器“稳健且准确，与流行的Parzen windowmethod相比，可以更好地估计熵，并且在许多情况下，需要的计算比Parzen方法更少。”因此，我们研究了r'enyientropy的稳健m-spa-cings估计量，该估计量扩展了Learn Miller和Fisher（1993）的香农熵m-spacingsestimator，这是一个“一致、快速收敛且计算效率高的熵估计量，对异常值具有鲁棒性”附录C给出了估算值的详细推导，为了简洁起见，我们在此仅报告最终表达式。提案4.1。设X为连续随机变量。

然后，Hexpα（X）的m间距估计量表示为Hexpα（m，T），读取asbHexpα（m，T）：=T- mT公司-mXi=1T+1mX（i+m:T）- X（i:T）1.-α!1.-α、 （4.1）其中X（1:T）6 X（2:T）6····6 X（T:T）是X的顺序统计（即按递增顺序排序的观测值）和m∈ [1，T- 1] 是整数参数。证据参见附录C。参数m是一个非常重要的自由参数：增加其值可以通过在每个间隔x（i+m：T）中分组更多的顺序统计信息来减少估计量的方差- X（i:T）。因此，当应用于第5节中的经验数据时，Parzen估计器（具有高斯核）在带宽参数的广泛值范围内取得了比m-spacings估计器更差的风险调整性能。因为它决定了估计员的稳健性，以及MRE投资组合的稳健性。我们回到第4.2.2节。取α的极限→ 1，我们恢复了学习Miller和Fisher（1993）估计量的指数：bHexp（m，T）：=expT- mT公司-mXi=1lnT+1mX（i+m：T）- X（i:T）!.(4.2)4.2. m-spacings估计器的特性m-spacings估计熵吸引了大量研究（见Beirlant et al.1997），并给出了whileback的日期，例如Vasicek（1976）。然而，它主要考虑香农熵，即使对于这种特殊情况，也只研究了渐近行为。在一般情况下，α6=1，一致性尚未建立。在本节中，我们首先讨论了一致性估计量的性质，认为为了我们的投资组合应用，可以忽略估计量的符号偏差。其次，我们展示了参数M如何决定估计量的鲁棒性。4.2.1。渐近偏差首先考虑α=1的情况，表示bh（m，T）：=lnbHexp（m，T）。

van E s（1992）证明了bH（m，T）是渐近有偏的，但实际上，偏差只取决于m的固定值，而不取决于密度fX：bH（m，T）- H（X）→ ψ（m）- ln m a.s.，（4.3），其中ψ（x）=ddxlnΓ（x）是digamma函数。等式（4.3）意味着我们可以简单地减去偏差，得到一致的估计量。回到指数情况，这意味着我-ψ（m）bHexp（m，T）→ Hexp（X）a.s.（4.4）非常重要，正如（4.4）中所示，因为当α=1时，共感偏差仅取决于n m，使用（4.4）中的偏差修正估计量或（4.2）中的偏差估计量在搜索（3.1）中熵最小化的权重时是等效的。理想情况下，我们希望所有α都能得到相同的结果，即渐近偏差仅取决于α和m。虽然这种结果未知，但Hegde et al.（2005）指出，“在许多实际应用中，[…]这种偏差不会影响解决方案，因为它独立于真实的数据分布[…]此外，如我们现在所示，X和▄X=（X）的估计偏差- u）/σ是相同的，即它不依赖于X的具体位置和规模。提案4.2。设▄X=（X- u）/σ和bhα（X；m，T）：=lnbHexpα（X；m，T），然后是m-spacingsestimator的偏差BbHα（X；m，T）:= EbHα（X；m，T）-Hα（X）=BbHα（￠X；m，T）.证据见附录B。3.4.2.2。对异常值的鲁棒性参数m作为平滑参数，控制估计量的方差。本节表明，增加m会使m间距估计值更接近异常值，这对于确保MRE投资组合稳定的样本外表现至关重要。稳健性表明，真实回报分布的一个小扰动只会使估计值发生微小变化。在评估估计器的稳健性时，经验影响函数（E I F）代表了一个有用的工具（seeHampe l et al.1986）。

给定基于大小为T的样本的量θ的估计器θ（X，…，XT），EIFθ（r）测量估计器θ对在样本中添加补充观测值θr的灵敏度：EIFθ（r）：=（T+1）^θ（X，…，XT；^r）-^θ（X，…，XT）.（4.5）直觉上，EIF^θ（^r）越低，估计值^θ越稳健。图4.1显示了mspacings估计器的EIF-EIFbHexpα（^r）-对于T=250的x值~ N（u=0，σ=0.2）。继Hampel e t al.（1986）之后，我们设定Xi=u+σΦ-1.iT+1消除随机样本变量。我们认为∈ [-5σ，5σ]并仅报告α=0.5的结果，因为其他值产生相似性。我们确实可以观察到，对于足够大的^r值，即对于其他值，EIF随m减小。5、样本外实证研究我们通过对MRE投资组合的样本外绩效研究来结束本文，该研究旨在表明与现有战略相比，拟议投资组合政策的实际利益。该研究是在投资组合优化文献中常用的六个基准数据集上进行的。5.1。方法学5.1.1。比较策略报告的结果将MRE投资组合与α进行比较∈ {0.3、0.5、0.7、1、1.5、2}到五个不同的最小方差（MV）组合。前四个解决了二次优化程序W= arg最小值∈Ww′∑w（5.1），通过使用样本协方差矩阵xb∑和Ledoitand Wolf（2003，2004a，b）开发的三个稳健shr inkage估计器估计∑：b∑CC：=δbFCC+（1- δ)b∑，b∑SF：=δbFSF+（1）- δ)b∑，b∑I：=δbFI+（1- δ)b∑，（5.2），其中δ最小化收缩时间与真矩阵∑之间的Frobenius范数。

这三个目标矩阵基于常数相关模型（bFCC）、单因素模型（bFSF）和多重身份矩阵（bFI）。第五个MV投资组合是DeMiguel和Nogales（2009）的一步M投资组合（MP）：（w, u) = arg最小值∈W、 uTTXt=1ρ（Pt- u），（5.3），其中ρ是Huber的ro-bus t损失函数ρ（x）：=x/2如果| x | 6 cc（| x |- c/2）如果| x |>c，c=1%。（5.4）我们注意到，我们还实施了Jorion（19 86）的robustBayes-Stein均值方差投资组合，以及使用Boudt et al.（2008）中的稳健估计量的最小VaR投资组合。我们不报告其结果，因为尽管这些标准受到更高回报的积极影响，但由于其对投资组合预期回报的敏感性，它们的风险较低，即调整后的绩效比MRE投资组合低。同样权重的策略也得到了考虑，但尽管它自然实现了最低的营业额，但它在很大程度上优于所有其他策略，因此也没有报告。5.1.2。数据集我们依赖于肯尼思法国图书馆的六个月收益数据集，这些数据集在文献中被广泛用作比较投资组合策略的基准（参见DeMiguel等人2009a、b、Behr等人2013和andArdia等人2017）。表5.1列出了数据。图4.1：增加m提高了m间距估计器bhexpα（m，T）对异常值的鲁棒性。注：T=250观察值由X生成~ N（u=0，σ=0.2），通过设置Xi=u+σΦ-1.iT+1. 然后，在rα=0.5和不同的m值的情况下，报告了hexpα（m，T）的EIF和EIFbHexpα（^r）。它在异常值空间中随m而减小。-5σ -4σ-3σ-2σ-σ0σ2σ3σ4σ5σ^rEIFbHexpα（^r）m=5m=10m=25m=50表5.1：实证研究中考虑的数据集列表。注：所有数据集均为月度报表。行业投资组合考虑了价值加权方案。