最小R\enyi熵投资组合

资料来源：Kenneth French Librara ry.数据集Abb。n Time perio d6 Fama-按规模和账面市值排序的法国公司投资组合6BTM 6 07/1963-06/201625 Fama按规模和账面市值排序的法国公司投资组合25BTM 25 07/1963-06/20166 Fama-按规模和动量排序的法国公司投资组合6Mom 6 07/1963-06/201625 Fama按规模和动量排序的法国公司投资组合25Mom 25 07/1963-06/201610行业代表美国股市的投资组合10 ind 10 07/1963-06/201617代表美国股市的行业投资组合17 ind 17 07/1963-06/20165.1.3。动态再平衡我们通过动态再平衡来构建投资组合。不太频繁地重新平衡重量对于确保令人满意的性能和营业额很重要（Car rollet al.2017），因此我们设定了一年的滚动窗口，如Behr et al.（2 013）。估计窗口设置为N年，即T=120。我们在DeMiguel et al.（2009b）和Behr et al.（2013）中使用1963年7月作为起始日期，并在2016年6月之前平衡投资组合。这是一个43年的样本期以外的时期。5.1.4. 优化正如第3.1节所指出的，MRE优化程序通常不是一个凸问题。因此，为了找到最佳权重，我们依赖Ugray et al.（2007）基于NelderMead算法的globaloptimizer。通过这样做，我们将陷入局部极小值的风险降至最低。我们在不同的数据集上观察到，多次重新编译优化会产生本质上无法区分的解，这说明非凸性不是一个主要问题。5.1.5。选择第4.2.2节中指出的mAs，m的值对于间距估计值至关重要，因为它决定了MRE投资组合的稳健性。

为了说明这一点，表5.1报告了10Ind数据集，α=0.5和m=2、8、24时MRE最佳权重的时间演变。这些是无约束权重，即对应于W={W∈ Rn | 1′nw=1}。还报告了M-portfolio的权重，以供比较。可以清楚地观察到，增加m可以提高获得的最优权重的稳定性。作为第一种策略，我们考虑了遗漏交叉验证方法，使用最大回报、最小方差和最大夏普比率作为标准。然而，无论是在业绩还是营业额方面，取得的结果都很差。允许m在每个滚动窗口更改似乎会增加程序的不稳定性，因此不建议这样做。因此，作为第二种策略，我们使用了简单的经验法则m=T2/3= 24在所考虑的数据集上运行良好。事实上，我们观察到，一旦误差足够大，结果对所选m的特定值仅显示很小的敏感性，因此可以将m设置为24，而不用担心另一个差但接近的值会产生不同的结果。具体而言，表5.2中m=18和m=35的结果产生了非常相似的性能。唯一的变化是营业额方面，m=18时的营业额更高，几乎相同的形式=35。图5.1：增加m可提高MRE最优权重的稳定性。注：对于10Inddataset，我们报告了α=0.5和M=2、8、24的M-投资组合和MRE投资组合的最佳权重的时间演化。权重是无约束的d，即W={W∈ Rn | 1′nw=1}。5.1.6. 权重约束为了减少估计误差，在投资组合优化中，通常会限制解空间W。这有助于提高获得的最优权重的稳定性，进而提高投资组合的样本外绩效。

表5.1很容易理解这一点，在表5.1中，投资组合在无约束的情况下具有显著的营业额，即使n=10与样本量T=120的不相容性相对较低。因此，我们优化了不同的投资组合，并对权重进行了约束。我们实现了Levy和Levy（2014）设计的基于全局的约束（GVBC），其内容为asnXi=1wi公司-nσi‘∑≤ δ，（5.5），其中σi：=pVar（Xi）和‘σ：=nPni=1σi）。GVBC的基本原理是“对标准偏差相对较高的股票施加更严格的约束，因为这些股票参数的估计误差以及潜在的经济损失比标准偏差相对较低的股票更大”（Levy和Levy 2014 p.375）。使用美国行业投资组合数据集，作者观察到，与多种稳健的投资组合选择策略相比，样本外夏普比率有了很大改善，δ的值范围很广。特别是，δ在10%-25%之间的结果是稳定的。在续集中，我们将δ设置在较高的位置，即δ=25%，由于δ=0，因此很难区分不同的投资组合，因为它们太接近相等权重的投资组合。对于δ=20%和δ=15%，实证研究的结论保持不变，尽管自然不那么引人注目。5.1.7。绩效衡量我们用三个标准衡量投资组合的样本外绩效和稳定性：1。夏普比率，定义为：=（E（P）- rf）/pVar（P）（5.6），并使用样本估计器进行估计，这是资产定位文献中使用的最常见的性能度量。为简单起见，我们将thatrf=0，如DeMiguel et a l.（2009b），即。我们报告了变异系数的倒数。2.

鉴于MRE投资组合与最小方差投资组合相比的吸引力在于考虑高阶不确定性，仅使用夏普比率不足以评估我们投资组合政策的优点。因此，我们还报告了P'ezier（2004）的调整夏普比率，该比率解释了投资者更高的时刻参考值，定义为ASAR：=SR1+倾斜（P）3！SR公司-库尔特（P）4！SR公司,（5.7）我们使用样本矩估计进行估计。3、为了评估投资组合的稳定性和相关交易成本，我们报告营业额，通常定义为周转率：=r- 1RXt=1nXi=1 | wi，t+1- wi，t+|，（5.8），其中R=43是再平衡周期数，wi，t+1是在t+1时资产i的期望权重，wi，t+是在t+1时再平衡前的权重。所有三个标准均以年度形式表示。5.2。样本外结果结果见表5.2。可以进行一些有趣的观察。首先，比较六个MRE投资组合，可以清楚地看到α=1.5和α=2的收益率是迄今为止表现最差的。这与（3.2）中的Gram-Charlierexpansion一致，其中s e ttingα>1有利于具有更多峰度的溶液（在这种情况下，k（α）<0）。因此，从理论和经验角度来看，建议设置α6 1，如第2.4节所述。其次，MRE投资组合的tur-nover系统性地随α增加。从α=0.3到α=0.7，它不会增加太多，但随后会急剧增加。这种影响可以通过以下事实来解释：Hexpα（P）（作为w的函数）的凸度随着α的增加而减小。例如，这在图e 3.2中可见。

这使得最小值更有可能从一个滚动窗口变为另一个滚动窗口，因为目标函数围绕最小值变化，α越高。第三，对于α∈{0.3，0.5，0.7，1}，MRE portfoliois的性能相对于α非常稳定。通过查看六个数据集的平均SR和ASR，很容易观察到这一点。这种参数稳健性对决策者来说是一种很有吸引力的行为。结合营业额随α增加的事实，这意味着选择α非常低，在这种情况下，α=0.3左右，可以在风险、回报和营业额之间进行最佳权衡。第四，比较MRE和MV投资组合，我们可以确切地观察到，MRE投资组合在SR和ASR方面都比MV投资组合有所改善，但我们在下面的讨论中放弃的α=1.5和α=2除外。事实上，平均六个数据集的交叉点，每个MRE投资组合显示的SR和ASR都比所有MV投资组合大。然而，就营业额而言，所有MRE投资组合的稳定性都不如MVE投资组合。这是可以预期的，因为MRE投资组合对高阶矩敏感，高阶矩受离群值的影响大于方差。也就是说，对于α=0.3和α=0.5，营业额的增长相当温和（α=0.3时平均约4个百分点）。因此，我们得出结论，与资产配置环境中的变量相比，R’enyi熵提供了更好的风险标准，尤其是对于α值较低的情况，这里所考虑的数据集，特定的α值=0.3。6、结论来自广泛科学文献的许多研究表明，尽管没有目标回报约束，但最低风险投资组合仍表现出稳定的样本外绩效。

虽然方差（最初由Markowitz引入）是高斯分布中的一种自然风险度量，但我们检查了α的结果∈{0.05、0.1、0.2}。与α=0.3相比，营业额几乎没有下降，夏普比率指标几乎保持不变。框架，它无法捕获实际应用程序中可能出现的极端事件。为了考虑到这一现实，提出了各种替代风险措施。在这篇文章中，我们提出了一种自然的不确定性度量——指数R’e nyi熵——作为投资组合选择的高阶标准。R’enyi熵广义化香农熵，产生一系列不确定性度量。其参数α能够调整度量中分布的中心和尾部的相对分布。由于其与偏差风险度量的类别以及扩展因子α的度量密切相关，因此具有指数级的跨形式完整性∈ [0，1]。最小化该度量得到最小R'enyi熵组合。Gram-Charlier展开表明，该投资组合代表了最小方差投资组合的高阶矩扩展，α控制方差和峰度最小化之间的权衡。在实际环境中，实证研究表明，最小R'e nyi熵投资组合在交易风险、回报和营业额方面比最先进的稳健最小方差投资组合在样本外表现更好，尤其是对于接近zer o的α。超出我们的应用范围，本文指出了R'enyi熵在各种运筹学问题中的吸引力，这是一种捕捉更高时刻不确定性的有力方法，也是一种将熵作为优化标准而不仅仅是一种特殊的评估指标的有力方法。

在投资组合选择的特殊情况下，R’enyi entr opy已成为现有风险标准的有力替代品，为其他应用打开了大门。例如，可以将R'enyi熵应用于风险平价策略，这就提出了计算资产对投资组合回报指数R'enyi熵贡献的挑战。致谢作者感谢克里斯·布特和维克多·德米格尔激发了讨论。作者还感谢2018年精算和金融数学会议、法国金融协会（AFFI）第35届年会和2018年比利时金融研究论坛的与会者的意见和建议。这项工作得到了国家科学基金会（F.R.S.-FNRS）[格兰特编号FC 1777 5]的支持。附录A。Hexpα次可加性反例在本节中，我们报告了命题2.2中提到的三个次可加性反例。表5.2：六个数据集中的样本Sha rpe比率、调整后的夏普比率和MRE和MV投资组合的营业额。

注：投资组合采用第5.1节所述的方法构建。夏普比率（SR）MRE投资组合MV投资组合α=0.3α=0.5α=0.7α=1α=1.5α=2b∑b∑CCb∑SFb∑IMP6BTM 0.844 0.845 0.846 0.841 0.832 0.815 0.835 0.821 0.833 0.836 0.84125BTM 0.985 0.980 0.973 0.961 0.937 0.906 0.953 0.913 0.951 0.9566Mom 0.768.763 0.753 0.750 0.716 0.700 0.738 0.741 0.738 0.737 0.73125Mom 0.936 0.948 0.957 0.960 0.954 0.928 0.902 0.920 0 0.904 0.9030.91610Ind 0.995 1.001 1.014 1.013 0.971 0.936 0.977 0.970 0.983 0.973 0.97617Ind 0.938 0.947 0.936 0.965 0.905 0.891 0.936 0.924 0.935 0.935 0.918平均0.911 0.914 0.913 0.915 0.886 0.863 0.890 0 0 0.882 0.891 0.890调整夏普比率（ASR）MRE投资组合MV投资组合α=0.3α=0.5α=0.7α=1α=1.5α=2b∑b∑CCb∑SFb∑IMP6BTM 0.829 0.830 0.831 0.826 0.816 0.800 0.822 0.8090.821 0.824 0.82625BTM 0.969 0.963 0.956 0.943 0.919 0.889 0.940 0.906 0.939 0.944 0.9406Mom 0.759 0.753 0.744 0.741 0.708 0.694 0.730 0.733 0.729 0.729 0.72325Mom 0.921 0.934 0.943 0.947 0.943 0.918 0.889 0.909 0.892 0.90210Ind 0.990 0.995 1.005 1.004 0.965 0.927 0.973 0.966 0.979 0.968 0.97217Ind 0.950 0.959 0.945 0.975 0.911 0.901 0.950 0.940 0.950 0.949 0.929平均0.903 0.906 0.9040.906 0.877 0.855 0.884 0.877 0.885 0.884 0.882转换MRE投资组合MV投资组合α=0.3α=0.5α=0.7α=1α=1.5α=2b∑b∑CCb∑SFb∑IMP6BTM 0.184 0.182 0.183 0.189 0.218 0.266 0.171 0.167 0.170 0.168 0.16825BTM 0.499 0.535 0.616 0.966 1.356 1.502 0.444 8 0.464 0.443 0.445 0.4786Mom 0.167 0.171 0.180 0.191 0.247 0.284 0.168 0.168 0.167 0.168 0.17825Mom 0.437 0.444 0.523 0.635 0.8601.200 0.417 0.413 0.410 0.416 0.42210Ind 0.348 0.350 0.378 0.450 0.600 0.776 0.283 0.276 0.274 0.286 0.32117 ind 0.526 0.568 0.685 0.825 1.033 1.246 0.449 0.422 0.433 0.452 0.467平均0.360 0.427 0.542 0.719 0.879 0.323 0.318 0.322 0.339A。1.

列维分配命题。Hexpis不是独立L'evy分布随机变量对（X，Y）的次加性。证据Z的pdf~ L'evy（u，σ）由fZ（x）=pσ2πe给出-σ2（x-u）（x-u）3/2，并且对于x>u严格为正。其指数熵以封闭形式已知（见Zog rafosand Nada rajah 2003）：Hexp（Z）=4σ√πe1+2γ，其中γ≈0.577是乌勒-马斯切洛尼常数。我们注意到X，Y的参数分别为（uX，σX）和（uY，σY），σX，σY>0。由于L'evy是一个s表定律，因此X+Y之和等于L'evy，分布参数为uX+Y=uX+u，σX+Y=σX+σY+2√σXσY。次可加性与σX+Y6σX+σY相等<=> 2.√σX√σY6 0，当σX，σY>0时，该值始终保持不变。A、 2。B伊莫代尔分布命题。考虑（ZX，ZY）一对独立的标准正态变量和（UX，UY）一对参数为1/2的独立伯努利变量，与ZY，ZY两者都独立。定义X：=（2uXUX- uX）+σZX，Y：=（2uYUY- uY）+σzy，常数uX，uYandσ>0。然后，当（uX，uY）=（1，2）和σ<0.3918时，Hexpis对（X，Y）不是次加性的。证据注意φ（x）标准高斯密度，x，Y的边缘密度由高斯混合函数fx（x）=2σ给出φx+uxσ+ φx个- uXσ,fY（x）=2σφx+uYσ+ φx个- uYσ.（A.1）很容易证明（参见Pham和Vrins 2005），X+Y的密度为FX+Y（X）=4σ√φx+ux+uYσ√+ φx+ux- uYσ√+ φx个- uX+uYσ√+ φx个- uX- uYσ√.（A.2）由于Honly取决于X的密度fX，我们表示H[fX]：=H（X）。Vrins等人（2007）表明，对于密度c可以写成fZ（x）=PNn=1πnKn（x）形式的随机变量Z，其正权重πnsumming为1，高斯核Kn（x）=σnφx个-unσn,那么H（Z）可以在下面和上面有界。

更明确地说，H（Z）6 H（Z）6H（Z），（A.3）带H（Z）：=NXn=1πnH【Kn】+H（π），H（Z）：=H（Z）-NXn=1πn′n-NXn=1πnln公司sπnsn+ 1.n，（A.4），其中h（π）：=-PNn=1πnlnπn，sn：=maxxKn（x）=√2πσn-1和s：=最大NSN。重新排列un增量顺序和定义dn：=最小值（un-un-1，un+1-un）带u：=-∞, uN+1：=∞ 按照惯例，我们有n：=Erfcdn√2σn, ′n：=n+dn√2πσne-dn√2σn,（A.5）使用互补误差函数Erfc（x）：=2Φ(-x个√2） ，其中Φ是标准高斯cdf。使用这些下界和上界，hexPoperator不能对（X，Y）ifexp（H（X+Y））>exp（H（X））+exp（H（Y））进行次相加。（A.6）实际上，LHS是Hexp（X+Y）的下界，而RHS是Hexp（X）+Hexp（Y）的上界。设置（uX，uY）=（u，2u），将（A.4）中的界限应用于（A.1）-（A.2）中的密度r ead asH（X）=H（Y）=ln2σ√2πe,H（X+Y）=ln8σ√πe- Erfc（u/2σ）（3/2+ln（4））-u2σ√πe-（u/2σ），（A.7），我们从中发现，设置u=1，（A.6）可以保持0<σ<0.3918。A、 3。单调随机变量概率。Hexpis不是comonotonicpair（X，Y）的次加性，Y=F（X），F′（X）~ 实验（1）。证据两个随机变量X，Y是共单调的，可以写成F（X），其中F是一个连续的严格递增函数。表示G（x）：=x+F（x），它也是严格递增且可逆的，并表示H（x）是它的逆。然后，X+Y=G（X）的cdf由FX+Y（X）=P（G（X）6 X）=P（X 6 H（X））=FX（H（X）），其pdf读取为FX+Y（X）=FX（H（X））G′（H（X））。因此，Hexp（X+Y）变成xp（X+Y）=exp-ZfX（H（x））G′（H（x））lnfX（H（x））G′（H（x））dx！。变量z=H（x）的变化和代数操作导致Hexp（x+Y）=Hexp（x）expEln（1+F′（X））.基于类似的推理，我们可以证明Hexp（Y）=Hexp（X）expEln F′（X）,这意味着次可加性相当于表示Eln（1+F′（X））6 1+经验Eln F′（X）.