最小R\enyi熵投资组合

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英文标题：
《Minimum R\\\'enyi Entropy Portfolios》
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作者：
Nathan Lassance and Fr\\\'ed\\\'eric Vrins
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Accounting for the non-normality of asset returns remains challenging in robust portfolio optimization. In this article, we tackle this problem by assessing the risk of the portfolio through the \"amount of randomness\" conveyed by its returns. We achieve this by using an objective function that relies on the exponential of R\\\'enyi entropy, an information-theoretic criterion that precisely quantifies the uncertainty embedded in a distribution, accounting for higher-order moments. Compared to Shannon entropy, R\\\'enyi entropy features a parameter that can be tuned to play around the notion of uncertainty. A Gram-Charlier expansion shows that it controls the relative contributions of the central (variance) and tail (kurtosis) parts of the distribution in the measure. We further rely on a non-parametric estimator of the exponential R\\\'enyi entropy that extends a robust sample-spacings estimator initially designed for Shannon entropy. A portfolio selection application illustrates that minimizing R\\\'enyi entropy yields portfolios that outperform state-of-the-art minimum variance portfolios in terms of risk-return-turnover trade-off.
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中文摘要：
在稳健的投资组合优化中，如何解释资产回报的非正态性仍然具有挑战性。在本文中，我们通过评估投资组合的风险来解决这个问题，通过其回报所传达的“随机性数量”。我们通过使用一个目标函数来实现这一点，该目标函数依赖于R拞enyi熵的指数，这是一个信息论标准，可以精确量化分布中嵌入的不确定性，考虑到高阶矩。与香农熵相比，瑞恩依熵具有一个参数，可以调整该参数来围绕不确定性的概念发挥作用。Gram-Charlier展开表明，它控制了度量中分布的中心（方差）和尾部（峰度）部分的相对贡献。我们进一步依赖于指数Renyi熵的非参数估计，该估计扩展了最初为香农熵设计的稳健样本间隔估计。一个投资组合选择应用程序表明，最小化R拞enyi熵产生的投资组合在风险-回报-周转权衡方面优于最先进的最小方差投资组合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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关键词：投资组合 Quantitative Optimization distribution Mathematical

最小R’enyi熵组合Nathan Lassance*卢旺天主教大学、卢旺金融中心（LFIN）和运筹学与计量经济学中心（CORE）。《罗马之音》支付341348卢瓦因·拉纽夫，比利时。2018年7月-可在https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2968660AbstractAccounting因为资产重组的非规范性在稳健投资组合优化中仍然具有挑战性。在本文中，我们通过评估投资组合的风险来解决这个问题，通过投资组合的回报所传达的“随机数量”。我们通过使用一个目标函数来实现这一点，该目标函数依赖于R’enyi熵的指数，这是一个信息理论标准，可以精确量化分布中嵌入的不确定性，考虑高阶矩。与香农熵相比，R’enyi熵具有一个参数，可以围绕不确定性的概念进行调整。格拉姆-查理尔展开式表明，它控制着测量中分布的中心（方差）和尾部（峰度）部分的相对贡献。我们进一步依赖于指数R’enyi熵的非参数估计，它扩展了最初为Shannon entr opy设计的鲁棒样本间隔估计。一个投资组合选择应用程序表明，最小化R'enyi熵yieldsportfolios可以在风险回报-营业额交易效果方面超过最先进的最小方差投资组合。关键词：投资组合选择；香农熵；R′enyientropy；Ris k测量；信息论。1、简介在投资组合优化中，众所周知，最优投资组合权重对参数输入中的估计误差的高度敏感性可以使其他合理的投资策略在很大程度上处于次优状态（见K olm et al。

2014年及其参考资料）。马尔科维茨（1952）的均值-方差投资组合尤其如此：最优权重对资产预期收益的估计误差非常敏感。为了解决这一稳健性问题，可以简单地忽略投资组合的预期回报约束，从而形成基于风险的分配框架（参见Ardia等人，2017）。最小风险投资组合尤其吸引了投资者的注意，因为“最小方差投资组合通常在样本外表现更好*通讯作者：nathan。lassance@uclouvain.be.+电子邮件：frederic。vrins@uclouvain.be.than任何其他均值-方差组合-即使在比较中使用了夏普比率或与均值和方差相关的其他绩效指标”（DeMiguel和Nogales，2009年，第560页）。最小风险投资组合通常使用方差作为风险度量。由于基于样本的最小方差投资组合仍然很容易受到估计错误的影响，因此开发了各种不同的robus t替代方案（参见Fabozzi等人2010年和Scutell\'a和Recchia 2013年的评论）。Ledoit和Wolf（2003、2004a、b）提出的收缩率估算方法尤其具有吸引力。然而，问题仍然是，方差仅对高斯分布而言是一个足够的风险度量，并且在很大程度上不受尾部浓度增加的影响（Ver morken et a l.2012）。因此，最小方差投资组合（varianceportfolio）不能解释资产回报的非正态性。可以使用两种主要的alter-native方法来处理非正态性。首先，可以最小化下行风险度量，例如。最小VAR和CVaR投资组合。然而，此类投资组合符合平均风险法（Fabozzi et al。

2010），产生了均值-方差投资组合的稳健性问题。其次，可以扩展效用函数的泰勒表达式，以包括投资组合回报的第三和/或第四时刻（参见Adcock 2014）。然而，由于维度的增加和对异常值的高度敏感性，对此类高阶投资组合进行稳健性验证是非常具有挑战性的。在本文中，我们提出了一种新的（尽管是自然的）方法来设计稳健的最小风险投资组合，以解释资产回报的非正态性。我们通过最小化通过R’enyi熵指数测量的投资组合回报的不确定性来实现这一点，R’enyi熵是在稳健的m间距框架内估计的。得到的最优投资组合称为最小R’enyi熵投资组合。熵是来自信息论的一个著名概念。它精确地旨在量化分布所传达的不确定性/随机性量，嵌入所有高阶矩（Cover和Thomas2006）。因此毫不奇怪，香农熵（熵的最标准定义）已被重新确认为金融领域的一种外观指标（Sbuelz和Trojani 2008，Zhou et al.2 013，Ormos和Zibriczky 2014），投资组合管理（Philippatos和Wilson 1972，Dionisio et al.2006，Vermorken et al.201 2，Flores et al.2017）和效用理论（Yang和Qiu 2005，Abbas 2006，Jose et al.2008）。然而，当使用熵构建最优投资组合时，文献仅限于使用熵作为惩罚项，而不是更标准的成本函数：人们将权重视为圆盘网概率，并使用其熵作为惩罚项，将其缩小到等权重解（见Bera和Park 2008，Zhou et al.2013）。相反，我们使用投资组合收益分布的熵（而不是权重的熵）作为基于风险的成本函数。

在信息论的意义上，寻求使后者最小化的权重可以使收益的不确定性最小化，从而提供最小风险投资组合。此外，我们还依赖于R′enyi熵，这是香农熵的一个特例。它具有一个参数α∈ [0，∞]这使得人们可以权衡将centraland尾部的不确定性最小化。我们特别赞成设置α∈ 【0，1】因此，R’enyi熵与s pread的测度（如坎贝尔1966年的扩展切比斯-赫夫不等式所示）和最小方差峰度目标（如测度的新Gram-Charlier展开所示）有着天然的联系。实验结果也支持这一选择。我们的贡献组织如下。第2节探讨了指数R′enyientropy的理论性质，并将其与风险的概念联系起来。第3节介绍了最小R’enyi熵组合及其与高阶矩的关系。第四节推导了测度的稳健m-spacings估计，并研究了其一致性和鲁棒性。我们设计并执行了第5节中提出的方法的实证样本外性能研究。最小R'enyi熵投资组合在风险调整绩效方面表现优于标准最小风险投资组合，同时实现了接近零的价值sofα的合理营业额水平。第6节结束。为了简明起见，在线资源中报告了不同提议的证明。2、指数R'enyi熵和风险度量我们从引入R'enyi熵开始本节，R'enyi熵是一种灵活的度量，用于量化随机变量分布的不确定性。它包含众所周知的香农熵，香农熵是作为特例恢复的。然后，我们展示了如何将其指数变换视为偏差风险度量。

对R'enyiα参数影响的讨论结束了s e作用，特别是认为s Tα∈ [0，1]应该在我们的投资组合选择上下文中受到青睐。在续集中，我们分别注释了随机变量X的FX和fXthecdf以及pdf。我们对连续分布非常感兴趣。2.1。Shannon和R'enyi熵随机变量X的熵通常指Shannon熵，由Shannon（1948）首次引入，产生了一门新的科学学科：信息论。定义灰分（X）：=H【fX】：=-Eln fX（X）. （2.1）已知该度量可以量化嵌入X中的随机变量量。例如，当X是一个具有有界支撑的连续随机变量时，对于均匀分布，该数量最大化，而均匀分布是特定的。香农熵嵌入了许多重要的性质。我们参考Cover和Thoma s（2006）的延伸治疗。R’enyi（19 61）在（2.1）中借助参数α提出了香农熵的推广∈ R+。他们的想法是考虑-ln fX，导致以下定义：Hα（X）：=Hα[fX]：=1- αln Efα-1X（X）, （2.2）只要存在期望。香农熵是在limα意义下的一个特例→1Hα（X）：=H（X）=H（X）。（2.3）与香农熵一样，R’enyi熵具有有趣的性质。然而，它的指数变换在风险的上下文中具有更多的自然属性。下一节致力于对指数R’enyi熵及其与偏差风险度量的关联进行更详细的分析。2.2。指数R'enyi熵由Hexpα表示指数R'enyi熵，从（2.2）中读取asHexpα（X）：=exp（Hα（X））=Z（fX（x））αdx1.-α。（2.4）坎贝尔（1966）首先介绍了该数量，他研究了该数量作为α分布扩散度量的相关性∈ [0，1]。

在第2.4节中，我们回到了经验α和spr read度量之间的联系。在本文中，我们将此度量应用于构建最小风险投资组合（se e第3节）。2.2.1. 根据R’enyi熵的特性（见Koski和Persson 1992，Johnson和Vignat 2007，Pham et al.2008），Hexpα符合以下特性。提案2.1。设c为实常数。Hexpα（X）满足以下性质：（i）平移不变性：Hexpα（X+c）=Hexpα（X）；（ii）标度特性：Hexpα（cX）=c | Hexpα（X）；（iii）它在α中是非递增和连续的。2.2.2。关于偏差风险度量量化不确定性，使用指数R'enyi熵作为偏差风险度量很有吸引力，Rockafellar等人（2006）介绍了这一点。定义2.1。偏差风险度量是指任何功能D：Lp(Ohm) → [0，∞] 满足：（i）正性：对于所有非常数X，D（X）>0，对于任何常数X，D（X）=0；（ii）正均一性：D（cX）=cD（X）c>0；（iii）平移不变性：D（X+c）=D（X）c∈ R（iv）次加性：D（X+Y）6 D（X）+D（Y）。让我们证明Hexpαful满足偏差风险度量的前三个属性（次可加性在下一节中讨论）。正同质性（ii）和平移不变性（iii）源于命题2.1中Hexpα的性质。从正性（i）来看，如果X与密度fx的正性不是常数，则Hexpα（X）是严格正的。为了证明如果X为常数，则为零，让我们计算Hexpα（k），当k为常数时，计算Hexpα（k+cX）的极限，因为对于给定的有限熵的随机变量X，c趋于零：Hexpα（k）=limc↓0Hexpα（k+cX）=极限↓0cHexpα（X）=0。2.2.3。

次可加性在本节中，我们首先强调，对于投资组合选择中遇到的大多数情况，xpα预计是次可加性的，但严格地说，它不是次可加性的。提案2.2。一般来说，Hexpα不是一个次加法测度。证据附录A给出了使用随机变量对（X，Y）的次加性的三个分析反例：一对独立的单侧（L'evy），一对基于Vrins等人提出的entr opy b边界的独立的双侧双峰（高斯混合）。（2007），并最终形成了一对共单调随机变量。有限合伙人(Ohm) 是支持集上定义的随机变量空间Ohm 有固定的时间。我们强调，这一主张与最近在投资组合管理文献中所作的一些陈述相矛盾（参见Flor es et al.2 017）。然而，值得强调的是，这些反例在投资组合应用中是非典型的。例如，L'evydistribution是非常有尾的：没有一个时刻是确定的，资产回报在实践中存在更多的尾部（续2001年）。类似地，多模态分布和协同单调性是投资组合管理中很少出现的行为。事实上，正如风险价值（Danielsson et al.2013）一样，指数R’enyi熵的次可加性可以合理假设在投资组合优化的特定背景下成立。例如，Z的指数r′enyi熵~ N（u，σ）坍缩为hexpα（Z）=σ√2πα1/(α-1） （Koski和Persson 1992）。从高斯分布的稳定性来看，次加性性质等同于σX+Y6σX+σY，而标准偏差的次加性又反过来成立（Artzner et al.1999）。然而，由于资产回报率通常不能用高斯分布很好地描述，这种特殊情况具有很大的限制性。

对资产回报率中观察到的fattails进行建模的一个更具吸引力的候选者是一般类别的椭圆（也称为径向）分布，它在数学金融和投资组合理论中有许多应用，参见。g、 Chen等人（2011年）。椭圆分布包括高斯分布、学生t分布、柯西分布和拉普拉斯分布。如下一个命题所示，当（X，Y）按照椭圆分布分布时，指数R′enyi熵是次加性的，提供了比高斯设置更广泛和更真实的条件。提案2.3。Let（X，Y）~ El（u，∑，g）和El（u，∑，g）为二元椭圆分布，即fX，Y（x）=|∑|-1/2克（十）- u)′Σ-1（x- u）,式中，gis为非负密度发生器函数，∑是∑行列式的绝对值=σXρσXσYρσXσYσY, （X，Y）的比例矩阵。然后，Hexpα是该对（X，Y）的次加性。证据见附录B。1、备注2。命题2.3可以扩展到任何维度，也就是说，如果X=（X，…，Xn）~El（u，∑，gn），然后是HexpαPni=1XiPni=1Hexpα（Xi）。结合正同质性性质，这意味着Hexpα在投资组合水平上是次加性的，即表示（w，…，wn）正投资组合权重，我们有HexpαPni=1wiXiPni=1wiHexpα（Xi）。我们感谢上述论文的作者就所提供的反例进行讨论。2.3。指数R'enyi熵是一种灵活的风险度量。该函数解释了α如何调整分布中心和尾部的相对分布，从而导致不同的风险定义。为了说明这一点，考虑两种极端情况α=0和α=∞. 如下一个命题所示，当α=0时，Hexpα（X）测量X的扩散，而当α=∞,Hexpα（X）由fX的上确界的倒数给出（见Koski和Persson 1992）。提案2.4。

设X为连续随机变量，则Hexp（X）：=limα↓0Hexpα（X）和Hexp∞（十） ：=limα→∞Hexpα（X）读取asHexp（X）=L(Ohm) , （2.5）Hexp∞（十） =1/sup-fX，（2.6），其中L(Ohm) 是X的支撑集的Lebesgue度量，Ohm := {x:fX（x）>0}。正如我们所看到的，改变α改变了我们衡量倾向性的方式，即不确定性，以及风险。取α=0等于通过分布的支持来测量r isk，而取α=∞ 通过最大概率来衡量风险的金额。正如我们在下一节中提出的那样，通过最小化投资组合回报率的各向异性，可以将x轴上的密度范围最小化（α=0），或将y轴上的密度范围最大化（α=∞.Hexp只关注极值（低熵=极值之间的低距离），而Hexp∞只关注最可能的结果（低熵=高最大可能性），因此，在对称单峰情况下，关注分布的中心。从这两个极端情况来看，结果是，在投资组合选择应用中，α太大是不可取的，因为Hexpα几乎不会受到tailevents的影响，这是对方差的批评。相反，通过减少α，我们为所有事件分配了更相似的“权重”，因此与模式周围的事件相比，增加了尾部事件的相对重要性。示例2.1。为了说明α的这种影响，图2.1显示了Hexpα（X），X~ t-Student（ν）与ν一起演化，以获得不同的α值。根据Zografos和Nadarajah（2005），Hexpα（X）表达asHexpα（X）=（πν）1-αΓν+1Γν!αΓα(ν+1)-Γα（ν+1）. （2.7）正如人们所看到的，当从α=2到α=0.4时，对ta il不确定度增加的敏感性越来越明显。2.4。