具有非线性财富的连续时间均值-方差投资组合选择

我们尝试用凸对偶方法结合鞅方法来解决随机利率问题（2.2）。然而，我们只能在附加假设下解子问题（2.4），而整个问题仍然是开放的。在第4.1节中，阐述了利率确定时的凸对偶方法。通过这种方法，我们获得了[29]中首次引入的方差e最优鞅测度，从中我们获得了非线性市场和经典线性市场之间的联系。第4.2节旨在解决子问题（2.4），前提是利率r是一个适应金融时报的过程。请注意，问题（2.4）是一个具有非线性财富方程的二次套期保值问题，即最小化支付d和最终财富水平XT之间差异的L-标准。尽管我们只能在附加假设下解决子问题（2.4），但它表明凸对偶方法比广义LQ方法更有效。4.1确定性利率我们将只考虑第一个子问题（2.4）和x≤ de公司-RTRSD。至于案例x≥ de公司-RTrsds，分析类似。在本节中，将使用定理3.5证明中定义的BSDE（3.6）。对于任何v∈ B、 θ∈ L2，BMOFW（0，T；Rn），设Nv，θT为以下随机微分方程的解，dNv，θt=-Nv，θthrtdt+σ′t（σtσ′t）-1vt+（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）θt′dWti，Nv，θ=1。然后Nv，θtertrsdis是[0，T]上的一致可积鞅。

此外，等价鞅测度{Qv，θ}（v，θ）∈在这个不完全市场中，B×L2，BMOFW（0，T；Rn）可以由Nv，θT，即dQv，θdP构造FT=Nv，θTeRTrsds。据我们所知，这是第一次应用BMO鞅ale来刻画等价鞅测度。将I t^o公式应用于XsNv，θson[0，t]，我们得到了xtnv，θt=x+ZtNv，θsh（π+s）′us- （π-s） ′us- π′svsids+ZtNv，θshπ′sσs- Xsv′s（σsσ′s）-1σs- Xsθ′s（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）idWs。（4.1）SetB={（v，θ）∈ B×L2，BMOFW（0，T；Rn）|（4.1）中的随机积分是任意π的鞅∈ A（x）}。期望（4.1）并注意到ut≤ vt公司≤ ut，我们有[XTNv，θt]≤ x、 对于任何（v，θ）∈ B、 π∈ A（x）。定理4.1假设假设1和2成立。设（▄Y，▄Z）为（3.6）的唯一解。设置^ζ=-2e类-Y（x- de公司-RTRSD）。然后通过HDQDP确定方差最优鞅测度QFT=N^v，^θTeRTrsds，其中^vt=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏-Zt |，^θt=Zt，t∈ [0，T]，a.s.（4.2）此外，问题（2.4）的最优投资组合可以表示为^πT=-^ζN^v，^θteYt（σtσ′t）-1（σtZt- ^vt），（4.3），问题（2.4）的最优终端财富为^XT=d-^ζN^v，^θT。证明：步骤1：凸对偶。对于0<ζ<∞, 定义（ζ）=infx≤d[（x- d） +ζx]=dζ-ζ.用Xπ表示财富过程（2.1），只要有必要表明其依赖于π∈ A（x）。然后π ∈ A（x），ζ>0，（v，θ）∈ B、 我们有（（XπT- d）-)≥ E[u（ζNv，θT）- ζXπTNv，θT）=E[dζNv，θT-ζ（Nv，θT）- ζXπTNv，θT]≥ dζe-RTRSD-ζE（Nv，θT）- 当且仅当存在^π时，xζ和等式成立∈ A（x），^ζ>0，和（^v，^θ）∈ B、 这样x^πT=^XT：=d-^ζN^v，^θT，是同时持有的组合^π，andE[^XTN^v，^θT]=x（4.4）下的最终财富。所以我们引入了对偶问题supζ>0（v，θ）∈Bdζe-RTRSD-ζE（Nv，θT）- xζ= - infζ>0（v，θ）∈伯克希尔哈撒韦- dζe-RTrsds+ζE（Nv，θT）+xζi=- infζ>0hζinf（v，θ）∈BE（Nv，θT）+ζ（x- de公司-RTrsds）i。

（4.5）我们首先处理术语inf（v，θ）∈BE（Nv，θT）。根据Nv，θtand▄Yt，（Nv，θt）e▄Yt=e▄YexpnZth▄Z的定义- 2σ′（σσ′）-1伏- 2（英寸- σ′（σσ′）-1σ）θi′dWs-Zt公司Z- 2σ′(σσ′)-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θdso·expnZtZ- 2σ′(σσ′)-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θdso·扩展-σ′（σσ′）-1v+（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θ- 2r级- g（▄Z）idso=e▄YexpnZth▄Z- 2σ′（σσ′）-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ）θi′dWs-Zt公司Z- 2σ′(σσ′)-1伏- 2（英寸- σ′(σσ′)-1σ)θdso·扩展σ′(σσ′)-1伏-Z+ (θ -~Z）′（英寸- σ′(σσ′)-1σ）（θ-Z）idso·expnZth-~Z′（英寸- σ′(σσ′)-1σ）~Z-|Z|- 2r级- g（￠Z）idso。从g（3.7）的定义来看，（Nv，θt）eYtis a submartingale for any（v，θ）∈ B、 根据鞅原理[6]，（^v，^θ）∈ inf（v，θ）的一个最优解∈BE（Nv，θT）当且仅当（N^v，θT）eYtis鞅。然后我们得到（4.2）中（^v，^θ）的表示：^vt=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏-Zt |，^θt=Zt，t∈ [0，T]，a.s.andinf（v，θ）∈BE（Nv，θT）=eY。通过简单计算，（4.5）中的第一个最大值是^ζ=-2e类-Y（x- de公司-RTRSD）>0。显然^XT=d-^ζN^v，^θTsatis fies（4.4）。步骤2：我们将证明存在一个投资组合^π∈ A（x）使得x^πT=^XT。通过^XtN^v，^θt=E[^XtN^v，^θt | Ft]=E[（d-^ζN^v，^θT）N^v，^θT | Ft]=de-RTrsdseRtrsdsN^v，^θt-^ζ（N^v，^θt）eYt，t∈ [0，T]，即^Xt=de-RTtrsds-^ζN^v，^θteYt，t∈ [0，T]。（4.6）显然，我们有^X=X。

AndE[dN^v，^θT | Ft]=de-RTrsdseRtrsdsN^v，^θt=de-RTrsdsh1-ZteRsrαdαN^v，^θsσ′s（σsσ′s）-1^vs+（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′dWsi，E[^ζ（N^v，^θT）| Ft]=^ζ（N^v，^θT）E^Yt=^ζheY+Zt（N^v，^θs）EYsZs- 2σ′s（σsσ′s）-1^vs- 2（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′dWsi。根据（4.1）和上述两个方程，可以证明存在^π∈ A（x）使得n^v，^θsh^π′sσs-^Xs^v′s（σsσ′s）-1σs-^Xs^θ′s（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）i=-de公司-RTrsdseRsrαdαN^v，^θsσ′s（σsσ′s）-1^vs+（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′-^ζ（N^v，^θs）eYsZs- 2σ′s（σsσ′s）-1^vs- 2（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′, （4.7）和（^π+s）′us- （^π）-s） ′us- ^π′s^vs=0（4.8）同时保持。注意（4.6）和^θ=~Z，我们有- N^v，^θs^Xs^θ′s（In- σ′s（σsσ′s）-1σs）=-de公司-RTrsdseRsrαdαN^v，^θs^θ′s（In- σ′s（σsσ′s）-1σs）-^ζ（N^v，^θs）eYs（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）~Zs- 2（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）^θs′.因此（4.7）等于nt toN^v，θsh^π′sσs-^Xs^v′s（σsσ′s）-1σsi=-de公司-RTrsdseRsrαdαN^v，^θsσ′s（σsσ′s）-1^vs′-^ζ（N^v，^θs）eYsσ′s（σsσ′s）-1σsZs- 2σ′s（σsσ′s）-1^vs′.因此，（4.3）满意度（4.7）中定义了^π。此外，我们声称^π满足（4.8）。实际上，请注意^vt=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏-Zt |=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏- σ′t（σtσ′t）-1σtZt- （英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）~Zt |=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1伏- σ′t（σtσ′t）-1σtZt |=argminv∈ B |σ′t（σtσ′t）-1（v- σtZt）|。（4.9）对于任何u∈ B和ε∈ （0，1），我们有^v+ε（u- ^v）∈ B因为B是凸的，而εh |σ′t（σtσ′t）-1（^v- σtZt）|- |σ′t（σtσ′t）-1（^v+ε（u- ^v）- σtZt）| i≤ 0、发送ε↓ 0，我们得到（u- ^v）′（σtσ′t）-1（^v- σtZt）≥ 0，u∈ B、 （4.10）表示（σtσ′t）的ITH分量-1（^v-σtZt）by（（σtσ′t）-1（^v-σtZt）i，i=1。。。，m、 那么一定有^vi=ui，if（（σtσ′t）-1（^v- σtZt）i≥ 0，ui，if（（σtσ′t）-1（^v- σtZt）i≤ 回顾陈述（4.3），这意味着（4.8）。步骤3：我们将显示（^v，^θ）∈ B、 即（4.1）中的随机积分是任意π的鞅∈ A（x）。

根据（4.1），有必要证明ztn^v，^θshπ′sσs- Xs^v′s（σsσ′s）-1σs- Xs^θ′s（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）Idws是任意π的一致可积马氏体∈ A（x）。回想一下，eRtrsdsN^v，^θtand（N^v，^θt）ey是两个一致可积鞅，r是有界的，我们有∈[0，T]| N^v，^θT | i≤ CEhsupt公司∈[0，T]eRtrsds | N^v，^θT | i≤ CeRTrsdsEh | N^v，^θT | i=CeRTrsdseY<∞,第二个不平等是由于杜布的不平等。所以我们有ZT | N^v，^θtπ′tσt | dt我≤Ehsupt公司∈[0，T]| N^v，^θT |+ZT |π′TσT | dti<∞,安第斯ZT | N^v，^θtXt^v′t（σtσ′t）-1σt | dt我≤ CEh公司ZT | N^v^θtXt | dt我≤ C√Ehsupt公司∈[0，T]| N^v，^θtXt | i≤C√TEhsupt公司∈[0，T]| N^v，^θT |+支持∈[0，T]| Xt | i<∞.从N^v，^θt的定义，我们知道ztn^v，^θs^θ′（In- σ′s（σsσ′s）-1σs）dWs=1- N^v，^θt-ZtrsN^v，^θsds-ZtN^v，^θs^v′s（σsσ′s）-1σsdWs。通过BDG不等式，我们得到了Ezt | N^v，θt^θ′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）| dt≤ CEhsupt公司∈[0，T]ZtN^v，^θs^θ′s（In- σ′s（σsσ′s）-1σs）dWs我≤ C+CEH以上∈[0，T]| N^v，^θT|+ZTN^v，^θsds+ 支持∈[0，T]ZtN^v，^θs^v′s（σsσ′s）-1σsdWs | i≤ C+CEH以上∈[0，T]ZtN^v，^θs^v′s（σsσ′s）-1σsdWs我≤ C+CEhZTN^v，^θs^v′s（σsσ′s）-1σsdsi<∞.ThenEh公司ZT | N^v，^θtXt^θ′t（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）| dt我≤ 呃支持∈[0，T]XtZT | N^v，^θt^θ′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）| dt我≤呃支持∈[0，T]Xt+ZT | N^v，^θt^θ′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）| dti<∞.从BDG不等式，ZtN^v，^θshπ′sσs- Xs^v′s（σsσ′s）-1σs- Xs^θ′s（英寸- σ′s（σsσ′s）-1σs）idWsis实际上是任意π的一致可积鞅∈ A（x）。步骤4：显示^π∈ L（0，T；Rm）。在注意到N^v，θse满足以下等式后，可以通过类似于定理3.8中的方法来保证这一点d(-^ζN^v，^θse▄Ys）=h-^ζrsN^v，^θseYs+^π′s^vsids+^π′sσsdWs，-^ζN^v，^θeY=-这就完成了证明。（4.10）中的备注4.2，如果ui<^vi<ui，则必须有（（σtσ′t）-1（^v- σtZt）i=0，且^πit=0乘以（4.3），即。

投资者不应投资第i只股票。备注4.3如果d=d*, （4.3）中定义的π与最优投资组合π一致*（t，^Xt）in（3.23）。详情留给感兴趣的读者。任何v的备注4.4∈ B、 以下BSDE（4.11）允许使用唯一的解决方案（Pvt，∧vt）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn），使得Pvt≥ 对于某些正常数C，根据[22]的定理2.2。dPvt=-nrPvt公司- Pvt（v+σt∧vPvt）′（σtσ′t）-1（v+σt∧vtPvt）odt+（λvt）′dWt，PvT=1。（4.11）实际上，（4.11）是线性财富方程下与均值方差问题相关的Riccati方程：dXt=（rtXt+π′tvt）dt+π′tσtdWt，X=X。注意，（3.4）的解（P2，t，∧2，t）是一致正的，根据[4]中的定理9.6.7，我们有Pvt≤ P2，T对于任何v∈ B、 因此ess supv∈ BPvt公司≤ P2，t，t∈ [0，T]，a.s.然后用于^v∈ B在（4.2）中定义，我们有p2，t=P^vt=ess supv∈ BPvt，t∈ [0，T]，a.s.（3.4）的唯一性。同样，我们可以证明1，t=Pvt=ess infv∈ BPvt，t∈ [0，T]，a.s.，其中▄v=argminv∈ B- （v+σt∧1，tP1，t）′（σtσ′t）-1（v+σt∧1，tP1，t）.备注4.5让^v在（4.2）中定义，那么问题（2.2）等价于线性财富方程的以下问题：最小化E（XT- K） ，s.t。EXT=K，σ′π∈ L（0，T；Rn），dXt=（rtXt+π′T^vt）dt+π′TσtdWt，X=X。实际上，^v是（π+’u）的次导数- （π-)′\'u在Ji【14】的推论4.4中要求。4.2 eWe的随机利率r将表明，当利率r是一个Ft适应过程时，第4.1节中使用的方法在解决子问题（2.4）中有效。代替假设1，我们对利率r给出以下假设。假设3 r∈ L∞（0，T；R）。显然，假设3弱于1。在假设3下，存在两个常数c，csuch tha tc≤ rt公司≤ c、 t型∈ [0，T]，a.s.然后e-cT≤ e-RTRSD≤ e-计算机断层扫描。

我们需要以下技术假设。假设4 x<de-计算机断层扫描。备注4.6如果初始财富xis较小或时间t的目标d足够大，则假设4成立。我们假设风险资产的数量等于B.M.的维数，即M=n。在假设2、3和4下，通过[8、14、17]，问题（2.4）等价于以下问题：选择终端财富ξ，以最小化e（ξ- d） ，s.t。ξ∈ L(Ohm, 英尺；R） ，Vξ≤ x、 （4.12）其中（Vξt，qt）是BSDE的唯一解：Vξt=ξ-ZTt公司rsVξs+（q′sσ-1s）+us- （q’sσ-1s）-usds公司-ZTtq的sdWs。根据El Karoui等人[7]中的命题3.4，我们得到vξ=supv∈ BE公司NvTξ,其中NvT=e-RT（RT+|σ-1tvt |）dt-RT（σ-1tvt）’载重吨。让函数u（·）在第4.1小节中定义，即。u（ζ）=dζ-ζ, ζ > 0. 然后ξ∈ L(Ohm, 英尺；R） 带Vξ≤ x，ζ>0，v∈ B我们有（ξ- d）≥ E【u（ζNvT）】- ζξNvT]≥ Eu（ζNvT）- xζ，当且仅当存在^v时，等式成立∈ B和^ζ>0，使得^ξ：=d-^ζN^vT，andE[^ξN^vT]=x.（4.13），在这种情况下，^ξ：=d-^ζN^vt是问题（4.12）的最优值，因为问题（4.12）的下界已确定。对于任何ζ>0的情况，设置▄V（ζ）=supv∈ BE公司u（ζNvT）. 采用与引理3类似的方法。在[16]中，我们有以下引理。引理4.7在假设2、3和4下，对于任何ζ>0，存在^v=^vζ∈ B使得￠V（ζ）=Eu（ζN^vT）.通过上述引理，我们得到了引理4.8，在假设2、3和4下，~V（ζ）在（0）上是凹的，∞).证明：对于任何ζ，ζ>0，let^v，^v∈ B使得￠V（ζ）=supv∈ BE公司u（ζNvT）= Eu（ζN^vT）,V（ζ）=supv∈ BE公司u（ζNvT）= Eu（ζN^vT）.那么对于任何λ∈ （0，1），我们有λОV（ζ）+（1- λ） V（ζ）=Ehλu（ζN^vT）+（1- λ） u（ζN^vT）i≤ Ehu（λζN^vT+（1- λ） ζN^vT）i=Eu（λζ+（1- λ） ζ）NvT≤ supv公司∈ BE公司u(λζ+ (1 - λ） ζ）NvT=V（λζ+（1- λ） ζ），其中Nvt=λζN^vt+（1-λ） ζN^vtλζ+（1-λ） ζ，v=λζN^vtλζN^vt+（1-λ） ζN^vt^v+（1-λ） ζN^vtλζN^vt+（1-λ） ζN^vt^v∈ B

引理4.9在假设2、3和4下，存在一个数^ζ∈ （0，∞) 其上限supζ>0（~V（ζ）- xζ）。证明：显然，~V（0）=0。和▄V（ζ）=EdζN^vT-ζ（N^vT）≤ dζe-cT-cζ，对于某些c>0。因此limζ→∞（￠V（ζ）- xζ）≤ limζ→∞(-cζ+（de-cT- x） ζ）=-∞.类似地，我们有▄V（ζ）=EdζN^vT-ζ（N^vT）≥ dζe-cT-cζ，对于某些c>0。然后￠V（ζ）- xζ≥ -cζ+（de-cT- x） 如果0<ζ<4（de），则ζ>0-cT-x） c.因此，supζ>0（￠V（ζ）- xζ）=V（^ζ）- x^ζ，对于某些^ζ∈ （0，∞). 引理4.10在假设2、3和4下，V（ζ）在（0，∞).证明：对于任何ζ>0的情况，设^v为^v（ζ）=Eu（ζN^vT）. 然后通过u（·）的凸性，我们得到了任意δ>0V（ζ+δ）-V（ζ）δ≥δEhu（（ζ+δ）N^vT）- u（ζN^vT）i≥δEhu′（（ζ+δ）N^vT）δN^vTi=Eh（d-ζ+δN^vT）N^vTi。注意E（N^vT）是有界的，那么我们有limδ→0+~V（ζ+δ）-V（ζ）δ≥ Eh（d-ζN^vT）N^vTi。同样，我们有limδ→0±V（ζ）-V（ζ- δ） δ≤ Eh（d-ζN^vT）N^vTi。由于▄V（·）是凹的，我们得到▄V（·）在（0，∞) a nd▄V′（ζ）=Eh（d-ζN^vT）N^vTi。定理4.11假设假设3、3和4成立。Let^ζ∈ （0，∞) 应确保supζ>0（￠V（ζ）- xζ）=V（^ζ）- x^ζ和^v∈ B应确保￠V（^ζ）=supv∈ BE公司u（^ζNvT）= Eu（^ζN^vT）, 则^ξ：=d-^ζN^vt是问题（4.12）的最佳值。证明：我们只需要证明^ξ：=d-^ζN^vtsaties（4.13）。通过引理4.10，我们知道V′（^ζ）=Eh（d-^ζN^vT）N^vTi。另一方面，V′（^ζ）=x，因此E[^ξN^vT]=Eh（d-^ζN^vT）N^vTi=x。参考文献[1]Bielecki T，Jin H，Pliska S，Zhou X（2 005）破产禁令下的连续时间均值方差投资组合选择。数学资金15(2): 213-244.[2] Cuoco D，Cvitanic J（1998），“大型”投资者的最佳消费选择。J、 经济学。发电机。控制22(3): 401-4 36.[3] Cvitanic J，Ka ratzas I（1992）约束投资组合优化中的凸对偶。安。应用程序。

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