具有非线性财富的连续时间均值-方差投资组合选择

πβ，由于σ′tπβ，t=β（σit）′（t，ω），它是容许的∈Mi/|σit |和（π+β，t）′ut- （π-β、 t）′ut=βuit |σit |（t，ω）∈密歇根州。时间T对应πβ的财富过程为xt=xeRTrsds+ZTeRTtrsds（（πβ，T）+）′uT- （（πβ，t）-)′ut）dt+ZTeRTtrsdsπ′β，tσtdWt=xeRTrsds+βZTeRTtrsdsuit |σit |（t，ω）∈Midt+βZTeRTtrsdsσit |σit |（t，ω）∈米德尔特。考虑到双方的期望，我们得到ext=xeRTrsds+βE“ZTeRTtrsdsuit |σit |（t，ω）∈Midt#。定义=E“ZTeRTtrsdsuit |σit |（t，ω）∈Midt#。我们有k>0，因为σit>0和uit（t，ω）∈Mi>0。取β=K-xeRTrsdsk，我们得到EXT=K，这意味着问题（2.2）是可行的。对于PMI=1 HRT（(R)uit）的情况-dti>0，证明类似。（2） 相反，如果问题（2.2）对于任何K都是可行的≥ 然后，对于给定的K>xeRTrsds，存在一个可接受的投资组合π，使得K=EXT=xeRTrsds+E“ZTeRTtrsds（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt#导致“ZTeRTtrsds（（π+t）′ut- （π-t） \'ut）dt#>0。（3.2）如果（3.1）不成立，那么对于t，ut<0和ut>0同时成立∈ [0，T]，a.s。。它是“ZTeRTtrsds（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt#≤ 0这与（3.2）相矛盾。这就完成了证明。备注3.2当ut=(R)ut，t∈ [0，T]，a.s.，（3.1）退化为EhRT |uT | dti>0。从现在起，我们将在本文中假设（3.1）保持不变。3.1第一个子问题（2.4）定义了以下映射：H*1，t（π，P，λ）：=Pπ′σtσ′tπ+2[P（（π+）′ut- （π-)′\'ut）+π′σt∧]，H*2，t（π，P，∧）：=Pπ′σtσ′tπ- 2[P（（π+）′ut- （π-)′ut）+π′σt∧]，（t，π，P，λ）∈ [0，T]×Rm×R×Rn，and h1，T（P，λ）：=infπ∈马来西亚令吉*1，t（π，P，λ），H2，t（P，λ）：=infπ∈RmH*2，t（π，P，∧），（t，P，∧）∈ [0，T]×R×Rn。在As sumption2下，对于任何P>0，λ∈ Rn，存在C（P，∧）>0H*1，t（π，P，∧）≥ εP |π|- C（P+∧|）|π|=εP |π|（|π|）-C（P+∧εP）。如果|π|>C（P+|∧|）εP，则H*1，t（π，P，∧）>0。

注意infπ∈RmH*1，t（π，P，∧）≤ H*1，t（0，P，λ）=0，这意味着h1，t（P，λ）=inf |π|≤C（P+∧|）εPH*1，t（π，P，∧）>-∞.因此，H1，t（P，∧）是有限的。H2，t（P，∧）也是如此。为了解决子问题m（2.4），我们引入以下两个随机Ricc ati方程：dP1，t=-[2rtP1，t+H1，t（P1，t，∧1，t）]dt+1，tdWt，P1，t=1，P1，t>0；（3.3）dP2，t=-[2rtP2，t+H2，t（P2，t，∧2，t）]dt+2，tdWt，P2，t=1，P2，t>0。（3.4）事实上，BSDE（3.3）（和（3.4）的解发生在有界平均振荡的鞅类中，简写为BMO鞅。在这里，我们将介绍这一理论的一些事实，见Ka zamaki【21】。过程r∧′sdwsr是一个BMO鞅当且仅当存在一个常数C>0，使得eZTτ|∧s | dsFτ≤ C所有停车时间τ≤ TBMO鞅的s阶指数E（R∧′sdWs）是一致可积鞅。此外，如果r∧′sdWs和r·Z′sdWs都是BMO鞅，那么在depdp=E（RTZ′sdWs）定义的概率度量下，fWt=Wt-RtZsds是标准的布朗运动，而R∧′SDFW是BMO鞅。SetL2，BMOFW（0，T；Rn）={∧∈ L（0，T；Rn）Z·∧′sdWsis是BMO鞅}。定义3.3一对过程（P，∧）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn）（resp.（P，∧）），如果满足（3.3）（resp.（3.4）），则称为Riccati方程（3.3）（resp.（3.4））的解。Riccati方程（3.3）和（3.4）是高度非线性的BSDE，它们同时满足标准Lipschitz条件和二次增长条件。关于随机Riccati方程的可解性，有几个结果（例如，见Hu和Zhou【13】、Kohlmann和Tang【22】）。

但据我们所知，没有结果可以直接应用于（3.3）和（3.4）。我们首先给出了（3.3）和（3.4）的解的有界性结果，这在推论（3.7）中很有用。命题3.4在假设1和2下，如果（P，∧）是方程（3.3）（或（3.4））的解，则≤ eRTtrsds。证据：我们仅证明（3.3）的索赔和（3.4）的证据相似。设置“Pt=teRtrsds”和“t=teRtrsds”。（P，∧）是BSDE的解决方案d’Pt=-eRtrsdsH1，t（e-2RTRSD’Pt，e-2Rtrsds∧t）dt+∧tdWt，\'PT=ERTRSD，\'PT>0。自H1起，t≤ 0，是一个子标记。因此，\'Pt≤ E[(R)PT | Ft]=(R)PT导致PT≤ eRTtrsds。现在我们证明了（3.3）和（3.4）解的存在唯一性。此后，我们将使用C表示一个通用的正常数，该常数可能因行而异。定理3.5假设r∈ L∞（0，T；R）和假设2保持不变，则存在（P，λ）（分别P，λ））到（3.3）（分别3.4））的唯一溶液，因此，P≥ C（分别为P≥ C） 对于某些C>0。证据：我们仅证明（3.4）的索赔与（3.3）的索赔相似。其想法是将随机Riccati方程（3.4）转化为二次BSDE（通过指数变换），其存在性和唯一性是已知的。在下面的证明中，如果没有混淆，参数t将被省略。

SetB={v：[0，T]×Ohm → Rm | v∈ L∞（0，T；Rm）和uT≤ vt公司≤ ut，t∈ [0，T]，a.s.}。回想一下H（P，λ）的定义，对于P>0，我们有∈ Rn，H2，t（P，∧）=infπ∈RmPπ′σtσ′tπ- 2[P（（π+）′ut- （π-)′\'ut）+π′σt∧]= infπ∈Rmsupv公司∈ BPπ′σtσ′tπ- 2π′（P v+σ∧）= supv公司∈ Binfπ∈RmPπ′σtσ′tπ- 2π′（P v+σ∧）= supv公司∈ B- P（v+σt∧P）′（σtσ′t）-1（v+σt∧P）= - infv公司∈ BP（v+σt∧P）′（σtσ′t）-1（v+σt∧P）, （3.5）我们在第三次权益中使用最小-最大theo-rem。考虑具有二次增长的BSDE▄Yt=ZTtgs（▄Zs）ds-ZTtZ′sdWs，（3.6），其中gt（Z）：=infv∈ Bσ′t（σtσ′t）-1伏- Z- Z′（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）Z-|Z|- 第2条。（3.7）根据[4]中的定理9.6.3，BSDE（3.6）有一个唯一的解（￠Y，￠Z）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn）。设置（Pt，∧t）=（e-年初至今，-中兴通讯-Yt），然后PT=e-YT=1。从▄Yt的有界性，我们知道∧∈ L2，BMOFW（0，T；Rn）。将It^o公式应用于e-Yt，dPt=de-Yt=-e-Yth- infv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1伏-Zt+~Z′t（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）~Zt+2σt- e-▄Yt▄Z′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1v+∧tPt+Pt∧′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tidt+∧′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1（v+σt∧tPt）+（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tPt+Pt∧′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tidt+∧′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1（v+σt∧tPt）- Pt公司（英寸- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tPt+Pt∧′t（In- σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tidt+∧′tdWt=-h2rtPt- Ptinfv公司∈ Bσ′t（σtσ′t）-1（v+σt∧tPt）idt+∧′tdWt=-h2rtPt+H2，t（Pt，∧t）idt+tdWt，其中我们使用了σ′t（σtσ′t）的正交性-1（v+σt∧tPt）和（In-σ′t（σtσ′t）-1σt）∧tPtin第五个等式，In的幂等性- σ′t（σtσ′t）-第六个等式为1σt，最后一个等式为（3.5）。注意，Y是有界的，因此存在常数C>0，使得Pt=e-年初至今≥ C、 这表明（Pt，∧t）实际上是（3.4）的解。现在让我们来证明这种独特性。假设（P，∧）和（▄P，▄是（3.4）的两个解，这样P≥ C、 P≥ 对于某些C>0。

确定流程（U、V）=ln P，∧P, （▄U，▄V）=ln▄P，▄∧P！。然后（U，V），（U，V）∈ L∞（0，T；R）×L2，BMOFW（0，T；Rn）。通过It^o公式和类似的分析，正如在存在的前提下一样，不难证明（U，V）和（~U，~V）都是（3.6）的解。从解的唯一性到（3.6），我们有U=~U。因此P=~P，这给出了（3.4）的解的唯一性。这就完成了证明。备注3.6如果m=n，则In- σ′t（σtσ′t）-1σt=0，且（3.7）变为（Z）：=infv∈ Bσ′t（σtσ′t）-1伏- Z-|Z|- 第2条。下列推论有助于确定拉格朗日乘数。推论3.7假设假设1、2和3.1成立。设（P1，t，∧1，t）和（P2，t，∧2，t）分别为（3.3）和（3.4）的唯一解。然后我们有1,0e-2RTRSD≤ 1和P2,0e-2TRSDS<1。证明：根据命题3.4，我们有P1,0e-2RTRSD≤ 1和P2,0e-2RTRSD≤ 1、如果P2,0e-2RTrsds=1，然后是H2，t（P2，t，∧2，t）≡ t为0∈ 【0，T】，a.s。。然后（P2，t，∧2，t）=（eRTtrsds，0），这导致h2，t（P2，t，0）=P2，tinfπ∈Rmhπ′σtσ′tπ- 2（（π+）′ut- （π-)′ut）i=0。注意，（3.1）意味着以下两种说法中的任何一种都成立：（1）至少有一种ui，i=1。。。，m在（t，ω）的严格正测度集上严格大于0；（2） 至少有一个|ui，i=1。。。，具有严格正测度的（t，ω）集合上的m严格小于0。在不丧失一般性的情况下，我们假设u（t，ω）∈M> 0。然后对于a.e.a.s.（t，ω）∈ M、 infπ∈Rmhπ′σtσ′tπ- 2（（π+）′ut- （π-)′ut）i≤ infπ∈Rm+hπ′σtσ′tπ- 2π′uti≤ infπ∈Rm+hCπ′π- 2π′uti≤ C（utC，0，…，0）（utC，0，…，0）\'- 2（utC，0，…，0）（ut，ut，…，umt）′=-C（ut）<0，其中C是严格的正常数。因此，我们推断出一个矛盾。这就完成了证明。对于任何P>0，λ∈ Rn，H*1，t（π，P，∧）与π不一定是凸的，因此它可能包含多个最小P点。

设∏t（P，∧）为H的最小点集*1，t（π，P，∧），即∏t（P，∧）={π1，t（P，∧）| H*1，t（π1，t（P，∧），P，∧）=infπ∈RmH*1，t（π，P，∧）}。而对于任何P>0，∧∈ Rn，H*2，t（π，P，∧）与π严格凸。所以它允许一个唯一的最小点π2，t（P，λ），即π2，t（P，λ）=argminπ∈RmPπ′σtσ′tπ- 2[P（（π+）′ut- （π-)′\'ut）+π′σt∧]. （3.8）定理3.8假设假设假设1、2和（3.1）成立。设（P1，t，∧1，t）和（P2，t，∧2，t）分别为（3.3）和（3.4）的唯一解。对于任意π1，t∈ πt，π2，tde定义于（3.8），状态反馈控制π*t=π1，t（P1，t，∧1，t）Xt公司- de公司-RTtrsds++ π2，t（P2，t，∧2，t）Xt公司- de公司-RTtrsds-（3.9）对于问题（2.4）是最优的。此外，最佳值为infπ∈AE（XT- d）=P1,0（x- de公司-RTRSD），如果x≥ de公司-RTRSD，P2,0（x- de公司-RTRSD），如果x≤ de公司-RTRSD。（3.10）证明：对于任何π∈ A（x）财富过程x，defineyt=Xt- de公司-RTtrsds。根据田中公式，dY+t=I{Yt>0}（rtYt+（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt+I{Yt>0}π′tσtdWt+dLt，其中lti是Ytat 0的本地时间。将I t^o公式应用于（Y+t），我们得到（Y+t）=2Y+tnI{Yt>0}（rtYt+（π+t）′ut- （π-t） ′ut）dt+I{Yt>0}π′tσtdWt+dLto+I{Yt>0}π′tσtσ′tπtdt=n2rt（Y+t）+2Y+t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+I{Yt>0}π′tσtσ′tπtodt+2Y+tπ′tσtdWt，其中我们使用了factRt | Yt | dLt=0，a.s。。然后将It^o公式应用于P1，t（Y+t），dP1，t（Y+t）=nI{Yt>0}P1，tπ′tσtσ′tπt+2（Y+t）P1，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- （Y+t）H1，t（P1，t，∧1，t）odt+n2P1，tY+tπ′tσt+（Y+t）∧′1，todWt。（3.11）类似地，dP2，t（Y-t） =nI{Yt≤0}P2，tπ′tσtσ′tπt- 2（Y-t）P2，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧2，t- （Y）-t） H2，t（P2，t，∧2，t）odt+n- 2P2，tY-tπ′tσt+（Y-t） ∧′2，todWt。（3.12）对于n≥ 1，确定停止时间τnas如下：τn=inf{t>0Zt | 2P1，sY+sσ′sπs+（Y+s）∧1，s | ds+Zt |- 2P2，sY-sσ′sπs+（Y-s） ∧2，s | ds≥ n}∧ T、 （3.13）其中inf := +∞. 很明显，{τn}n≥1是一个递增序列，收敛到T，a.s。。

将（3.11）和（3.12）从0加到τn，我们得到P1，τn（Y+τn）+P2，τn（Y-τn）= P1,0（Y）+P2,0（Y-)+ EZτnnI{Yt>0}P1，tπ′tσtσ′tπt+2（Y+t）P1，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- （Y+t）H1，t（P1，t，∧1，t）+I{Yt≤0}P2，tπ′tσtσ′tπt- 2（Y-t）P2，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧- （Y）-t） H2，t（P2，t，∧2，t）odt。（3.14）对于t∈ [0，T]，用φ（Yt，πT）表示上述方程（3.14）右侧的被积函数。对于任何π∈ A通过财富流程X，定义Rm估值流程utbyut=πt | Yt |，如果Yt6=0；0，如果Yt=0。当Yt>0时，（3.11）右侧的漂移项变成sp1，tπ′tσtσ′tπt+2YtP1，t（（π+t）′ut- （π-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- YtH1，t（P1，t，∧1，t）=YtP1，tu′tσtσ′tut+2P1，t（（u+t）′ut- （u）-t） ′ut）+π′tσt∧1，t- H1，t（P1，t，∧1，t）≥ 0定义H1，t（P，∧）。通过定义H2，t（P，∧），我们可以显示φ（Yt，πt）≥ 如果Yt<0，则为0。因此，我们得到φ（Yt，πt）是非负的。对于任意π∈ A、 很容易验证Ehsupt∈[0，T]| Yt | i<∞. 让n→ ∞, 根据支配收敛定理，我们得到了（XT- d） =E（YT）=EP1，T（T）（Y+T）+P2，T（Y-T）= P1,0（Y）+P2,0（Y-)+ EhZTφ（Yt，πt）dti≥ P1,0（Y）+P2,0（Y-),等式在π处成立*t=π1，t（P1，t，∧1，t）Xt公司- de公司-RTtrsds++ π2，t（P2，t，∧2，t）Xt公司- de公司-RTtrsds-,即（3.9）。作为推论，证明了（3.10）。还有待证明σ′π*∈ L（0，T；Rn）。

在随后的证明中，如果没有混淆，我们有时会省略t或ω。注意（π*)+= π+Y++π+Y-, 和（π*)-= π-Y++π-Y-.接下来，我们证明下列方程（3.15）具有唯一的连续Ft自适应解。dYt=（rtYt+（（π*t） +）′ut- ((π*t）-)′ut）dt+（π*t） ′σtdWt=（rtYt+Y+t（π+）′ut- Y+t（π-)′ut+Y-t（π+）′ut- Y-t（π-)′ut）dt+（Y+tπ′σt+Y-tπ′σt）dWt，Y=x- de公司-RTrsds，t∈ [0，T]。（3.15）考虑以下两个等式：d’Yt=（rt’Yt+（π+）’ut’Yt- （π-)′？ut？Yt）dt+？Ytπ′σtdWt，？Y=（x- de公司-RTrsds）+，t∈ [0，T]，（3.16）和dYt=（rtYt- （π+）′utYt+（π-)′(R)utYt）dt-~Ytπ′σtdWt，~Y=（x- de公司-RTRSD）-, t型∈ [0，T]。（3.17）然后“Yt=（x- de公司-RTRSD）+出口rs+（π+）′us- （π-)′us-π′σsσ′sπds+Ztπ′σsdWso，（3.18）和▄Yt=（x- de公司-RTRSD）-expnZt公司卢比- （π+）′us+（π-)′us-π′σsσ′sπds+Ztπ′σsdWso。（3.19）很容易验证Y=(R)Y-Y是（3.15）的解。为了证明唯一性，设Y和˙Y是（3.15）的两个解。设置^Yt=Yt-˙Yt，at=Y+t-˙Y+tYt-˙YtI{Yt6=˙Yt}，bt=Y-t型-˙Y-tYt公司-˙YtI{Yt6=˙Yt}。然后^Y解出以下线性SDEd^Yt=^Yt（rt+at（π+）′ut- at（π-)′ut+bt（π+）’ut- bt（π-)′\'ut）dt+^Yt（在π′σt+btπ′σt）dWt，^Y=0，t∈ [0，T]，其具有唯一解^Y=0。因此，（3.15）有一个独特的解决方案。我们用Y表示*. 然后π*t=π1，t（P1，t，∧1，t）（Y*t） ++π2，t（P2，t，∧2，t）（Y*t）-.用τ表示*（3.13）中规定的（Y）停止时间*t、 π*t） 。从（3.14）可以看出P1，τ*n（Y+τ*n） +P2，τ*n（Y）-τ*n）= P1,0（Y）+P2,0（Y-). （3.20）回想一下，根据定理3.5的证明，存在一个常数C>0，使得p1，t≥ C、 P2，t≥ C、 t型∈ [0，T]。然后到（3.20），我们知道（Y*τ*n∧ι)≤ P1,0（Y）+P2,0（Y-)对于在[0，T]中取值的任何停止时间ι。Fatou引理给出E（Y*ι)≤ C

根据It^o公式，我们有（Y*t） =y+Zt（2rs（y*s） +2年*s（（（π*s） +）’us- ((π*s）-)′us）+σ′sπ*s |）ds+Zt2Y*s（π*s） ′σsdWs。通过π和π的定义，对于每个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, πi和πi取值于{0(-（σσ′）-1（uI+σ∧P））I，（σσ′）-1（uI+σ∧P）I:I {1，2…，m}，I {1，2…，m}}。因此，存在一个常数c，使得zt |σ′tπ*t | dt≤ C s up0≤t型≤T | Y*t | XI{1,2…，m}I{1,2…，m}ZT（|（σσ′）-1（uI+σ∧P）|+|（σσ′）-1（uI+σ∧P）|）dt<+∞, a、 s.（3.21）因为∧，所以∧是平方可积的，而其他三者是有界的。对于n≥ 1，确定停止时间δn=inf{t>0Zt | Y*sσ′sπ*s | ds≥ n}∧ T、 然后，由于（3.21），它几乎完全收敛到T。大豆+EZτ*n∧δn |σ′sπ*s | ds=E（Y*τ*n∧δn）- EZτ*n∧δn（2rs（Y*s） +2年*s（（（π*s） +）’us- ((π*s）-)′us）ds。设ε>0为Assumption2中的常数，则得到εEZτ*n∧δn |π*s|ds≤ C+CEZτ*n∧δn2 | Y*s | |π*s | ds≤ C+εEZτ*n∧δn |π*s | ds+2CεEZτ*n∧δn | Y*s | ds。经过重排后，它遵循法图引理thatEZT |π*s | ds≤ C、 这就完成了证明。3.2第二个子问题（2.5）在本小节中，我们确定拉格朗日乘数d*∈ R达到最小π的最大值∈A（x）^J（π，d）。从（2.3）开始，最小π∈A（x）^J（π，d）=infπ∈A（x）E（XT- d）- （d）- K）=P1,0（x- de公司-RTRSD）- （d）- K） ，如果x≥ de公司-RTRSD；P2,0（x- de公司-RTRSD）- （d）- K） ，如果x≤ de公司-RTRSD=P1,0e-2RTRSD- 1.d-2xP1,0e-RTRSD- 2公里d+P1,0x- K、 如果是d≤ xeRTrsds；P2,0e-2RTRSD- 1.d-2xP2,0e-RTRSD- 2公里d+P2,0x- K、 如果是d≥ xeRTrsds。定义（d）=P1,0e-2RTRSD- 1.d-2xP1,0e-RTRSD- 2公里d+P1,0x- Kh（d）=P2,0e-2RTRSD- 1.d-2xP2,0e-RTRSD- 2公里d+P2,0x- K、 根据推论3.7，P1,0e-2RTRSD- 1.≤ 0，P2,0e-2RTRSD- 1<0。然后我们得到Maxd≤xeRTrsdsf（d）=f（xeRTrsds）=-（xeRTrsds- K） ，最大值≥xeRTrsdsh（d）=h（d*),何处*=xP2,0e-RTRSD- KP2,0e-2RTRSD- 1.

（3.22）自K≥ xeRTrsds，我们有那个d*≥ xeRTrsdsandh（d*) ≥ h（xeRTrsds）=-（xeRTrsds- K） 。因此d*达到最小π的最大值∈A（x）^J（π，d）。对于最佳π*（3.9）中定义的d=d*, 我们得到的是thatYt=(R)Yt-Yt=-年初至今≤ 0来自（3.1 6）和（3.17）。上述分析归结为以下定理。定理3.9假设假设1和2成立。问题（2.2）的有效策略可以写成时间t和财富Xt：π的函数*（t，X）=-π2，t（P2，t，∧2，t）Xt公司- d*e-RTtrsds（3.23）此外，有效边界isVa r（XT）=P2,0e-2RTrsds1- P2,0e-2RTRSD外景- xeRTrsds公司.备注3.10当m=n=1且σt>0时，t∈ [0，T]，a.s.我们有h2，T（P，∧）=infπ∈RPσtπ- 2[P（π+ut- π-ut）+πσt∧]=-（Put+σt∧）Pσt，如果σt∧P≥ -ut，0，如果- ut≤σt∧P≤ -ut，-（P？ut+σt∧）Pσt，如果σt∧P≤ -ut和π2，t（P，∧）=Put+σt∧Pσt，如果σt∧P≥ -ut，0，如果- ut≤σt∧P≤ -ut，P？ut+σt∧Pσt，如果σt∧P≤ -ut。如果u=u=u，则π*（t，X）=0当且仅当σt∧tPt=-ut.在我们的非线性市场中，π*（t，X）=0 i且仅当-ut≤σt∧tPt≤ -ut。也就是说，无风险投资区域变得更大。备注3.11如果m=n=1，且ut，(R)ut，σ是[0，t]上的确定性连续函数，0≤ ut≤ utandσt>0。（3.3）和（3.4）的唯一解由（P1，t，∧1，t）=（eRTt（2rs）给出-usσs）ds，0）；（P2，t，∧2，t）=（eRTt（2rs-usσs）ds，0）。我们在[15]中恢复了相同的结果。备注3.12对于任何有效策略，均不涉及（P，∧）。事实上，根据（3.18）和（3.19），对于任何具有财富过程X的有效策略，Yt=Xt-d*e-RTtrsdsis始终为非正。因此Yt=-Y-tand（P，∧）不出现在有效策略中。4凸对偶注意Xt-de公司-如果利率是一个适应Ft的随机过程，则RTtrsdsis不适应Ft。因此，第3节中使用的广义LQ方法不起作用。