H.Eugene Stanley科学合作的层级组织

事实上，在P（s）中，这种函数适用于所有尺度，甚至在P（k）和P（kw）中看到的低阶节点的Zipf-Mandelbrot类型的初始波动，也出现在其他科学计量学分析中（Ausloos，2014b），消失了。这类似于语言学背景下的观察结果（Kulig，Kwapie\'n，Stanisz&Dro˙zd˙z，2017）。在Zip fian分析中，除了单词外，还包括了假时间标记，从而纠正了一种分析上的偏差，使得Mandelbrot的修正案显得更为丰富，因此我们的语言在所有尺度上呈现出更为一致的组合。因此，目前的结果可能被视为一个额外的指示，即等式（1）所定义的协作关系的强度，提供了衡量作者贡献的最一致的方式。HES网络的整体层次结构也由具有k度的节点的系数C（k）确定，该节点的标度律为C（k）~ k-1（Ravasz&Barab'asi，2003）渐进地似乎令人信服地遵守了这一点，如图1.4最右下方的面板所示。Erd"os和WittenIn的网络为了使HES网络的组织与此类网络中的其他可能组织对抗，在图2中，我们展示了两个类似的科学协作网络：一个是保罗·Erd"os的网络，另一个是流动数学物理学家Edward Witten的网络，2016年3月，其h指数为131（目前h=134），在代表或来自精确科学的活跃研究人员中，可以确定为最高的。表2列出了科学计量学特征，包括发表文章的数量、发表文章的合著者总数以及这两位科学家和HES的相应h指数。*基于科学网P.Erd"os E.Witten H.E。

斯坦利文章数量1246 319 1208合作者数量391 140 738h–索引60 131 125科学网（WoS）(http://www.webofknowledge.com)未列出所有公认的Erd"os出版物。Erd"osNumber项目提供了更广泛的Erd"os作品列表，包括WoS列出的所有作品，该项目研究数学家之间的研究合作，并保存在奥克兰大学(http://oakland.edu/enp/)。例外的是，这里使用的是这个列表，而不是WoS来构建Erd"os协作网络。这一来源将1246篇Erd"os的作品定性为科学出版物，共有391位合著者。同时，该网站指出，Erd"os出版物的总数为1525份，共有511名共同作者；显然，并非所有人都完全符合规定的标准。就Witten而言，他所有公认的出版物都被WoS列出，其中甚至包括三篇多作者的会议贡献。显然，图2中两个网络的拓扑结构在内部链路数量方面并不像HES中的网络那样扩展。它们都有一个明显的星形成分，很难声称与纯拓扑相关的P（k）（图2中的灰点）的比例。然而，当考虑权重时，会出现部分缩放。在Erd"os网络中，由其他节点之间的链接产生的加权度分布P（kw）显示了近二十年来的近似比例，单位为kw，γw≈ 1.55. 因此，它的加权链接强度低于HEScase。因此，Erd"os节点仍然构成一个离群值，其Kw与所有其他节点相差一个数量级。

类似地，与HES相比，聚类系数C（k）被压缩到更小的k，只有一个点代表Erd本身仍然是一个异常值。然而，有趣的是，它并不在γ=1的斜率之下太多。Witten的协作网络中的节点也是一个孤立点，但本质上，其他节点之间的链接不会在加权度分布P（kw）（开放圆）或聚类系数C（k）中产生任何缩放。维滕网络中的这种非同质性似乎主要是由上述三种多作者出版物造成的。删除这三种出版物后，将得到由黑点勾画的分布。然后，这两个特征在质量上与Erd"os的特征相似，链接强度更低，如加权度分布中相应的γw=1.47所示。就标度的范围和质量而言，图2下面板所示的强度P（s）分布显示了类似的趋势。很明显，与HES网络相反，其SCN中的两个枢纽Erd"os和Witten远远超出了相应网络其他成员节点度的分布。为了完整起见，这里可以提到协作网络的两个明显的极端。一方面，在整个科学活动中根本没有合著者（例如，保罗·a.M·狄拉克的作品）。然后，协作网络将自己简化为一个微不足道的节点。图2:Paul Erd"os（左）和Edward Witten（右）的科学合作网络，即Erd"oss1和Wittens1。Witten案例中的开放点表示当该网络中的三组节点包括在内时，累积的程度分布P（k）。否则，与图。

使用1。另一方面，有近固定数量的参与者进行了大型合作，他们总是以相同的作者作品发表论文。在相应的协作网络中，任何节点都连接到所有剩余节点，因此所有节点都具有相同的连接数，从而具有相同的程度。这种网络大致代表了大型的、主要通过管理建立的协作。图3:1975年至2015年间H.Eugene Stanley（HES）科学合作网络（Stanley#1）的时间演变，每10年拍摄一次快照，相应的聚类系数和程度（未加权和加权）分布在下部面板中。使用与图1中相同的约定。所有上述可能性表明，HES网络及其各级层级组织是一个例外，而不是一个规则，因此确实值得特别关注。这种协作网络当然是一种动态现象，实际上，有时不仅需要达到这种丰富性，而且需要在所有参与节点之间实现链接的适当平衡。图3展示了自其科学活动开始以来，HES网络的发展方式，1975年至2015年期间，每10年拍摄五次相应程度的未加权和加权快照，以及下面板中的聚类系数分布。从这些学位分布来看，一个充分发展的等级组织已经在1995年左右实现。Ausloos、Barab\'asi、Buldyrev、Havlin、Tsallis和Vicsekas的网络。从图1可以看出，HESnetwork中的两个主要子枢纽是代表H.Eugene Stanley长期主要合作者Shlomo Havlin（SH）和Sergey V.Buldyrev（SB）的枢纽。

他们自己的协作网络，分别是Havlin#1和Buldyrev#1，因此可能与HES中的一个重叠。因此，很自然地，人们会期望它们共享其层级组织的一些特征。图4显示了这两个网络以及相应的度、k和kw、强度s和聚类系数C（k）分布。一些相似之处很容易看出，例如，在两个网络中，它们的中心枢纽SH和SB基本上与这些网络中加权度分布的总体趋势一致，因此，它们不是孤立点。加权度分布的标度质量稍差，尤其是SB，与HES相比，但如果一个样本拟合一条直线，则P（kw）和P（s）的结果与γ一致≈ 1在两个网络中，与HES类似。在HES科学合作网络中出现的节点中，可以找到许多非常有名的学者。其中有几个在图1中明确指出，其中一些构成了除图4所示的两个之外的其他重要枢纽。其他节点在该网络中相当外围，明确指出其原因是其自身的科学协作网络也显示出不同的组织。图中显示了四个这样的案例，包括马塞尔·奥斯洛斯（MA）、阿尔伯特·拉兹洛·巴拉巴（AB）、康斯坦丁诺·查利斯（CT）和塔姆·阿斯·维塞克（TV）。5和6。显然，在这四个层次结构中，最同质的层次结构是由Marcel Ausloos的科学合作网络（Ausloos#1）揭示的，该网络的加权度分布在kwand和s中，在20多年的时间里，随着标度指数γwandγs的变化而变化。在这方面，它与1995-2005年期间的HES案例最为相似。

MA网络中的三个主要子中心如图4所示：Shlomo Havlin（SH，左）和Sergei V.Buldyrev（SB，右）科学协作网络，即Havlin#1和Buldrev#1，具有相应的累积加权和加权度分布以及聚类系数分布。使用与图1中相同的约定。Rudi Cloots（143份与MA共同出版的出版物）、Nicolas Vandewalle（75份共同出版的出版物）、Phillipe Vanderbemden（62份共同出版的出版物）和Andre Rulmont（54份共同出版的出版物）。类似地，Ausloos网络中具有k个链路的节点的聚类系数遵循缩放定律C（k）~ k-1质量与HES案例相当。另一方面，Barab\'asi的网络（Barab\'asi#1）发展出非同质的层级组织，因为节点度的所有三个变量和聚类系数分布都缺乏可伸缩性。事实上，这可以直接从这个网络的结构中推断出来，因为它的节点集中来自连接稀疏的集群，其中一些集群完全由中央枢纽（这里是Barab\'asi自己）介导。其他两个网络Tsallis#1和Viscek#1在性质上类似于Erd"os的星形网络，Tsallis网络中的节点连接比Vicsek网络中的节点连接更稀疏，如图所示（因为此处的缩放近似），由斜率γw的直线表示≈ 1.4（Tsallis’）和γw≈ 1.3（维塞克）。在这两种情况下，中央集线器构成与所有其他节点分离的异常值。聚类系数的分布与Erd"os的情况一致。6.

与加权网络模型的关系上述结果的比较清楚地表明，这是加权网络表示法，它允许更完整和信息丰富地分离科学协作网络中的局部差异，从而提供更先进的科学框架。然而，与未加权情况相比，对此类网络的观测特征进行建模要困难得多。造成这种困难的主要原因是，它们的增长涉及到链接和权重动态的相互影响，以及加速增长的一些可能因素（Dorogovtsev&Mendes，2002），允许在现有节点之间出现新的链接。显然，正是由于这些原因，到目前为止，在复杂加权网络的严格建模方面还没有取得有效的进展。最密切相关的现有重量驱动增长网络模型（Barrat，Berthelemy&Vespignani，2004），尽管与此处所考虑的网络演化的动力学基础相关，仍然有很多细节，但为度分布指数提供了一些初步的统一观点和数量范围。在该模型中，通常的优先附加（Barab\'asi&Albert，1999）被扩展到规则“忙得更忙”（Barthelemy，Barrat，Pastor Satorras&Vespignani，2005），其中新节点更可能连接到具有更大权重的节点，如图5所示：Marcel Ausloos（MA，左）和Albert-L\'aszl\'o Barab\'asi（AB，右）科学协作网络，因此，Ausloos#1和Barab#asi#1具有相应的累积未加权和加权度分布以及聚类系数分布。使用与图1中相同的约定。在交互强度方面更为重要。

因此，i与其邻居j之间权重的局部重排遵循simplerulewij→ wij+wij，其中wij=δwijsi，（5）图6:Constantino Tsallis（CT，左）和Tam'as Vicsek（TV，右）科学协作网络，因此Tsallis#1和Vicsek#1，具有相应的累积加权和加权度分布以及聚类系数分布。使用与图1中相同的约定。这意味着与节点i的新链路会导致活动δ的总增加，该活动δ在离开该节点的链路之间按比例分布。因此，该模型只涉及一个参数δ，该参数反映了新链路传输到其他链路上的权重分数。δ<1对应于这样一种情况，即新连接不会在现有链接上导致更强烈的活动。特别是，对于δ=0，新链路的到达不会影响现有权重，该模型在拓扑上与Barab\'asi-Albert模型等效（Barab\'asi，1999）。另一方面，当δ>1时，一个新的链接会成倍地增加邻居的权重。在该模型中，在较大的时间限制内，可以获得加权度分布的幂律标度，其标度指数为累积分布γs=1+2δ+1，（6）及其值γs∈ [1, 2].在上述网络中，根据其结构，所有新链路都涉及到中央枢纽。从该模型的角度来看，相应的经验确定的γ扫描值可被视为指示此类“凝聚中心”如何刺激其近邻的相互作用。他和他的γs≈ 1.1，因此，δ约为5似乎非常有刺激性。有趣的是，马塞尔·奥斯洛斯（MarcelAusloos）也有同样的想法。他的（Ausloos#1）网络没有那么大。

然而，它每周与HES网络重叠（与Havlin和Buldyrev不同），因此可以独立考虑。从图中可以推断出网络的相反情况。2和6。γs<1的中心枢纽在最近邻居之间的影响互动中基本上表现为中性。就这种中立性而言，一个极端的例子是Erd"os的SCN，其δ与γSobserved一致，将接近于零。拉普拉斯矩阵的谱分解邻接矩阵A记录了节点的所有信息以及节点之间的互连方式。计算该信息的数学上最一致的方法是拉普拉斯矩阵（Bapat，2014）L=D- A、 （7）其中D是由节点的加权度组成的对角矩阵。等价地，归一化拉普拉斯矩阵^L=D-1/2升-1/2=I- D-1/2天-1/2（8）更适合用于比较目的（Chung，1997）。因此，研究拉普拉斯矩阵的光谱特性提供了另一种洞察相应网络组织的方法（Merris，1994）。这意味着求解方程^Lxi=λixi，（9），该方程确定特征向量xind和相应的特征值λi。由于^L可以表示为乘积^L=BBT，（10）其中B是关联矩阵，其行由顶点索引，其列由网络的边索引，因此归一化拉普拉斯算子的所有特征值都是实的和非负的。此外，通过构造，^L的所有行（或列）中的条目之和为零，这降低了该矩阵的维数（使其奇异），从而产生一个代表最集体模式的零特征值（Dro˙zd˙z，Kwapie'n，Speth&W'ojcik，2002）。

因此，CH网络中纯随机链接的零假设对应于具有降秩的随机矩阵的Wishart集合（Janik&Nowak，2003）。在图7中，由所考虑的所有九个网络的强度s构造的归一化拉普拉斯矩阵的特征值分布，以及由2220个节点组成的附加网络的特征值分布，其中包括HES的所有论文，以及六位作者（MA、AB、SB、SH、CT、TV）的所有论文，其各自的网络与HES中的一个重叠并分离，如图所示。4-6。因此，该扩展网络已经涉及到许多Stanley#2个节点，并表示为All（Stanley）。与归一化拉普拉斯矩阵的结构（等式（8））一致，特征值集中在单位的两侧，当然，始终存在一个零特征值。这些特征值的相对位置与相应网络的加权度分布之间存在一定的相关性。还可以看到1-6。当中心节点在度分布中构成离群值时，与无离群值的情况相比，^L的其他特征值在相对于零模式形成间隙的同时传播得更均匀。