效用最大化问题的灵敏度分析

假设3.2与[KS06b]中的随机捐赠条件假设4相关，通过以下参数。假设，对于某些x>0和c>0，存在财富过程x∈ X（X，0），例如（3.8）ζ（c，0）≤XTbXT（x，0），其中bx（x，0）是（2.5）的最优解。然后满足假设3.2。在条件n（3.8）中，数字ebx（x，0）下的财富过程xbx（x，0）是R（x，0）下的局部鞅，即x可以是x（x，0）的任意元素。在[KS06b]中，假设xbx（x，0）是R（x，0）下的平方可积鞅。扩展理论在定理3.7中，我们证明了值函数和关于δ的一阶导数的一致性。定理3.7。设x>0为x，假设（2.1）和（3.1）以及假设2.1和3.2 h o l d，并表示y=ux（x，0），这是由[KS99]中的抽象理论定义的。然后存在δ>0，因此对于每个δ∈ (-δ、 δ），我们有（3.9）u（x，δ）∈ R、 x>0和v（y，δ）∈ R、 y>0。此外，u和v分别在（x，0）和（y，0）处是可区分的（因此是连续的）。我们还有（3.10）u（x，0）=yuδ（x，0）！和v（y，0）=-xvδ（y，0）！，式中，（3.11）uδ（x，0）=vδ（y，0）=xyER（x，0）[F]。期望效用最大化问题的敏感性分析9为了刻画值函数的二阶导数，我们需要以下符号。

设SX（x，0）是在num'erairebX（x，0）x下交易证券的价格过程，即SX（x，0）=xbX（x，0），xSbX（x，0）！。对于每x>0，设H（R（x，0））表示R（x，0）下的平方可积矩阵的空间，使得m（x，0），M∈ H（R（x，0））：M=H·SX（x，0）,N（y，0），{N∈ H（R（x，0））：MN是R（x，0）- 鞅f或每M∈ M（x，0）}，这里y=ux（x，0）。[KS06a]中的辅助极小化问题，对于x>0，让我们考虑（3.12）a（x，x），infM∈M（x，0）ER（x，0）hA（bXT（x，0））（1+MT）i，（3.13）b（y，y），infN∈N（y，0）ER（x，0）hB（bYT（y，0））（1+NT）i，y=ux（x，0），其中A是相对风险厌恶，B是相对风险耐受度U。[KS06a]证明，（3.12）和（3.13）相应地允许唯一解M（x，0）和N（y，0），并且（3.14）uxx（x，0）=-yxa（x，x），vyy（y，0）=xyb（y，y），a（x，x）b（y，y）=1，a（bXT（x，0））（1+MT（x，0））=a（x，x）（1+NT（y，0））。为了用（3.15）F，ν·STand G，ν·hMiT表征值函数相对于δ的导数，我们考虑以下最小化问题：（3.16）a（d，d），infM∈M（x，0）ER（x，0）hA（bXT（x，0））（MT+xF）- 2xF MT- x（F+G）i，（3.17）b（d，d），infN∈N（y，0）ER（x，0）hB（bYT（y，0））（NT- yF）+2yF NT- y（F- G） i，在NFLVR的假设下。下面，我们将说明在当前设置下可以获得公式（3.12）、（3.13）和（3.14）。10 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUDenoting的唯一解分别为（3.16）和（3.17），我们还设置了（3.18）a（x，d），ER（x，0）hA（bXT（x，0））（1+MT（x，0））（xF+MT（x，0））- xF（1+MT（x，0））i，（3.19）b（y，d），ER（x，0）hB（bYT（y，0））（1+NT（y，0））（NT（y，0）- yF）+yF（1+NT（y，0））i.定理3.8、3.10和3.12包含值函数的二阶展开式、优化器的导数以及此类导数的性质。定理3.8。固定x>0。

假设定理3.7的所有条件都成立，y=ux（x，0）。定义（3.20）Hu（x，0），-yxa（x，x）a（x，d）a（x，d）a（d，d）！，其中，（3.12）、（3.16）和（3.18）分别规定了a（x，x）、a（d，d）和a（x，d），以及，（3.21）Hv（y，0）、xyb（y，y）b（y，d）b（y，d）b（d，d）！，其中，（3.13）、（3.17）和（3.19）中规定了b（y，y）、b（d，d）、b（y，d）。然后，v值函数u和v值函数分别进行二阶展开a圆（x，0）和d（y，0），（3.22）u（x+x、 δ）=u（x，0）+（xδ）u（x，0）+(xδ）Hu（x，0）xδ+o(x+δ）和（3.23）v（y+y、 δ）=v（y，0）+(yδ）v（y，0）+(yδ）Hv（y，0）yδ+o(y+δ）。备注3.9。虽然我们只有二阶展开式，但我们可能会滥用这种语言，将Hu（x，0）和Hv（y，0）称为u和v的Hessians，而没有两次区分。这不会引起混淆，请参见[LS02]中的讨论。然后，通过识别Hessian矩阵中的条目，部分导数uxx（x，0）、uxδ（x，0）等的含义变得显而易见。定理3.10。设x>0为固定值，T heorem 3.7的假设成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（3.24）a（x，x）0a（x，d）-xy！b（y，y）0b（y，d）-yx！=一、 预期效用最大化问题的敏感性分析11，其中Idenotes二乘二单位矩阵。此外，（3.25）yxa（d，d）+xyb（d，d）=a（x，d）b（y，d），（3.26）U′（bXT（x，0））bXT（x，0）MT（x，0）+1MT（x，0）+xF！=-a（x，x）0a（x，d）-xy！bYT（y，0）NT（y，0）+1NT（y，0）- yF！，V′（bYT（y，0））bYT（y，0）1+NT（y，0）-yF+NT（y，0）=b（y，y）0b（y，d）-yx！bXT（x，0）1+MT（x，0）xF+MT（x，0）！。任意ofbX（x，0）、bX（x，0）M（x，0）、bX（x，0）M（x，0）和y（y，0）、bY（y，0）N（y，0）、bY（y，0）N（y，0）的乘积是P下的一个可分解数，其中MT（x，0）、MT（x，0）、NT（y，0）和NT（y，0）分别是（3.12）、（3.16）、（3.13）和（3.17）的解。备注3.11。

继续备注3.9中的讨论，（3.24）意味着Uxx（x，0）0uxδ（x，0）1！vy y（y，0）0vyδ（y，0）-1！=-一、 其中uxx（x，0）0uxδ（x，0）1！=-yxa（x，x）0a（x，d）-xy！andvy y（y，0）0vyδ（y，0）-1!=xyb（y，y）0b（y，d）-yx！。同样，（3.25）给出-uδδ（x，0）+vδδ（y，0）=-uxδ（x，0）vyδ（y，0）。定理3.12。设x>0为固定值，T heorem 3.7的假设成立，y=ux（x，0）。财富过程M（x，0）和M（x，0）的终值分别是（3.12）和（3.16）的解，满足（3.27）lim|x |+|δ|→0个|x |+|δ|bXT（x+x、 δ）-bXT（x，0）x（x+x（1+MT（x，0））+δMT（x，0））Lδ= 0，其中收敛发生在P概率中，Lδ在（5.3）中定义。同样，让（3.13）和（3.17）的解NT（y，0）和NT（y，0），相应地，将（3.28）lim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|bYT（y+y、 δ）-bYT（y，0）y（y+y（1+NT（y，0））+δNT（y，0））Lδ= 0，其中收敛发生在P概率中。我们可以得到以下推论。12 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUCorollary 3.13。假设x>0是固定的，定理3.7的假设成立，y=ux（x，0）。然后，如果我们定义下一个\'T（x，0），bXT（x，0）x（1+MT（x，0）），Y′T（Y，0），bYT（Y，0）Y（1+NT（Y，0）），和xdt（x，0），bXT（x，0）x（MT（x，0）+xF），YdT（Y，0），bYT（Y，0）Y（NT（Y，0）- yF），我们有elim|x |+|δ|→0个|x |+|δ|bXT（x+x、 δ）-bXT（x，0）- xX′T（x，0）- δXdT（x，0）= 0，lim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|bYT（y+y、 δ）-bYT（y，0）- yY′T（y，0）- δYdT（y，0）= 0，其中收敛发生在P概率中。备注3.14。尽管推论3.13给出了终端财富导数的更明确形式，但（3.27）中给出的近似结果在应用中更有用。4、最佳交易策略的近似值在本节下文中，我们假设x>0是固定的。

让我们表示（4.1）MR，S- bπ（x，0）·hMi，其中bπ（x，0）=（bπt（x，0））t∈[0，T]是与初始财富x和δ=0相对应的最佳股票投资比例。注意，对于每一个可预测的过程对G，两个积分G·bX（1,0）和G·SbX（1,0）通过直接计算，我们可以找到一个过程G，例如G·bX（1，0）！+G·SbX（1，0）！=G·MR。设γ和γ为γ·MR=M（x，0）x和γ·MR=M（x，0）x。我们需要定义以下停止时间族。σε，inft型∈ [0，T]：| Mt（x，0）|≥xε或hM（x，0）it≥xε,τε，inft型∈ [0，T]：| Mt（x，0）|≥xε或hM（x，0）it≥xε, ε>0，我们还设置γ0，ε=γ{[0，σε]}和γ1，ε=γ{[0，τε]}，ε>0。预期效用最大化问题的敏感性分析13最后，对于(x、 δ，ε）∈ (-x，∞) ×R×（0，∞) , 让我们定义（4.2）Xx、 δ，ε，（x+x） E类bπ（x，0）+xγ0，ε+δ（ν+γ1，ε）· Sδ.定理4.1。假设x>0是固定的，并且定理3.7的假设成立。然后，存在一个函数ε=ε(x、 δ）(x、 δ）∈ (-x，∞) ×R，使EHU十、x、 δ，ε(x、 δ）Ti=u（x+x、 δ）- o(x+δ），其中xx、 δ，ε在（4.2）中定义。备注4.2。定理4.1显示了如何校正最佳比例，以便将原始值函数与(x、 δ）。备注4.3。就二次优化问题（3.12）和（3.16）而言，比例可以更好地表示对选择主要交易策略的修正，因为选择财富过程被用作数字，即^X（X，0）/X具有乘法结构。定理4.1中的结果与[KS06a]和[KS06b]中在一维连续股票模型中的结果（在不同的加性随机禀赋框架中）一致。抽象版本0-model的抽象版本我们从0-model的抽象版本的公式开始。

如【Mos15】中所述，让(Ohm, F、 P）是度量空间，我们将集合C和D定义为满足以下假设的L+子集。假设5.1不是有界风险条件下名词有界利润的抽象版本（2.1）。假设5.1。C和D都含有一个严格的正元素和ξ∈ C iff E[ξη]≤ 1 f或每η∈ D、 以及η∈ D iff E[ξη]≤ 每ξ1∈ C、 我们还将C（x，0）、xC和D（x，0）、xD、x设置为>0。现在我们可以把抽象的原问题和对偶问题表述为（5.1）u（x，0），supξ∈C（x，0）E[U（ξ）]，x>0，（5.2）v（y，0），infη∈D（y，0）E[V（η）]，y>0.14 OLEKSII-MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUUnder在R上的原始值函数和dua l值函数的不完全性，（5.1）和（5.2）的解的存在性和唯一性遵循[Mos15，定理3.2]。同样，对于具有合理渐近弹性的确定性效用函数，如果u（x，0）<∞ 对于某些x>0，效用最大化理论的标准结论也遵循[KS99]中的抽象定理（见[CCFM15，备注2.5]中的讨论）。一些随机变量F和G的δ-模型的抽象版本≥ 0，设（5.3）Lδ，exp-（δF+δG）,（5.4）C（x，δ），C（x，0）Lδ和D（y，δ），D（y，0）Lδ，δ∈ R、 现在，我们可以陈述扰动优化问题的抽象版本。（5.5）u（x，δ），supξ∈C（x，δ）E[U（ξ）]=supξ∈C（x，0）EUξLδ, （x，δ）∈ （0，∞ ) ×R，（5.6）v（y，δ），infη∈D（y，δ）E[V（η）]=infη∈D（y，0）E五、ηLδ, （y，δ）∈ （0，∞) ×R.在一个适当的可积性下，下面规定的一个假设，（5.5）和（5.6）的解的存在性和唯一性，以及非常接近于0的u（·，δ）和v（·，δ）之间的共轭关系将遵循[Mos15，定理3.2]。扰动条件ltξ（x，δ）和η（y，δ）分别表示（5.5）和（5.6）的解，如果存在此类解。

通过R（x，δ），我们表示(Ohm, F） ，其关于P的Ra donNikodym导数由（5.7）dR（x，δ）dP，ξ（x，δ）η（y，δ）xy给出，其中x>0，δ∈ R、 y=ux（x，δ）。假设5.2。设t存在c＞0，使得er（x，0）[exp（c（| F |+G））]<∞.请注意，R（x，0）对于每x>0定义得很好。期望效用最大化问题的灵敏度分析15扩展理论[KS06a]中的辅助集A和BAs，对于每x>0和δ∈ R、 我们用A表示∞（x，δ）有界随机变量α族，例如ξ（x，δ）（1+cα）和ξ（x，δ）（1- 对于某些常数c=c（α）>0，即（5.8）A，cα）属于c（x，δ）∞（x，δ），{α∈ L∞: ξ（x，δ）（1±cα）∈ C（x，δ）f或某些C＞0}。同样，对于y>0和δ∈ R、 我们设置（5.9）B∞（y，δ），{β∈ L∞: η（y，δ）（1±cβ）∈ D（y，δ），对于某些c>0}。根据假设5.1，每x>0，A∞（x，δ）和B∞（ux（x，δ），δ）是L（R（x，δ））的正交线性子空间。让我们用A（x，δ）和B（y，δ）表示A的各自闭包∞（x，δ）和B∞（y，δ）in L（R（x，δ））。可以看出，A（x，δ）和B（y，δ）是L（R（x，δ））的闭正交线性子空间。为了使这些集合与扩张定理的具体版本相关，我们需要以下假设。假设5.3。对于每个δ∈ R和x>0，当y=ux（x，δ）时，集合A（x，δ）和b（y，δ）是L（R（x，δ））中的互补线性子空间，即（5.10）α∈ A（x，δ）iffα∈ L（R（x，δ））和ER（x，0）[αβ]=0，f或每个β∈ B（y，δ），β∈ B（y，δ）iffβ∈ 对于每个α，L（R（x，δ））和ER（x，0）[αβ]=0∈ A（x，δ）。以下定理显示了j点连续性和可微性，是二阶展开的结果。定理5.4。固定x>0。假设假设假设2.1、5.1、5.2、a和5.3成立，u（z，0）<∞ 对于一些z>0，y=ux（x，0），这由[KS99]中的抽象定理很好地定义。

然后存在δ>0，因此对于每个δ∈ (-δ、 δ），我们有（5.11）u（x，δ）∈ R、 x>0和v（y，δ）∈ R、 y>0。此外，u和v分别在（x，0）和（y，0）处是可区分的（因此是连续的）。我们还有（5.12）u（x，0）=yuδ（x，0）！和v（y，0）=-xvδ（y，0）！，式中，uδ（x，0）=vδ（y，0）=xyER（x，0）[F]。16 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBURemark 5.5。在没有假设5.3的情况下，可以证明定理5.4。我们并没有提供这样的证据来证明论述的简洁性。[KS06a]中的辅助极小化问题，对于x>0，让我们考虑（5.13）a（x，x），infα∈A（x，0）ER（x，0）A（ξ（x，0））（1+α）,（5.14）b（y，y），infβ∈B（y，0）ER（x，0）B（η（y，0））（1+β）, y=ux（x，0），其中A分别是相对风险规避，B是U的相对风险容忍度。[KS06a]证明，（5.15）uxx（x，0）=-yxa（x，x），vy（y，0）=xyb（y，y），a（x，x）b（y，y）=1，a（η（x，0））（1+α（x，0））=a（x，x）（1+β（y，0）），其中α（x，0）和β（y，0）分别是（5.13）和（5.14）的唯一解。为了刻画值函数对δ的导数，我们考虑以下最小化问题：（5.16）a（d，d），infα∈A（x，0）ER（x，0）[A（ξ（x，0））（α+xF）-2xFα- x（F+G）]，（5.17）b（d，d），infβ∈B（y，0）ER（x，0）[B（η（y，0））（β- yF）+2yFβ-y（F- G） ，分别用αd（x，0）和βd（y，0）表示（5.16）和（5.17）的唯一解，我们还设置了（5.18）a（x，d），ER（x，0）[a（ξ（x，0））（1+α（x，0））（xF+αd（x，0））- xF（1+α（x，0））]，（5.19）b（y，d），ER（x，0）[b（η（y，0））（1+β（y，0））(-yF+βd（y，0））+yF（1+β（y，0））]。我们准备陈述以下定理。定理5.6。

设x>0为x，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。定义（5.20）Hu（x，0），-yxa（x，x）a（x，d）a（x，d）a（d，d）！，其中（5.13）、（5.16）和（5.18）分别规定了a（x，x）、a（d，d）和a（x，d）；和（5.21）Hv（y，0），xyb（y，y）b（y，d）b（y，d）b（d，d）！，（5.14）、（5.17）和（5.19）相应地规定了预期效用最大化问题17的敏感性分析以及b（y，y）、b（d，d）、b（y，d）。使用梯度公式（5.12），val-UE函数的二阶展开式由（5.22）u（x）给出+x、 δ）=u（x，0）+（xδ）u（x，0）+(xδ）Hu（x，0）xδ+o(x+δ）和（5.23）v（y+y、 δ）=v（y，0）+(yδ）v（y，0）+(yδ）Hv（y，0）yδ+o(y+δ）。优化器S Theorem 5.7的衍生物。设x>0为x，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。设ξ=ξ（x，0）和η=η（y，0）分别表示（5.1）和（5.2）的解，α=bα（x，0），β=bβ（y，0），αd=bαd（x，0），βd=bβd（y，0）分别表示（5.13），（5.14），（5.18）和（5.19）的解。那么，我们有（5.24）a（x，x）0a（x，d）-xy！b（y，y）0b（y，d）-yx！=一、 此外，（5.25）yxa（d，d）+xyb（d，d）=a（x，d）b（y，d）和（5.26）a（ξ）1+αxF+αd=a（x，x）0a（x，d）-xy！1+β-yF+βd！，相当于（5.27）B（η）1+β-yF+βd=b（y，y）0b（y，d）-yx！1+αxF+αd！。定理5.8。让T heorem 5.4的条件保持不变，x>0的条件固定不变。然后随机变量α和αd，分别是（5.13）和（5.16）的解，是（x，0）到（5.5）的部分导数，在（x，0）处计算，即（5.28）lim|x |+|δ|→0个|x |+|δ|bξ（x+x、 δ）-bξ（x，0）x（x+x（1+α（x，0））+Δαd（x，0））Lδ= 0，其中收敛发生在P概率中。

同样，让β和βd（分别为（5.14）和（5.17）的解）相应地为（y，0）到（5.6）的解的偏导数，在（y，0）处计算，其中y=ux（x，0），在这个意义上（5.29）lim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|bη（y+y、 δ）-bη（y，0）y（y+y（1+β（y，0））+Δβd（y，0））Lδ= 0,18 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu，其中收敛发生在P概率中。从定理5.8中，我们得到以下推论y.推论5.9。在定理5.8的条件下，（5.28）等价于|x |+|δ|→0个|x |+|δ|ξ（x+x、 δ）- ξ（x，0）-ξ（x，0）x(x（α（x，0）+1）+δ（αd（x，0）+xF））= 同样，（5.29）适用于且仅适用于iflim|y |+|δ|→0个|y |+|δ|η（y+y、 δ）- η（y，0）-η（y，0）y(y（β（y，0）+1）+δ（βd（y，0）- yF））= 0，其中收敛发生在P概率中。证明我们从技术引理开始。引理5.10。假设2.1成立，d∈ （最大值（exp(-1/c），exp(-c） ），1]。然后，对于每x>0，我们有u′（dx）≤1+堵塞（d）U′（x），-V′（dx）≤1+堵塞（d）(-V′（x））。证据让我们定义一个任意的x>0和d∈ （最大值（exp(-1/c），exp(-c） ），1]。然后利用假设2.1和U′的单调性，我们得到U′（dx）- U′（x）=Rd(-U′（tx））xdt=Rd(-U′（tx））txdtt≤ cRdU′（tx）dtt≤ cU′（dx）(-日志（d））。因此，我们得到u′（dx）（1+阻塞（d））≤ U′（x），这意味着引理的第一个断言。另一个可以完全相似地显示。推论5.11。在引理5.1 0的条件下，对于每k∈ N、 我们有eU′（dkx）≤（1+阻塞（d））kU′（x），-V′（dkx）≤（1+堵塞（d））k(-V′（x））。1E以下表示集合E的指示函数。引理5.12。假设2.1成立。对于每个z∈ （0，1）和x>0，我们有u′（zx）≤ z-cU′（x），-V′（zx）≤ z-c类(-V′（x））。期望效用最大化问题的敏感性分析19证明。让我们任意固定∈ （经验值(-1/c），1）。