效用最大化问题的灵敏度分析

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英文标题：
《Sensitivity analysis of the utility maximization problem with respect to
  model perturbations》
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作者：
Oleksii Mostovyi, Mihai S\\^irbu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the sensitivity of the expected utility maximization problem in a continuous semi-martingale market with respect to small changes in the market price of risk. Assuming that the preferences of a rational economic agent are modeled with a general utility function, we obtain a second-order expansion of the value function, a first-order approximation of the terminal wealth, and construct trading strategies that match the indirect utility function up to the second order. If a risk-tolerance wealth process exists, using it as a num\\\'eraire and under an appropriate change of measure, we reduce the approximation problem to a Kunita-Watanabe decomposition.
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中文摘要：
我们研究了连续半鞅市场中期望效用最大化问题对风险市场价格微小变化的敏感性。假设理性经济主体的偏好是用一般效用函数建模的，我们得到了价值函数的二阶展开式，终端财富的一阶近似值，并构建了与二阶间接效用函数相匹配的交易策略。如果存在风险容忍财富过程，将其作为一个数值，并在适当的度量变化下，我们将近似问题简化为渡边Kunita分解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Sensitivity_analysis_of_the_utility_maximization_problem_with_respect_to_model_p.pdf (438.37 KB)

2022-5-31 20:31:09 上传

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关键词：灵敏度分析 效用最大化 最大化 灵敏度 maximization

效用最大化问题对模型扰动的敏感性分析Soleksii MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUAbstract。我们研究了连续半鞅市场中的期望效用最大化问题对市场风险价格的微小变化的敏感性。假设理性经济主体的偏好是用一般效用函数建模的，我们得到了价值函数的二阶展开式，最终财富的一阶近似值，并构建了与间接效用函数匹配到二阶的交易策略。如果存在风险容限财富过程，将其作为一个数值，并在适当的度量变化下，我们将近似问题导出为渡边Kunita分解。1、简介众所周知，例如参见[DS06，HS10]，对于一个连续的股票价格过程，无套利条件意味着股票价格的回报具有以下表示：S=M+λ·hMi，其中M是一个连续的局部鞅，λ是一个可预测的过程，即：。，股票价格的二次变化相对于M的二次变化必须是绝对连续的。我们分析了风险λ的市场价格的扰动对效用最大化问题的影响。在不完全模型的设置中，理性经济主体的偏好使用具有有界（远离零和不完整）相对风险规避的一般效用函数U建模，并且股票价格过程是连续的，我们获得了日期：2017年5月2日4日。2010年数学学科分类。91G10、93E20。JEL分类：C61、G11。关键词和短语。

敏感性分析、稳定性、效用最大化、最优投资、风险容忍过程、第一类套利、有界风险的无无界利润、局部鞅衰减、对偶理论、半鞅、不完全市场。我们要感谢Nicolai V.Krylov就本文主题进行的讨论。我们还要感谢卡斯·佩尔·拉森和戈丹·齐特科维奇的宝贵评论。第一位作者得到了美国国家科学基金会的资助。DMS-1600307（2015-2018），国家科学基金会资助的第二作者，批准号DMS-1517664（2015-2018）。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点，不一定反映国家科学基金会的观点。2 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu价值函数的二次展开，对最优终端财富的一阶修正，以及构建与价值函数匹配到二阶的近似交易策略。对于电力公司的情况，【CR16】中获得了关于风险市场价格扰动的一阶渐近展开，而【LMˇZ14】中进行了二阶分析。从数学上讲，本文的结果依赖于不同的技术。我们可以将我们的贡献总结为三个方面：（1）我们首先需要增加维度，并关注风险市场价格和初始财富的同时扰动。

证明表明，维数的增加是将值函数展开到二阶的必要途径。（2） 然后，我们建立了辅助二次随机控制问题，并将原始值函数和对偶值函数的二阶近似与这些问题联系起来。（3） 最后，如果风险容忍财富过程存在，我们将其作为一个数值，并相应地改变度量，以确定上述一般二次优化问题的解，该解由扰动过程生成的Kunita Watanabe分解（某个鞅的分解）。据我们所知，最接近数学观点的论文是[KS06b]，其中作者获得了关于初始财富和投资组合中随机捐赠单位数量同时扰动的价值函数的二阶展开式。我们想强调的是，与[KS06b]中的当前设置不同，价值函数是凹的（在初始财富和投资组合中持有的随机捐赠单位数量中），这一事实在证明中起着重要作用。在这里，我们将第（1）项中描述的维数增加与[KS06b]中类似的度量和数值变化结合起来，将其与一般的二次优化问题联系起来。然而，一个主要的技术难题在于，我们的值函数作为两个变量的函数，在扰动变量δ中不是凹的或凸的（通常）。尽管存在这一障碍，我们的方法仅部分依赖于凸共轭，仍然通过辅助二次问题和u in（x，δ）a和v in（y，δ）的同时展开产生二次展开。

除了获得二次展开式外，我们还得到了这种近似值的存在性和风险容忍财富过程的存在性之间的关系，这是在[LMˇZ14]中考虑的恒定相对风险平均情况下，因为最优终端财富通过一个乘性常数依赖于初始财富，获得二次展开式不需要增加维数。[KS06b]中介绍的预期效用最大化问题3的敏感性分析。我们表明，风险容限财富过程的存在，使得我们的近似值中的修正项形式更加明确，这些修正项来自于适当度量下的渡边坤田分解，并且在风险容限财富过程中具有特定的数量。引理6.1给出了与[KS06b]的另一个联系，其中对风险市场价格的扰动起着乘性（和非线性）随机禀赋的作用。为了将问题的财务方面与数学方面分开，我们陈述并证明了主要定理的抽象版本。之后，我们将主要定理的证明简化为抽象定理中条件的验证。作为一个应用，我们考虑在不完全市场中允许闭式解的模型，参见[KO96，Liu07，GR15]（我们还参考[LMˇZ14]了解更多示例和文献综述）。这些模型对输入参数的扰动很敏感：即使受到轻微扰动，闭合形式的解通常也不存在。

我们的结果表明，即使我们不知道如何获得此类受扰问题的精确解，仍然可以构造一个精确到二阶的近似。我们在无无界利润和有界风险的假设下证明了我们的结果，这是最弱的无套利类型条件，允许终端财富的效用最大化问题是非退化的，参见[KK07，命题4.19]。对于扰动过程，我们给出了一个假设公式，并给出了一个反例，说明了该假设的必要性。此外，我们还为微扰过程的可积性假设提供了一组有效条件。对于一般效用函数，我们假设其相对风险厌恶是从零到整数的有界。该条件（本质上）对于初始持有财富的两次区分是必要的，反例见[KS06a]。从更技术的角度来看，当我们考虑初始财富的扰动时，我们得到了原始和对偶值函数相对于空间变量（x和y，对应）的二阶导数，作为副产品。注意，在[KS06a]中，该结果是针对不连续股票价格获得的，但在NFLVR下。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们建立了模型并陈述了扩张定理，第4节包含最优交易策略理论的近似，第5节包含定理3.7、3.8、3.10和3.12的抽象版本以及证明，第6节包含非抽象定理和定理4.1的证明，其中规定了对最优交易策略的修正结构（精确到价值函数的二阶）。

第7节包括一个反例，该反例显示了没有假设3的情况。2在扰动过程中，值函数的二次展开可能不存在。在第8节中，我们将前几节中的渐近4 OLEKSII-MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUexpansions与风险容忍财富过程和Kunita-Wata-nabe分解的存在联系起来。最后，我们举例说明了我们的结果在分析允许闭式解的模型的扰动时的应用。2、型号2.1。股票价格过程的参数化系列。让我们考虑一个完全随机的基础Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P, 其中T∈ （0，∞) 是时间范围，F满足通常条件，F是平凡σ-代数的完成。我们假设有两种交易证券，一个是零利率的银行账户，另一个是股票。LetM是一维连续局部martinga le，λ是一个渐进可测过程，使得（2.1）λ·hMiT<∞, P- a、 s.未受干扰或等效的0模型的股票价格返回过程由s，λ·hMi+M给出。这里我们考虑一个半鞅δ，δ的参数族∈ R、 对于相同的鞅部分M，其中风险λ的市场价格受扰动δ，λδ·dhMi+M，其中对于一些可测量的过程ν，使得（2.2）ν·hMiT<∞, P- a、 我们有λδ，λ+Δν，δ∈ R、 2.2。原始问题。设U为满足以下假设2.1的效用函数。假设2.1。效用函数U严格递增，严格凹，在（0，∞) 存在正常数c和c，因此（2.3）c≤ A（x），-U′（x）xU′（x）≤ c、 即。

U的相对风险规避一致有界远离零且不完整。我们用S表示股票回报，因为R用于不同的目的。预期效用最大化问题的敏感性分析5原始可行集族定义为（2.4）X（X，δ），十、≥ 0:Xt=x+H·Sδt，t∈ [0，T], （x，δ）∈ [0，∞) ×R，其中H是一个可预测的Sδ-整数过程，表示投资于股票的金额。相应的值函数族由（2.5）u（x，δ），supX给出∈X（X，δ）E[U（XT）]，（X，δ）∈ （0，∞) ×R.我们使用约定e[U（XT）]，-∞, 如果EU-（XT）= ∞,其中U-是U.2.3的负部分。双重问题。通过对偶问题对原始问题（2.5）进行研究。首先，让我们定义对偶域如下：（2.6）Y（Y，δ），{Y:Y是非负上鞅，因此Y=yand XY=（XtYt）t≥0是每X的超级艺术家∈ X（1，δ）}，（y，δ）∈ [0 , ∞) ×R.我们将效用函数U的凸共轭设为（2.7）V（y），supx>0（U（x）- xy），y>0。注意，对于y=U′（x），我们有v′（y）=-U′（x）和b（y），-V′（y）yV′（y）=A（x）。因此，假设2.1意味着C≤ B（y）≤c、 y>0。双值函数的参数化族由（2.8）v（y，δ），infY给出∈Y（Y，δ）E[V（YT）]，（Y，δ）∈ （0，∞) ×R.我们使用约定e[V（YT）]，∞, 如果EV+（YT）= ∞,其中V+是V的正部分。6 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBU3。技术假设我们还记得M是连续的假设。条件（2.1）表明，在0模型中，在无无界利润和有界风险的意义上，没有套利机会，这意味着Y（1，0）6=.

注意，（2.1）和（2.2）意味着每个δ都没有具有有界风险的无界预测∈ R、 thusY（1，δ）6=, δ ∈ R、 为了使问题（2.5）不退化，我们还需要假设（3.1）u（x，0）<∞ 对于某些x>0。备注3.1。如果期望效用最大化问题是非退化的，则条件（2.1）和（3.1）是必要的。注意，我们只在δ=0时施加t hem。正如在[K S06a，KS06b]中一样，对于x>0且y=ux（x，δ），由dr（x，δ）dP、bXT（x，δ）bYT（y，δ）xy给出的概率度量r（x，δ）将发挥重要作用。正如下面的示例7.1所示，我们需要施加一个可积性条件。首先，让我们定义（3.2）ζ（c，δ），expc（|ν·SδT |+hν·SδiT）, （c，δ）∈ R、 假设3.2。固定x>0。存在c＞0，因此er（x，0）[ζ（c，0）]<∞.备注3.3。Stronger条件（3.3）sup（x′，δ）∈Bε（x，0）ER（x′，δ）[ζ（c，δ）]<∞,对于某些ε>0和c>0，其中Bε（x，0）表示Rof半径中的球εcenteredat（x，0），表示值函数u（x，δ）的局部半腔。因此，在（5.22）和（5.2 3）给出的u和v的二次展开式中，（5.20）和（5.21）中分别定义的矩阵Hu（x，0）和HV（y，0）是Hessian矩阵，即是gr-adients的导数。这将遵循引理5.14。然而，非常严格的条件（3.3）是一个依赖于δ6=0的最优解的假设，因此通常不可能进行检查。让我们也设置（3.4）Lδ，E-（Δν）·ST、 δ∈ R、 此处，E下方的和表示Dol’eans Dade指数。可以看出，对于每个δ，Lδ是X（1，0）元素的终值∈ R、 预期效用最大化问题的敏感性分析7假设的充分条件3.2标记3.4。

假设3.2成立的一个有效条件是，在num'erairebX（x，0），eX和常数c>0下，存在一个富裕过程，即expc（|ν·S |+ν·hMi）T≤分机，a.s.备注3.5。让我们假设在（2.3）中，c>1，即U的相对风险规避严格大于1，（例如，如果U（x）=xppw且p<0，则这一点成立，请注意，对于此类U，共轭函数V（y）=y-QQ或q∈ ( -1，0））。在这种情况下，假设3.2成立的一个充分条件是，在ν·ST和ν·hMiT。这可以如下所示。让我们塞奇，-1.-ci公司, i=1，2。作为c≥ c> 1，我们推断出∈ (-1，0），i=1，2。使用引理5.12，可以发现常数C>0，这样（3.5）- V′（y）y≤ Cy-q+y-q, y>0。为了证明（3.5），让我们观察引理5.12，我们得到（3.6）U′（z）≤ z-cU′（1），-V′（z）≤ z-c类(-V′（1）），f或每z∈ （0，1）.As（U′）-1=-V′，第一个不等式意味着存在z，因此-V′（z）≤ （U′（1））cz-c、 对于每个z≥ z、 将此不等式与（3.6）和supz结合起来∈[最小值（z，1），最大值（z，1）]|- V′（z）z |<∞, 我们获得（3.5）。因此，如果P下的|ν·ST|和ν·hmitexist的一些正指数矩，使用H¨older不等式可以找到一个正常数a，这样（3.7）E[ζ（a，0）]<∞,其中（3.2）中定义了ζ（a，0）。让我们看看setc，a（1+q）8 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu，注意C1+q=a1+q1+q≤ a、 当y=ux（x，0）时，再次使用H¨older不等式（注意1+q是-qi，i=1，2）和（3.5），我们得到xyer（x，0）[ζ（c，0）]≤ CE公司bYT（y，0）-q+bYT（y，0）-qζ（c，0）≤ CEhbYT（y，0）i-qEhζc1+q，0i1+q+CEhbYT（y，0）i-qEhζc1+q，0i1+q≤ Cy公司-qE[ζ（a，0）]1+q+Cy-qE[ζ（a，0）]1+q<∞,其中，最后一个不等式来自于b（y，0）和（3.7）的超短ingale性质。因此，假设3.2成立。备注3.6（关于与现有照明时代的关系）。