效用最大化问题的灵敏度分析

对于每个z，使用U′和推论5.11的单调性∈ （0，1）和x>0，我们得到（5.30）U′（zx）=∞Pk=1U′（zx）1{z∈（dk，dk-1]}≤∞Pk=1U′（dkx）1{z∈（dk，dk-1]}≤ U′（x）∞Pk=1（1+阻塞（d））k{z∈（dk，dk-1]}.设a（d），1+阻塞（d）>1，a（d），log（1+阻塞（d））log（d）=-log（a（d））log（d）>0。当a（d）>1且对于每k∈ Ndk<z≤ 丹麦-1相当于tolog（z）log（d）<k≤log（z）log（d）+1，我们推导出对于每个z∈ （0，1），我们有（5.31）（1+clog（d））k{z∈（dk，dk-1]}≤ a（d）a（d）log（z）log（d）{z∈（dk，dk-1] }=a（d）a（d）日志（d）对数（z）{z∈（dk，dk-1] }=a（d）z-a（d）{z∈（dk，dk-1]}.在（5.30）中插入（5.31），we getU′（zx）≤ U′（x）∞Xk=1a（d）z-a（d）{z∈（dk，dk-1] }=a（d）z-a（d）U′（x），对于每个z∈ （0，1）和x>0。作为limd↑1a（d）=1和limd↑1a（d）=limd↑1对数（1+阻塞（d））对数（d）=石灰↑0对数（1+cy）y=灰色↑0c1+cy=c，取后一个不等式中的极限，我们得到U′（zx）≤ limd公司↑1a（d）z-a（d）U′（x）=z-cU′（x），对于每个z∈ （0，1）和x>0。另一个断言可以得到类似的证明。这完成了引理的证明。推论5.13。在假设2.1下，对于每个z>0和d x>0，我们有u′（zx）≤ 最大值（z-c、 1）U′（x）≤ （z）-c+1）U′（x），-V′（zx）≤ 最大值z-c、 1个(-V′（x））≤z-c+1(-V′（x））。20 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUProof the second-order expansionLemma 5.14。设x>0为固定值，且定理5.4的条件成立，且y=ux（x，0）。对于A中的任意随机变量α和α∞（x，0），让我们定义（5.32）ψ（s，t），x（x+s（1+α）+tα）Lt，w（s，t），E[U（ξψ（s，t）），（s，t）∈ R、 式中，ξ=bξ（x，0）是（5.5）的解，对应于x>0和δ=0。

然后，Wadmit在（0，0）处进行以下第二阶展开。（5.33）w（s，t）=w（0，0）+（s t）w（0，0）+（s t）Hwst！+o（s+t），其中ws（0，0）=ux（x，0），wt（0，0）=xyER（x，0）[F]，and hw，wss（0，0）wst（0，0）wst（0，0）wtt（0，0）！，其中，w在（0，0）处的二阶偏导数由wss（0，0）=-yxER（x）[A（ξ）（1+α）]，wst（0，0）=-yxER（x）[A（ξ）（1+α）（xF+α）- xF（1+α）]，wtt（0，0）=-yxER（x）[A（ξ）（α+xF）- 2xFα-x（F+G）]。证据

因为α和α在A中∞, 存在常数ε∈ （0，1），使得（5.34）|α|+|α|≤x6ε-1，P- a、 s.让我们定义一个任意（s，t）∈ Bε（0，0）和定义ψ（z），ψ（zs，zt），z∈ (-1, 1).注释（5.35）≤eψ（z）Lzt≤, z∈ (-1, 1).当ψt（s，t）=αxLt+ψ（s，t）（F+tG）和ψs（s，t）=1+αxLt时，我们得到（5.36）eψ′（z）=ψs（sz，tz）s+ψt（sz，tz）t=1+αxLzts+αxLzt+eψ（z）（F+ztG）t、 类似地，由于ψtt（s，t）=2αxLt（F+tG）+ψ（s，t）（F+tG）+G,ψst（s，t）=1+αxLt（F+tG），ψss（s，t）=0，期望效用最大化问题的敏感性分析21we得出ψ′（z）=ψtt（zs，zt）t+2ψst（zs，zt）ts+ψss（zs，zt）s=2αxLzt（F+ztG）+ψ（z）（F+ztG）+Gt+21+αxLzt（F+ztG）ts.设置W（z），U（ξeψ（z）），z∈ (-1，1），通过直接计算，我们得到（5.37）W′（z）=U′（ξeψ（z））ξeψ′（z），W′（z）=U′（ξeψ（z））ξeψ′（z）+ U′（ξeψ（z））ξeψ′（z）。让我们定义，2c+2和J，1+| F |+G。从（5.36）使用（5.34）和（5.35），我们得到| eψ′（z）|≤ 2J exp（εJ），eψ（z）-c+1≤ 2c+1exp（cεJ），z∈ (-1, 1).因此，从（5.37）使用推论5.13，我们得到（5.38）supz∈(-1,1）| W′（z）|≤ supz公司∈(-1,1）U′（ξ）ξ（eψ（z））-c+1eψ′（z）≤ aU′（ξ）ξJ exp（（c+1）εJ）≤ aU′（ξ）ξJ exp（aεJ）。类似地，从（5.37）应用假设2.1和Corrolary 5.13，我们推导出常数a>0的存在性，这样（5.39）supz∈(-1,1）| W′（z）|≤ aU′（ξ）ξJexp（aεJ）。结合（5.38）和（5.39），我们得到了SUPZ∈(-1,1）（| W′（z）|+| W′（z）|）≤ U′（ξ）ξaJ exp（aεJ）+aJ exp（aεJ）.因此，作为1≤ J≤ J、 通过为每个zand zin设置a，max（a，a）(-1，1），我们得到（5.40）W（z）-W（z）z-z+W′（z）-W′（z）z-z≤ 4aU′（ξ）ξJexp（aεJ）。如有必要，通过传递一个较小的ε，并应用H¨older不等式，我们从假设5.2中推断出（5.40）的右侧可积分。

由于（5.40）的右侧取决于ε（而不是（s，t）），引理的断言遵循支配收敛定理。22 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUCorollary 5.15。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（5.41）u（x+x、 δ）≥ u（x，0）+xy+δxyER（x，0）[F]+(xδ）Hu（x，0）xδ！+o(x+δ），其中Hu（x，0）由（5.20）给出。证据结果来自引理5.14，通过将解近似为（5.13）和（5.16），这是A（x，0）的元素s，通过A的元素∞（x，0）。类似于引理5.14和推论5.15，我们可以建立以下结果。引理5.16。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。对于B中的任意随机变量β和β∞（y，0），让我们定义φ（s，t），y（y+s（1+β）+tβ）Lt，\'w（s，t），E[V（ηφ（s，t））]，（s，t）∈ R、 其中η=bη（y，0）是（5.6）的解，对应于y>0和δ=0。（0，0）处的n，w允许以下二阶展开式w（s，t）=w（0，0）+（s t） “w（0，0）+（s t）H”wst！+o（s+t），其中“ws（0，0）=vy（y，0），“wt（0，0）=xyER（x，0）[F]，和h”w，“wss（0，0）”“wst（0，0）”“wst（0，0）”“wtt（0，0）！，式中，\'w在（0，0）a处的二阶偏导数由\'wss（0，0）=xyER（x，0）[B（η）（1+β）]，\'wst（0，0）=xyER（x，0）[B（η）（1+β）(-yF+β）+yF（1+β）]，\'wtt（0，0）=xyER（x，0）[B（η）（β-yF）+2yFβ-y（F- G） 】。引理5.17。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（5.42）v（y+y、 δ）≤ v（y，0）- yx+δxyER（x，0）[F]+(yδ）Hv（y，0）yδ！+o(y+δ），其中Hv（y，0）由（5.21）给出。期望效用最大化问题23的敏感性分析关闭对偶间隙我们从定理5.7的证明开始。定理5.7的证明。

从[KS06 a，引理2]可以看出，（5.43）a（ξ）（1+α）=a（x，x）（1+β），B（η）（1+β）=B（y，y）（1+α）。利用变分法的标准技术，我们可以证明（5.16）和（5.17）的解满足（5.44）A（ξ）（αd+xF）- xF=c+￠β，B（η）（βd- yF）+yF=d+▄α，其中▄β∈ B（y，δ），℃α∈ A（x，δ），c和d是一些常数。我们将在下面描述▄β、▄α和d。让我们设置（5.45）▄α，▄α- dα∈ A（x，0）。从（5.44）中的第二个方程式可以得出（5.46）βd- yF=A（ξ）（d- yF+～α）=A（ξ）（d+dα- yF+℃α-dα）=da（x，x）（1+β）+A（ξ）-yF+α,我们在上一个等式中使用了（5.43）。乘以-xy，我们得到a（ξ）xF车型-xyα= -xy（βd- yF）-xyda（x，x）（1+β）和thusA（ξ）xF车型-xyα- xF=▄d+▄β，其中▄d=-xyda（x，x）∈ R和β=-xyda（x，x）β-xyβd∈ B（y，0）。从（5.44）给出的（5.16）的唯一解的特征化可以看出：-xy α=αd，等效α=-yxαd.从（5.45）中，我们得到<<α=<<α+dα=-yxαd+dα。将其插入（5.44）中的第二个等式，我们得到b（η）（βd-yF）=d（1+α）-yx（αd+xF）。乘以xya（ξ），我们得到（5.47）A（ξ）（αd+xF）=xyda（x，x）（1+β）-xy（βd- yF）。24 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^IRBUSetting d′，xyda（x，x），我们声称（5.48）d′=a（x，d），其中a（x，d）在（5.18）中定义。将（5.47）的两边乘以（1+α），在R（x，0）下取期望值，利用A（x，0）和B（y，0）元素的正交性，我们得到（x，0）[A（ξ）（αd+xF）（1+α）]=d′ER（x，0）[（1+β）（1+α）]-xyER（x，0）[（βd- yF）（1+α）]=d′+ER（x，0）[xF（1+α）]。因此，d′=ER（x，0）[A（ξ）（αd+xF）（1+α）- xF（1+α）]=a（x，d），其中在上一个等式中，我们使用了（5.18）。因此，（5.48）成立。现在，（5.47）用xyda（x，x）=a（x，d）和（5.44）证明（5.26）。（5.27）可以类似地显示。当A（ξ）=B（η），（5.26）和（5.27）表示（5.2 4）。还有待证明（5.25）。

让我们设置‘β，β+1，’α，α+1，’βd，βd- yF，(R)αd，αd+xF。然后从（5.16）使用（5.26），我们得到（5.49）yxa（δ，δ）=ER（x，0）yxa（x，d）\'-β\'-αd-βdαd-yxER（x，0）[2xFαd]- xyER（x，0）[F+G]。同样，从（5.17）到（5.49），我们得到（5.50）xyb（d，d）=ER（x，0）xyb（y，d）’α′βd-βdαd+2βdxF- xy（F-G）.让我们定义，ER（x，0）yxa（x，d）’β’αd+xyb（y，d）’α’βd,andT，ER（x，0）-2“βd”αd- 2yFαd+2xFβd- 2xyF.然后，加上（5.49）和（5.50），我们推断出（5.51）yxa（δ，δ）+xyb（d，d）=T+T。让我们重写Tas（5.52）T=ER（x，0）-2“βd”αd- 2yFαd+2xFβd-2xyF= ER（x，0）[-2（βd- yF）（αd+xF）- 2yFαd+2xFβd-2xyF]=ER（x，0）[-2βdαd-2βdxF+2yFαd+2xyF-2yFαd+2xFβd- 2xyF]=ER（x，0）[-2βdαd]=0，期望效用最大化问题的敏感性分析25，因为除-2βdαd，通过A（x，0）和B（y，0）的正交性仍然具有0期望。让我们考虑T。首先，从（5.24）得到（5.53）xyb（y，d）=a（x，d）a（x，x）=a（x，d）b（y，y）。因此，我们可以重写Tas（5.54）T=ER（x，0）yxa（x，d）βαd+a（x，d）b（y，y）αβd= a（x，d）ER（x，0）yx′β′αd+b（y，y）′α′βd.另一方面，从（5.19）中，我们可以用“β”、“βd”、“α”和“αdas”表示b（y，d）。（5.55）b（y，d）=ER（x，0）hB（η）’βd‘β+yx‘β‘αdi=ER（x，0）hB（y，y）’α‘βd+yx‘β‘αdi，在最后的等式中，我们使用了（5.43）。将（5.55）与（5.54）进行比较，我们得到=a（x，d）b（y，d）。将其插入（5.51）并使用（5.52），我们推断yxa（d，d）+xyb（d，d）=a（x，d）b（y，d），即（5.25）成立。这就完成了引理的证明。引理5.18。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。然后，对于（5.56）y=-yxb（y，y）xyb（y，d）δ+x个,我们有（5.57）yδ！THv（y，0）yδ！+2.x个y型=xδ！THu（x，0）xδ！。证据首先，b（y，y）>0 in（5.56）时，没有t e。

通过直接计算，证明（5.57）等同于建立以下等式。(5.58) -yxb（y，y）xyb（y，d）δ+x个=xδ！THu（x，0）xδ！-xyb（d，d）δ。现在，让我们考虑右侧or（5.5 8）。通过直接计算，它可以写成如下。(5.59)-yx公司xa（x，x）+2xδ-yxa（x，d）-δyxa（d，d）+xyb（d，d）=-yxb（y，y）x+2xδ-yxa（x，d）- δa（x，d）b（y，d），26 OLEKSII MOSTOVYI和MIHAI S^irbu，其中最后一个等式紧随f r om（5.15）和（5.25）。我们从（5.24）推导出（5.60）a（x，d）=xyb（y，d）b（y，y）。将（5.60）插入（5.59），我们可以将（5.59）的右侧重写为-yxb（y，y）x个- 2.xδb（y，d）b（y，y）- δxy（b（y，d））b（y，y）=-yxb（y，y）x+xyb（y，d）δ,正好是（5.58）的左侧。我们刚刚证明（5.58）是成立的。通过前面（5.58）的论证，这意味着（5.57）也是有效的。这是引理的完整证明。引理5.19。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0）。那么，我们有（5.61）u（x+x、 δ）=u（x，0）+xy+δxyER（x，0）[F]+(xδ）Hu（x，0）xδ！+o(x+δ），其中Hu（x，0）由（5.20）给出。Lik e wise（5.62）v（y+y、 δ）=v（y，0）- yx+δxyER（x，0）[F]+(yδ）Hv（y，0）yδ！+o(y+δ），其中Hv（y，0）由（5.21）给出。证据对于小型x和δ以及y由（5.56）给出，我们从u和v的共轭和引理5.17得到（5.63）u（x+x、 δ）≤ v（y+y、 δ）+（x+x） （y+y）≤ v（y，0）- yx+δxyER（x，0）[F]+yδ！THv（y，0）yδ+xy+yx+xy+x个y+o(y+δ），其中Hv（y，0）在（5.21）中给出。

当y=ux（x，0）和x=-vy（y，0），收集（5.63）右侧的项，我们得到（5.64）u（x+x、 δ）≤ u（x，0）+xy+δxyER（x，0）[F]+yδ！THv（y，0）yδ！+x个y+o(x+δ）。同样，使用推论5.15，我们得到（5.65）u（x+x、 δ）≥ u（x，0）+xy+δxyER（x，0）[F]+(xδ）Hu（x，0）xδ！+o(x+δ）。期望效用最大化问题的敏感性分析27根据引理5.18，（5.64）和（5.65）中的二次项相等。因此，（5.64）和（5.65）意味着u允许在（x，0）处进行二阶展开，由（5.61）给出。同样，我们可以证明（5.62）。定理5.4的证明。定理5.4的断言来自引理5.19。定理5.6的证明。展开式（5.22）和（5.23）遵循引理5.19和定理5.4。优化器sWe的衍生物从一个技术引理开始。引理5.20。设x>0为固定值，定理5.4的条件成立，y=ux（x，0），且Let（δn）n≥1是一个序列，收敛到0。那么，我们有Limn→∞E五、bη（y，0）Lδn= v（y，0）。证据这个证明遵循引理5.14的证明，因此被跳过。引理5.21。设x>0为固定值，即定理5的条件。4保持，y=ux（x，0），和（yn，δn）n∈Nbe收敛到（y，0）的序列。然后ηn，bη（yn，δn），n≥ 1，概率收敛到η，bη（y，0），V（ηn），n≥ 1，con v erg es to v（η）in L（P）。证据根据定理5.4，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设v（yn，δn）对于每n是有限的∈ N、 让我们矛盾地假设（ηN）N∈Ndoes概率不收敛于η。然后存在ε>0，使得lim supn→∞P[|ηn- η|>ε]>ε。让我们定义eηn，ηnLδn，n≥ 1和y，supn≥1年。