迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行

我们工作的一个可能扩展可以用最优交易问题文献中考虑的最新模型之一来代替（3.1），该模型具有学习方面（[8]、[21]、[14]、[25]、[36]、[24]、[17]）。6 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKLemma 3.1。（3.6）具有唯一的优化器θj∈ 几乎可以肯定。当ω∈ Ohmjis的选择使得Wj，·（ω）在[0，T]，Xθ上是连续的jj（ω）满足线性ODEθj、 t（ω）=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t（ω）+tanh（τj（t）/2）huj+νjSunfj，t（ω）- Sj，0我√ηj，temκj1+νjt, t型∈ （0，T）Xθjj，0（ω）=xj。（3.8）证明。见App endix A.1。备注3.1。（3.8）中的第一项来自我们的规定，即代理人j必须在终止时间前清算（见（3.3））。事实上，权重因子-rκjηj，temcoth（τj（t））倾向于-∞ 作为t↑ T从直觉上看，Agent j相信Xθjj，tandθj、 特雷梅因岩（t）↑ T是Xθjj，t迅速降到零。代理人j认为，随着时间的推移，他了解到了βj的实现值，这是自Epjhβj以来（3.8）中的第二项Funfj，ti=uj+νjSunfj，t- Sj，01+νjtPj- a、 s.（3.9）（[34]）。系数tanh（τj（t）/2）√ηj，temκjis以1为界/√ηj，temκjand随着t趋于零↑ T第二项可能减弱或放大第一项的影响。代理人j认为，加权事实反映了他清算的需要最终必须压倒他通过向风险资产漂移的方向交易来获利的愿望。引理3.1中的一个即时观察是对某些试剂的以下观察，我们将其记录为一个推论，以便于参考。推论3.1。如果νj=0，则XθJJD不依赖于Sunfj。特别是，它是确定的，满足线性常微分方程θj、 t=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t+ujtanh（τj（t）/2）√ηj，temκj，t∈ （0，T）Xθjj，0=xj。(3.10)3.3. 执行价格。现在我们来详细说明性行为是如何演变的。

虽然每个代理都服务于此过程的相同实现路径，但一般来说，没有代理知道正确的动态。经纪人的交易决定完全取决于他对性行为单一实现路径的信念、偏好和观察。有一个简单的例子，这是不正确的。如果N=1，|β=β，ν=0，|η1，tem=η1，tem和|η1，per=η1，per，我们的l-one代理模型将完全正确。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行7Let~Ohm,~F，n▄Fto0≤t型≤T、 P是一个满足一般条件的过滤概率空间。空间在P下有一个▄Ft维纳过程，我们用▄W表示。我们还有以下确定的实常数：△β，S，△η1，per，ηN，per，和▄η1，tem，ИηN，瞬变电磁波。β可以是任意的；然而，剩下的常数是绝对正的。实际执行价格Sexcunder▄P是▄Ft适应过程SEXct=S+▄βt+NXi=1▄ηi，根据Xθii，t- xi+NXi=1？ηi，temθi、 t+~重量，t∈ [0，T]。（3.11）方程（3.11）可以看作是Almgren-Chriss模型的多智能体扩展（[7]、[6]、[9]）。这种形式的模型，特别是当|ηj，tem（|ηj，per）都相同时，甚至可以应用于掠夺性交易的情况下（[13]）。另一方面，[12，15]考虑一个平均场博弈模型，在该模型中，参与者之间的互动是通过价格来实现的。虽然这两篇论文都讨论了模型中的延迟和学习问题，但对代理模型的错误描述是我们框架中的一个重要元素。此外，我们的代理不互相观察，也不知道对方的参数。

事实上，在我们的最终玩家设置中，他们甚至不知道玩家的数量。在下面的内容中，我们会说，如果性倾向于+∞ 或-∞ 在我们的时间范围内。参数？ηj，per和？ηj，Tem分别是代理人j的个人和临时价格影响参数的正确值。我们允许这些量与代理j的相应估计ηj，perandηj，tem具有任意关系。例如，代理人j可能低估了他的永久影响（ηj，per<ηj，per），但完美地估计了他的速度影响（ηj，tem=°ηj，tem）。类似地，Agent j针对correctdrift▄β的先验βj可能是准确的或严重错误的。比较我们对Sexcj、θjin（3.5）和Sexcin（3.11）的描述，我们发现Agent j代表（3.11）中的每个术语，如下所示：ηj，根据Xθjj，t- xj公司←→ §ηj，根据Xθjj，t- xj公司ηj，temθj、 t型←→Иηj，temθj、 tSj，0+βjt+Wj，t←→ S+￠βt+Xi6=j￠ηi，根据Xθii，t- xi+Xi6=jηi，temθi、 t+~Wt.4。动态系统分析当我们的代理实施他们认为是最优的策略（见Lemma3.1），但超过（3.11）中的动态时，会发生什么？第4节的目的是为这个问题提供一些一般答案。为了简化我们的演示，我们通过引入和分析其他符号（参见定义4.1和引理b.1）来简化演示。我们发现，我们公司的存货和交易率根据特定的ODE系统和s-to-Castic系数变化（见引理4.1）。在某些条件下，系统可能具有奇点（se eLemma 4.2）。为方便起见，我们研究当该奇点为第一类时会发生什么（见命题4.1）。我们还研究了不存在奇点的情况（命题4.2）。我们将有一个均匀的混合确定性和随机地图。在下面的内容中，wealways明确指出ω依赖性以区分两者。

我们的方程8 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKare按路径求解，因此我们不会遇到概率集中。我们将xω∈~Ohm使得▄W·（ω）有一条连续的路径。定义4.1。确定地图Φi:[0，T]-→ RA：[0，T]-→ MK（R）B：[0，T）-→ MK（R）C（·，ω）：[0，T]-→ RKbyΦi（t），tanh（τi（t）/2）νi√ηi，temκi（1+νit）Aik（t），1.-（￠ηi，tem- ηi，tem）Φi（t）如果i=k-如果i 6=kBik（t），则ηk，temΦi（t），（￠ηi，根据- ηi，per）Φi（t）-rκiηi，temcoth（τi（t）），如果i=kηk，每Φi（t），如果i 6=kCi（t，ω），Φi（t）uiνi+（S- Si，0）+βt-Xk公司≤Kk6=iηk，perxk- xi（|ηi，per）- ηi，per）+Xk>KηK，perXθkk，t- xk公司+Xk>KηK，temθk、 t+~Wt（ω）#。这里，我∈ {1，…，K}是不确定的代理，我们将描述其行为。已经描述了某些代理人的行为。他们不受执行价格的影响，但对执行价格有影响。注意，我们现在可以将（3.8）中的动力学写成θj、 t（ω）=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t（ω）+Φj（t）“ujνj+Sunfj，t（ω）- Sj，0#当代理j不确定时。定义4.2。当det A在[0，T]上有根时，我们让tedenote取最小的根（见引理B.1）。引理4.1。假设det A在[0，T]上有根。如果te>0，那么Sexc（ω），theXθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，te]上都是唯一定义和连续的。此外，不确定主体的策略以a（t）θu为特征，t（ω）=B（t）Xu，θt（ω）+C（t，ω），t∈ （0，te）Xu，θ（ω） =xu，（4.1），其中θu，t（ω）表示θ的第一个K项t（ω）。当det A在[0，T]上没有根时，在用T替换Te后，相同的语句仍然有效。证据见附录endix B.1。MINI-FLASH崩溃、模型风险和最佳执行9Lemma 4.1没有解决我们的不确定代理的发明家和交易率的行为↑ 或t↑ T

困难在于A在te处不可逆，而leb的条目在T处爆炸（见引理B.1）。解决这些问题的方法已经很成熟（见【16】第6章）。当n det A在[0，T]上有根且te>0时，我们讨论了关键点。分析B在T处爆炸的影响类似（见命题4.2）。我们首先考虑对应于（4.1）的齐次方程：A（t）˙Xut（ω）=B（t）Xut（ω），t∈ （0，te）Xu（ω）=Xu。（4.2）我们更改了符号，以强调（4.2）不再描述不确定代理的最优策略。我们接下来以更方便的形式编写（4.2）。引理4.2。假设det A在[0，T]上有根，te>0。在te附近，满足（4.2）的解决方案（t- te）m+1˙Xut（ω）=D（t）Xut（ω）。（4.3）在（4.3）中，m是一个非负整数，使得det a在teis（m+1）处的零的重数。D是一个特殊的解析图，其D（te）的秩为0或1（见（B.5））。证据见附录endix B.2。定义4.3。让我们用λ表示上述引理中D（te）的唯一非零特征值。提案4.1。假设det A在[0，T]上有根，te>0，m=0。如果λ6∈ Z、 对于一些sm，所有ρ>0，Xu，θt（ω）=P（t）K-1Xj=1yj（ω）-中兴通讯-ρFj（s，ω）| s- te | dsvj+| t- te |λyK（ω）-中兴通讯-ρFK（s，ω）| s- te | 1+λds！对于t，vK#（4.4）∈ （te）- ρ、 te）。这里，o{v，…，vK}是D（te）（vK对应于λ）的本征基；oP是[te]上的（非奇异）矩阵值解析函数- ρ、 te]这样p（te）=IK（见（B.6））；o{y（ω），…，yK（ω）}是常数（s ee（B.9））；o和{F（·，ω），…，FK（·，ω）}是[te]上的连续实值函数- ρ、 te]（见（B.9））。我们得到θu，（ω） （te）上的Sexc（ω）- ρ、 te）通过微分（4.4）和替代xθ（ω） 和θ（ω） 分别为（3.11）。证据见附录endix B.3。提案4.2。假设det A在[0，T]上没有根。

然后是Sexc（ω），theXθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，T]上都是唯一定义和连续的。此外，limt↑TXθt（ω）=0。（4.5）备注4.1。每个代理人都相信他的最终发明家y几乎肯定是零（见（3.3））。提案4.2 sp e ci规定了代理人在本法规中有效纠正的条件。10 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKProof。见附录endix B.4。5、半对称某些代理的闪存崩溃的明确特征在本节中，我们彻底分析了一类广泛但易于处理的场景。这将使我们能够从理论上和数值上研究小型车祸的发生。我们规定，我们的代理参数中的不确定性是相同的，除了它们的初始库存xj、它们的初始漂移先验均值uj以及它们对基本价格的初始估计Sj，0。这种年龄是完全对称的，所以我们称之为半对称的。定义5.1。我们说我们的不确定代理是半对称的，当有正常数▄ηtem，ηtem，▄ηper，ηper，ν和κ时，每个∈ {1，…，K}▄ηi，tem=▄ηtem，ηi，tem=ηtem，▄ηper=▄ηi，per，ηi，per=ηper，νi=ν，κi=κ。因为τj和Φj对于r j是相同的≤ K（见定义3.7、4.1和5.1）。分别用τ和Φ表示这些函数。定义5.1意味着A的诊断条目与有效诊断条目相同。B也是如此（见定义4.1）。这种简化可以减少计算det a、λ和D（te）特征基的难度（见（C.3）和引理5.2）。xj、uj和Sj、0只在C中输入，C的结构也很好（参见（C.13））。5.1。后果引理5.1。假设不确定代理是半对称的。那么det A在[0，T]上有aroot且te>0当且仅当ν（K|ηtem- ηtem）tanhTrκηtem√ηtemκ>2。

（5.1）在这种情况下，det A（·）在多重数1的TEI处的零。备注5.1。通过每次改变（5.1）中的一个参数，我们可以获得第2节中讨论的以下解释：i）（5.1）在ν较高时成立。由于ν是不确定代理漂移先验的方差，我们在第2节中得到（f）。ii）（5.1）在（Kηtem）时保持- ηtem）高。一个给定的不确定主体相信自己的临时冲击参数是ηtem，而不确定主体诱导的实际集体临时冲击参数是Kηtem。然后（Kηtem- 当每个不确定因素严重低估其自身的暂时影响或存在许多不确定因素时，ηtem）很大，给出（g）第2类。iii）（5.1）在T高时保持。因为[0，T]是我们的时间轴，所以我们得到了第2个方程中的（d）。请注意，T必须足够小，以使我们的代理的建模原理能够成立（见第3节）；然而，T在这里不必太大，因为Tanhre的值达到其上确界的95%[0，∞) 对于大于1.8的参数。当κ较低时，迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行11iv）（5.1）成立。我们在第2节得出结论（e），因为κ衡量我们的不确定代理人对波动性风险的厌恶程度（见第3.2节）。观察（C.1）中LHS的分子和分母大致如下√小κ的κ；然而，当κ较大时，整个LHS看起来像1/√k sinc e tanh在[0]上以1为界，∞).证据见附录endix C.1。备注5.2。如（C.4）中所观察到的，当det A在[0，T]上有根时，我们有Φ（te）=Kηtem- ηtem。（5.2）没有代理人会考虑计算TES，因为他们都认为小型飞机坠毁是所有事件；然而，（5.2）特别清楚地表明，他们无论如何都不能这样做。引理5.2。

假设不确定代理是半对称的，（5.1）成立。然后λ=rκηtemcoth（τ（te））- 2.K？ηper- ηperKηtem- ηtem（Kηtem- ηtem）˙Φ（te）（5.3），相应的特征向量为vK=[1，…，1]. 如有必要，通过稍微扰动|ηperand/或ηper，我们可以确保λ6∈ Z、 在这种情况下，D（te）是可对角化的，D（te）的特征基中的剩余向量（所有特征值均为零）为v=[-1, 1, 0, . . . , 0], . . . , vK公司-1= [-1, 0, . . . , 0, 1].备注5.3。（5.3）中的所有参数都决定了det A是否在[0，T]上有根（见引理5.1），除了￠ηperandηper之外。它们还固定了te的值（见备注5.2）。因此，为了解释（5.3），我们只考虑￠ηperan和ηper的r值。这些参数输入（5.3）viaKηper- ηperKηtem- ηtem。（5.4）直观地说，（5.4）可以看作是两项的比率：分子衡量的是给定的不确定主体对其自身永久影响的估计与不确定主体的实际集体永久影响之间的距离。根据引理5.1，分母必须为正，它是临时影响的相应度量。有人可能会说（5.4）是一个错误率。由于引理B.1的˙Φ（te）<0，只有当（5.4）足够高时，λ才是正的。在不确定代理人的总永久影响和单个不确定代理人对其自身永久影响的估计过于接近或超过累积永久影响时，我们得出λ<0。更精确地说，{λ>0}<==>rκηtemcoth（τ（te））（Kηtem- ηtem）<Kηper- ηper{λ < 0} <==>rκηtemcoth（τ（te））（Kηtem- ηtem）>Kηper- ηper. （5.5）小型飞机失事是否伴随着高或低载量，取决于（5.5）中的不等式（见定理5.1和5.2以及第2、6.2和6.3节）。证据见附录endix C.2。12 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKTheorem 5.1。

假设不确定代理是半对称的，（5.1）成立。假设λ6∈ Z和λ<0（见引理5.2）。将ρ、yK（ω）和FK（·，ω）定义为命题4.1。然后（yK（ω）>limt↑特泽特-ρFK（s，ω）| s- te | 1+λds）（5.6）==>限制↑teXu，θt（ω）=极限↑teθu，t（ω）=[+∞, . . . , +∞], 限制↑TESEXT（ω）=+∞和（yK（ω）<limt↑特泽特-ρFK（s，ω）| s- te | 1+λds）（5.7）==>限制↑teXu，θt（ω）=极限↑teθu，t（ω）=[-∞, . . . , -∞], 限制↑TESEXT（ω）=-∞.此外，i）（5.6）和（5.7）中的积分极限存在并且是有限的。ii）（5.6）或（5.7）中的任何一个在te处保持▄P-a.s.iii）- ρ、 事件（5.6）和（5.7）都具有正的▄P-概率；然而，如果我们让ρ↓ 0、备注5.4。由于P（te）=IK（见命题4.1），（B.9）和引理5.2意味着，当不确定因素持有重要的、类似的多头头寸时，yk（ω）将较大且为正。如果不确定因素进行实质性的、类似规模的短期头寸，则yK（ω）将是高量级的，但为负。因此，当不确定的代理是同步的攻击性买家时，Sexc（ω）的峰值更有可能出现，而当他们是系统化的重卖家时，崩溃的几率会增加。这些影响起着决定性的作用↑ te，因为（5.6）和（5.7）中的积分限值是有限的。尽管如此，由于我们如何分解FK（见（C.16）），基本价格中的大波动可能会使小型金融崩溃的方向在不久之前变得不明确（见图9）。证据见附录endix C.3。定理5.2。假设不确定代理是半对称的，（5.1）成立。假设tλ6∈ Z和λ>0（见引理5.2）。然后▄P-a.s.，限制↑teXθ在RN中存在t（ω）。如果θu的任何坐标，t（ω）爆炸，然后Sexct（ω）和θu的所有坐标，t（ω）沿同一方向爆炸。

例如，当λ>1时，（limt↑te“| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds#=+∞)(5.8)==>限制↑teθu，t（ω）=[+∞, . . . , +∞], 限制↑TESEXT（ω）=+∞迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行13和（limt↑te“| t- te |λ-1中兴通讯-ρИWs（ω）-Wt（ω）| s- te | 1+λds#=-∞)(5.9)==>限制↑teθu，t（ω）=[-∞, . . . , -∞], 限制↑TESEXT（ω）=-∞.此外，i）（5.8）或（5.9）中的任何一个在te处保持▄P-a.s.ii）- ρ、 事件（5.8）和（5.9）都具有正的▄P-概率；然而，如果我们让ρ↓ 0、备注5.5。关于λ，我们没有做出严格的声明∈ （0，1）案例。大多数第5.2条的证明仍然有效（见附录C.3）；然而，当λ>1时，最终估计特别方便（见（C.27）-（C.29））。第5.2条的总体目的只是为了说明在交通量较低的环境中可能会发生小型车祸（见第2节）。然而，我们怀疑当λ∈ （0，1），例如，参见第6节。2和（C.27）-（C.29）。证据见附录endix C.3。数字说明6.1。示例1：无小碰撞。我们的小型车祸并不总是发生（见引理4.2和5.1）。在第6.1节中，我们通过数值模拟ascenario来说明这一点，其中det A在[0，T]上没有根。通过引理5.1和（C.3），我们知道det A在[0，T]上是非Vanishing的当且仅当（Kηtem- ηtem）Φ（0）<2。（6.1）满足（6.1）要求的一个参数选择为=3，K=2，T=1，S=100，§β=1，§ηtem=1，ηtem=0.75，§ηper=1，ηper=1，ν=2，κ=5，x=2，x=-2, u= 15, u= -10，S1,0=100，S2,0=100，￠η3，tem=1，η3，tem=1，￠η3，per=1，u=-3，ν=2，κ=5，x=2。（6.2）事实上，（6.1）的LHS等于1.1095。