迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行

注意，无需指定η3、Per和S3,0，因为它们是不相关的（见推论3.1、定义4.1和引理4.1）。同样，我们的目的只是说明性的，我们将复制一个具有实际意义的场景留给未来的工作。由于K=2和N=3，我们在明图中有两个不确定因素和一个确定因素。我们用U1、U2、a和C1标记相应的曲线。例如，标签U 1将点燃第一个不确定代理1的数量。在图1和图2中，我们绘制了库存和交易率。执行价格如图3所示。这些图表展示了我们根据理论结果所期望的所有重要品质。以下是几个关键特征：i）所有代理在终端时间T前平仓（见（4.5）和图1）。ii）Sexc（ω），Xθjj（ω）\'s和θj（ω）’在[0，T]上都是连续的（见命题4.2和图1-3）。14 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-4-2U1 U2 C1图1。第6.1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t-10-5U1 U2 C1节对代理人发明人ie的描述见图2。第6.1节对代理人交易利率的描述。iii）不确定代理人的交易率似乎表现出布朗成分（参见引理3.1和图2）。iv）某些代理人的交易率在[0，T]上似乎平稳（见推论3.1和图2）。v） 代理人无需在整个[0，T]期间严格购买或严格出售（见图2）。vi）即使如此，代理商可能会决定在整个[0，T]期间严格购买或严格出售（见图2）。vii）不确定代理人的交易利率似乎不同步（见图2）。6.2. 例2：交易量较低的金融危机。我们的小型金融崩溃可能伴随着低交易量（见定理5.2）。

在第6.2节中，我们通过研究det a在[0，T]上有根的具体场景来实现这一点；te>0；det A在多重数1的teis处的零；λ 6∈ Zλ>0。xθ的行为jj（ω）’的特征是推论3.1和定理5.2。定理5.2将严格描述Sexct（ω）和θj、 t（ω）\'s作为t↑ te，如果λ>1。为了提高绘图质量，我们考虑λ∈ （0，1）（见Remar k 5.5）。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行150 0.2 0.4 0.6 0.8 1图3。第6.1.0 0.1 0.2 0.3t-5U1 U2 C1节对执行价格的描述见图4。第6.2节对代理人发明人ie的描述。根据引理5.1和5.2，我们必须选择满足（5.1）和λ的参数=rκηtemcoth（τ（te））- 2.K？ηper- ηperKηtem- ηtem（Kηtem- ηtem）˙Φ（te）（6.3）为正非整数。我们可以保持（6.2）中的大多数选择不变，只做一些修改：△ηtem=0.5，ηtem=0.2，△ηper=0.8，ηper=0.025，ν=3，κ=1。（6.4）如第6.1节所述，我们认为k不能复制特定的历史情况。Weimmetly得到（5.1），因为它的LHS是4.330 2。使用备注5.2和（6.3），我们可以显示te=0.2691和λ=0.5939。同样，我们有两个不确定的代理和一个确定的代理。我们保留了第6.1节中的{U1，U2，C1}标记系统。库存、交易价格和执行价格如图4-6所示。为了便于说明，我们将图5-6中的时域截断为0, 0.75te公司- 10-6.和0，te- 10-6.分别用于左图和右图。16 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t-10U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-200U1 U2 C10图5。第6.2.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t0 0.1 0.2 0.3节中对代理人交易利率的描述图6。

第6.2节对执行价格的描述。我们根据定理5.2和备注5.5所体验到的性质都是存在的。我们在第6.1节中提供了一些适用的评论，因此我们仅在此添加了一些新的观察结果。i） 所有代理商的库存接近一个固定限额↑ te（见定理5.2和图4）。ii）执行价格和不确定代理人的交易风险随着↑ te（见定理5.2，备注5.5和图5-6）。iii）不确定代理人的交易利率同步↑ te（见定理5.2、备注5.5和图5）。iv）Sexc（ω）将发生爆炸，并且随着t↑ te；然而，一开始并不一定清楚（见定理5.2、备注5.5和图6）。6.3。示例3：交易量高的小型金融崩溃。我们的小型金融崩溃也可能伴随着高交易量（见定理5.1）。我们在第6.3节中通过模拟det a在[0，T]上有根的情况来说明这一点；te>0；det A在多重数1的teis处的零；λ 6∈ Zλ<0。Sexc（ω）的bε，Xθjj（ω）\'s和θj（ω）’由推论3.1和Theo-rem 5.1描述。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行17我们特别希望强调随机爆炸方向，并通过两种方式实现这一点。首先，我们选择相同的确定性参数来创建图7-12。不同之处在于，图7-9中使用了一种W·的实现，而图10-12中使用了另一种。我们用ωUp和ωdn表示相应的ω，因为前者和后者的图中分别存在尖峰和铬灰。其次，图7-9本身表明爆炸方向是随机的。这在图8-9中尤其如此，因为我们最初注意到，随着不确定年龄段的nts购买率同步，价格迅速上涨。

就在迷你们飞机坠毁前的几分钟，我们看到了价格暴跌和不确定的nts的疯狂销售。现在，我们需要选择满足（5.1）和λ的参数=rκηtemcoth（τ（te））- 2.K？ηper- ηperKηtem- ηtem（Kηtem- 由于引理5.1和5.1，ηtem）˙Φ（te）是一个负的非整数。与第6.2节相比，我们将|ηper=0.5，ηper=0.5，并保持其他参数不变。正如第6.1-6.2节所述，我们在这里没有想到一个特殊的历史例子。由于我们只改变了ηper和ηper，所以（Kηtem）的值- ηtem）Φ（0）和tedo不受第6.2节的影响；然而，λ现在为负：（Kηtem- ηtem）Φ（0）=4.3302，te=0.2691，λ=-0.4531.不确定因素和确定因素的数量仍然是两个和一个，尤其是。我们还保留了第6.1-6.2节中的{U1，u2，C1}标记系统。图7和图10描述了代理商的库存。我们在图8和图11中绘制了年龄nts的交易率。执行价格如图9和图12所示。为了帮助我们进行可视化，图7-9和图10-12中左图中的时域被截断为0, 0.94te公司- 10-6.和0, 0.75te公司- 10-6., 分别地我们对图7-12的观察结果与推论3.1和定理5.1一致。

我们已经注意到了第6.1和6.2节中的许多重要方面，只对新的细节进行了评论。i） 执行价格，以及代理商库存和交易中的不确定性，都朝着与t相同的方向爆炸↑ te（见定理5.1和图7-12）。ii）爆炸发生在确定时间te（见定理5.1和图7-12）。iii）爆炸方向取决于ω∈~Ohm （见定理5.1和图7-12）。iv）在te之前，无法完全确定爆炸方向（见定理5.1和图7-12）。v） 第6.2节中的价格爆炸率和不确定代理人交易率低于第6.3节（见图s 5-6、图8-9和图11-12）。我们之前没有明确说明这一点；然而，这是可以预期的，因为交易率在第6.2节中是可积的，但在第6.3.18节中不是可积的，即ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK0 0.1 0.2 0.3t-4-2U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-600-400-200U1 U2 c1图7。第6.3.0 0.1 0.2 0.3t-10-5U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-3-2-1U1 U2 c1图8中对ωdN代理商库存的描述。第6.3.0 0.1 0.2 0.3t0 0.1 0.2 0.3t0 0.1 0.2 0.3t-15-10-5节中对ωD代理交易率的描述图9。第6.3节描述了ωdN的执行价格。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行190 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t-5U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-500U1 U2 C10图10。第6.3.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t-20U1 U2 C10 0.1 0.2 0.3t-2U1 U2 C10图11描述了ωUp的代理商库存。第6.3.0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25t0 0.1 0.2 0.3t0.51.52.5节中对ωUp的代理加载速率的描述图12。第6.3.20节ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNK7中对ωUp执行价格的描述。

结论在本文中，我们展示了当代理人根据错误的模型学习并做出决策时，小型车祸是如何发生的。我们给出了发生小型金融崩盘的必要和充分的条件，并观察到，如果代理i）对其先前的信息过于不确定ii）严重低估了总体临时影响iii）交易周期长siv）风险厌恶程度低，则会发生小型金融崩盘。我们的数值部分有三个主要的例子来说明我们的三个主要结果。在第一个示例中，我们发现并非所有人为错误都会直接导致迷你们型cra-shesillustrating命题4.2。尽管在整个市场范围内，人为错误是经常发生的，但个人安全可能很少经历此类事件。同样，交易者的模型和策略在大多数情况下都大致实现了他们的预期目标，因为这在真实市场中是有用的。另外两个例子是关于小型飞机失事的性质。如果确实发生小型飞机失事，几乎可以肯定是因为“内在触发效应”根据定理5.1和5.2的预测，我们的一些公司在小型金融危机期间也“趋同于相同的战略”：在某些情况下，推动这些事件的代理商都以相同的（爆炸式）增长率进行买卖。这两个定理和举例说明它们是为了证明小型金融崩溃可能伴随着高交易量和低交易量。附录A第3节证明A。引理3.1的证明。步骤1：表示通常的Pj对fnfj的增强，为0≤t型≤TbynFunfj，to0≤t型≤T、 设▄aj为▄Funfj，T-渐进可测过程θjsuch的空间，其（3.2）和（3.3）保持不变。我们再次定义了任何策略θj的过程Xθjjby（3.4）∈Aj。代理j的辅助问题是最大化EEPJ“-ZTθj，tSexcj，θj，tdt-κjZTXθjj，tθj上的dt#（A.1）∈Aj。

不难证明EPJHβjFunfj，ti=EPjhβjFunfj，tiPj- a、 s.（a.2）第2步：通过（3.5）和（3.4），-ZTθj，tSexcj，θj，tdt=-ZTθj、tSunfj、tdt-ZTθj，tηj，perXθjj，t- xj公司+ηj，temθj，tθj的dt∈Aj。【34】第7.4节和（3.1）节暗示该过程Wj，t0≤t型≤TwithWj，t，Sunfj，t- Sj，0-ZtEPjhβjFunfj，sidsis an Funfj，PjandSunfj下的t-Wiener过程，t=Sj，0+ZtEPjhβjFunfj、sids+Wj、t.（A.3）迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行21按部件集成并召回（3.4）和（A.3），我们得到了EPJ“-ZTθj，tSunfj，tdt#=EPj“-Xθjj，TSunfj，T+ZTXθjj，tEPjhβjFunfj，tidt#+xjSj，0。我们还有EPJ“-ZTθj，tηj，perXθjj，t- xj公司+ηj，temθj，tdt#=EPj“-ηj，perXθjj，T- xj公司-ηj，temZTθj，tdt#。现在Xθjj，T=0 Pj-a.s.根据步骤1中的定义。由于xj、Sj、0和Sunfj，t不依赖于代理j对θj的选择∈Aj，（A.2）表示θjθj上的最大值（A.1）∈Ajif且仅当其最大化epj“ZTXθjj，tEPjhβjFunfj，tidt-ηj，temZTθj，tdt-κjZTXθjj，tdt#。（A.4）很明显，θjθj上的最大值（A.4）∈Ajif且仅当其最小化PJ时ZT公司Xθjj，t-EPjhβj~Funfj，tiκjdt+ηj，tem2κjZTθj，tdt. （A.5）步骤3：从（3.7）和letKj（t，s），rκjηj，tem中重新定义τj（·）sinh（τj（s））cosh（τj（t））- 1., 0≤ t型≤ s<T^βj，T，EPjκj1.-cosh（τj（t））·ZTtEPjhβjFunfj，siKj（t，s）dsFunfj，t#，t∈ （A.6）我们从[10]的定理3.2中可以看出，T（A.5）有唯一的解θj∈Aj。此外，相应的最优库存过程XθJJ表示线性ODEdXθjj，t=rκjηj，temcoth（τj（t））^βj，t- Xθjj，tdtXθjj，0=xj（A.7）dPj dt-a.s.开启Ohmj×[0，T）。利用Fubini定理和（A.2），我们得到了Epj“ZTtEPjhβjFunfj，siKj（t，s）dsFunfj，t#=EPjhβjFunfj、ti、Pj- a、 s。

（A.8）22 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKThe tanh半角公式以及（3.9）和（A.6）意味着（A.7）可以重写为θj、 t=-rκjηj，temcoth（τj（t））Xθjj，t+tanh（τj（t）/2）huj+νjSunfj，t- Sj，0我√ηj，temκj1+νjt, t型∈ （0，T）Xθjj，0=xj。（A.9）步骤4：我们知道θJSaties（3.2）和（3.3）中的所有策略都具有这些属性。现在Wj，·（ω）在[0，T]上对Pj是连续的，几乎每个ω∈ Ohmj、 当选择ω时，（A.9）变为（3.8）。后者是具有连续系数的一阶线性常微分方程，所以θj、 ·（ω）在[0，T]上是连续的（例如，根据[38]的第1.2章）。由于我们的终端库存约束是确定性的，我们观察到这一限制↑Tθj、 t（ω）存在，并且在定理3的证明中是（28）和（29）的唯一形式。[10]中的2，以及步骤3中的（A.8）。特别是，我们可以查看θ的路径jon[0，T]为Pj-a.s.连续。最后，我们注意到θjis还根据[10]中第3.2项证明中的（28）和（29），（3.9）和步骤3中的（A.8）进行了调整。附录B.第4节证明经常引用定义4.1中函数的各种简单属性。为了方便起见，我们收集了下面的这些。我们将把证据留给读者。引理B.1。固定j∈ {1，…，K}。我们有如下结果：i）Φjis是[0，T]上的严格递减非负函数，Φj（T）=0。ii）A的条目在[0，T]上进行分析，A（T）=IK。iii）如果det A在[0，T]上有根，我们可以找到用te表示的最小值。在这种情况下，te<T，且det A的零位于有限重数的tei处。iv）B的条目在[0，T）butlimt上进行分析↑TBjj（t）=-∞.v） C（·，ω）的项在[0，T]上是连续的。B、 1。引理4.1的证明。让j∈ {1，…，K}。

每次t时，Agent j都会观察到Sexct（ω）的正确值，并将该值解释为Sexcj，θ的实现值j、 t（ω），并计算Sunfj，t（ω）。由（3.5）可知，sexct（ω）=Sexcj，θj、 t（ω）=Sunfj，t（ω）+ηj，perXθjj，t（ω）- xj公司+ηj，temθj、 t（ω）。（B.1）或者，我们可以使用第4节中的奇点理论进行论证。通过滥用符号，我们计算Sexcj，θj、 tand Sunfj，在ω下评估皮重；然而，代理j会在ωj处评估这些量∈ Ohmj、 我们在等式中采用了类似的约定，没有进一步的评论。迷你闪存崩溃、模型风险和最佳执行23将（3.11）替换为（B.1）后，我们得到了SUNFJ，t（ω）- Sj，0=（S- Sj，0）+Иβt+Xi≤Ki6=jηi，根据Xθii，t（ω）- xi+Xi>Kηi，perXθii，t- xi+xi≤Ki6=jηi，temθi、 t（ω）+Xi>K|ηi，temθi、 t+（￠ηj，per）- ηj，per）Xθjj，t（ω）- xj公司+（￠ηj，tem- ηj，tem）θj、 t（ω）+Wt（ω）。（B.2）（B.2）LHS上的数量在决定代理j的策略中起着作用（见引理3.1）。将（B.2）代入（3.8）并应用半角公式fortanh（·），我们得到ajj（t）θj、 t（ω）-xi≤Ki6=jAji（t）θi、 t（ω）=Bjj（t）Xθjj，t（ω）+Xi≤Ki6=jBji（t）Xθii，t（ω）+Cj（t，ω）。由此可知，不确定主体的策略由ODE系统A（t）θu表征，t（ω）=B（t）Xu，θt（ω）+C（t，ω）Xu，θ（ω） =徐。（B.3）推论3.1、引理B.1和标准存在唯一性定理（见[11]第1.1节和第3.1节）完成了论证。B、 2。引理4.2的证明。作为t↑ te，nA（t）˙Xut（ω）=B（t）Xut（ω）o<==>n[det A（t）]˙Xut（ω）=[adjA（t）]B（t）Xut（ω）o。这里，dj表示常用的调整运算符。我们可以找到一个非负整数m，使得det Aat teis（m+1）的ze ro的多重性由引理B.1确定。因此，有一个唯一的非消失分析函数f，使得det a（t）=（t- te）te小社区的m+1f（t）（B.4）。

注意，f是不为零的，因为det A的零点是隔离的，而det A（T）=1（见引理B.1）。然后，我们定义分析图（见LemmaB.1）D byD（t），[调整（t）]B（t）/f（t）（B.5），并得出（4.3）。由于det A（·）的根位于te，因此A（te）的秩不超过K-当A（te）有秩K时，我们观察到adj A（te）有秩1-1.否则，adj A（te）必须是零矩阵。紧接着是关于D（te）等级的评论。24 ERHAN BAYRAKTAR和ALEXANDER MUNKB。3、命题4.1的证明。D（te）6=0，因为λ6=0。然后（4.2）在te处有一个第一个k ind的奇点（见我们上面的讨论）。λ 6∈ 通过假设，所以[16]的定理6.5暗示了[te]的基本解（4.2- ρ、 te）对于某些ρ>0，由p（t）| t给出- te | D（te）。（B.6）在（B.6）中，P（·）是一个解析的MK（R）值函数，P（te）=IK。此外，P（t）对于所有t都是可逆的∈ [te- ρ、 te）和P（t）| t- te | R-1=| t- te公司|-R【P（t）】-（B.7）（4.1）满意度（t- te）θu，t（ω）=D（t）Xu，θt（ω）+adj[A（s）]C（s，ω）f（s）。te附近（如引理4.2所示）。SinceP（t）| t- te | D（te）ρ-D（te）[P（te- ρ)]-1也是（4.3）关于[te]的基本解- ρ、 te）等于IKat te- ρ、 我们可以应用参数的变化来获得xu，θt（ω）=P（t）| t- te | D（te）hρ-D（te）[P（te- ρ)]-1i·“Xθ”te公司-ρ（ω）+Ztte-ρP（te- ρ） ρD（te）| s- te公司|-D（te）[P（s）]-1.adj[A（s）]C（s，ω）（s- te）f（s）ds#。（B.8）我们可以找到D（te）的特征基{v，…，vK}，使得vKcorres变为λ。在[te]上定义连续实值函数{F（·，ω），…，FK（·，ω）}- ρ、 te]和常数{y（ω），…，yK（ω）}作为某些特征基坐标：KXj=1Fj（s，ω）vj，[P（s）]-1adj【A（s）】C（s，ω）f（s）KXj=1yj（ω）vj，ρ-D（te）[P（te- ρ)]-1Xθte公司-ρ(ω) .