限制二氧化碳累积排放量的经济学

它们的比率为Eg（t）/Eu（t）=rt，最初为rt<< 1因此，支出取决于降低排放强度的成本，但扩张的第二个贡献变得越来越重要。严格来说，恒定外源脱碳速率σ模型假设GGDP增长速率恒定，因此这是贯穿本文的隐含假设。我们用泰勒级数展开方程（13）中相应的指数，并考虑前导序项。2.5缓解支出负担作为GGDP的一部分，预计未来的全球经济将比现在更富有，因此更容易管理缓解支出。然而，随着时间的推移，边际减排成本也在增加，因为更便宜的减排活动已经耗尽，必须开展更昂贵的活动才能继续脱碳。考虑“负担”，定义为一年缓解支出与相应GGDP的比率；分子是方程（9）中的被积函数，没有时间折扣因子。负荷isb（t）=βe-σtk（t）e（ν-1） K（t）+βrν- 1e级-σte（ν-1） K（t）- 1.（15） 使用˙g/g=r。上述两项分别来自降低排放强度和扩大。对于恒定脱碳率k的情况，让我们考虑它们各自对˙b（t）的贡献。从减少排放强度来看，这是˙b（t）=βk（（ν- 1） k级- σ） e类-σte（ν-1） kt（16），所以它的符号依赖于ds的符号- 1） k级- σ。如果MAC r足够陡，以至于ν>1，那么˙b（t）>0，如果脱碳速率比外源速率σ大，那么（ν- 1） k>σ。排放强度的外源性减少无法充分补偿急剧上升的MACcurve，这可能会给子孙后代带来越来越大的负担。

在0<ν<1的情况下，脱碳d的负荷随时间而减少。通过展开，对˙b的贡献简化为˙b（t）=βrν- 1n（（ν- 1） k级- σ） e类-σte（ν-1） 千吨级- σe-σ到（17），通常最后一项是sm，所以如果（（ν- 1） k级- σ) / (ν - 1） >0此设计随时间而增加。只有当1<ν<1+σ/k时，该贡献才会随时间而减少，在方法ν中→ 1脱碳贡献约为b（t）=βe-σtk（t），所以这通常会随着时间而增加，除非脱碳率增加。对于所有其他情况，它都会增加。如果σ/k<< 1由于MAC曲线的形状，膨胀的负担几乎肯定会随着时间的推移而增加。综上所述，如果MAC曲线上升到ν>1+（1- θ） rk（18），因为增加的MAC不会被外源性降低排放密度的影响所补偿。将来如果e（ν-1） K（t）>> 1在方程式（15）中，负荷简化为tob（t）=βe-σte（ν-1） K（t）k（t）+rν- 1.（19） 因此，对于近似恒定的综合脱碳K（t），减少排放强度的负担与脱碳率K（t）成比例。2.6缓解成本和累积排放量之间关系的凸性我们研究了贴现缓解支出和累积排放量之间的近似关系。这种关系当然取决于函数K（t），本小节只考虑脱碳率恒定的情况，因此K（t）=kt。我们还确定了GGDP增长率和自主脱碳率，因此支出和累计排放量之间的图表仅反映脱碳率的差异。当前时间t=0和时间范围t=t isM（t）='Tm（t）dt之间的累积共迁移。

m（t）=ug（t）e-K（t）e-σt，在脱碳率k不变的情况下，它变成M（t）=M1.- e-χT/χ、 χ=k+σ- r、 预计支出E（T）和累计排放量M（T）之间的曲线斜率等于导数E类/M，写为E类/M=(E类/k）(k级/χ) (χ/M）。的价值M级/χ=mχ（1+χT）e-χT- 1..我们分别研究了具有短期和长期视野的非常不同的情况。在短期内，主要订单条款为E类/k~=αmT，和M级/χ~=-mT.然后，自k级/χ=1，常数r和σ，我们得到E类/M~=-α/吨。该斜率在固定时间范围T内保持不变。对于T=1，图表的斜率为- α，也表示从现在起一年内的支出增加量（十亿美元），这是第一年减少1 Gton排放量所需的。从MAC曲线的模型中可以明显看出这一点，但对于几年的短期范围来说，这也是一个类似的线性关系。对于长时间范围T，其中e-χT<< 1，米~=m/χ，并消除k，代入方程（14），得到支出与累积排放量E之间的关系~=βge（r-ρ） T型-1r级-ρ毫米+rν-1.- σ, 其中，E是M的凸函数，对于较小的M，E的斜率增大。对于ν>1，方程式（14）中的支出更强烈地依赖于脱碳率k，因为k中有指数项，因此影响更大。在脱碳速率不变的情况下，Ne和M之间的曲线图的凸性来自两个影响：M级/对于大T的情况，χ表现为-m/χ，因此，脱碳速度越快，χ越大，对限制累积排放量的影响就越小；其次，由于k的指数项，脱碳率的增加在长时间内呈非线性增加。

这些影响更为普遍，因此不限于脱碳率恒定的情况。总之，在短时间范围内，缓解支出与累积排放量的关系图是线性的，而在较长时间范围内，它是凸的。COI的长期有效性和限制累计排放的政策应充分考虑长期范围。在这些条件下，以实现更严格的缓解目标所需的额外贴现支出衡量的边际成本正在增加。表1列出了本文使用的参数。支出与累积排放量之间的曲线斜率随着时间范围t的增加而变小，因为支出对脱碳率的敏感性随t线性增长，而累积排放量与t呈二次关系。较高脱碳率的好处对T敏感，因为脱碳需要时间来影响累积排放量。

因此，在几年的时间范围内，脱碳似乎更具吸引力，同时考虑到更长的周期。表1：参数说明SYMBOL Description UNITS SM（t）COEMISIONS Gton COyear-1累计COEMISIONS goal PgCu（t）COEMISIONS INTENT s Gton CO（万亿美元）-1g（t）全球国内生产总值（GGDP）万亿美元year GGDP年增长率year-1k（t）脱碳率year-1θCOEMISIONS收入弹性无量纲σ外源脱碳率year-1αCOMAC曲线的有效性（十亿美元/（Gton COyear-1）ν指数在MAC曲线维度中SEu（t），Eg（t），e（t）贴现支出直到第10年t十亿美元Pu（t），Pg（t），P（t）支出到第10年t十亿美元支出到第10年（t）支出/GGDP到第1年t维度SK（t）综合脱碳率无量纲δ时间贴现率ρσ+δ1年χk+σ- r第1年βαuyear3降低碳排放强度的最小支出途径本节研究了减少缓解支出的准稳态脱碳途径，该途径受到累积系数的限制。这种途径不需要对应于恒定的脱碳速率。综合脱碳率有一个约束条件，目前K（0）=0，因此，我们寻求K（t）中的初值问题，其解最小化了运输费用。累计共排放量写为M（T）='Tmt、 K，˙Kdt，其中mt、 K，˙K= ug（t）e-K（t）e-σtis排放。我们希望找到使贴现缓解支出E（t）='Tf最小化的K（t）t、 K，˙Kdt，其中ft、 K，˙K= βe-δte-σtg（t）˙K（t）e（ν-1） K（t）+βν-1e级-δte-σt˙g（t）e（ν-1） K（t）- 1..考虑选择综合脱碳K（t）的固定路径，以最小化（t）受到累积排放约束^Tm的影响t、 K，˙Kdt=M（20），其中Mis为累积排放目标。

对于这种途径，功能的衍生物K、 ˙K='Tft、 K，˙Kdt+λn\'Tmt、 K，˙Kdt公司- 对于满足初始条件的任意pertu rbationsδK，Mom必须相对于toK（t）平稳。这就产生了附录1中导出的常见EulerLagrange（e-L）方程fK+λm级K=滴滴涕f˙K+λm级˙K（21）简化为eνK（t）=λu（δ+σ）βeδt，其中λ可以使用累积发射的约束来消除。此外，解必须满足“自然边界条件”f˙K（T）+m级˙K（T）=0，这是因为K（T）的值没有被我们的问题的规格所确定（附录1）。然而，这样的满足是不可能的，我们寻求一个只对扰动保持不变的解，该扰动不仅保持K（0），它遵循初始条件K（0）=0，而且保持K（T）。修正K（T）是对我们的问题的一个艺术约束，其排放量并不明确取决于˙K，但我们将此论点包括在内，以便与我们寻求最小化的其余函数的公式保持一致。为便于操控而引入。从这个意义上说，我们的解决方案是“准平稳的”，即仅相对于保留两个端点的受限类型的扰动，尽管第二个端点不受K（t）上的最终条件的约束。虽然K（t）在存在非零d iscount率的情况下随时间增加，但E-L方程pr中没有终点K会导致施加初始条件K（0）=0。在我们的优化问题中，E-L方程是代数方程，因为被积函数f+λm与ds线性依赖于˙K，导致出现退化情况（van Brunt（2004）），如附录1所示。为了在E-L方程中引入˙K中的一项，我们寻求第二个积分约束，该约束包含不同的函数ht、 K，˙K遵守SDDT的dth类˙K=˙Ke-γt（22），γ>0，原因将变得显而易见。

然后h类˙K='t˙K（s）e-γsds与积分副部件h类˙K=e-γtK（t）+γ^tK（s）e-初始条件K（0）=0时的γsds（23）。此外，选择γlarge，以便第一项可以受益，我们得到t、 K，˙K= γ˙K（t）^tK（s）e-γsds+h（K（t），t）（24）我们只寻找一个由γs满足方程（22）参数化的函数，因此做出最简单的选择，并将h（K（t），t）设为零。然后ht、 K，˙K= γ˙K（t）'tK（s）e-γsds，我们选择γlarge，这样t、 K，˙Kdt可以变小。因此，我们对原来的p^Th问题施加了进一步的平等约束t、 K，˙Kdt=ε（25）要了解这是如何实现的，请考虑恒定脱碳速率的示例，其中K（t）=ζt，ζ>0，因此h（t）=γζ'tse-γsds。通过部件进行集成-ζte-γt+ζγ1.- e-γt, 通过选择γ足够大，可以使其变小。定义h（t）所涉及的项为正，因此h（t）>0，而且在本例中，h（t）<ζ/γ，so'Th（t）dt<ζt/γ，可以通过选择足够大的γ来减小。带ε<< 1且要最小化的新函数包含一个附加项λn'Tht、 K，˙Kdt公司- εo，因此修改后的E-L方程变为fK+λm级K+λh类K=滴滴涕f˙K+λm级˙K+λh类˙K（26）这里也有一个类似的自然边界条件，但我们不能满足它，只有seeka解对于上面讨论的受限扰动类是平稳的。回想一下滴滴涕h类˙K=˙Ke-γt.此外，h类K=γ˙K（t）'te-γtdt=˙K1.- e-γt. 那么E方程是-λug（t）e-σte-K（t）+λ˙K（t）1.- e-γt= - （δ+σ）βe-（δ+σ）tg（t）e（ν）-1） K（t）+λ˙K（t）e-γt（27）我们通过忽略e来简化-γt与1相比，因为γt>> 1，所以Kbecomes的演化方程˙K（t）=λ|λe-σtg（t）e-K（t）-（δ+σ）βλe-（δ+σ）tg（t）e（ν）-1） K（t）（28），初始条件K（0）=0。

乘以两侧的eK（t）并定义x（t）=eK（t），x（t）的演化方程为˙x（t）=λ|λe-σtg（t）-（δ+σ）βλe-（δ+σ）tg（t）（x（t））ν（29），x（0）=1。上述方程不是可以精确求解的标准类型，我们不是近似解（附录2）。综合脱碳率K（t）必须增加才能与经济相关，但对于K（t）中的初值问题，我们面临的风险是，在上述方程的解中，它实际上会降低。在σ>0或δ>0的情况下，实现了这种可能性，如附录2中σ>0所示，K（t）是一个递减函数。我们无法通过正则化两点边值问题的E-L方程来避免这种情况。K（0）值已知，但K（T）值未知，后者不是由约束累积排放量唯一确定的。方程（20）中的累积排放量约束在时间上离散化，对应于在不同时间步的K的几个未知值中的单个方程，因此这不会对K（T）产生唯一的约束。因此，我们只能在σ=0的特殊情况下获得E-L方程的有意义的解，涉及单位收入排放弹性，并且没有时间折扣。对于这种特殊情况，x（t）=1+λ||||λG（t），其中G（t）='tg（s）ds被积分为GGDP，因此拟平稳解isK（t）=ln1+λuλG（t）（30）正在增加。通过将方程（30）代入方程（20）和（25）提供的积分约束来估计拉格朗日乘子λ和λ。

E-L方程将选择函数K（t）的有限维问题简化为估计满足这些约束的λ和λ的有限维问题。对于上述解，只有当σ=0时才是准平稳的，我们有e-K（t）=1/1+λuλG（t）;因此，在这种情况下，时间t的累积排放量为M（t）=λln1+λuλG（t）, orM（t）=拟稳态解中的λλK（t）。因此，对于σ=0和δ=0的特殊情况，存在与K中的一类受限扰动相关的准平稳解，且其累积排放图与K（t）图成正比，排放图m（t）与脱碳率K（t）成正比，K（t）=λm（t）。在该解决方案中，需要减少排放量以使累积排放量最终近似恒定的情况下，K（t）以递减率增加；脱碳速率k（t）最初较大，并随时间降低。4数值结果4.1参数估计和情景我们估计Morris等人（2008）提出的COby aggregatin g估计值的全球MAC曲线（以1990年美元为单位），该曲线又基于麻省理工学院排放预测和政策分析（EPPA）模型（Paltsev等人（2005））。图1a显示了Morris e t al.（2008）2050年的结果。MAC模型的估计如图1b所示，我们必须知道正常业务情况下的参考误差，对应于ue的影响-σt。t这是从Paltsev等人（2005）的EPPA模型记录的2050年参考案例排放量中得出的。最小二乘回归得出α和u的估计值（表2）。指数ν明显大于1，这种关系会影响第2节中检查的属性。MACs中存在较大的不确定性（Criqui et al.（1999）；Klepper和Peterson（2004）；Amann等人。

（2009）但在我们的模型中，这个指数似乎不能小于2，因为随着脱碳的进行，这将导致MAC的增长非常缓慢。图1c显示了在我们的模型中改变ν的影响。如果ν接近1，则即使与参考案例相比减少了50%，2005年价格的MAC也将低于50美元/吨，这比研究表明的要小得多（Ellerman和Decaux（1998）；Klepper和P eterson（2004）；Amann等人（2009年））。对于共同支出的收入弹性，我们使用θ=0.75的常量值，在4%的GGDP增长情景下，每年产生σ=1%的外源性脱碳率，接近实际美元的最近历史值（DeLong（1998））。因此，σ的估计值与DICE模型中的2015年值相对应（Nordhaus和Sztorc（2013））。在DICE中，自主脱碳率在五年的每个时间步都以0.1%的速度下降（Nordhaus和Sztorc（2013））。如果考虑GGDP增长率下降的情景，我们的排放模型中也会出现类似的外源脱碳率下降。对于未来的GGDP增长估计，考虑到我们的时间跨度是从现在开始的100年，大多数IAM显示GGDP增长逐渐减少，反映了本世纪的表情转变（例如Paltsev e t al.（2005））。尽管如此，我们认为年增长率（实际美元）介于0.012-0.036之间，这比IPCC的排放情景特别报告（SRES）（Krakauer（2014））中的范围更大。