控制市场情绪的大投资者投资组合优化

ht公司∈ [-五十、 L]，对于某些L>0，对于每个t∈ [0，T]。例如，为了处理在紧凑空间中取值的控件集，需要这种假设。我们将看到，对于第5节中考虑的示例，该假设没有限制性，因为我们获得了一个最佳控制，取值为(-五十、 L）。我们用Y（h）表示代表市场状态的连续时间有限状态马尔可夫链。Y取正则状态空间E={E，E，…，eK}中的值，其中eK是RK的第k个基列向量。马尔可夫链的初始分布由π=（π，····，πK）给出。符号Y（h）代表我们假设投资者的行为对市场状态有影响的事实。形式上，我们得到Y（h）的最小生成元的形式为Q（ht）=（qi，j（ht））i，j∈{1，…，K}。为了保持旋转简单，在下面的例子中，我们将其限制为下一个相邻的动力学，即qi，如果| i，则j（·）=0- j |>1。然而，请注意，结果可以很容易地扩展到一般结果。这意味着发电机Q（ht）的结构如下=-q1,2（ht）q1,2（ht）0。0 0q2,1（ht）-q2,1（ht）- q2,3（ht）q2,3（ht）。0 0..................0 0 0 . . . qK，K-1（ht）-qK，K-1（ht）请注意，由于假设h是可预测的，因此ge发电机的定义很明确。6 S.ALTAY，K.COLANERI和Z.EKSIwhere qi，j：[-五十、 L]→ R≥0是i 6=j和i，j的非负连续函数∈{1，…，K}。我们将无风险债券和风险资产视为市场上可用的工具，价格过程为B={Bt，t≥ 0}和S={St，t≥ 分别为0}。债券价格假设为f ollowdBt=ρBtdt，B∈ R> 0，其中ρ>0是瞬时无风险率。风险资产价格过程具有纯粹的跳跃动态，受市场状态的影响。

形式上，它按照以下等式发展：dSt=St-ZZG（t，Y（h）t-, ζ） N（dt，dζ），S∈ R> 0，其中N（dt，dζ）是R上的泊松随机测度≥0×Z，带Z R、 具有独立于马尔可夫链Y（h）的完整性（dζ）dt和G:[0，T]×E×Z→ R是一个可测函数，时间连续且令人满意ZTZZG（t，Y（h）t-, ζ） （dζ）dt< ∞.为了确保过程S的非负性，我们进一步假设每（t，ζ）1+G（t，ei，ζ）>0∈ [0，T]×Z和i∈ {1，…，K}，而且我们假设方程（2）有唯一的解。例如，在[39，定理1.19]中，给出了解决方案唯一性的一组充分条件。设R：={Rt，t∈ [0，T]}是返回进程，dRt=ZZG（T，Y（h）T-, ζ） N（dt，dζ），并引入与其跳跃u（dt，dz）相关的随机度量u（dt，dz）：=Xs：Rs6=0{s，Rs}（dt，dz）。然后以下等式保持srt=ZtZZG（t，Y（h）t-, ζ） N（dt，dζ）=ZtZRzu（dt，dz），对于每t∈ [0，T]。我们用ηP（t，Y（h）t表示度量u的（F，P）-双重可预测投影-, dz）dt。对于每个A∈ B（R）以下为ηP（t，Y（h）t-, A） =（DAt），其中DAt：={ζ∈ Z:G（t，Y（h）t-, ζ) ∈ A \\{0}}，参见，例如[9，第8章]。假设G和意味着ηP（t，ei，z）在时间上是连续的ZTZRzηP（t，Y（h）t-, dz）dt< ∞. （1） 大型投资者的投资组合优化7Let W（h）={W（h）t，t∈ [0，T]}是与自我融资策略相对应的财富过程h={ht，T∈ [0，T]}。W（h）的动力学由dw（h）t=W（h）t给出-（1）- ht）ρdt+htZRzu（dt，dz）, W（h）∈ R> 0。（2） 为了确保财富过程是积极的，我们考虑满足消费2.2的投资策略。ηP（t，ei，Θ）=0，每t∈ [0，T]和i∈ {1。

，K}，其中Θ={z∈ R：1+htz≤ 0，t∈ [0，T]}。请注意，如果禁止卖空，这一假设可能会减弱。在续集中，每当没有歧义时，为了便于符号化，我们支持进程Y（h）和W（h）对策略h的依赖，并简化Y和W。最后，我们可以为（2）Wt=Wexp编写解决方案Zt公司（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys-dz）ds+ZtZRlog（1+hsz）ν（ds，dz）,每t∈ [0，T]，其中ν（dt，dz）：=u（dt，dz）- ηP（t，Yt-, dz）dt（3）表示与u相关的补偿跳跃测量。在本文的其余部分中，我们始终按照第2.3节所作的长期假设进行工作。完全信息下的优化问题在第一步中，我们假设投资者完全了解市场。形式上，这意味着可用信息由过滤F提供。这导致对可接受策略的以下定义。定义3.1。如果一个投资组合策略是F-可预测的，且假设2.1和2.2成立，则它是F-可容许的。我们用H表示F-adm可行策略集。假设我们得到一个严格递增、严格凹且连续可微的效用函数U:R>0→ R满足INDA条件，即limw→0Uw（w）=∞和limw→∞Uw（w）=0。投资者的目标是在所有可接受的策略上解决以下优化问题max Et，w，i[U（WT）]，（4）以财富的初始值WT=w和初始状态Yt=ei为准，对于某些i∈ {1，…，K}。8 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksit当前优化问题的值函数isV（t，w，ei）=suph∈HEt，w，i【U（WT）】。如果V对于前两个参数是连续且可区分的，即。

五、∈C1,1b（[0，T]×R>0×E），则可以将其表征为由0=suph给出的HJB方程的唯一经典解∈[-五十、 L]LhV（t、w、ei）,lh是（W，Y）对的（F，P）-马尔可夫生成子。明确地说，我们有0=suph∈[-五十、 L](五、t（t，w，ei）+五、w（t，w，ei）w（1- h） ρ+KXj=1（V（t，w，ej）- V（t，w，ei））qi，j（h）+ZR[V（t，w（1+hz），ei）- V（t，w，ei）]ηP（t，ei，dz）），（5），最终条件V（t，w，ei）=U（w），对于每个w∈ R> 0和i∈ {1，…，K}。在下一个定理中，通过结合经典结果，我们为优化问题（4）提供了验证结果。定理3.1。设Υ为方程（5）的解，对于每个控制H∈ H以下条件为“ZTZR |Υs、 W（h）s-（1+hsz），Ys-- Υ（s，W（h）s-, Ys公司-)|ηP（ds，Ys-, dz）ds#<∞, （6）E“ZTKXj=1Xk6=j |Υ（s，W（h）s-, ej）- Υ（s，W（h）s-, Ys公司-)|qk，j（hs）1{Ys-=ek}ds#<∞. （7） 然后，i.Υ（t，w，ei）≥ Et，w，iU（W（h）T）, 适用于所有（t、w、ei）∈ [0，T]×R＞0×E；二。如果存在策略h*∈ H这样H*s∈ arg最大值∈[-五十、 L]LhΥ（s，W（h*)s、 Y（h*)s）P- a、 s.对于每个s∈ [0，T]，则Υ（T，w，ei）=V（T，w，ei）。此外，h*是一种投资组合策略。证明见附录A。在续集中，我们分别讨论了具有对数和幂效用偏好的投资者的效用最大化问题。大型投资者投资组合优化93.1。对数效用。研究了具有对数算术效用偏好的大型投资者的投资组合优化问题。也就是说，我们有U（w）=log（w）。为了进行比较，我们首先研究了退化情况，其中马尔科夫链的生成器不依赖于投资者的行为。在这种情况下，投资者没有市场影响。然后我们转向我们的主要兴趣，即具有市场影响的案例。通常，对数效用是最简单的情况，可以通过逐点最大化来解决。

然而，考虑到市场影响，这已经不可能了，因为投资者当前的行为会影响市场的未来状态，因此可能会改变资产定价过程的跳跃强度。3.1.1. 对数效用-无市场影响。首先，在马尔可夫链的强度不依赖于投资组合策略的情况下，我们提供了最优策略的特征和价值函数的随机表示，即qi，j（h）≡ qi，j，代表i，j∈ {1，…，K}和每个控制h。在这种情况下，可以直接解决最优控制问题。首先注意，通过应用It^o’s公式，我们得到v（t，w，ei）=log（w）+suph∈Heβ（t，ei；h），其中eβ（t，ei；h）=Et，iZTt公司（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys-, dz）ds+ZTtZRlog（1+hsz）ν（ds，dz）.提案3.1。当w>0时，Suppos e U（w）=log（w）。i） 让h*（t，ei）满足Zrz1+h*（t，ei）zηP（t，ei，dz）=ρ或h*（t，ei）∈ {-五十、 L}，对于每个i∈ {1，…，K}。然后是最优策略*t=h*（t，ei）对于每个t∈ [0，T]和i∈ {1，…，K}。ii）值函数的形式为v（t，w，ei）=log（w）+Et，iZTt公司（1）- h类*s） ρ+ZRlog（1+h*sz）ηP（s，Ys-, dz）ds公司.证据我们首先写log（WT）=log（w）+ZTt（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys，dz）ds+ZTtZRlog（1+hsz）ν（ds，dz）。（8） 10 S.Altai、K.COLANERI和Z.Eksii从条件（1）得出，过程ztzrlog（1+hsz）ν（ds，dz），t∈ [0，T]是（F，P）-真鞅。然后，通过在（8）wehavet，w，i[log（WT）]=log（w）+Et，iZTt公司（1）- hs）ρ+ZRlog（1+hsz）ηP（s，Ys，dz）ds公司.现在我们可以有针对性地最大化。由于Y与控制无关，在t时，我们得到一阶条件0=-ρ+ZRz1+htzηP（t，ei，dz）。

（9） 假设方程（9）有一个解h*（t，ei），二阶条件-ZRz（1+htz）ηP（t，ei，dz）<0意味着这是全局最大化子。否则，在其中一个边界点达到最大值{-五十、 L}。我们注意到，对于第5节的案例研究，方程式（9）始终允许内部解h*（t，ei）∈ (-五十、 L）。[30]对经典情况下（即没有市场影响）具有对数偏好的效用最大化进行了广泛的研究，其中最优策略的特征是驱动资产价格过程的半鞅的局部特征（漂移、波动性和跳跃强度）（参见[30，定理3.1]）。3.1.2. 对数效用-市场影响。在有市场影响的情况下，上述程序不适用。这是因为投资者的决策在任何时候都可能改变马尔可夫链的未来状态。因此，我们在这里通过动态规划来解决这个问题。精确地说，我们研究了终端条件V（T，w，ei）=log（w）时方程（5）的解。我们考虑ansatzV（t，w，ei）=log（w）+β（t，ei）。然后我们得到（t，ei）的以下方程组：-βt（t，ei）=suph∈[-五十、 L]n（1- h） ρ+（β（t，ei+1）- β（t，ei）qi，i+1（h）+（β（t，ei-（1）- β（t，ei））qi，i-每t 1（h）+ZRlog（1+hz）ηP（t，ei，dz）o.（10）∈ [0，T]和i∈ {2，…，K- 1} ，以及大型投资者的投资组合优化11dβdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]n（1- h） ρ+（β（t，e）- β（t，e））q1,2（h）+ZRlog（1+hz）ηP（t，e，dz）o，（11）dβdt（t，eK）=- suph公司∈[-五十、 L]n（1- h） ρ+（β（t，eK-（1）- β（t，eK））qK，K-1（h）+ZRlog（1+hz）ηP（t，eK，dz）o，（12），对于i，边界条件β（t，ei）=0∈ {1，…，K}。等式（10）、（11）和（12）意味着给定一个n优化器h*, β（t，ei），i∈ {1。

，K}，是这个常微分方程组（ODE）的唯一解。这源于系数的连续性【43，定理3.9】。原则上，我们可以用数值方法来求解系统，例如，向后Euler方法。特别是，如【10】所述，在数值过程的每个时间步tn，应找到最大值h*（tn），然后求解所得ODE。为了验证方程（10）、（11）和（12）的解确实是当前优化问题的值函数，我们观察到∈ H和每个i∈ {1，…，K}，EZTZRlog（1+htz）ηP（t，Yt，z）dt< ∞,E“ZTKXj=1（β（t，ej）- β（t，ei）qi，j（ht）dt#<∞,其中，第一个不等式来自条件（1），第二个不等式来自qi，j（h）的有界性。然后验证定理3.1适用。3.2。电力公司。在这一部分中，我们在功率效用的假设下工作，即U（w）=θwθ，θ<1，θ6=0。我们用动态规划技术解决了相应的优化问题。在下面的内容中，我们研究了终端条件V（T，w，ei）=wθ的方程（5）的解。对此，我们建议对值函数v（t，w，ei）=wθeθγ（t，ei），i∈ {1，…，K}。（13） 12 S.ALTAY、K.COLANERI和Z.Eksi在（5）中插入（13）可得出方程dγdt（t，ei）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，ei-1)-γ（t，ei））- 1.qi，i-1（h）+θeθ（γ（t，ei+1）-γ（t，ei））- 1.qi，i+1（h）+θZR（1+hz）θ- 1.ηP（t，ei，dz）（14） 每t∈ [0，T]和i∈ {2，…，K- 1} ，和dγdt（t，e）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，e）-γ（t，e））- 1.q1,2（h）+θZR（1+hz）θ- 1.ηP（t，e，dz）, （15） dγdt（t，eK）=- suph公司∈[-五十、 L]（1）- h） ρ+θeθ（γ（t，eK-1)-γ（t，eK））- 1.qK，K-1（h）+θZR（1+hz）θ- 1.ηP（t，eK，dz）, （16） 分别为，最终条件γ（T，ei）=0表示i∈ {1，…，K}。给定优化RH*, γ（t，ei），每i∈ {1。

，K}，是方程（14）、（15）和（16）给出的第一阶系统的唯一解。注意，一个简单的变换，即F（t，ei）=eθγ（t，ei），产生一个线性常微分方程组。在对数效用的情况下，可以遵循相同的过程，并用数值方法求解系统。此外，通过qi、j（h）和条件（1）的有界性，我们得到了每个∈ H、 E类ZTWθtZR（1+htz）θηP（t，Yt，z）dt< ∞,E“ZTWθtxj=1 | Eθγ（t，ej）- eθγ（t，ei）| qi，j（ht）dt#<∞,每一个我∈ {1，…，K}，因此验证定理3.1成立。4、部分信息下的优化问题在本节中，我们假设投资者无法直接观察到状态过程Y。相反，她观察价格过程并知道模型参数。因此，可用的信息由天空资产价格过程产生的自然过滤表示，FS：={FSt，t∈ [0，T]}，FSt：=σ{Ss，0≤ s≤ t} ，则，t型∈ [0，T]。在本文中，我们假设FSA满足通常条件。大型投资者的投资组合优化13随时t∈ [0，T]投资者的决定仅取决于可用信息。因此，我们将一组可能的策略定义如下。定义4.1。如果投资组合策略h是可预测的，且假设2.1和2.2成立，则它是可接受的。我们用eh表示FS容许策略集。考虑FS可预测投资策略会导致部分信息下的最优控制问题。在这里概述的马尔可夫环境中，我们可以将部分信息下的控制问题简化为完全信息下的等效控制问题，其中不可观测的状态变量，即马尔可夫链Y，被过滤的估计所取代，参见，例如，[3，12]。

这需要解决一个滤波问题，其中不可观测信号由马尔可夫链Y给出，观测过程为纯跳跃过程S。关于纯跳跃过程观测的滤波问题的文献相对较多。一个简短的结果列表包括[9、13、24、28、11]。在接下来的部分中，我们将使用所谓的创新方法处理与我们的设置相对应的过滤问题。[14]中用不同的方法解决了一个类似的问题。在那篇论文中，股票价格的跳跃强度对控制的依赖性导致了信息的循环，这使得不可能使用创新方法。相反，他们使用referenceprobability方法。4.1. 过滤并还原为完整信息。定义滤波器π（f）：={πt（f），t∈[0，T]}乘以πT（f）=Ehf（Y（h）T）| FSti，T∈ [0，T]，对于每个函数f:E→ 注意，为了便于记法，我们抑制了π对h的依赖性。用πt表示-（f） 过滤器的可预测版本。我们定义πit：=Eh{Y（h）t=ei}| FSti，t∈ [0，T]，每个固定策略h的马尔可夫链的条件状态概率Y（h）。由于E是有限的，我们可以写出πT（f）=KXj=1f（ej）πjt，T∈ [0，T]。应用创新方法的一个基本步骤是编写（FS，P）-鞅的表示。我们引入以下符号πt-（ηP（dz））dt：=KXi=1πit-ηP（t，ei，dz）dt。（17） 不难证明，对于每个非负（FS，P）-可预测过程，由z，Φ：={Φ（t，z），t∈ [0，T]}这样ZTZR |Φ（s，z）|πt-（ηP（dz））dt< ∞,14 S.ALTAY、K.COLANERI和Z。

Eksit以下情况成立（见[21，V T28]）：EZTZRΦ（t，z）u（dt，dz）= E“ZTZRΦ（t，z）KXi=1πit-ηP（t，ei，dz）dt#，这意味着（17）提供了度量u的（FS，P）-双重可预测投影，并且处理器rtrrΦ（s，z）u（ds，dz）- πs-（ηP（dz））ds, t型∈ [0，T]是一个（FS，P）鞅。设νπ（dt，dz）表示（FS，P）补偿度量，即νπ（dt，dz）：=u（dt，dz）- πt-（ηP（dz））dt。（18） 这是创新过程的基石。提案4.1。过程πi，对于所有i∈ {1，…，K}求解方程dπit=KXj=1qj，i（ht）πjtdt+ZRπit-ui（t，πt-, z） νπ（dt，dz），（19）其中ui（t，πt，z）：=PKj=1πjtdηP（t，ej，z）dηP（t，ei，z）- 1和dηP（t，ej，z）dηP（t，ei，z）表示度量ηP（t，ej，dz）相对于ηP（t，ei，dz）的Radon-Nikodym导数。证明推迟到附录A。为了将（20）中所述的最优控制问题转化为仅涉及可观测过程的等效问题，需要滤波方程解的唯一性。因此，在本文的其余部分中，我们假设Kushner-Stratonovich（KS）方程有唯一的解。备注4.1。（KS）方程解唯一的一个有效条件是，例如，supt∈[0，T]ηP（T，ei，R）<∞,每一个我∈ {1，…，K}，参见，例如，[11]。这在我们的模型中得到了满足，因为是一个完整的度量。请注意，资产价格S以及财富过程W对于投资者的信息具有代表性，由t=S+ZtKXi=1ZRzSsπ表示ηP（S，ei，dz）ds++ZtZRzSsνπ（dt，dz），Wt=W+ZtWs（1- hs）ρ+KXi=1ZRzηP（s，ei，dz）！dt+Ws-hsZRzνπ（dt，dz），对于每t∈ [0，T]。在部分信息框架中，我们可以写下投资者的目标asmax Et，w，π[U（WT）]，（20）在FS容许控制集上，大型投资者的投资组合优化15，其中Et，w，π表示给定WT=w和πt=π的条件期望。