关于具有完全单调核的能量形式的极小化子

，bn}是M的特征值，v=（v，v，…，vn）是相应的特征向量。定义Mv=cv转化为以下方程组：bkvk+2λakpbkXlvl=cvk，k=1，2，n、 PLVL6=0一定是真的。否则，bkvk=CVK对于所有k=1，2，n、 自c起/∈ {b，b，…，bn}（参见步骤2.1），这意味着v=0，这与特征向量的定义相矛盾。因此，我们可以设置1>v=Plvl=2λ，而不丧失一般性。我们获得v=一√卑诗省- b、 a√卑诗省- b一√bnc公司- bn公司.让cn>cn-1> ····>c>0是M的特征值。定义c：=诊断（ci）i=1，。。。，n、 Q：=cj公司- bi公司i、 j=1,2，。。。，nand Q：=AB1/2Q.（23）2.3 M=QCQ-1、在步骤2.2中，Q的列是与特征值c、c、…、，中国。对应于不同特征值的特征向量是线性独立的，因此Q是非奇异的。我们得到特征分解M=QCQ-1.2.4 1>Q=2λ>。这源自步骤2.2，其中我们假设Q中包含的每个特征向量和为2λ。3、定义：=1+2λXkak√bk-1> 0.我们让M1/2：=Q诊断(√ci）i=1，。。。，nQ公司-并用eM1表示/2T=Q diag（e√ciT）i=1，。。。，nQ公司-M1/2T的矩阵指数。定义：=A-1.M1/2eM1/2T- 我+ B1/2层eM1/2T+I,其中I表示单位矩阵。n个常微分方程组f=Mf的通解- 2AB1/21 isf（t）=eM1/2tx+eM1/2（t-t） x+2dAB-1/21，t∈ [0，T]，对于x，x∈ 注册护士。要看到这一点，让我们∈ [0，T]和x，x∈ 注册护士。写入d=1/（1+2λ1>AB-1/21）showsd MAB-1/21=dAB1/21+2λAB1/21 1>AB-1/2= d1+d- 1.AB1/2=AB1/21。因此，f（t）=MeM1/2tx+eM1/2（T-t） x个= Mf（t）- 2d MAB-1/2=Mf（t）- 2AB1/21。仍需选择X和xin，以满足步骤1.2和1.3中的边界条件。首先，f（0）- f（T）=（eM1/2T- 一） （十）- x） 。步骤2.3，eM1/2T- I=Q诊断e√ciT公司i=1，。。。，nQ公司-1.- I=Q诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-1是非奇异的。因此，f（0）=f（T）当且仅当x=x。设置x=x。

第二，f（0）- B1/2f（0）=M1/2我- eM1/2T- B1/2层I+eM1/2Tx个- 2dA1=-A（Nx+2d 1）。我们在步骤5.5中证明N是非奇异的。因此，f（0）=B1/2f（0），当且仅当x=-2d N-11、我们得出ψ（t）=eM1/2tx+eM1/2（t-t） x+2d AB-1/2=eM1/2t+eM1/2（T-t）x+2d AB-1/2=2dAB公司-1/2-eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1.对于所有t∈ [0，T]。请注意1- 2dλ1>AB-1/21 = 1 -dd- 1.= d、 soν（t）=1- λ1>ψ（t）=1- 2dλ1>AB-1/21+2dλ1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1=d1 + 2λ 1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1.对于所有t∈ [0，T]。4、定义（t）：=诊断e√cit+e√ci（T-t） e类√ciT公司- 1.i=1，。。。，n、 t型∈ [0，T]和▄N：=A-1.QC1/2+B1/2QE（T）.E（t）是所有t的正对角矩阵∈ [0，T]，因此是非奇异的。映射t 7的对角线条目→ E（t）是对称的完全单调的。使用步骤2.3，我们得到n=A-1.QC1/2诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-1+B1/2Q诊断e√ciT+1i=1，。。。，nQ公司-1.= A.-1.QC1/2+B1/2QE（T）诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-1=N诊断e√ciT公司- 1.i=1，。。。，nQ公司-因此，N是非奇异的当且仅当N是非奇异的。这与步骤2.3、2.4和3相结合，显示了Д（t）=d1 + 2λ 1>eM1/2t+eM1/2（T-t）N-1.= d1+2λ1>Q诊断e√cit+e√ci（T-t）i=1，。。。，nQ公司-1N-1.= d1+1>E（t）~N-1.对于所有t∈ [0，T]。定义实值函数β（x）：=Yl（x- bl），γ（x）：=Yl（x- cl）。LetD：=诊断β（ci）γ（ci）i=1，。。。，n、 和D：=诊断-γ（bi）β（bi）i=1，。。。，n、 我们在步骤5.2中展示了Dand Dare正对角矩阵。特别是，它们是非奇异的。5.1Q-1=DQ>DQ-11=D1。矩阵-§如（23）所定义的Q称为柯西矩阵。这两个结果都是由Schechter（1959）得出的。5.2 Dand Dare正对角矩阵。设k=1，2，n、 那么β（ci）γ（ci）=Ql（ci- bl）PmQl6=m（ci- cl）=Ql（ci- bl）Ql6=i（ci- cl）=（ci- bi）Yl6=ici- blci公司- cl.回想步骤2.1中的ci>bi和ci>blif，且仅当ci>cl对于所有l=1，2，n

同样地，-γ（bi）β（ci）=（ci- bi）Yl6=ibi- clbi公司- bl>0。定义N：=C-1/2，~N：=~Q>DB-1/2▄Q，▄N：=D-1E（T）C-1/2，~N：=~Q>DB-所有四个矩阵均为非奇异矩阵（具体见步骤5.1和5.2）。在步骤5.5中，我们表明▄N+▄是非奇异的。5.3N-1=▄N（▄N+▄N）-1N.根据定义，Q=A-1B级-1/2季度。使用步骤5.1：▄N-1（▄N+▄N）▄N-1=BD-1Q-TQ>DB-1/2Q+D-1E（T）C-1/2C1/2=B1/2QC1/2+B（DQ>D）-1E（T）=A.-1QC1/2+BQE（T）= A.-1.QC1/2+B1/2QE（T）=~N.5.4▄与▄为正对角矩阵，且▄为正定义。B、 C和E（T）是正对角矩阵。在步骤5.2中，Dand D.HenceDB也是如此-1/2为正定义。由于▄Q是非奇异的（见步骤5.1），▄N=▄Q>DB-1/2Q也是正定义。5.5▄N+▄N、▄N和N是非奇异的。从步骤5.4可以看出，N+是正定义，因此是非奇异的。由于▄Nand▄Narenonsingular，▄N是非奇异的。我们在步骤4中已经证明，N是非奇异的当（且仅当）~N是非奇异的。如果一个方阵的所有对角项都是非正的，则称其为Z矩阵。假设somematrix U是非奇异Z矩阵，以下两个条件是等价的：（M1）存在正对角矩阵V，使得UV+V U>是正定义的。（M2）U是非奇异的，且U的所有条目-1为非负。在这种情况下，U被称为M矩阵。特别是，条件（M1）意味着每个正定义矩阵都是M矩阵。参见Berman和Plemmons（1994）中的定理2.3，以获得M矩阵的证明和进一步的等价刻画。5.6N-1是一个Z矩阵。通过步骤5.1，我们得到N-1=Q-1B1/2D-1Q-T=DQ>DB1/2QD。这是一个正对角矩阵，因此有必要表明所有▄Q>DB1/2▄Q的对角项都是非正的。修复i、j∈ {1，2，…，n}使得i 6=j。定义α：=Q>DB1/2Qij=-Xk公司√bkγ（bk）（bk- ci）（黑色- cj）β（bk）=-Xk公司√bkQl6=i，j（bk- cl）Ql6=k（黑色- bl）。以下论点应归功于Petrov（2017）。

定义f：[0，∞) → R、 f（x）：=-√xYl6=i，j（x- cl）。有正常数z，z，锌-2这样的thatf（x）=-n-2Xk=0(-1） n个-2.-kzkxk+1/2=n-2Xk=0(-1） n个-1.-kzkxk+1/2。差异化n- 1倍产量SF（n-1） （x）=n-2Xk=0(-1） n个-1.-kzkxk-n+3/2n-2Yl=0（k+1/2- l） 。对于k=0，1，n- 2，系数k+1/2- 如果l=0，1，…，则l为正，如果l=k+1，k+2，…，则为负，n- 2、因此(-1） n个-1.-千牛-2Yl=0（k+1/2- l） =(-1） n个-1.-k级(-1） n个-2.-（k+1）+1n-2Yl=0 | k+1/2- l |=-n-2Yl=0 | k+1/2- l |<0。我们得出结论f（n-1） （x）<0表示所有x>0。点b，b，…，f的拉格朗日多项式插值p，bnisp（x）=Xkf（bk）Yl6=kx- blbk公司- 基本法=-Xk公司√bkQl6=i，j（bk- cl）Ql6=k（黑色- bl）xn公司-1+q（x）=αxn-对于次数最多为n的多项式q，1+q（x）- 2、对于x=b，b，…，插值是精确的，bn。根据Rolle定理，存在一个x>0，使得f（n-1） （x）=p（n-1） （十）（米尔恩·汤姆森，2000年，第1章）。Hence0>f（n-1） （x）=p（n-1） （x）=（n）- 1） 哦！α、 表明Q>DB1/2Q如果i 6=j.5.7N，则ij为非正-1是非奇异M矩阵。在步骤5.6中，我们已经表明-1是一个Z矩阵。由于第5.4步中没有明确的定义，因此-1积极定义。因此▄N-1是条件（M1）下的非奇异M矩阵。（N）的所有条目-1+▄N-1)-1为非负。作为正对角矩阵，N-1为正定义且为非奇异M矩阵。正有限Z矩阵之和也是正有限Z矩阵。因此▄N-1+▄N-1是正定Z矩阵（见步骤5.7）；因此是一个M矩阵。根据条件（M2），所有条目（~N-1+▄N-1)-1为非负。5.9所有OFF-对角线输入（~N+~N）-1不积极。通过Woodbury矩阵恒等式，（~N+~N）-1=▄N-1.-N-1（yenN-1+▄N-1)-1N-1、回想一下-1是一个正对角矩阵。

从步骤5.8可以看出，所有的oN对角线条目-1（yenN-1+▄N-1)-1N-1为非负。6.1▄N的所有条目-1N1为非负。使用步骤5.1，我们得到N-1▄N1=▄Q-1B1/2D-1Q-TQ>DB-1=DQ>DB-1/2=DQ>DB-1/2QQ-1=DND1。在步骤5.7中，我们已经表明-1是非奇异M矩阵。因此，根据条件（M2），所有的▄nar项都是非负的。DB5.2.6.2步骤中的所有条目（▄N+▄N）也是如此-1Nare非负。定义U：=（▄N+▄N）-1N.写入=I- （▄N+▄N）-1n表示U的所有反对角线条目均为非负（见步骤5.4和5.9）。我们现在使用以下关于正定义矩阵的结果：如果两个矩阵U和V是正定义矩阵，那么U-V为正定义当且仅当V-1.-U-1正定义（Horn and Johnson，2013，推论7.7.4）。矩阵（~N+~N），~Nand（~N+~N）-~N=~Nare正定义（见步骤5.4）。因此▄N-1.- （▄N+▄N）-1=uN-1是积极的定义。正定义矩阵主对角线上的所有条目都是非负的。因此，U主对角线上的所有条目都是非负的。6.3▄N的所有条目-11为非负。~N、（~N+~N）的所有条目-1NandN-1N1为非负（见步骤6.1和6.2）。因此，产品的所有入口均为▄N（▄N+▄N）-1NN-1▄N1=▄N（▄N+▄N）-1▄N1=▄N-1为非负。通过步骤4和6.3得出结论，即存在z、z、，锌≥ 0，使得Д（t）=d1+1>E（t）~N-1.= d1+nXi=1zie√cit+e√ci（T-t）, t型∈ [0，T]。这个函数显然是对称的完全单调的。4.4.2定理4对G任意且γ>0的证明设G：（0，∞) → [0, ∞) 是一个非常数且完全单调的核。我们首先假设G（0+）<∞. 那么，我们可以假设G（0）：=G（0+）=1，而不失一般性。根据Bernstein\'stheorem，在[0，∞) 使得G等于u的拉普拉斯变换。

由于Dirac测度的有限凸组合集在[0]上的allBorel概率测度集中是稠密的，∞) 对于弱收敛，存在相应的序列（un）n=1,2，。。。弱收敛到u。显然，相应的拉普拉斯变换，Gn（t）=Z[0，∞)e-t的txun（dx）≥ 0和n=1，2。都是（18）型指数核。弱收敛un→ u表示Gn（t）→ 所有t的G（t）≥ 通过稍微滥用符号，让我们写出j（n）γ[Д]：=γZTД（t）dt+ZTZTGn（| t- s |）Д（s）Д（t）ds dt每γ≥ 0和ν∈ L[0，T]。然后J[Д]- J（n）[Д]≤ kИkL[0，T]ZTZT公司G（| t- s |）- Gn（| t- s |）ds公司1/2 |Д（t）| dt≤ 2.√T kИkL【0，T】kG- GnkL[0，T]。自kG起- GnkL【0，T】→ 0通过支配收敛，我们得出以下结论：J（n）[Д]→ J[ν]一致地影响L[0，T]的任何有界子集的函数。对于每一个n，设Иnbe为能量泛函J（n）γ的Φ中的最小值。根据第4.4.1节，每个函数都是对称的完全单调的。自函数f起≡ 1/T属于Φ，我们可以看到存在一个常数C，使得kИnkL[0，T]≤ C、 如有必要，通过传递到子序列，我们可以在不丧失一般性的情况下假设序列（νn）n∈Nconverge在L[0，T]中弱收敛到一个极限函数，通过引理13，它允许一个对称的完全单调的版本。设ν为Jγ的最小值。那么J（n）γ[Д]≥ J（n）γ[Дn]对于每个n。因此，J（n）γ的一致收敛产生Jγ[Д]=limn↑∞J（n）γ[Д]≥ lim信息↑∞J（n）γ[Дn]=直线感应↑∞Jγ[νn]≥ Jγ[ИИ]，其中后一个不等式源自Jγ的弱下半连续性。这表明Д=Д，并得出了G（0+）<∞.如果G是弱单数且满足G（0+）=∞, 我们使用核Gn和Gn（0+）的近似值，如（17）所示<∞.

在命题1的证明的最后部分，我们可以看到Gn的对称单调极小值在L[0，T]中弱收敛到G的极小值。因此，通过引理13.4.4.3定理4的证明，对于γ=0Letu，后一个极小值也是对称完全单调的*是Gatheral等人（2012）定理2.24提供的Jas的最小值。我们近似u*在弱拓扑中，通过形式u的概率测度*n（dx）=ψn（x）dx，其中每个ψnis在满足rtψn（x）dx=1的[0，T]上充满非负函数。然后我们选择一个序列γn↓ 0即γnRTψn（x）dx→ 那么从（15）可以得出Jγn[ψn]→ J[u*].接下来，我们让Иnbe为JγninΦ的极小值。如有必要，通过传递到子序列，我们可以假设[0，T]上的概率度量un（dx）=Дn（x）dx弱收敛到[0，T]上的概率度量u。通过引理12，u到（0，T）的限制对于Lebesgue测度是绝对连续的，并且允许对称的完全单调密度。最后，我们认为u=u*. 实际上，根据（14）和Fatou引理，关于测度的弱收敛，Jis下半连续，以及henceJ【u】≤ lim信息↑∞J[un]≤ lim信息↑∞Jγn[Дn]≤ lim信息↑∞Jγn[ψn]=J[u*],所以最小值的唯一性得到u=u*.4.5示例8中公式的证明为了证明表达式（10），请首先注意ZN1.- |t型- s|+^1（s）ds=Rt（1- t+s）Д（s）ds+Rt+1t（1+t- s） ^1（s）ds，t∈ [0，1]，Rtt-1（1- t+s）Д（s）ds+Rt+1t（1+t- s） ^1（s）ds，t∈ [1，n- 1] ，Rtt-1（1- t+s）Д（s）ds+Rnt（1+t- s） ^1（s）ds，t∈ [n- 1，n]。将此标识区分两次，并将Д替换为Д，^1nyieldsγД（t）=2Д（t）- Д（t），γДi（t）=2Дi（t）- ^1i-1（t）- ^1i+1（t），i=2，n- 1，γхn（t）=2хn（t）- ^1n-1（t）。因此f：=（Д。

，νn）求解以下n维常微分方程组[0，1]：f=γ2.-1.0 0-1 2 . . . 0 0...............0 0。2.-10 0 . . . -1 2f、 设mn表示前面的三角矩阵，用λ表示，λnits为特征值，Q包含相应的特征向量作为列。Thenf（t）=QE（t）x+E（1- t） x个对于某些向量x，x∈ 注册护士。定义m：=dn/2e。设Im、Jm、0M分别表示m维单位矩阵、逆单位矩阵和零矩阵。Д的对称性意味着Дi（t）=Дn+1-i（1- t） ，和sohImmiQE（t）x+E（1- t） x个=hmJmiQ公司E（1- t） x+E（t）x, t型∈ [0，T]。（24）Sincesin（n+1- i） jπn+1= sin（jπ）cosijπn+1- cos（jπ）sinijπn+1= (-1） j+1英寸ijπn+1就我而言∈ {1，…，m}和j∈ {1，…，n}，它认为hmjmiq=hImmiQJ。注意，J-1=J。因此，当且仅当x=Jx时，满足（24）。设t=i∈ {1，…，n- 1} 。那么ν的对称性表明σ=γД（i）+Zii-1（1- i+s）Д（s）ds+Zi+1i（1+i）- s） Д（s）ds=γДi（1）+Zii-1（1- i+s）Дi（s）- i+1）ds+Zi+1i（1+i）- s） ^1n-i（1+i- s） ds=γИi（1）+Zs^1i（s）+Дn-一（s）ds。类似的参数产生σ=γИn（1）+RsИn（s）ds。一个简单的计算显示SRSF（s）ds=Q（E（1）- 一） （J）- 一） +B（E（1）- J）B-2、因此σ=γQE（1）+J+ KQ公司（E（1）- 一） （J）- 一） +B（E（1）- J）B-2.x、 （25）（9）解的存在性和唯一性意味着（25）可以为x.ReferencesAlfonsi，a.和Schied，a.（2013）唯一解。通过奇异控制实现完全单调核的电容测度。暹罗控制与优化杂志，51（2）：1758-1780。Alfonsi，A.、Schied，A.和Slynko，A.（2012年）。订单弹性、价格操纵和正向投资组合问题。暹罗J.金融数学。，3:511–533.Almgren，R.（2003年）。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。应用数学金融学，10:1–18。伯曼，A。

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