关于具有完全单调核的能量形式的极小化子

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英文标题：
《On the minimizers of energy forms with completely monotone kernel》
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作者：
Alexander Schied and Elias Strehle
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Motivated by the problem of optimal portfolio liquidation under transient price impact, we study the minimization of energy functionals with completely monotone displacement kernel under an integral constraint. The corresponding minimizers can be characterized by Fredholm integral equations of the second type with constant free term. Our main result states that minimizers are analytic and have a power series development in terms of even powers of the distance to the midpoint of the domain of definition and with nonnegative coefficients. We show moreover that our minimization problem is equivalent to the minimization of the energy functional under a nonnegativity constraint.
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中文摘要：
基于瞬时价格冲击下的最优投资组合清算问题，研究了积分约束下具有完全单调位移核的能量泛函的极小化问题。相应的极小化子可以用具有常数自由项的第二类Fredholm积分方程来描述。我们的主要结果表明，极小化子是解析的，并且在到定义域中点的距离的偶数幂方面具有幂级数展开，并且具有非负系数。此外，我们还证明了在非负性约束下，我们的极小化问题等价于能量泛函的极小化。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Classical Analysis and ODEs        经典分析与颂歌
分类描述：Special functions, orthogonal polynomials, harmonic analysis, ODE\'s, differential relations, calculus of variations, approximations, expansions, asymptotics
特殊函数、正交多项式、调和分析、Ode、微分关系、变分法、逼近、展开、渐近
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> On_the_minimizers_of_energy_forms_with_completely_monotone_kernel.pdf (557.61 KB)

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关键词：Minimization Displacement Quantitative coefficients Differential

关于具有完全单调核函数的能量形式的极小化子*埃利亚斯·斯特雷勒**第一版：2017年6月15日本版：2018年8月14日本文是在吉姆·盖瑟拉尔60岁生日之际献给他的。摘要从瞬时价格冲击下的最优投资组合清算问题出发，研究了积分约束下具有完全单调位移核的能量泛函的极小化问题。相应的极小化子可以用具有常数自由项的第二类Fredholm积分方程来描述。我们的主要结果表明，极小化是解析的，并且在距离定义域中点的偶数幂方面具有幂级数发展，并且具有非负系数。我们进一步证明了我们的极小化问题等价于非负约束下能量泛函的极小化。MSC 2010:49K21、49N60、45B05、31C15、26E05、26A51、26A48、91G80关键词：能量形式、容量测度、第二类Fredholm积分方程、对称完全单调函数、最优投资组合清算1简介和问题公式在本文中，我们研究了公式Jγ[Д]=γZTД（t）dt+ZTG（| t）的能量泛函的最小化- s |）Д（s）Д（t）ds dt，Д∈ L[0，T]，（1）式中γ≥ 0，T>0，G：（0，∞) → [0, ∞) 是满足ztg（t）dt<∞ 对于所有T>0。(2)*滑铁卢大学统计与精算学系。电子邮件：aschied@uwaterloo.ca**曼海姆大学数学系。电子邮件：elias@strehle.deThe作者衷心感谢德意志联邦储备银行（Deutsche Forschungsgemeinschaft）通过研究GrantSCHI 500/3-2提供的财政支持。A、 S。

还感谢加拿大自然科学和工程研究委员会通过RGPIN-2017-04054拨款提供的部分支持此类问题由来已久。早期的参考文献是Hilbert（1904），其中研究了当G为正型时，在约束TrtД（t）dt=1的条件下J[Д]的最小化和最大化，即Ztztg（| t- s |）Д（t）Д（s）dt ds≥ 0表示所有Д∈ L[0，T]和所有T>0。（3） 在势理论中，通常取γ=0，并考虑j[u]=Z ZG（| t）的最小化- s |）u（ds）u（dt），给定紧集K上支持的过Borel概率度量u [0，T]。如果最小测量u*存在，这是K和1/J[u]的电容测量值*] 是K的容量；例如，见Choquet（1954年）。注意，u是概率度量的要求对应于许多凸约束u（K）=1和u（a）≥ 每个Borel集合A为0 K、 Gatheral等人（2012）证明，对于凸和非增量G，后一个约束最小化问题可以用K上所有有限有符号Borel测度u上的J[u]的更简单最小化来代替，该测度具有有限的总变化，并满足单一线性约束u（K）=1。这一观察尤其支持计算u的方法*对于K=[0，T]，通过奇点控制（Alfonsi和Schied，2013）。这里，我们将利用这样一个事实，即当γ>0时，约束条件下Jγ[Д]的极小值trtД（t）dt=1可以表示为以下第二类Fredholm积分方程的解，γД（t）+ZTG（| t- s |）Д（s）ds=a.e.t的σ∈ [0，T]，（4）其中常数σ等于最小能量（见命题2）。在这篇文章中，我们主要研究极小化子的定性性质。例如，显式计算或数值模拟表明，Jγ的极小值通常是t的凸函数∈ [0，T]最小值为T/2。

此外，很容易看出，每个解Д都必须在t/2附近对称，即Д（t）=Д（t- t） 。这两个事实让人想起著名的Riesz重排不等式，它指出，对于减少G，ZTZTG（| t- s |）f（s）g（t）ds dt≤ZTZTG（| t- s |）f*（s） g级*（t） ds dt，（5），其中f*和g*是非负函数f和g的对称递减重排；见Riesz（1930）。虽然（5）中的下界通常不可用，但很容易得出Jγ的极小值等于其对称递增重排的结论。然而，由于选择G（t）=（1），这一猜测一般不可能成立- t） +提供了一个反例；请参见示例8和图1。因此，出现了以下问题：对于哪个核G是最小值，分别是（4）的解，在T/2处具有最小值的凸？(*)我们的主要结果表明，当G是完全单调的时，情况就是这样。事实上，我们实际上会证明一个更强大的结果：如果G是完全单调的，那么在（0，T）中分析的意义上，则ν是对称单调的，并且其在T/2附近的幂级数展开形式为Д（T）=P∞n=0a2n（t- T/2）2用于系数a2n≥ 问题如Jγ的最小化或Fredholm积分方程的解（4）有大量的应用，例如在机器学习中；例如，见Chen和Haykin（2002）。另一方面，Gatheralet al.（2012）和Alfonsi and Schied（2013）则受到金融市场最优投资组合清算问题的推动。在这里，解Д对应于在时间间隔[0，T]内清算大量股票初始头寸的最佳交易率。由于仓位较大，其清算以不利的方式影响资产价格，从而产生额外的执行成本。

这种价格影响的时间演变可以用核G来描述，一些实证研究表明，核G的表现形式为G（t）~ t型-α对于某些α∈ （0，1）；例如，见Gathereal（2010）。假设（3）在这种情况下是合理的：它排除了通过自身价格影响产生利润的价格操纵策略的存在（Huberman和Stanzl，2004；Gathereal，2010）。术语γRTИ（t）dt可解释为阿尔姆格伦（2003）所述的“滑移”或临时价格影响产生的成本。在这种金融背景下(*) 正如J.Gatherel所问，最优投资组合清算策略的可能凸性具有现实意义，它与根据经验观察到的市场流动性每日分布的U型相匹配。也就是说，如果(*) 是“是”，清算期限为一个交易日，通常情况下，最优清算策略包括在流动性较高的交易日开始和结束时进行快速交易，在流动性较低时进行较慢的交易。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了我们的主要结果和一些显式示例。所有证明都在第4.2节主要结果中给出。为了简单起见，我们将假设g：（0，∞) → [0, ∞) 是连续的、非递增的、非恒定的和令人满意的（2）。（6） 对于γ>0和T>0，我们考虑以下变分问题，最小化Jγ[Д]=γZTД（T）dt+ZTZTG（| T- s |）Д（t）Д（s）dt ds overД∈ Φ，（7），其中Φ由所有功能组成∈ L[0，T]满足线性约束trtν（T）dt=1，且右侧的二重积分定义明确。

对于γ=0，我们考虑以下问题，最小化J[u]=Z[0，T]Z[0，T]G（| T- s |）u（dt）u（ds）超过u∈ Φ，（8）我们把G（0）：=G（0+）∈ （0，∞] 其中Φ由[0，T]上满足u（[0，T]）=1且其总变化度量|u|是有限的且Z[0，T]Z[0，T]G（| T）的所有有符号Borel度量u组成- s |）|u|（dt）|u|（ds）<∞.对于γ>0，如果G满足（3），标准希尔伯特空间参数很容易得出（7）的极小值的存在性和唯一性。然而，对于γ=0，即使G有界且满足（3），对于（8）的极小值的存在也是不平凡的。事实上，Gatheral等人（2012）表明，对于G（|·|）是解析的一大类核，例如G（t）=e，不存在极小值-tor G（t）=1/（1+t），尽管这些核是正类型（3）。但Atheral等人（2012）的定理2.24表明，（8）允许一个唯一的极小值u*∈ Φ，前提是G是凸的且满足（6）。此外，还表明，凸性保证u*是一种概率度量。下面的命题将后一个结果推广到γ>0的情况。它的证明也为（8）的极小值的存在性提供了另一种证明。注意，由于下面的等式（15），每个凸、非递增和非负函数G在（3）的意义上都是正类型。提案1。假设γ>0、T>0和G满足（6）。如果G在（0，T）上是凸的，（7）的唯一极小值是概率密度。（7）和（8）的极小化子的非负性只涉及一维线性约束，得到了概率测度或概率密度上泛函Jγ极小化的解。后一个问题在许多应用中都很重要（例如，见Gatheral等人。

（2012）andAlfonsi和Schied（2013））。以下命题将γ>0时Jγ的极小值与具有常数自由项的第二类Fredholm积分方程的解联系起来。提案2。假设γ>0、T>0和G满足（6）。对于函数∈ Φ，以下条件等效。（a） 求解（7）。（b） 存在一个常数σ，使得ν解（4）。在这种情况下，（b）中的常数σ等于2Jγ[Д]=2 infψ∈ΦJγ[ψ]且严格为正。现在我们准备陈述我们的主要结果。Letτ∈ （0，∞]. 回想一下函数f：（0，τ）→ 如果f允许（0，τ）上所有阶的导数，则称R为（0，τ）上的完全单调，如果(-1） nf（n）（x）≥ 0表示所有x∈ （0，τ）和n=0，1。根据Bernstein定理，在（0，∞) 是一个特例，因为它们可以表示为[0]上正Radon测度的Laplacetransforms，∞). 如果τ<∞. 一个简单的例子是函数f（t）=et+et-T对于T>0，这在（0，T/2）上是完全单调的，但在（0，T）上不是。但是，此函数属于以下类。定义3。A函数f：（0，T）→ 如果R在（0，T）中是解析的，则称其为对称完全单调的，并且其在T/2附近的幂级数展开式为f（x）=∞Xn=0a2n（x- T/2）2用于系数a2n≥ 这个术语的动机是因为（0，T）上的任何对称完全单调函数f在f（x）=f（T）的意义上是对称的- x） ，在（0，T/2）上完全单调，在（T/2，T）上绝对单调（即f（n）（x）≥ x为0∈ （T/2，T）和n=0，1，…）。特别地，（0，T）上的每一个对称全单调函数都是凸的，并且在T/2处有一个最小值。定理4。

假设T>0，G：（0，∞) → [0, ∞) 完全单调、非恒定且满足（2）。这一事实依赖于一个众所周知的结果，即对于每一个有界、凸和非增量函数G，[0，∞) → [0, ∞). 后一个结果通常归因于Pólya（1949），尽管这也是Young（1913）的一个简单结果。（a） 当γ>0时，（7）的唯一极小值是对称完全单调的。（b） 对于γ=0，唯一极小值u对（0，T）的限制*of（8）允许对称单调Lebesgue密度。备注5。定理4回答了我们的初始问题(*) 通过提供一个关于G的有效准则，保证（4）的解是凸的，且最小值为T/2。然而，有必要问，对于某些n，我们的完全单调性条件是否可以被n-单调性所代替≥ 2、回想一下函数f on（0，∞) 称为n-单调，如果(-1） 当k=0，1，…，时，kf（k）是非负的、非递增的和凸的，n-根据Williamson（1956），任何这样的函数F都可以用F（t）=Z（1）的形式表示- ρt）+）n-1u（dρ）对于某些氡测量u（0，∞). 我们从Gatheral et al.（2012）了解到，G的2-单调性是ν非负性的一个有效条件。因此，人们很容易猜测G的4单调性对于ν的凸性是有效的。然而，不幸的是，我们在图3中提供的数值分析表明，这个猜想是不正确的：对于G（t）==（（1），存在（4）的非凸解- 10t）+）和G（t）=（（1- 10吨）+）。备注6。人们可能想知道，为什么在定理4中，G是在整个区间上定义的（0，∞), 虽然只有（0，T）上的值与我们的问题（7）和（8）相关。

原因是我们对项4的证明大量使用了Bernstein定理，该定理给出了[0]上完全单调函数之间的一一对应关系，∞) 以及[0，∞). 如果G仅在有限的时间间隔内定义，则该对应关系可能会失败。例如，函数arcsin（1- t） ，在（0，1）上是完全单调的。对于γ=0，唯一的最小值u*只要Hg（0+）和G（0+）是有限的，并且G除了（6）外是凸的，就在0和T中具有严格的正点质量（Gatheral et al.，2012，定理2.23）。然而，如果G（0+）=∞, 那么我们必须有u*({0}) = u*（{T}）=0，所以u*对于所有[0，T]上的Lebesgue测度将是绝对连续的。我们目前不知道如果G（0+）<∞ 和| G（0+）|=∞.示例7（指数核）。考虑一个形式为g（t）=nXk=1ake的完全单调核-√BKTF系数a、a、，an>0和bn>bn-1> ···>b>0。我们将在第4.4.1节中说明，（4）的唯一解的形式为Д（t）=z+nXi=1zie√cit+e√ci（T-t）其中zi≥ 0，系数等于（22）中矩阵M的特征值，满足cn>bn>cn-1> bn公司-1> ··c>b>0。该函数显然是对称完全单调的。在特殊情况下，n=1，G（t）=e-√bt，我们有c=b+γ√b和直接计算得出：Д（t）=σbγc1+2（e√ct+e√c（T-t） ）γe√cT(√b类+√c）+√b-√c, t型∈ [0，T]，其中常数σ>0如（4）所示。对于解（7），σ可以通过条件RTД（t）dt=1来确定。以下两个例子说明，如果相应的假设不满足，命题1和定理4的断言不必再为真。

更准确地说，下面的示例8表明，即使G是凸的且非递增的，最小值Д也不必是凸的，并且示例9说明，如果G仅仅是正类型且非凸的，则Д可以变为负。示例8（带帽线性核）。考虑凸非增核G（t）=（1- t） +和方程式γД（t）+ZT1.- |t型- s|+Д（s）ds=σ，（9），为简单起见，我们假设T=n∈ N、 对于i=1，n、 定义λi：=21.- cos公司iπn+1andbi：=pλi/γ。设B：=诊断（B，…，bn），Q：=罪ijπn+1i、 j=1，。。。，nand E（t）：=诊断ebt，ebnt公司. 此外，定义σ：=（σ，…，σ）∈ Rn，用I表示ndimensional恒等矩阵，设J：=diag（1，-1, 1, . . . , ±1) ∈ Rn×n，并将K：=I+（δj，n-i） i，j=1，。。。，n、 对于命题1和命题2提供的（9）的解，定义Дi（t）：=Д（t+i- 1） 堡垒∈ [0，1]，i=1，n、 我们将在第4.5节中证明，^1nare由以下人员提供^1（t），^1n（t）>= QE（t）+E（1- t） Ja、 t型∈ [0，1]，（10）其中：=γQ（E（1）+J）+KQ（E（1）- 一） （J）- 一） +B（E（1）- J）B-2.-1σ.请参见图1中的图示。示例9（三角核）。设G（t）=cos（ρt），常数ρ>0。众所周知，Gis是一个正定义函数，因此满足（3），但它当然不是凸函数。我们可以很容易地验证（4）的解ν由Д（t）=σγ给出1.-2 tan（ρT/2）cos（ρt）+cos（ρ（t- t）ρ（2γ+T）+sin（ρT）.该函数显然取负值；见图2.2 4 6 8 10246810图1:G（t）=（1）的（9）溶液- t） +，γ=0.01，t=11。