一类欧拉逼近的强收敛速度

（2.15）我们使用[44]中的完全截断欧拉方案或[1]中提出的漂移隐式（平方根）欧拉方案，也称为反向欧拉-丸山方案，以离散化平方波动率v。对于FTE离散化，我们引入离散时间辅助过程▄vtn+1=▄vtn+k（θ- v+tn）δt+ξq▄v+tnδWvtn，▄v=v，（2.16），其中v+=最大值（0，v），δWvtn=Wvtn+1- Wvtn，其连续时间插值▄vt=▄vtn+k（θ- v+tn）（t- tn）+ξqv+tnWvt公司- Wvtn公司（2.17）以及当t∈ [tn，tn+1）。对于边界元离散化，假设边界点0不可访问（即2kθ≥ ξ） 使用Lamperti变换y=√v、 我们推断出=αy-1t+βytdt+γdWvt，（2.19），其中α=4kθ- ξ, β = -kandγ=ξ。（2.20）我们引入了离散时间辅助过程▄ytn+1=▄ytn+αИy-1tn+1+β-ytn+1δt+γδWvtn，~y=y，（2.21）以及分段常数过程“yt=~yt”和“vt=~ytn，（2.22），只要t∈ 如果4kθ>ξ，则α>0，并且由于β<0，（2.21）具有唯一的正解▄ytn+1=▄ytn+γδWvtn2（1- βδt）+s（~ytn+γδWvtn）4（1- βδt）+αδt1- βδt.（2.23）注意，与[2、15、48]中不同，我们对平方波动率v采用分段常数连续时间插值法是至关重要的，因为我们只模拟布朗河WSW的增量，因此现货过程的扩散系数需要在时间节点之间保持不变。我们采用Euler–Maruyama方案离散对数点过程x=（xt）t≥0，其中xt=log（St），为方便起见，我们定义了运行最大m=（mt）t的日志≥0，其中Mt=log（Mt）=supu∈[0，t]徐。设“x”为近似的对数点过程，则离散方法读数为：“xtn+1=”xtn+Ztn+1tnuu、 电子xtn，电子mtn杜邦-σtn、e’xtn、e’mtn(R)vtnδt+σtn、e’xtn、e’mtn√\'vtnδWstn，\'x=x，（2.24）\'mtn+1=最大值0≤我≤n+1？xti，？m=x。

（2.25）连续时间近似值为“xt=”xtn+Zttn“uu、 鄂旭，鄂牧杜邦-σt、 电子文本，电子文本(R)vt（t-tn）+σt、 电子文本，电子文本√(R)vtWst公司-Wstn公司, （2.26）每当t∈ [总氮，总氮+1），其中'ut、 电子文本，电子文本= ut、 电子xtn，电子mtn和‘∑t、 电子文本，电子文本= σtn、e’xtn、e’mtn.因此，“xt=x+Zt”uu、 鄂旭，鄂牧杜邦-Zt'σu、 鄂旭，鄂牧“vudu+Zt”σu、 鄂旭，鄂牧√\'\'vudWsu。（2.27）设S=（\'St）t≥0，其中“St=e”xt是S的连续时间近似值，设“Mtn=e”Mtn=max0≤我≤n？Sti，适用于所有0≤ n≤ N使用It^o的公式，我们得到了“St=s+Zt”u（u，\'Su，\'Mu）\'Sudu+Zt'σ（u，\'Su，\'Mu）√“vu”SudWsu。（2.28）与标准Euler格式相比，我们更喜欢对数Euler格式来离散spot过程，因为当u是确定的且σ是常数时，前者保持正性，并且在spot方向上不会产生离散偏差，这是可取的，因为漂移函数可能是不连续的。2.3主要理论在陈述主要结果之前，我们引入一些必要的符号。在本文中，我们使用上标* ∈ {FTE，BEM}区分平方波动率过程的两种离散化方案。设伐木比为ν=2kθξ。（2.29）为简洁起见，定义νFTE=2+√3，νBEM=2，（2.30）和alsopFTE（ν）=ν-1（ν- 1） ，pBEM（ν）=ν。（2.31）此外，让β≈ 1.307是φ（s）=-es+Szeudu。（2.32）首先，定义*x（p）=√(φ*（p）- k） +“π+电弧油箱√(φ*（p）- k） +！#，（2.33）其中*（p） =infq∈（p，p*)И（p，q）（2.34）和（p，q）=pqξ2（q- p）q（2+β）（Cσ，x+Cσ，m）q+2（Cσ，x+Cσ，m）（2σmax- Cσ，x- Cσ，m）+β（Cσ，x+Cσ，m）√q. （2.35）第二，定义（p）=4kφ（p）如果φ（p）<4kpφ（p）- kifφ（p）≥ 4k（2.36）和tbems（p）=pφ（p），（2.37），其中φ（p）=ξσmaxp+p（p- 1） p.

（2.38）第三，净利润*（p） =supq∈（2）∨p、 p*)hT公司*x（q）∧ T*Spq（q- p）-1.i、 （2.39）带T*X分别在（2.33）和（2.36）以及（2.37）中给出。据我们所知，下面的定理2.7是第一个建立欧拉近似对具有局部和随机波动动力学的模型的正强收敛速度的结果，即使没有路径依赖性。证明推迟到第4节。在第5节中，我们简要检查了临界时间T*（2.39）中定义了现实场景中的模型参数。定理2.7。假设假设2.1和2.2成立，且ν>ν*, 带ν*定义见（2.30）。那么对于所有1≤ p<p*（ν） 和T<T*（p） ，带p*定义于（2.31）和T*如（2.39）所示，存在一个常数C，对于所有N≥ 1，支持∈[0，T]呃St公司-\'\'Stpip公司≤ Crlog（2N）N.（2.40）如果随机波动率分量消失（例如，取v=θ=1，ξ=0），则SPDVmodel（2.1）崩溃为路径依赖的波动率模型dSPDVt=u（t，SPDVt，MPDVt）SPDVtdt+σ（t，SPDVt，MPDVt）SPDVtdWst，SPDV>0，MPDVt=supu∈[0，t]SPDVu。（2.41）从（2.29）、（2.31）和（2.33）–（2.39）中注意到ν=p*(ν) = ∞ 和T*（p） =∞, 对于allp≥ 1，对于所有p，相同的参数确保了lp的1/2阶强收敛性（高达对数因子）≥ （2.28）中定义的相应近似过程。据我们所知，下面的推论2.8是第一个建立具有路径依赖波动率动力学的Euler近似模型正强收敛速度的结果。推论2.8。假设假设2.1和2.2成立。那么对于所有p≥ 1，存在常数C，对于所有N≥ 1，支持∈[0，T]呃SPDVt公司-(R)SPDVtpip公司≤ Crlog（2N）N。

（2.42）我们从[40]中的定理10.2.2中知道，当漂移和扩散系数（即u（t，x）x和σ（t，x）x满足线性增长条件时，LV模型的欧拉近似的1/2阶Lw的强收敛性DSLVT=u（t，SLVt）SLVtdt+σ（t，SLVt）SLVtdWst，SLV>0，（2.43）在时间上连续1/2小时，在现场连续Lipschitz。因此，推论2.8扩展了LV模型数值模拟的强1/2阶收敛性，允许在不同的模型假设下依赖于运行最大值。因此，我们表明，（2.1）中spot过程的Euler离散化可达到1/2的最佳强收敛阶，达到对数因子，这是具有全局Lipschitz系数的SDE近似的特征【31，46】。因此，spot过程的Euler离散化也收敛于弱阶1/2（高达对数因子），这是最优的，因为运行最大值的Euler格式收敛于弱阶1/2（见[5，22]），而不是具有光滑系数的SDE的典型弱阶1。3平方波动率过程3.1 Cox–Ingersoll–Ross过程对于收敛分析，我们需要控制CIR过程的多项式和指数动量。引理3.1。（2.1）中的CIR过程v：（1）具有有界矩，即supt∈[0，T]Evpt公司< ∞, p>-ν; （3.1）（2）具有一致有界力矩，即支持∈[0，T]vpt< ∞, p≥ 1.（3.2）证明。第一部分来源于【15】或【32】中的定理3.1，而第二部分来源于【10】中的命题3.7或【15】中的引理3.2。引理3.2。设λ>0。（1） IfT公司<√(2λξ- k） +“π+电弧油箱√(2λξ- k） +！#，（3.3）然后经验值λZTvtdt< ∞. （3.4）（2）如果λ≤ξ(ν - 1） ，（3.5）thenE经验值λZTv-1tdt< ∞. （3.6）证明。

第一部分源自于【4】中的命题3.1或【10】中的命题3.5，第二部分源自于【7】中的引理A.2或【32】中的定理3.1。3.2本小节中的完全截断Euler模式▄v和▄v是（2.17）和（2.18）中定义的过程。首先，我们给出了FTE近似的多项式和指数可积性的一些辅助结果。引理3.3。FTE方案具有一致有界矩，即supN≥1E级支持∈[0，T]| | vt | p< ∞, p≥ 1.（3.7）证明。下面是Burkholder–Davis–Gundy（BDG）不等式和命题3.7在【10】中的简单应用。[10]中证明的以下引理与FTE近似的指数可积性有关，这是证明（2.28）中定义的高阶矩的完整性和近似过程的强收敛性的重要因素。引理3.4（文献[10]中的定理3.6]）。设λ>0且N=bkT c。如果λ<2kξ且t≤2kλξ，（3.8）或如果λ≥2kξ和T≤√2λξ - k、 （3.9）然后停止>NE经验值λZT？vtdt< ∞. （3.10）在建立近似过程的收敛性之前，我们需要离散化平方波动率过程的强收敛性。命题3.5（文献[14]中的定理1.1]）。假设ν>3，让2≤ p<ν-然后FTEscheme在lp中以1/2阶强收敛，即存在一个常数C，使得对于allN≥ 1，支持∈[0，T]E|vt公司- (R)vt | pp≤ 中国大陆-. （3.11）3.3本小节中的反向Euler-Maruyama模式，“y”和“v”是（2.22）中定义的过程。以下引理与边界元法近似矩的不确定性有关。引理3.6。假设ν≥ 1、则边界元格式具有一致有界矩，即supN≥1E级支持∈[0，T]？vpt< ∞, p≥ 1.（3.12）证明。

以下是文献[48]中引理2.5对CIR过程的简单应用。下一个引理与边界元法近似的指数可积性有关，是[12]中命题3.4的推论。引理3.7。假设ν≥ 1，且λ>0。IfT公司<√2λξ，（3.13）则存在N∈ 使其支持经验值λZT？vtdt< ∞. （3.14）在建立近似过程的收敛性之前，我们需要离散化平方波动率过程的强收敛性。为了便于记法，定义t=δttδt（3.15）对于所有t∈ [0，T]。提案3.8。假设ν>1，让1≤ p<ν。然后，边界元格式在lp中以1/2阶强收敛，即存在常数C，使得对于所有N≥ 1，支持∈[0，T]E|年初至今- \'yt | pp≤ 中国大陆-（3.16）和支持∈[0，T]E|vt公司- (R)vt | pp≤ 中国大陆-. （3.17）证明。三角形不等式yieldssupt∈[0，T]E|年初至今- \'yt | p≤ 2p级-1中断∈[0，T]E|年初至今- y’t | p+ 2p级-1中断∈[0，T]E|是的- y't'p, （3.18）和（3.16）中的界是引理3.2和命题3.3在【15】中的直接结果。自| vt起- \'vt |=（yt+\'yt）| yt- （3.19）选择任何p<q<ν并应用H¨older不等式会导致∈[0，T]E|vt公司- (R)vt | p≤ 2p级-1.支持∈[0，T]Ehvpq2（q-p） 第1条-pq+supN>Nsupt∈[0，T]Eh？vpq2（q-p） 第1条-pq×支持∈[0，T]E|年初至今- \'yt | qpq。（3.20）（3.17）中的界来自引理3.1、3.6和（3.16）。4点处理4.1对数点处理以下辅助结果提供了漂移和扩散函数u和σ中离散化误差的上限。引理4.1。在假设2.2下，我们得到∈ [0，T]，uu、 苏，穆- uu、 \'S\'u，\'M\'u≤ （Cu，x+2Cu，m）支持∈[0，u]| xt- x't |+（Cu，x+Cu，m）支持∈[0，u]| xt- (R)xt |（4.1）和σu、 苏，穆- σ\'u，\'S\'u，\'M\'u≤ Cσ，t√δt+（Cσ，x+2Cσ，m）支持∈[0，u]| xt- x't |+（Cσ，x+Cσ，m）支持∈[0，u]| xt- (R)xt |。（4.2）证明。

见附录B。由于平方波动率过程的离散化方案的选择在随后的证明中几乎没有区别，因此我们用“v”表示FTE和BEM离散化。对于收敛性分析，我们需要控制对数点过程的多项式矩及其近似。引理4.2。以下陈述在假设2.1下成立。（1） 对数点过程具有一致有界矩，即支持∈[0，T]| xt | p< ∞, p≥ 1.（4.3）（2）近似对数点过程具有一致有界矩，即supN≥1E级支持∈[0，T]|(R)xt | p< ∞, p≥ 1.（4.4）证明。（1） 从Jensen不等式中注意到，必须考虑p≥ 2、从（2.1）中回忆XT=x+Ztuu、 苏，穆杜邦-Ztσu、 苏，穆vudu+Ztσu、 苏，穆√vudWsu。（4.5）利用H¨older不等式和BDG不等式以及Fubini定理，我们推导出支持∈[0，T]| xt | p≤ 4p-1（| x | p+upmaxTp）+2p-2σ2pmaxTpsupt∈[0，T]Evpt公司+ 4p-1σpmaxTpC支持∈[0，T]E副总裁/2t, （4.6）对于一些非负常数C，右侧由引理3.1确定。（2） 回想（2.27）中的“xt=x+Zt”uu、 苏，亩杜邦-Zt'σu、 苏，亩“vudu+Zt”σu、 苏，亩√\'\'vudWsu。（4.7）如前所述，我们推断≥1E级支持∈[0，T]|(R)xt | p≤ 4p-1（|x | p+upmaxTp）+2p-2σ2pmaxTpsupN≥1中断∈[0，T]E(R)vpt+ 4p-1σpmaxTpC supN≥1中断∈[0，T]E？vp/2t, （4.8），结论来自引理3.3和3.6。下面的结果与近似对数点过程的1/2阶一致收敛性有关。在常数漂移和扩散函数u和σ的特殊情况下，SPDV模型（2.1）崩溃为Heston随机波动率模型，我们从（2.33）–（2.35）中注意到*x（p）=∞, 适用于所有1≤ p<p*(ν).

对于LE–BEM格式，即当LE和BEM格式分别用于现货过程及其平方波动率的离散化时，该结果在[39]的推论5.5中得到了证明。此外，LE–FTE计划的扩展非常简单。然而，在纯随机波动率模型下验证命题4.3的简单论点不适用于非平凡漂移和扩散函数u和σ的一般情况，即使没有路径依赖性。在这种情况下，我们需要更先进的技术来克服技术挑战。我们还提到，在没有随机波动率的情况下（例如，取v=θ=1和ξ=0），SPDV模型（2.1）崩溃为路径依赖的波动率模型，我们从（2.29）、（2.31）和（2.33）–（2.35）中注意到ν=p*(ν) = ∞ 和T*x（p）=∞, 对于所有p≥ 在这种情况下，命题4.3中涉及的分析变得更加简单，从证明中可以清楚地看出。提案4.3。假设假设2.1和2.2成立，且ν>ν*, 带ν*定义（2.30）。那么对于所有2个≤ p<p*（ν） 和T<T*x（p），带p*定义于（2.31）和T*x在（2.33）中给出，存在一个常数C，对于所有N≥ 1，E支持∈[0，T]| xt- (R)xt | pp≤ Crlog（2N）N.（4.9）证明。首先，通过连续性论证，我们可以发现p<q<p*（ν） 这样的话<√（И（p，q）- k） +“π+电弧油箱√（И（p，q）- k） +！\\。（4.10）为了便于记法，deneext=xt- (R)xt，ex=0，（4.11）和xt=xt- x't.（4.12）设τ为停止时间。

将It^o公式应用于C函数f（ext∧τ） =|外部∧τ| qyiels | ext∧τ| q=qZt∧τ| exu | q-1sgn（exu）dexu+q（q- 1） Zt公司∧τ| exu | q-2dhexiu，（4.13），其中，如果ex>0，则sgn（ex）=1，且sgn（ex）=-1否则，因此| ext∧τ| q=qZt∧τ| exu | q-1sgn（exu）uu、 苏，穆- uu、 \'S\'u，\'M\'u杜邦-qZt公司∧τ| exu | q-1sgn（exu）vuσu、 苏，穆- (R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'udu+qZt∧τ| exu | q-1sgn（exu）√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'udWsu+q（q- 1） Zt公司∧τ| exu | q-2.√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜。（4.14）取[0，T]的上确界，然后取双方的期望值，我们推导出支持∈[0，T]|分机∧τ| q≤ q EZT公司∧τ| exu | q-1.uu、 苏，穆- uu、 \'S\'u，\'M\'u杜邦+q EZT公司∧τ| exu | q-1.vuσu、 苏，穆- (R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦+ q E支持∈[0，T]Zt∧τ| exu | q-1sgn（exu）√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'udWsu公司+q（q-1） E类ZT公司∧τ| exu | q-2.√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦. （4.15）通过简单应用H¨older不等式和引理3.1、3.3、3.6和4.2，我们可以证明（4.14）中的随机积分是真鞅。Letλ∈ (0, 1). 使用从零开始的连续路径鞅的尖锐最大不等式（文献[49]中的推论4.4）和算术平均几何平均（AM-GM）不等式yieldsE支持∈[0，T]Zt∧τ| exu | q-1sgn（exu）√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'udWsu公司≤ βE“ZT公司∧τ| exu | 2（q-1)√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦#≤ βE“支持∈[0，T]|分机∧τ| qZT∧τ| exu | q-2.√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦#≤λqE支持∈[0，T]|分机∧τ| q+qβ4λEZT公司∧τ| exu | q-2.√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦, （4.16）和（2.32）中定义的β。用（4.16）替换回（4.15），经过一些重新排列，我们推断出支持∈[0，T]|分机∧τ| q≤第一季度- λEZT公司∧τ| exu | q-1.uu、 苏，穆- uu、 \'S\'u，\'M\'u杜邦+q2（1- λ） E类ZT公司∧τ| exu | q-1.vuσu、 苏，穆- (R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦+ qcq（λ）EZT公司∧τ| exu | q-2.√vuσu、 苏，穆-√(R)vuσ\'u，\'S\'u，\'M\'u杜邦, （4.17）为简洁起见，我们定义了cq（λ）=q- 12(1 - λ） +qβ4λ（1- λ).

（4.18）对于任何n∈ N和zk≥ 0，dk>0，对于所有1≤ k≤ n、 Cauchy–Schwarz不等式yieldsnXk=1zk！≤nXk=1zkdk！nXk=1d-1k！。（4.19）让η>0。使用引理4.1和（4.19），n=3，d=d=2η-1（1+η）和d=1+η，我们得到σu、 苏，穆- σ\'u，\'S\'u，\'M\'u≤ 2η-1（1+η）Cσ，tδt+2η-1（1+η）（Cσ，x+2Cσ，m）支持∈[0，u]|xt |+（1+η）（Cσ，x+Cσ，m）支持∈[0，u]|分机|。（4.20）接下来，使用引理4.1，（4.19），n=2，d=η-1（1+η）和d=1+η，以及（4.20），经过一些重排，我们从（4.17）中推断出支持∈[0，T]|分机∧τ| q≤第一季度- λ（Cu，x+Cu，m）EZT公司∧τsupt∈[0，u]|外部| qdu+第一季度- λσmax（Cσ，x+Cσ，m）EZT公司∧τvusupt∈[0，u]|外部| qdu+ qcq（λ）（1+η）（Cσ，x+Cσ，m）EZT公司∧τvusupt∈[0，u]|外部| qdu+第一季度- λσmaxCσ，tTEZT公司∧τvusupt∈[0，u]|外部| q-1N-杜邦+第一季度- λ（Cu，x+2Cu，m）EZT公司∧τsupt∈[0，u]|外部| q-1中断∈[0，u]|xt | du+第一季度- λσmax（Cσ，x+2Cσ，m）EZT公司∧τvusupt∈[0，u]|外部| q-1中断∈[0，u]|xt | du+q2（1- λ） σmaxEZT公司∧τsupt∈[0，u]|外部| q-1 | vu- “vu”du+ 2qcq（λ）η-1（1+η）Cσ，tT EZT公司∧τvusupt∈[0，u]|外部| q-2N个-1件+ 2qcq（λ）η-1（1+η）（Cσ，x+2Cσ，m）EZT公司∧τvusupt∈[0，u]|外部| q-2中断∈[0，u]|xt | du+ （1）- γ*)qcq（λ）η-1（1+η）σmaxEZT公司∧τsupt∈[0，u]|外部| q-2.√vu公司-√(R)vu杜邦+ γ*qcq（λ）η-1（1+η）σmaxEZT公司∧τsupt∈[0，u]|外部| q-2.√vu公司-√(R)vu杜邦, （4.21）式中，γFTE=0，γBEM=1。自ν起≥ 1，过程v几乎肯定有严格的正向路径，我们可以通过使用√vu公司-√(R)vu≤ v-1u | vu- “vu”。（4.22）对于任何a、b≥ 0和j∈ {1，2}，杨氏不等式yieldsaq-jbj公司=ηj（q-j） 质量保证-jη-j（q-j） qbj公司≤q- jqηjaq+jqηj-qbq。