一类欧拉逼近的强收敛速度

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英文标题：
《Strong convergence rates for Euler approximations to a class of
  stochastic path-dependent volatility models》
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作者：
Andrei Cozma and Christoph Reisinger
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a class of stochastic path-dependent volatility models where the stochastic volatility, whose square follows the Cox-Ingersoll-Ross model, is multiplied by a (leverage) function of the spot price, its running maximum, and time. We propose a Monte Carlo simulation scheme which combines a log-Euler scheme for the spot process with the full truncation Euler scheme or the backward Euler-Maruyama scheme for the squared stochastic volatility component. Under some mild regularity assumptions and a condition on the Feller ratio, we establish the strong convergence with order 1/2 (up to a logarithmic factor) of the approximation process up to a critical time. The model studied in this paper contains as special cases Heston-type stochastic-local volatility models, the state-of-the-art in derivative pricing, and a relatively new class of path-dependent volatility models. The present paper is the first to prove the convergence of the popular Euler schemes with a positive rate, which is moreover consistent with that for Lipschitz coefficients and hence optimal.
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中文摘要：
我们考虑一类随机路径相关波动率模型，其中随机波动率的平方遵循Cox-Ingersoll-Ross模型，乘以现货价格、其运行最大值和时间的杠杆函数。我们提出了一种蒙特卡罗模拟方案，该方案将用于现货过程的对数欧拉方案与用于平方随机波动率分量的全截断欧拉方案或向后欧拉丸山方案相结合。在一些温和的正则性假设和Feller比率的条件下，我们建立了逼近过程在临界时间内的1/2阶（达对数因子）强收敛性。本文研究的模型作为特例包含赫斯顿型随机局部波动率模型、衍生品定价的最新技术以及一类相对较新的路径依赖波动率模型。本文首次证明了流行的Euler格式的正速度收敛性，并且与Lipschitz系数的收敛性一致，因此是最优的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Strong_convergence_rates_for_Euler_approximations_to_a_class_of_stochastic_path-.pdf (1003.3 KB)

2022-6-1 00:43:35 上传

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关键词：Quantitative Applications coefficients Convergence Monte Carlo

一类随机路径依赖波动率模型Euler逼近的强收敛速度*克里斯托夫·赖辛格*摘要我们考虑了一类随机路径依赖的波动率模型，其中随机波动率的平方遵循Cox–Ingersoll–Ross模型，乘以spot过程的（杠杆）函数、其运行最大值和时间。我们提出了一种蒙特卡罗模拟方案，该方案将用于现货过程的对数欧拉方案与用于平方随机波动率分量的全截断欧拉方案或向后欧拉-丸山方案相结合。在一些温和的正则性假设和Feller比率的条件下，我们建立了逼近过程到临界时间的1/2阶强收敛性。本文研究的模型作为特例包含赫斯顿型随机局部波动率模型、衍生品定价的最新技术以及一类相对较新的路径依赖波动率模型。本文首次证明了正速率欧拉格式的收敛性，这与Lipschitz系数的收敛性一致，因此是最优的。关键词：路径依赖波动率、运行最大值、Cox–Ingersoll–Ross过程、Eulerscheme、Monte Carlo模拟、强收敛顺序数学主题分类（2010）：60H35、65C05、65C301简介期权定价模型的两大家族是局部波动率（LV）（如[16]）和随机波动率（SV）（如[28]）。

LV模型足够灵活，可以完美复制普通期权的市场价格，而SV模型则产生更丰富、更真实的现货交易量动态。[36、41、43]中介绍的随机局部波动率（SLV）模型包含随机波动率分量和局部波动率分量（杠杆函数），并结合了两者的优点。根据[50、52、53]，它们允许更好地校准普通选项，并改进定价和风险管理性能。SLV模型最近在[42]中被称为外汇期权定价的事实标准。欧洲期权在许多资产类别上交易活跃，包括外汇、股票和大宗商品。障碍期权也在这些市场上活跃交易，尤其是在外汇市场。他们的受欢迎程度可以由两个关键因素来解释。首先，它们有助于限制投资者的风险敞口。其次，它们提供了额外的灵活性，可以以比欧洲期权更低的价格与投资者的市场观点相匹配。障碍期权，尤其是notouch期权，交易量巨大，不再被视为奇异期权。因此，需要一种能够对欧洲和非触摸选项进行完美校准的定价模型。*牛津大学数学研究所，牛津OX2 6GG，United Kingdom第一作者非常感谢工程和物理科学研究理事会（研究资助EPSRC EP/N509711/1）的资助。虽然欧洲期权的价格仅取决于标的现货过程的最终分布（例如，股票价格或现货汇率），但非接触式期权的价格取决于标的在整个合同期间的整体再分配。

路径相关波动率（PDV）模型（参见，例如，【23】和其中的参考文献）假设波动率取决于标的证券通过现货当前值的路径和有限数量的路径相关变量，如运行或移动平均值、运行最大值或最小值等。PDV模型是完整的，可完美校准为普通和非接触选项（例如，[45]），并可产生丰富的隐含波动率动态。此外，根据文献[8]，任何SV或SLV模型的spot过程和任何路径相关量的联合分布与适当选择的PDV模型的联合分布一致。因此，总有一种PDV模型可以产生香草和异国情调期权的相同价格，并且可以再现SLV现货量动态。作为PDV模型的推广，随机路径依赖波动率（SPDV）模型在[23]中进行了简要讨论。虽然不完整，但它们产生了更丰富的现货量动态，并将SLV和PDV模型作为特例包含在内。在本文中，我们考虑赫斯顿型SPDV模型，因为平方随机波动率的考克斯-英格索尔-罗斯（Cox-Ingersoll-Ross，CIR）过程[9]由于其理想的特性，如均值回归、非负性和分析可处理性，在行业中被广泛使用，这允许快速校准随机波动率参数。此外，我们仅通过underlyingspot进程的运行最大值引入路径依赖，这允许对普通和非接触选项进行精确校准[45]。SPDV模型是非有效的，因此无法提供欧洲期权估值问题的封闭式解决方案。

因此，我们使用蒙特卡罗模拟方法【22】——可以轻松处理路径相关特征——并使用显式或隐式Euler或Milstein离散化近似随机微分方程（SDE）的解。弱收敛性在估计（贴现）收益预期时很重要。强收敛性在多级蒙特卡罗方法中起着关键作用【20、21、37】，可能需要一些复杂的依赖于XPath的导数。此外，路径收敛会自动进行[38]。文献[40]中关于数值模拟收敛性的常见定理假设漂移和扩散系数是全局Lipschitz连续的，并且满足线性增长条件，而文献[30]将分析扩展到局部Lipschitz SDE。标准收敛理论不适用于目前的工作，因为漂移和扩散系数明显依赖于运行最大值，并且由于CIR过程的平方根扩散系数是notLipschitz。文献[33]证明了Euler近似对超线性增长系数SDE的强发散性和弱发散性。此外，最近进行了大量研究，以证明某些多维SDE的近似方案具有有限可微和全局有界系数，可以任意缓慢收敛[19、25、35、47、54]。特别是，文献[19]表明，对于任意缓慢的收敛速度，存在一个具有光滑和有界系数的二维SDE，因此基于驱动布朗运动的大量观测的近似方法在Lto中的收敛速度都不能超过给定的收敛速度。

这些缓慢的收敛现象提出了一个自然的问题，即本文所考虑的这类SPDV模型的Euler近似是否也在强意义下任意缓慢地收敛（如果有的话）。关于随机波动下蒙特卡罗方法收敛性的文献很少。[29]中考虑了Heston随机波动率模型，并推导出了无arate的强收敛性以及有界支付的弱收敛性，适用于在扩散系数中具有反射系数的停止Euler模式。对于log-Heston模型，当Euler格式和后向（漂移隐式）Euler-Maruyama（BEM）格式分别用于（对数）现货过程及其平方波动率的离散化时，在[39]中建立了1/2阶对数因子的Lp收敛性。对于Heston模型，[3]证明了现货过程的对数Euler（LE）格式和平方波动率的漂移隐式Milstein格式的1阶弱收敛性。此外，使用全截断Euler（FTE）或theBEM格式来离散平方波动率，通过使用[14，15]的一些强收敛结果以及[10]的最近矩界结果，可以很容易地推导出1/2阶对数因子的LPS收敛性。[10]中考虑了一个具有随机短期利率的混合Heston型随机局部波动性模型，当spotprocess通过LE方案离散，其平方波动率和短期利率通过FTE方案离散时，导出了无利率的强收敛性以及普通期权和奇异期权的弱收敛性。

然而，收敛速度仍然是一个悬而未决的问题，本文是首次解决这个问题。在这项工作中，我们证明了LPS的强收敛性，其阶数为1/2，最大可达蒙特卡罗方法的对数因子，对于spot过程，使用LE方案，对于平方波动率，使用[44]中提出的（显式）FTE方案或[1]中提出的（隐式）BEM方案。FTEscheme可以说是实践中使用最广泛的方案，因为它保留了原始过程的积极性，易于实施，而且可能最重要的是，根据经验发现，在边界处具有不同通量的所有显式Euler方案中，FTEscheme产生的偏差最小【44】。边界元法经常出现在金融文献中，其收敛性也得到了很好的理解[2、15、34、48]。因此，我们获得了具有全局Lipschitz系数的SDE数值逼近的最佳强收敛速度【31，46】。因此，spot过程的Euler离散化也收敛于弱阶1/2（高达对数因子），这是最优的，因为运行最大值的Euler格式收敛于weakorder最多1/2（参见，例如，[5，22]），而不是具有平滑系数的SDE的典型弱阶1。综上所述，据我们所知，本文首次建立了欧拉近似模型的正强收敛速度：（1）路径依赖波动率动力学；（2） 局部和随机波动动态，即使没有路径依赖。本文的其余部分结构如下。在第2节中，我们讨论了模型和假设假设。然后，我们定义了模拟方案并讨论了主要定理。在第3节中，我们给出了CIR过程及其FTE和BEM离散化的一些辅助可积性和收敛性结果。

在第四节中，我们用近似spot过程的速度证明了强收敛性。在第5节中，我们对强收敛率和弱收敛率进行了数值测试，以验证和补充我们的理论发现。第6节包含简短的讨论。最后，附录中给出了一些技术结果的详细证明。2建立和主要结果2.1模型假设考虑过滤概率空间Ohm, F、 （Ft）t≥0，P满足通常条件并让Ws=Wst公司t型≥0和Wv=Wvt公司t型≥0be一维标准Ft适应布朗运动。我们研究模型dSt=u（t，St，Mt）Stdt+√vtσ（t，St，Mt）StdWst，S>0，dvt=k（θ- vt）dt+ξ√vtdWvt，v>0，Mt=supu∈[0，t]Su，（2.1），其中dhWs，Wvit=ρdt和ρ∈ (-1, 1). 对于固定时间范围T>0，让u：[0，T]×（x，y）∈ R+| S∨ x个≤ y→ R（2.2）和σ：[0，T]×（x，y）∈ R+| S∨ x个≤ y→ R+。（2.3）一方面，当运行的最大分量消失时，即当u（t，St，Mt）=u（t，St）和σ（t，St，Mt）=σ（t，St），SPDV模型（2.1）崩溃为SLV模型。如果随机波动率分量也消失，即如果我们将ξ取为零，则SPDV模型进一步简化为LV模型；如果我们将u和σ取为常数，则SPDV模型进一步简化为SV模型。另一方面，当随机波动率分量消失时，即ξ为零时，PDV模型崩溃为PDV模型，该模型也可以视为It^o过程在现场的马尔可夫投影及其运行最大值[8]。在本文中，我们在以下模型假设下工作：假设2.1。漂移和扩散函数u和σ是有界的，即存在非负常数umax和σmax，因此，对于所有t∈ [0，T]和0≤ x个≤ S∨ x个≤ y、 我们有|u（t，x，y）|≤ umax（2.4）和0≤ σ（t，x，y）≤ σmax.（2.5）假设2.2。

漂移和扩散函数u和σ在时间上分别是有界的和分段的1/2小时连续的，在对数点和对数运行最大值上是Lipschitz连续的，即存在∈ N和非负常数Cu，t，Cu，x，Cu，m，Cσ，t，Cσ，x，Cσ，mand（Cσ，t，j）1≤j≤这样，对于所有t，t∈ [0，T]，0<x≤ S∨ x个≤ yand 0<x≤ S∨ x个≤ y、 我们有|u（t，x，y）- u（t，x，y）|≤ Cu，tt6=t+Cu，x |对数（x）- 对数（x）|+Cu，m |对数（y）- 对数（y）|（2.6）和|σ（t，x，y）- σ（t，x，y）|≤ Cσ，tp | t- t |+NTXj=1Cσ，t，jt∧t<jTNT≤t型∨t+Cσ，x | log（x）- 对数（x）|+Cσ，m |对数（y）- 对数（y）|。（2.7）另一方面，请注意，函数σ中的跳跃不必等距分布，只要它们出现在时间离散化节点上。备注2.3。如果假设2.1和2.2成立，那么为了本文的目的，我们选择尽可能小的非负常数。特别是σmax=supnσ（t，x，y）t型∈ [0，T]，0≤ x个≤ S∨ x个≤ yo，（2.8）Cσ，x=sup|σ（t，x，y）- σ（t，x，y）| | log（x）- 日志（x）|t型∈ [0，T]，0<x<x≤ S∨ x个≤ y, （2.9）Cσ，m=sup|σ（t，x，y）- σ（t，x，y）| | log（y）- 日志（y）|t型∈ [0，T]，0<x≤ S∨ x个≤ y<y. （2.10）我们提出了一组更有力的假设，并从实际角度对其进行了讨论。假设2.4。漂移和扩散函数u和σ在有界区间外是常数，即我们可以找到0≤ 尽管如此∈ [0，T]和0≤ x个≤ S∨x个≤ y、 我们有u（t，x，y）=u（t，Smin∨ x个∧ Smax，Smin∨ y∧ Smax）（2.11）和σ（t，x，y）=σ（t，Smin∨ x个∧ Smax，Smin∨ y∧ Smax）。（2.12）假设2.5。

漂移和扩散函数u和σ在时间上分别是有界的和分段的1/2小时连续的，在点和运行最大值上是Lipschitz连续的，即存在非负常数Cu、S、Cu、M、Cσ、Sand Cσ、Msuch，对于所有t、t∈ [0，T]，0≤ x个≤ S∨ x个≤ yand 0≤ x个≤ S∨ x个≤ y、 我们有|u（t，x，y）- u（t，x，y）|≤ Cu，tt6=t+Cu，S | x- x |+Cu，M | y- y |（2.13）和|σ（t，x，y）- σ（t，x，y）|≤ Cσ，tp | t- t |+NTXj=1Cσ，t，jt∧t<jTNT≤t型∨t+Cσ，S | x- x |+Cσ，M | y- y |。（2.14）在对资产价格或即期外汇利率建模时，漂移函数u通常是确定性短期利率和股息收益率的组合，因此u（t，St，Mt）=u（t）满足上述假设。为了使差异函数σ与欧洲看涨期权价格一致，它必须由校准的Brunick–Shreve波动率与平方随机波动率的条件期望的平方根之间的比率给出[8，45]。如果没有runningmaximum分量，则与普通价格一致的杠杆函数σ由校准的杜皮尔局部波动率与平方随机波动率的条件预期平方根之间的比率给出【23、24、50】。在实践中，杠杆函数是在点的数量上定义的（时间上每年20点，空间上30点，通常用于可接受的校准误差[11，24]），时间上向前插值，并在现场使用三次样条曲线，以及在区间外进行插值。因此，从实践的角度来看，在做出这两个假设时，并没有明显失去一般性。提案2.6。假设假设假设2.4和2.5满足。那么假设2.1和2.2也满足。证明。见附录A.2.2模拟方案N∈ N是N的倍数，并考虑均匀网格t=Nδt，tn=Nδt，n∈ {0，1，…，N}。