一类欧拉逼近的强收敛速度

（4.23）回到（4.21），使用（4.22），（4.23）（用η代替最后一个之前的η）和Fubini定理得出一个上界支持∈[0，T]|分机∧τ| q≤η1-第一季度- λ4(1 - λ） cq（λ）（1+η）Cσ，tT+σmaxCσ，tT支持∈[0，T]E[vt]N-q+2（1- γ*)η2-q（1+η）cq（λ）σmaxT supt∈[0，T]Ev-1t | vt- (R)vt | q+ 2γ*η1-q（1+η）cq（λ）σmaxT supt∈[0，T]E|√vt公司-√(R)vt | q+η1-q2（1- λ） σ最大支持∈[0，T]E|vt公司- (R)vt | q+η1-第一季度- λ（Cu，x+2Cu，m）te支持∈[0，T]|xt | q+ 4η1-q（1+η）cq（λ）（Cσ，x+2Cσ，m）T E支持∈[0，T]vtsupt∈[0，T]|xt | q+η1-第一季度- λσmax（Cσ，x+2Cσ，m）T E支持∈[0，T]vtsupt∈[0，T]|xt | q+ EZT公司∧τsupt∈[0，u]|外部| qvu公司第一季度- λσmax（Cσ，x+Cσ，m）+qcq（λ）（Cσ，x+Cσ，m）+η（2+η）qcq（λ）（Cσ，x+Cσ，m）+η（q- 1)1 - λσmaxCσ，tT+Cσ，x+2Cσ，m+ 2η（1+η）（q- 2） cq（λ）Cσ，tT+（Cσ，x+2Cσ，m）+第一季度- λ（Cu，x+Cu，m）+η（q- 1)1 - λ（Cu，x+2Cu，m）+η（q- 1)2(1 - λ） σmax+γ*η（1+η）（q- 2） cq（λ）σmax+ v-1u（1- γ*)η（1+η）（q- 2） cq（λ）σmax杜邦. （4.24）我们选择λ=λqt，使函数fq（λ）最小化：（0，1）→ R由fq（λ）=q1给出- λσmax（Cσ，x+Cσ，m）+qq- 12(1 - λ） +qβ4λ（1- λ)（Cσ，x+Cσ，m）。（4.25）为简洁起见，定义σ=Cσ，x+Cσ，mσmax.（4.26）查看fq的一阶导数，我们发现其唯一的正根λq=-qβσ+βpqβσ+2qσ（2+（q- 1)σ） 4+2（q- 1)σ、 （4.27）明显满足λq∈ (0, 1). 一些简单的计算导致tofq（λq）=qβ4λq（Cσ，x+Cσ，m）=σmaxqq（2+β）σ+2qσ2.- σ+ qβσ. （4.28）接下来，我们将前七个术语绑定在上面（4.24）的右侧。一方面，对于平方波动率过程的FTE离散化，请注意，我们可以发现r>1，使得νν- 1<rr- 1<ν - 第1季度。（4.29）利用H¨older不等式、引理3.1和命题3.5，我们推断出存在一个常数，使得对于所有足够大的N，支持∈[0，T]Ev-1t | vt- (R)vt | q≤ 支持∈[0，T]Ev-rt公司rsupt公司∈[0，T]Eh | vt- (R)vt | rqr-1ir-1r级≤ 中国大陆-q（4.30）和支持∈[0，T]E|vt公司- (R)vt | q≤ 中国大陆-q

（4.31）另一方面，对于平方波动率过程的边界元离散化，我们从命题3.8中知道，存在一个常数C，对于所有足够大的N，支持∈[0，T]E|√vt公司-√(R)vt | q≤ 中国大陆-q（4.32）和支持∈[0，T]E|vt公司- (R)vt | q≤ 中国大陆-q、 （4.33）此外，利用Cauchy–Schwarz不等式和引理3.1，并将[17]中的定理1应用于（4.5）中的对数点过程，我们得出结论，存在一个常数C，使得对于所有n≥ 1，E支持∈[0，T]vtsupt∈[0，T]|xt | q≤ E支持∈[0，T]vtE支持∈[0，T]|xt | 2q≤ CNlog（2N）-q（4.34）andE支持∈[0，T]|xt | q≤ CNlog（2N）-q、 （4.35）为方便起见，定义严格递增的随机过程gq，η（t）=Ztaq，η+fq（λq）+ηbq，ηvu+ηcq，ηv-1udu，（4.36），其中q，η=q1- λq（Cu，x+Cu，m）+η（q- 1)1 - λq（Cu，x+2Cu，m）+η（q- 1)2(1 - λq）σmax+γ*η（1+η）（q- 2） cq（λq）σmax，（4.37）bq，η=（2+η）qcq（λq）（Cσ，x+Cσ，m）+q- 11- λqσmaxCσ，tT+Cσ，x+2Cσ，m+ 2（1+η）（q- 2） cq（λq）Cσ，tT+（Cσ，x+2Cσ，m）, （4.38）cq，η=（1- γ*)（1+η）（q- 2） cq（λq）σmax.（4.39）用（4.30）–（4.36）替换回（4.24），我们得出结论，存在一个常数cq，η>0，这样，对于所有足够大的N，E支持∈[0，T]|分机∧τ| q≤ Cq，ηNlog（2N）-q+EZT公司∧τsupt∈[0，T]|分机∧u | qdgq，η（u）. （4.40）接下来，考虑停车时间集τκq，η，κ≥ 0由τκq定义，η=inft型≥ 0 | gq，η（t）≥ κ, τq，η=0，（4.41），注意它们是有限的，因为τκq，η≤2κ(1 - λq）η（q- 1） σmax，（4.42）并严格增加，以及gq，η（τκq，η）=κ的连续性。固定κ>0并设置τ=τκq，ηin（4.40）。使用[6]中的想法，定义随机时间变化s=gq，η（u），使u=τsq，η，并注意gq，η（T∧ τκq，η）=gq，η（τκq，η）∧ gq，η（T）=κ∧ gq，η（T）。（4.43）通过Lebesgue的时间变化公式（例如，见[51]中的定理A4.3），我们得到ZT公司∧τκq，ηsupt∈[0，T]|分机∧u | qdgq，η（u）= EZκ∧gq，η（T）支持∈[0，T]外景∧τsq，ηqds≤ZκE支持∈[0，T]外景∧τsq，ηqds。

（4.44）用该上限yieldsE替换回（4.40）支持∈[0，T]外景∧τκq，ηq≤ Cq，ηNlog（2N）-q+ZκE支持∈[0，T]外景∧τsq，ηqds，（4.45），应用Gronwall不等式支持∈[0，T]外景∧τκq，ηq≤ Cq，ηeκNlog（2N）-q、 （4.46）对于所有κ>0。以与（4.40）中的参数类似的方式进行，并设置τ=T，我们得到支持∈[0，T]|外部| p≤ Cp，ηNlog（2N）-市盈率+市盈率ZTsupt公司∈[0，T]|分机∧u | pdgp，η（u）. （4.47）然而，从（4.27）中可以看出√qλq=√q+qq（1+2β-2) - 2β-2(1 - 2.-1σ）（4.48）和Q1- λq=q+q√qqq（1+2β-2) - 2β-2(1 - 2.-1σ）（4.49）在q中增加，因此ddtgp，η（t）≤ddtgq，η（t），t型∈ [0，T]。（4.50）利用与以前相同的时间变化，Fubini定理和H¨older不等式，我们推导出ZTsupt公司∈[0，T]|分机∧u | pdgp，η（u）≤ EZTsupt公司∈[0，T]|分机∧u | pdgq，η（u）≤Z∞E支持∈[0，T]外景∧τsq，η聚苯乙烯≤gq，η（T）ds公司≤Z∞E支持∈[0，T]外景∧τsq，ηqpqPs≤ gq，η（T）1.-pqds。（4.51）组合（4.46），（4.47）和（4.51）yieldsE支持∈[0，T]|外部| p≤Nlog（2N）-pCp，η+Cpqq，ηZ∞经验值spq公司Ps≤ gq，η（T）1.-西洋参叶二醇组皂苷. （4.52）剩下要做的就是从上面的右侧限制概率。为简洁起见，定义为P，q=pq- p（4.53）且设w＞wp，q。马尔可夫不等式yieldsPs≤ gq，η（T）≤ 经验值{-ws}Ehexpwgq，η（T）i、 （4.54）从（4.36）和H¨older不等式中，我们得到wgq，η（T）我≤ exp{waq，ηT}E经验值w（1+η）fq（λq）+ηbq，ηZTvtdt1+η×E经验值wη（1+η）cq，ηZTv-1tdtη1+η. （4.55）但是，请注意W（1+η）fq（λq）+ηbq，η= wp，qfq（λq）+（w- wp，q）fq（λq）+ηwfq（λq）+（1+η）bq，η. （4.56）利用引理3.2中CIR过程的指数可积性以及（4.10）和连续性参数，由于ν>1，我们得出结论，存在η非常小且wsu非常接近wp，因此（4.55）右侧的两个期望值和左侧的一个期望值是有限的。

最后，用（4.54）替换回（4.52），sinceZ∞经验值spq公司- ws系列1.-pqds=Z∞经验值-（w）- wp，q）（q- p） 平方英尺ds=q（w- wp，q）（q- p） ，（4.57）我们推断支持∈[0，T]|外部| p≤Nlog（2N）-pCp，η+q（w- wp，q）（q- p） Cpqq，ηEhexpwgq，η（T）i1-pq, （4.58），结论如下。4.2矩边界具有随机波动动力学的许多模型都有一个不希望出现的特征，即阶数大于1的矩可以在有限时间内爆炸[4]。SDE精确解和数值解的阶数大于1的矩的不确定性是收敛性分析的重要组成部分【30】。高阶矩的精确性在[10]中建立，用于随机局部波动率模型的显式Euler近似。我们将这个结果推广到随机路径依赖的volatilitymodels，并在这里证明了它的完备性。引理4.4。假设假设2.1成立，并让p>1。（1） 如果T<TCIRS（p），则spot过程有一个有界的pth力矩，即supt∈[0，T]E标准贯入试验< ∞, （4.59）其中TCIRS（p）=√（φ（p）- k） +“π+电弧油箱√（φ（p）- k） +！#，（4.60），φ在（2.38）中给出。（2） 如果ν≥ 1和T<T*S（p），在（2.36）和（2.37）中分别给出tftes和tbems，则近似点过程有一个有界的pth矩，即存在N∈ N这样，SUPN>Nsupt∈[0，T]E(R)Spt< ∞. （4.61）证明。见附录C.4.3定理2.7的证明。根据这些结果，我们现在可以证明主要定理。证据通过连续性参数，我们可以找到2∨ p<q<p*（ν） 这样T<T*x（q）∧ T*Spq（q- p）-1.. （4.62）确定r>1，并从（2.38）中重新定义φ。一方面，如果φ（r）≥ 4k，则Pφ（r）- k“π+arctankpφ（r）- k#≥pφ（r）- kspφ（r）+kpφ（r）- k=pφ（r）- k≥pφ（r）。（4.63）另一方面，如果k<φ（r）<4k，则pφ（r）- k“π+arctankpφ（r）- k#≥pφ（r）- kskφ（r）1.-kφ（r）=4kφ（r）≥pφ（r）。（4.64）因此，我们有TCIRS（r）≥ TFTES（右）≥ 所有r>1的TBEMS（r）。

从均值定理和H¨older不等式出发，我们推导出∈[0，T]呃St公司-\'\'Stpip公司≤ 支持∈[0，T]EhmaxSpt，Spt|xt公司- (R)xt | pip≤支持∈[0，T]EhSpqq-ptiq-ppq+supN>Nsupt∈[0，T]Eh？Spqq-ptiq-ppq公司×支持∈[0，T]Eh | xt- (R)xt | qiq，（4.65）对于某些N∈ N适当选择。命题4.3和引理4.4.5数值测试得出的结论在本节中，我们假设（2.1）中的现货过程动力学u=0，并使用LE–FTE方案对近似过程的强收敛性和弱收敛性进行数值分析，即，当采用LE和FTE方案对现货过程及其平方波动率进行离散化时，分别地在本节中，我们确定时间范围T=1，并将以下值分配给基础模型参数作为基本情况，并分别改变选择：S=1，v=0.025，k=8，θ=0.02，ξ=0.2，ρ=-0.1. （5.1）这些值与股票和外汇市场的经验观察结果一致，并且接近于【11】表2和【13】表1中的校准值。5.1强聚合我们定义了D=（t，x，y）∈ [0，T]×R+| Smin≤ x个≤ S∨ x个≤ y≤ Smax公司一个参数杠杆函数σ，并将其外推到这些界限之外，其中smin=Se-√VT和Smax=Se√vT.（5.2）特别是，我们在两个点和运行最大值中使用随机波动率激励（SVI）参数化（见[18，26]），即σ（t，x，y）=hσt+1，对数（Smin∨ x个∧ Smax）- 日志（个）+ σt+1，对数（Smin∨ y∧ Smax）- 日志（个）i、 （5.3）其中∈ {1，2}，σi（u，z）=√urai+bici（z- di）+q（z- di）+ei. （5.4）我们为参数指定以下值：a1,2=1，b1,2=2，c1,2=0，d1,2=0，e1,2=0.25。（5.5）在图1中，我们绘制了三个不同时间段的杠杆函数σ：t=0、t=0.5和t=1。请注意，根据定义，该杠杆函数在有界区间外保持不变。

此外，我们可以很容易地证明σ在时间上是1/2-H–older连续的，在点和运行最大值上是Lipschitz连续的，因此假设2.4和2.5是满足的。从命题2.6中，我们得出结论，假设2.1和2.2也是满足的。为了建立近似过程的1/2阶（高达对数因子）的LPS强收敛性，我们首先需要从（2.39）计算临界时间TFTE（p）。重新调用图1：杠杆函数σ与SVI参数化在三个不同时间片上绘制的点和运行最大值。σmax、Cσ、x和Cσ的定义，mfrom（2.8）–（2.10）。杠杆函数的简单技术分析得出σmax=1.437，Cσ，x=0.307和Cσ，m=0.307。因此，我们得到了TFTE（1）=132.58和TFTE（2）=12.57，两者都大于T=1，因此定理2.7中的所有条件都是满足的。为了进行说明，我们在图2中绘制了临界时间与幂p（在Lpnorm中）和平方挥发过程的平均逆转率k的关系。首先，我们从图2a和2b中推断出→pFTETFTE（p）=0，这一事实可以从关键时间的定义中轻松验证。其次，我们从图2c和2d中推断出thatlimk→∞TFTE（p）=∞. 极限情况对应于纯路径依赖的波动率，其中强收敛结果适用于所有T>0。接下来，我们用'ST表示N个时间步的等效离散化对应的近似过程在时间T处的值，并研究LperrorεS（N）=Eh装货单-\'ST，Np=1时的pip（5.6）（一大类期权的Limplies弱收敛收敛，参见，例如，[10]）和p=2（多层蒙特卡罗方法有用的Lis收敛，参见，例如，[20]）。

由于在计算（5.6）中的数量时存在困难，我们使用命题5.1并估计对应于相同布朗路径的N个时间步（\'ST，N）和2N个时间步（\'ST，2N）的近似过程值之间的差异。例如，可以在[1]中找到命题5.1（p=1）的证明。然而，由于扩展到p≥ 1是非常重要的，我们在这里包括了一般情况的预防措施。提案5.1。设T>0和p≥ 1，假设存在η>1-psuch茅草装货单-\'ST，Npip=O对数（2N）-η. （5.7）1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 2.2功率048121620临界时间（a）k=41 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6功率02046080101020临界时间（b）k=84 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8平均转速。速率0204060801020临界时间（c）p=14 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8平均转速。RATE024681012临界时间（d）p=2图2：根据功率和平均回复率绘制（2.39）中定义的临界时间，当∈ {4，8}和p∈ 分别为{1，2}。然后，对于任何α>0和β≥ 0，呃装货单-\'ST，Npip=O对数（2N）βNα！<=> 呃\'ST，N-\'ST，2Npip=O对数（2N）βNα！。（5.8）证明。参见附录D。在[27]的定理1中，基于可访问边界区域中布朗运动的等距评估，为CIR过程的所有离散化方案建立了一个误差下限。因此，当ν<1/2时，FTE方案最多达到ν的强收敛阶。事实上，我们在[14]中数值证明了CIR过程FTE模式的min{ν，1/2}主。因此，由于CIR动力学驱动（2.1）中spot过程的平方效用，我们预计当ν<1/2时，LE–FTE模式的强收敛阶将小于1/2。

图3和图4中的数据表明，当ν<1/2时，经验L（和L）阶数在0和1/2之间，当ν<1/2时，经验L（和L）阶数为1/2≥ 1/2，这与之前的观察结果一致，当ν>2时也与我们的理论结果一致+√3.5.2弱收敛我们通过对弱收敛速度的数值分析来结束本节。特别是，我们考虑了一个行使K=0.9、到期时间T=1的欧洲看涨期权，并将相同的值分配给基础模型参数，如（5.1）所示。为了在合理的计算时间内观察渐近收敛速度，我们定义了一个新的参数杠杆函数100101102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL1误差（与2n近似值的差值）斜率参考线0.5斜率参考线0.4（a）ν=0.25100101010103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL1误差（与2n近似值的差值）斜率参考线0.5（b）ν=0.5100101102103104时间步长10-410-210-1ErrorL1误差（与2n近似值之差）斜率0.5的参考线（c）ν=1100101102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL1误差（与2n近似值之差）斜率0.5的参考线（d）ν=210010102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL1误差（与2n近似值之差）斜率0.5的参考线（e）ν=4100101102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL1误差（与2n近似值的差异）斜率为0.5（f）ν=8的参考线图3：k∈ {0.25、0.5、1、2、4、8}和（5.1）中定义的其他参数，使用高达2.6×10Monte Carlo路径计算（相对误差小于10bp）。σ对运行最大值的依赖性更强，即σ（t，x，y）=1+arctan日志（y）- 日志（个）. （5.9）注意，该杠杆函数是有界的，在时间和地点上是恒定的，并且Lipschitz continuousin log运行最大值。

因此，假设2.1和2.2是满足的。为了确定近似过程的1/2阶强收敛性（高达对数因子），以及相同阶的弱收敛性，我们计算100101102103104时间步长10-310-210-1100ErrorL2误差（与2n近似值之差）斜率0.5参考线斜率0.3参考线（a）ν=0.25100101102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL2误差（与2n近似值之差）斜率0.5参考线（b）ν=0.5100101102103104时间步长10-410-210-1ErrorL2误差（与2n近似值之差）斜率0.5参考线斜率0.5（c）ν=1100101102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL2误差（与2n近似值之差）斜率0.5（d）ν=210010102103104时间步长10-410-310-210-1ErrorL2误差（与2n近似值之差）斜率0.5（e）ν=4100101102103104时间步长10-410-210-1100ErrorL2误差（与2n近似值之差）斜率0.5（f）ν=8图4:k时相对于时间步数的误差∈ {0.25、0.5、1、2、4、8}和（5.1）中定义的其他参数，使用高达1.8×10Monte Carlo路径计算（相对误差小于10bp）。临界时间TFTE（1）从（2.39）开始。杠杆函数的简单技术分析得出σmax=2.571，Cσ，x=0，Cσ，m=1。因此，我们得到TFTE（1）=38.92，大于T=1，因此满足定理2.7中的所有条件。接下来，我们研究弱误差εW（N）=Ef（ST）- Ef（(R)ST，N）, （5.10）其中f（S）=（S- K） +是欧洲看涨期权支付。我们使用命题5.2和Estimate作为代理，表示与N个时间步（\'ST，N）和2N个时间步（\'ST，2N）相对应的近似买入价格值之间的差异。该证明类似于命题5.1的证明，并已完成。提案5.2。

设T>0，f:C（R+）→ R+，假设Limn→∞Ef（(R)ST，N）= Ef（ST）. （5.11）然后，对于任何α>0和β≥ 0,Ef（ST）- Ef（(R)ST，N）= O对数（2N）βNα！<=>Ef（(R)ST，N）- Ef（(R)ST，2N）= O对数（2N）βNα！。（5.12）为了提高弱收敛速度，我们采用了布朗桥插值。假定在两个后续时间节点“XT”和“xtn+1”处的近似对数点过程，而不是像（2.25）中那样在分段线性插值上取最大值，我们模拟了互连布朗桥的最大值，即^m【tn，tn+1】=h'xtn+1+'xtn+q（'xtn+1- \'\'xtn）- 2σtn、e’xtn、e’mtn(R)vtnδt log（Un）i，（5.13），其中（Un）0≤n≤N-1是独立的U[0，1]随机变量，并通过“mtn+1=max”更新运行最大值\'mtn，^m[总氮，总氮+1], \'m=x.（5.14）最后，图5中的数据表明，分段线性插值的经验弱收敛阶为1/2，布朗桥插值的经验弱收敛阶为1，正如预期的那样。6结论普通期权和奇异期权的有效定价和套期保值需要一个充分的模型，该模型同时考虑了波动率动力学的局部和随机特征。在本文中，我们研究了一个随机路径依赖的波动率模型以及一个简单有效的蒙特卡罗模拟方案。我们已经做出了一些现实的模型假设，并在临界时间内建立了LPS的强收敛性，其阶数为1/2，可达Euler近似的对数因子。特别是，这使得可以使用多级模拟，asin【21】，大大提高了估计预期财务回报的效率。不可避免的，这项工作也提出了一些问题，例如我们是否可以放松对随机波动率参数的条件，并仍然推导出该方案的类似收敛特性，如我们的数值结果所示。附录A。