几何布朗的离散时间平均的渐近性

ρ=0极限中的函数λ（a，b；0）由（44）λ（a，b；0）=a给出cosξ-ξsin（2ξ）,式中，ξ是方程2ξ=abcosξ的解。（45）总之，定理3和命题4的结果给出了极限n内几何布朗运动n的离散和的拉普拉斯变换的渐近表达式→ ∞, 形式为E[E-θnAn）=exp（nλ（θS，√2β; ρ） +o（n））。该结果可用于nAn的数值模拟，类似于[31]中提出的方法，使用相关对数法线之和的拉普拉斯变换的无符号结果。另一种可能的应用是获得渐近n中亚洲期权价格的一阶近似值 1使用Carr-Madan公式进行限制【6】。在下一节中，我们将使用大偏差理论给出亚式期权价格的领先渐近。4、亚式期权价格的渐近性期权定价的渐近性是数学金融中研究得很好的课题。关于期权定价的渐近性有大量文献，尤其是普通期权定价的渐近性和各种连续时间模型的相应隐含波动率，参见[4、25、17、18、46]。在假设（6）和（7）下，我们对离散时间背景下亚式期权定价的渐近性感兴趣。让我们考虑一个执行价格为K的亚式期权，在波动率σ、无风险利率r和股息收益率q的Black-Scholes模型中。在时间为零的看跌期权和看涨期权的价格由p（n）：=e给出-rtnE[（K- An）+]，（46）C（n）：=e-rtnE[（An- K） +]，（47），其中An=nPni=1天，根据资产价格满足SDE dSt=（r-q） Stdt+σStdWt。还请注意，e-rtn=e-rr（右后）-q（r-q） τn=e-rr（右后）-qρ。回想一下，我们已经证明→ A.∞=Sρ（eρ-1） a.s.作为n→ ∞.

自（K-An）+≤ K、 根据实分析中的有界收敛定理，我们得到了（48）limn→∞P（n）=e-rr（右后）-qρlimn→∞E[（K- An）+]=e-rr（右后）-qρK-Sρ（eρ- 1)+.10 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUFrom put调用奇偶校验，C（n）- P（n）=e-rtnE[安- K] =e-rr（右后）-qρ“nnXi=1E【Sti】- K#=e-rr（右后）-qρ“nSnXi=1eρin- K级#→ e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K,作为n→ ∞. 因此，（49）limn→∞C（n）=e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K+.4.1. 从钱箱里拿出来。当K<Sρ（eρ-1） ，limn→∞P（n）=0，看跌期权从货币中取出，P（n）衰减到零的速率为n→ ∞ 由的大偏差的左尾控制。当K>Sρ（eρ- 1） ，limn→∞C（n）=0，calloption没有钱，C（n）到零的衰减率为n→ ∞ 由的大偏差的右尾控制。在继续之前，让我们首先推导P（An）的大偏差原理∈ ·).提案6。P（An∈ ·) 满足率函数（50）I（x）=infg的大偏差原则∈AC【0,1】，Re√2βg（y）dy=xSZg（x）-ρ√2βdx，用于x≥ 0和I（x）=+∞ 否则证据我们已经证明了NPN-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β）=Re√2βg（x）dx，其中g（x）=nPbxncj=1（Vj+ρ√2β）和地图g 7→Re公司√2βg（x）dx在上确界范数下是连续的。因为P（nPb·ncj=1（Vj+ρ√2β) ∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0，1]带RateFunctiong（x）-ρ√2βdx如果g∈ AC[0，1]和+∞ 否则从收缩原理来看-βn≤ e-βnk≤ 0中均匀的1≤ k≤ n- 1，我们得出结论，P（An∈ ·) 使用（50）中定义的速率函数满足大偏差原则。最后，注意Anis为正，因此I（x）=+∞ 对于任何x<0。备注7。I（x）=0 in（50）当且仅当最优g满足g（x）=ρ√2β等于g（x）=ρ√2βx，因为g（0）=0。这给了usRe√2βg（y）dy=Reρydy=eρ-1ρ.因此，I（x）=0当且仅当x=Seρ-1ρ=A∞这与Anas n的a.s.限值一致→ ∞.备注8。

我们已经证明了Γ（θ）：=limn→∞nlog E[EθnAn]对于任何θ都存在≤ 0和isdi可微分且Γ（θ）=+∞ 对于任何θ>0。自Γ（θ）=+∞ 对于任何θ>0的情况，我们不能使用G¨artner-Ellis定理来获得P（An）的大偏差∈ ·). 有人可能会推测我们可能有次指数尾。但有趣的事实是，我们仍然有很大的偏差，如提案6所述。我们可以进一步分析和解决变分问题（50）。对于ρ6=0，解由以下结果给出。GBM和亚式期权11命题9平均值的渐近性。几何布朗运动离散时间平均的速率函数由（51）I（x）=2βJ（x/S，ρ）和（52）J（x/S，ρ）=（J（x/S，ρ）xS给出≥ 1+ρJ（x/S，ρ）xS≤ 1+ρ，其中jxS，ρ=(δ- ρ)1 -2 tanh（δ）δ+ρtanh（δ）！(53)- 2ρlogcosh公司δ+ρδsinhδ+ ρ、 JxS，ρ= 2.ξ+ρtanξ+ρtanξ- 1.- 2ρlogcosξ+ρ2ξsinξ+ ρ、 （54）和δ，ξ是方程（55）δsinhδ+2ρδsinh的解δ=xS。和（56）2ξsin（2ξ）1+ρtanξ=xS。证据附录中给出了证明。备注10。我们注意到，通过表示z=2ξ=iδ，可以将J1,2（K/S，ρ）的方程转化为唯一的形式。用这个变量表示，我们有jxS，ρ=（z+ρ）2 tanzz+ρtanz- 1.(57)- 2ρloghcosz+ρzsinzi+ρ，其中z是方程zsin z+2ρzsin的解z=xS。（58）备注11。当K=A时，速率函数J（K/S，ρ）消失∞= Sρ（eρ-1） ，正如速率函数的一般属性所期望的那样。因为我们有ρ（eρ- （1）≥ 任何ρ的1+ρ∈ R、 J（K/S，ρ）为零。我们注意到速率函数J（K/S，ρ）在δ=±ρ时消失。δ的这两个值都满足（55），K/S=ρ（eρ- 1） ，对应于toK=A∞.

然而，变分问题（50）的真解对应于δ=-ρ，给出最佳函数g（x）=ρx√2β，见（135）。对于ρ=0，变分问题（50）的解简化如下。12 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU0.51 1.52 2.5 30.511.520K/S0J（K/S，）ρ0ρ=0.1ρ=0图1。ρ参数ρ=0，0.1的两个值的速率函数J（K/S，ρ）与K/sfo的曲线图。这与（51）中几何布朗运动平均值的较大偏差的速率函数I（x）有关。推论12。对于特殊情况ρ=0，（59）J（x）=（δ- δtanhδxS型≥ 1,2ξ（tanξ- ξ） 0<xS≤ 1.和J（x）=∞ 否则，其中δ是方程（60）δsinhδ=xS的唯一解，ξ是方程2ξsin（2ξ）=xS的（0，π）中的唯一解。（61）可以证明，这与Black-Scholes模型中具有连续时间平均的亚式期权的短期到期渐近的利率函数相同【40】。速率函数J（K/S，ρ）可以使用命题9的结果进行数值计算。当ρ=0，0.1时，J（x/S，ρ）的曲线如图1所示。使用P（An）的大偏差结果∈ ·), 我们可以得到货币亚式期权价格的渐近解。这是由以下结果得出的。提案13。当K<Sρ（eρ- 1） ，（62）P（n）=e-nI（K）+o（n），as n→ ∞,当K>Sρ（eρ- 1） ，（63）C（n）=e-nI（K）+o（n），as n→ ∞,其中，我（·）在（50）中定义。GBM和亚式期权平均值的渐近性13证明。对于任何0< < K、 P（n）≥ e-rr（右后）-qρE[（K- An）1An≤K-] ≥ e-rr（右后）-qρP（An≤ K- ) .（64）因此，lim infn→∞nlog P（n）≥ -I（K-). 因为它适用于任何 ∈ （0，K），我们得出（65）lim infn→∞nlog P（n）≥ -I（K）。另一方面，（66）P（n）=e-rr（右后）-qρE[（K- An）1An≤K]≤ e-rr（右后）-qρKP（An≤ K） ，这意味着lim supn→∞nlog P（n）≤ -I（K）。

因此，我们证明了（62）。对于任何 > 0，C（n）≥ e-rr（右后）-qρE[（An- K） 1An公司≥K级+] ≥ e-rr（右后）-qρP（An≥ K+) .（67）因此，lim infn→∞nlog C（n）≥ -I（K+). 因为它适用于任何 > 0，我们有（68）个lim infn→∞nlog C（n）≥ -I（K）。对于任意p+q=1，p，q>1，根据H¨older不等式，C（n）=e-rr（右后）-qρE（An）- K） +安≥K(69)≤ e-rr（右后）-qρE[[（An- K） +]p]p（E[（1An≥K） q]）q≤ e-rr（右后）-qρ（E[（An+K）p]）pP（An≥ K） 根据Jensen不等式，对于任何x，y>0，很明显对于任何p≥ 2，（x+y）p≤xp+yp。因此，对于任何p≥ 2，（70）E[（An+K）p]≤ 2p级-1（E【Apn】+Kp）。我们可以计算出e[Apn]=n-pE“nXi=1SeσZti+（r-q-σ） ti！p#（71）=n-pE“nXi=1Seσ√τZi+（r-q-σ） τi！p#≤ n-pE“nXi=1Seσ√τmax1≤我≤nZi+|ρ|！p#≤ Spe |ρ| pEhe√2βnp最大值1≤我≤nZii=Spe |ρ| pEhe√2βnp | Zn | i=Spe |ρ| pEe√2β√np | Z|,14 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中我们使用了布朗运动和布朗标度性质的反射原理。注意，对于任何θ>0的情况，E[Eθ| Z |]都是有限的。因此，从（69）、（70）、（71）中，我们得出结论，对于任何1<q<2（因此p>2，其中p+q=1），（72）lim supn→∞nlog C（n）≤ -qlimn公司→∞nlog P（An≥ K） =-qI（K）。因为它适用于任何1<q<2，通过让q↓ 1，我们证明了（63）。4.2。在金钱案件中。我们考虑货币亚洲期权的情况，即isK>Sρ（eρ-1） 对于看跌期权（和K<Sρ（eρ-1） 对于看涨期权）。自→ A.∞a、 我们从有界收敛定理和put调用奇偶性得到，P（n）→ K-Sρ（eρ-1） 和C（n）→Sρ（eρ- （1）- K、 接下来的结果与收敛速度有关。提案14。当K<Sρ（eρ- 1） ρ6=0，（73）C（n）=e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K+e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2） 。当K>Sρ（eρ- 1） ρ6=0，（74）P（n）=e-rr（右后）-qρK-Sρ（eρ- 1)-e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2） 。ρ=0的情况类似。当K<S时，（75）C（n）=（S- K） +e-nI（K）+o（n），当K>S时，（76）P（n）=（K- S） +e-nI（K）+o（n）。证据当K<Sρ（eρ- 1） ，我们证明了P（n）=e-nI（k）+o（n）。

来自put调用奇偶校验，（77）C（n）- P（n）=e-rtnE[安- K] =e-rr（右后）-qρ“Seρ- 1n（1- e-ρn）- K#。因此，C（n）- P（n）- e-rr（右后）-qρSρ（eρ- （1）- K（78）=e-rρr-qS（eρ- 1） “n（1- e-ρn）-ρ#=e-rρr-qS（eρ- 1)\"ρ -ρn+O（n-（2）-ρ#=e-rρr-qS（eρ- 1） 2n+O（n-2） 。因为P（n）=e-nI（k）+o（n），我们证明了（73）。同样，我们有（74）。GBM和亚洲期权平均值的渐近性154.3。在钱箱。接下来考虑货币亚洲期权的情况，即isK=Sρ（eρ- 1） =A∞. 自→ A.∞a、 s.，使用有界收敛定理，我们有P（n）→ 0作为n→ ∞. Put调用奇偶性意味着C（n）→ 0作为n→ ∞ 也注意，在缺钱的情况下，我们已经看到P（n）和C（n）在n中以指数速度衰减到零，其中指数由I（K）给出。下一个结果是关于P（n）和C（n）作为n衰减到零的速度→ ∞ 为了钱，亚洲期权。我们将看到，与货币外的亚式期权不同，亚式期权的渐近性由大偏差结果决定，货币情况下的渐近性由中心极限定理和非一致贝里-埃森界的正态函数决定。提案15。当亚式期权为货币时，即K=Sρ（eρ- 1） =A∞,P（n）=e-rρr-qSrβv（ρ）π√n（1+o（1）），（79）C（n）=e-rρr-qSrβv（ρ）π√n（1+o（1）），（80）为n→ ∞.证据C（n）=e-rtnE[（K- An）+]=e-rρr-量化宽松[（An- A.∞)1An公司≥A.∞]（81）=e-rρr-qS公司√氖√n（An）- A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0.我们在命题2中证明了√n（An）-A.∞)S→ N（0，2βv（ρ））为N→ ∞. 直觉上，很明显E√n（An）-A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0→ E[Z1Z≥0]其中Z~ N（0，2βv（ρ））。但为了证明这一点，中心极限定理是不够的。我们需要一个非统一的Emberry-Esseen界[37，5]，我们接下来会回顾它。有关这一主题的调查，请参见Pinelis[38]。定理16（非一致Berry-Essen界）。对于任何独立且不一定相同分布的随机变量X，X。

，xnw的均值和单位方差为零，Var（Wn）=1，其中Wn=Pni=1Xi，设fn为Wn的累积分布函数，Φ为标准正态累积分布函数，即Φ（x）：=√2πRx-∞e-是/2年。两种分布之间的差异有界为[37，5]（82）| Fn（x）- Φ（x）|≤CPni=1E | Xi | 1+| x |，对于任何-∞ < x<∞, 其中C是常数。在一般（不相同的Xi）情况下，该常数的最广为人知的界是C<31.935[38]。我们已经证明了这一点（83）√n（An）- A.∞)S=nXi=1Xi+ξn+εn，其中（84）Xi：=√2βn3/2Vieρ（n+1）n- eρineρn- 1，1≤ 我≤ n、 16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUwhere Viare i.i.d.n（0，1）随机变量和（85）εn：=√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ.证明计划将显示第二项和第三项的贡献（83）可以忽略不计，并将非均匀Berry-Esseen约束应用于（83）中的第一项。从（83），我们有（86）E√n（An）- A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0= E“nXi=1Xi+ξn+εn！Pni=1Xi+ξn+εn≥0#，这意味着（87）E√n（An）- A.∞)S√n（An）-A.∞)S≥0- E“nXi=1Xi！Pni=1Xi+ξn+εn≥0个#≤ E |ξn |+|εn |。我们已经证明了Eξn和εn→ 0作为n→ ∞. 接下来，注意e“nXi=1Xi！Pni=1Xi+ξn+εn≥0#（88）=VuTunxi=1Var（Xi）E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0#，其中Yi=（Pni=1Var（Xi））-1/2Xi，’ξn=（Pni=1Var（Xi））-1/2ξ与εn=（Pni=1Var（Xi））-1/2εn，因此Var（Pni=1Yi）=1。回想一下，我们已经证明了（89）limn→∞nXi=1Var（Xi）=2βv（ρ）。（88）右侧的期望值可以写为“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0#（90）=E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn|≤δ#+E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn |>δ#，GBM平均值的渐近性，以及任何δ>0的亚式期权17。第二项由Cauchy-Schwarz不等式从上方限定E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+|εn |>δ#(91)≤ EnXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0!1/2E[（1 |ξn+？εn |>δ）]1/2≤ EnXi=1Yi！1/2P（|ξn+？εn |>δ）1/2=P（|ξn+？εn |>δ）1/2→ 0，作为n→ ∞.

（90）中的第一项可以进一步写成“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+？εn|≤δ#（92）=E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≥0#+E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+\'ξn+\'εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≤0#.（92）中的第二项为负值，绝对值为0<E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≤0个#(93)≤ EnXi=1Yi！1/2PnXi=1Yi+’ξn+’εn≥ 0，|ξn+|εn |≤ δ、 nXi=1Yi≤ 0!1/2≤ P-δ ≤nXi=1Yi≤ 0!1/2→ [Φ(0) - Φ(-δ） ]1/2，如n→ ∞ 根据中心极限定理。接下来，我们需要估计（92）中的第一项。我们首先给出一个上界，（94）E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+’ξn+’εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≥0个#≤ E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0#.接下来，我们给出一个下界，E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0，|ξn+？εn|≤δ、 Pni=1Yi≥0#(95)≥ E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 |ξn+？εn|≤δ#.18 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu这可以进一步写成“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 |ξn+？εn|≤δ#（96）=E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ#- E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 ξn+？εn |>δ#。通过遵循（91）中的相同论点，我们得到了（97）limn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ、 ξn+？εn |>δ#=0。边界（94）和（95）可与边界（93）组合，以获得n中（92）中期望的更简单边界→ ∞ 限度通过（90）-（97），这些边界转换为期望的相应边界（93）。我们得到任何δ≥ 0lim信息→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0#(98)≥ lim信息→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥δ#- [Φ(0) - Φ(-δ） ]1/2，andlim supn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0个#≤ lim支持→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0#.（99）最后，取δ→ 0限制，该限制给出了slimn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi+(R)ξn+(R)εn≥0#=limn→∞E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0#.（100）非均匀Berry-Esseen界可用于计算右侧的期望值。非均匀Berry-Essen界中出现的三阶矩之和估计如下。回顾Yi=（Pni=1Var（Xi））-i.i.d.中规定的1/2英寸。

通过（84）中给出的随机变量，我们发现nXi=1E | Yi |=（Pni=1Var（Xi））3/2nXi=1E | Xi |（101）=（Pni=1Var（Xi））3/2（2β）3/2n1/2E | V | nXi=1Eρ（n+1）n- eρinn（eρn- 1)!n≤C（ρ）n1/2，其中C（ρ）>0仅取决于ρ。因此，由非均匀Berry-Esseen束缚，wehave（102）| Fn（x）- Φ（x）|≤C（ρ）n1/21+| x |，GBM平均值的渐近性，以及任何-∞ < x<∞, 其中Fn是Pni=1Yn的累积分布函数，C（ρ）>0是另一个常数。因此，我们有，Z~ N（0，2βv（ρ））E“nXi=1Yi！Pni=1Yi≥0个#- E[Z1Z≥0]=Z∞xdFn（x）-Z∞xdΦ（x）(103)=Z∞Fn（x）dx-Z∞Φ（x）dx≤Z∞C（ρ）n1/21+| x | dx。以n的形式归零→ ∞. 我们得出结论，我们有（104）C（n）=e-rρr-qSE[Z1Z≥0]√n（1+o（1）），作为n→ ∞, 其中Z~ N（0，2βv（ρ））。期望值由（105）E[Z1Z]明确给出≥0]=p2βv（ρ）√2πZ∞xe公司-xdx=rβv（ρ）π。这就完成了货币买入期权C（n）渐近性的证明。货币看跌期权P（n）的价格可通过使用看跌期权平价获得。证明是完整的。浮动行使亚式期权的渐近性我们在本节中考虑浮动行使亚式期权，这是标准亚式期权的一种变体。具有行使K和权重κhaspayoff（κST）的浮动行使亚洲看涨期权-AT）+到期日T，浮动行使认沽期权具有支付（AT-κST）+成熟期T。与固定罢工案例相比，浮动罢工亚洲期权更难定价，因为需要共同的立场法则。此外，由于Diracdelta函数是一个系数，因此很难用数值方法求解改变数量后的罢工价格所满足的一维偏微分方程，如[28]、[42]、[2]。

有关处理此问题的备选方法，请参见[41、8、27]。亨德森（Henderson）和沃雅科夫斯基（Wojakowski）[27]已经证明，具有连续时间平均的浮动罢工亚洲期权可能与固定罢工期权相关。在[47]中，这些等价关系被推广到离散时间平均亚式期权。根据这些关系，我们有-rtnE公司（κStn- An）+= e-qtnE公司*（κS- An）+,（106）e-rtnE公司（An）- κStn）+= e-qtnE公司*（An）- κS）+,（107）右侧的期望值是针对不同的度量值Q得出的*,其中资产价格St遵循过程St=（q- r） Stdt+σStdW*t、 （108）带W*Q空间中的标准布朗运动*测量20 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUWe对具有payoff（κStn）的亚洲看涨期权/看跌期权价格的渐近性感兴趣- An）+和（An）- κStn）+，C（n）：=e-rtnE公司（κStn- An）+,（109）P（n）：=e-rtnE公司（An）- κStn）+.（110）作为n→ ∞, κStn- 一→ κSeρ- Seρ-1ρa.s.当κ<ρ（1- e-ρ） 看涨期权没有钱，看跌期权有钱。当κ>ρ（1）时- e-ρ） ，买入期权在货币内，卖出期权在货币外。当κ=ρ（1- e-ρ） ，看涨期权和看跌期权都很值钱。对于等价关系（106）、（107）右侧的期望，我们将其作为n→ ∞, κS- 一→ κS- Se公司-ρ-1.-ρa.s.我们得出结论，对于κ<ρ（1- e-ρ） 这些等价关系将缺钱的浮动行使买入（看跌）亚洲期权映射为缺钱的固定行使卖出（看跌）亚洲期权。对于κ>ρ（1- e-ρ） 货币内亚洲期权之间也存在类似的关系。让我们推导浮动行使亚洲期权价格的渐近性。借助等价关系，这可以用前几节中获得的固定行使亚式期权的渐近性来表示。