几何布朗的离散时间平均的渐近性

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英文标题：
《Asymptotics for the Discrete-Time Average of the Geometric Brownian
  Motion and Asian Options》
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作者：
Dan Pirjol, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The time average of geometric Brownian motion plays a crucial role in the pricing of Asian options in mathematical finance. In this paper we consider the asymptotics of the discrete-time average of a geometric Brownian motion sampled on uniformly spaced times in the limit of a very large number of averaging time steps. We derive almost sure limit, fluctuations, large deviations, and also the asymptotics of the moment generating function of the average. Based on these results, we derive the asymptotics for the price of Asian options with discrete-time averaging in the Black-Scholes model, with both fixed and floating strike.
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中文摘要：
几何布朗运动的时间平均在数学金融中的亚式期权定价中起着至关重要的作用。在本文中，我们考虑了在大量平均时间步长的限制下，等距时间上采样的几何布朗运动的离散时间平均的渐近性。我们推导了几乎确定极限、涨落、大偏差以及平均值的矩母函数的渐近性。基于这些结果，我们推导了在Black-Scholes模型中，具有固定和浮动行使的离散时间平均亚式期权价格的渐近性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Asymptotics_for_the_Discrete-Time_Average_of_the_Geometric_Brownian_Motion_and_A.pdf (581.14 KB)

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关键词：离散时间 Quantitative Differential Fluctuations Applications

.几何布朗运动和亚式期权离散时间平均的渐近性Dan PIRJOL和LINGJIONG ZHUAbstract。几何布朗运动的时间平均值在数学金融中的亚式期权定价中起着至关重要的作用。本文研究了在均匀时空上采样的几何布朗运动在大量平均时间步长的限制下的离散时间平均的渐近性。我们导出了几乎确定极限、函数、大偏差以及平均值的矩生成函数的渐近性。基于这些结果，我们推导了Black-Scholes模型中具有离散时间平均的亚洲期权价格的渐近性，包括固定和浮动罢工。1、简介亚洲（或平均）期权是金融市场上广泛交易的工具，涉及资产价格的时间平均值。最常见的是股票价格或商品期货合同价格，例如石油或天然气期货。亚洲看涨期权的支付形式为（1）payoff=max（nnXi=1Sti- K、 0），其中0≤ t是一系列严格递增的时间，称为采样或平均日期。在无风险中性定价下，此类期权的价格由风险中性度量中的支付预期给出。假设Black-Scholes模型（1）研究了资产价格离散时间平均值（2）An=nnXi=1sti的分布特性，假设sn遵循几何布朗运动（3）dSt=（r-q） Stdt+σStdZt，其中zt是标准布朗运动，r是无风险利率，q是股息收益率，σ是波动率。亚洲期权定价的主要技术难点在于离散时间平均值（2）的概率分布没有简单的表达式。

如果平均时间是均匀分布的，对于非常小的时间步长，可以通过连续平均值（4）An=tnZtnStdt很好地近似时间平均值。日期：2016年9月15日。2010年数学学科分类。91G20、91G80、60F05、60F10。关键词和短语。亚式期权，中心极限定理，Berry-Essen界，大偏差。2 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu当ST遵循几何布朗运动时，问题归结为研究几何布朗运动时间积分的分布性质，这在文献中已得到广泛研究。有关主要结果及其在亚洲期权定价中的应用，请参见[16]。人们提出了各种各样的亚式期权定价方法，下面简要介绍了这些方法。1、PDE方法【42、49、50、35】。亚式期权的定价可以简化为1+1偏微分方程的解，并通过数值求解。这种方法可以应用于连续时间和离散时间平均亚式期权[1]。参见alsoAlziary等人【2】。2、拉普拉斯变换方法【24，7】：当资产价格服从几何布朗运动时，具有随机指数分布到期日的亚式期权价格可以以闭合形式找到。这将亚式期权定价问题简化为拉普拉斯变换的转换。3、光谱法【33】。几何布朗运动时间积分的概率分布可以与贝塞尔过程的概率分布相关联【14，13】。贝塞尔过程的跃迁密度可以在特征函数系列中展开【53】，亚式期权价格可以使用特征函数展开进行评估，并截断到足够高的阶数【33】。界限和控制变量方法。有大量的文献是关于推导亚式期权价格边界的。

给出了下限和上限，请参见[35]以了解概述。它们也可以与蒙特卡罗方法一起用作控制变量。Curran[9]给出了一种在实践中流行的这种精确方法。[22、23、21]中提出了考虑离散时间平均的其他方法。5、蒙特卡罗模拟。参见Kemna和Vorst【29】、Fu、Madan、Wang【20】、Lapeyreand Teman【30】。分析近似值。已经提出了各种数值方法，这些方法使用参数形式近似算术平均值的分布，如对数正态分布[32]或逆伽马分布[36]。我们还注意到[52]中更一般的方法可以应用于广泛的模型类。文献中关于几何布朗运动时间平均分布的理论结果大多是指连续时间平均。几何布朗运动的离散性是相关对数正态和的一种特殊情况，文献中对此进行了广泛的研究，有关概述，请参见[3]。Dufresne在[15]中获得了离散时间平均值在极小波动率σ极限下的极限分布→ 本论文作者最近的一项工作【39】研究了极限n内固定σ下离散时间平均值的性质→ ∞, 其收敛到连续时间平均值作为时间步长τ→ 本文主要研究几何布朗运动的离散时间平均，An=nPni=1Sti。我们假设Black-Scholes模型，即资产价格遵循几何布朗运动（5）St=SeσZt+（r-q-σ） 其中zt是标准布朗运动。

我们希望研究离散采样资产价格（2）平均值的分布特性，该平均值定义在离散时间统一空间ti=iτ和时间步长τ上。GBM和亚式期权平均值的渐近性3我们将在本文中得到关于Anin极限n的渐近结果→ ∞ 通过固定以下模型参数组合β=σtnn=στn，（6）（r-q） τn=ρ。（7） 注意，β总是正的，但ρ可以是正的，也可以是负的。我们还注意到，条件（6）和（7）可以用limn代替→∞στn=β和limn→∞（r）-q） τn=ρ，本文中的所有结果仍然成立。约束条件（6）、（7）包括两个有趣的制度：o当到期日tn=τn是常数，利率r和分割收益率q也是常数，那么，（6）假设波动率σ的阶数为(√n） 。因此，条件（6）和（7）包括小波动率制度当成熟度tn=τn很小时，即tn→ 0作为n→ ∞ 在阶数n的特殊情况下，然后通过（7），波动率σ是一个常数。如果利率和股息收益率q为常数，则（7）替换为limn→∞（r）- q） τn=0，即ρ=0。因此，条件（6）和（7）包括短期到期制度。我们强调，我们不对ρ、β的值进行任何假设，它们可以是任意的。

我们的渐近结果的有效性只需要n 1，以便这些制度涵盖大多数实际利益的情况，前提是平均时间的数量足够大。本文给出了在大量平均时间步长n的极限下几何布朗运动离散时间平均分布性质的三个渐近结果：i）An的几乎确定极限和函数结果，ii）n的部分和的矩母函数的渐近结果→ ∞, 和iii）P（An）的大偏差结果∈ ·). 利用这些渐近结果，我们导出了货币外、货币内和货币内亚洲期权价格的严格渐近解。第2节介绍了在n→ ∞ 限度第3节给出了在n个离散时间nAn上采样的几何布朗运动的有限和的拉普拉斯变换的渐近结果，极限为n→ ∞. 在第4节中，我们考虑了大偏差结果iii）之后的固定走向亚式期权的渐近性，在第5节中，我们处理了浮动走向亚式期权的情况。这些渐近结果可用于获得亚式期权的近似定价公式，在第6节中，我们比较了BS模型下亚式期权定价的渐近结果与其他方法的数值性能。已知一些推荐的方法在小到期日和/或小波动限制下的数值效率较低【24，33】。本文导出的渐近结果具有实用价值，因为它们在数值性能不太好的区域补充了这些方法。对于模型参数具有实际值的亚式期权，我们证明了我们的渐近结果与备选定价方法的良好一致性。2.

几何布朗运动离散时间平均的渐近性我们有一个几乎确定的极限：命题1。我们有（8）个limn→∞An=A∞≡ Sρ（eρ- 1） a.s。4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUProof。请注意，max1≤我≤nσ| Zti |=max1≤我≤nq2βτn | Ziτ|根据布朗运动的性质，nmax1≤我≤n | Ziτ|→ 0 a.s.作为n→ ∞. 此外，σti=βin≤βn→ 0作为n→ ∞在1中均匀≤ 我≤ n、 因此，Stican可近似为Se（r-q） Ti均匀in1≤ 我≤ n、 即max1≤我≤n | Sti- Se（r-q） ti |→ 0 a.s.作为n→ ∞. 最后，请注意（9）nnXi=1e（r-q） ti=nnXi=1eρin=neρ- 11- e-ρn→ρ（eρ- 1） ，n→ ∞.因此，我们证明了预期的结果。我们还得到了以下假设结果：命题2。时间平均值在分布上趋于正态分布→ ∞ 限值（10）limn→∞√南安- A.∞S=N（0，2βv（ρ））。（11）v（a）：=aae2a型-e2a+2ea-.证据我们有√南安- A.∞S（12）=√nnXi=1（eσZi+（r-q-σ） ti公司- eρin）+”√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ#(13)=√nnXi=1eρin（e√2βnBi-β英寸- 1) +\"√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ#，（14）其中Zi=√τBi具有Bia标准布朗运动。我们可以将（14）中的第二项改写为√nnXi=1eρin-√neρ- 1ρ=√neρ- 11- e-ρn-√neρ- 1ρ（15）=（eρ- 1)√n“ρn-ρn+O（n-（3）-nρ#=（eρ- 1)√nρn+O（n-2） ρ（ρn-ρn+O（n-3))→ 0，作为n→ ∞.（14）中的第一项可以进一步写为√nnXi=1eρin（e√2βnBi-β英寸- 1) =√nnXi=1eρin√2βnBi+ξn，（16），其中我们定义了（17）ξn≡√nnXi=1eρine√2βnBi-β英寸-√2βnBi- 1..GBM和亚式期权平均值的渐近性5我们声称ξn→ 0的概率为n→ ∞.我们对ξn.（18）ξn有以下上界≤√nnXi=1eρine√2βnBi-√2βnBi- 1.≡ ξ（up）n。上限ξ（up）是一个非负随机变量，因为-1.-x个≥ 0表示任何实x。ξ（up）nca的期望值可精确计算e[ξ（up）n]=√nnXi=1eρin（eβni- 1)(19)=√neρ+βn- 11- e-ρn-βn-eρ- 11- e-ρn=√nβρ+o（1/n）.这变为零，为n→ ∞. 马尔可夫不等式意味着ξ（up）n→ 概率asn为0→ ∞.接下来，让我们估计ξn的下界。

我们有ξn≥√nnXi=1eρine√2βnBi-βn-√2βnBi-βn- 1.-βn(20)≥√nnXi=1eρin-βn= -β√neρ- 1n（1- e-ρn）→ 0，在第二步中，我们再次使用不等式ex≥ 1+x.（16）中的第一项是正态随机变量，在分布上收敛到正态分布，平均值为零，方差待定。(21)√nnXi=1eρin√2βnBi→ N（0，2βv（ρ））。这可以通过写入Bi=Pi来计算-1j=0VJ，带Vj~ N（0，1）i.i.d.正态分布随机变量，平均值为零，单位方差。总和可以写为√nnXi=1eρin√2βnBi=√2βn3/2n-1Xj=0VjnXi=j+1eρin（22）=√2βn3/2n-1Xj=0Vjeρn- 1neρn+1n- eρj+1个。我们可以计算这个随机变量的方差√nnXi=1eρin√2βnBi=2βnn-1Xj=0（eρn- 1)eρn+1n- eρj+1n（23）=2βn（eρn- 1） n个-1Xj=0eρn+1n- eρj+1nn→2βρZ（eρ- eρx）dx，6 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUas n→ ∞, 我们可以计算（24）2βρZ（eρ- eρx）dx=2βρρe2ρ-e2ρ+2eρ-.力矩生成函数定义nAnas（25）Fn（θ）的力矩生成函数：=E[EθnAn]。对于θ<0，这是nAn分布函数的拉普拉斯变换。我们对极限limn感兴趣→∞nlog Fn（θ）。我们将使用大偏差理论计算该极限。在继续之前，回想一下序列（Pn）n∈拓扑空间X上的Nof概率测度满足率函数I:X的大偏差原理→ R如果I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有（26）- infx公司∈AoI（x）≤ lim信息→∞nlog Pn（A）≤ lim支持→∞nlog Pn（A）≤ - infx公司∈AI（x）。这里，AO是A的内部，A是它的闭包。速率函数I被认为是好的，对于任何m，水平集{x:I（x）≤ m} 结构紧凑。我们参考Dembo和Zeitouni【10】或Varadhan【48】，了解大偏差的一般背景和应用。对于极限n中的母函数，我们有以下极限定理→ ∞ 固定β。定理3。

对于任何θ>0，Fn（θ）=∞ 对于任何θ≤ 0，limn→∞nlog Fn（θ）=supg∈AC[0,1]（θSZe）√2βg（x）dx-Zg（x）-ρ√2βdx）。（27）证明。因为E[EθX]=∞ 对于任何对数正态随机变量X的任何θ>0，很明显e[eθnAn]=∞ 对于任何θ>0。下一步，对于任何θ≤ 0，E[EθnAn]=EeθPn-1k=0SeσZtk+（r-q-σ） tk公司（28）=EeθSPn-1k=0eσ√τPkj=1Vj+（r-q-σ） kτ= E“EθSPn-1k=0e√2βnPkj=1Vj+ρkn-βnk#=E“EθSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)-βnk#，其中Vj：=√τ（Zj-Zj公司-1） ，1≤ j≤ k、 是i.i.d.N（0，1）随机变量。请注意，Pj=1Vji定义为0。根据Mogulskii定理，参见例[10]，P（nPb·ncj=1（Vj+ρ√2β) ∈ ·) 满足L上的大偏差原则∞[0，1]对于良好的速率函数（29）I（g）=Z∧（g（x））dx，GBM和亚式期权平均值的渐近性7if g∈ AC[0，1]，即绝对连续且g（0）=0且i（g）=+∞ 否则，式中（30）∧（x）：=supθ∈Rnθx- 对数Eheθ（V+ρ√2β）io=x个-ρ√2β.设g（x）：=nPbxncj=1（Vj+ρ√2β). 然后，（31）Ze√2βg（x）dx=n-1Xk=0Zk+1nkne√2βg（x）dx=nn-1Xk=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β).此外，我们声称（32）g 7→Ze公司√2βg（x）dx是一个连续映射。设GN为L中的任意序列∞[0，1]以便gn→ g英寸L∞[0, 1]. 观察任何| x |≤.|前任- 1| =x+x2+x3！+···≤ |x |（1+| x |+| x |+····）≤ 2 | x |。（33）设n足够大，以便√2βkgn- gkL公司∞[0,1]≤. 因此，我们有Ze公司√2βgn（x）dx-Ze公司√2βg（x）dx=Ze公司√2βg（x）e√2β（gn（x）-g（x））- 1.dx公司≤ e√2βkgkL∞[0,1]Ze√2β（gn（x）-g（x））- 1.dx公司≤ 2p2βe√2βkgkL∞[0,1]kgn- gkL公司∞[0,1]收敛到0为n→ ∞. 因此，贴图是连续的。让我们回顾一下大偏差理论中的celebratedVaradhan引理，参见例[10]。如果P（Zn∈ ·) 用良好的速率函数I:X满足大偏差原则→ [0, +∞], 如果φ是连续映射且（34）limM→+∞lim支持→∞nlog Ehenφ（Zn）φ（Zn）≥Mi=-∞,thenlimn公司→∞nlog E[enφ（Zn）]=supx∈X{φ（X）- I（x）}。在我们的例子中，φ（g）=θSZe√2βg（x）dx是一个连续映射。

此外，对于θ≤ 0，φ（g）≤ 0，因此条件（34）是平凡满足的。因此我们可以应用Varadhan引理和get，limn→∞nlog E“EθSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β）#（35）=supg∈AC[0,1]（θSZe）√2βg（x）dx-Zg（x）-ρ√2βdx）。8 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu最后，注意e“eθSPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)#≤ E[EθnAn]（36）≤ E“EθSe-βnPn-1k=0e√2βnPkj=1（Vj+ρ√2β)#.因此，对于任何θ≤ 0，limn→∞nlog E[EθnAn]（37）=supg∈AC[0,1]（θSZe）√2βg（x）dx-Zg（x）-ρ√2βdx）。3.1. 变分问题的解。定理3中的变分问题可以重新表述为（38）limn→∞nlog Fn（θ）=λ(-θS，p2β；ρ） 其中λ（a，b；ρ）是变分问题（39）的解λ（a，b；ρ）=supg∈AC【0,1】-aZebg（x）dx-Zg（x）-ρbdx公司.这里我们有a，b>0。这个变分问题可以显式求解，其解由以下结果给出。提案4。函数λ（a，b；ρ）由两个表达式λ（a，b；ρ）=a中的一个给出1+新罕布什尔州δ1.-4ρδ+ρδ-2.- ρδsinhδ（40）+bρlogcosh公司δ+ρδsinhδ-ρb，或λ（a，b；ρ）=a1.- sinξ1 +ρξ-ρ4ξ+ρ - 22ξsin（2ξ）（41）+2ρblogcosξ+ρ2ξsinξ-ρb.In（40）δ是方程（42）ρ的解- δ=2abcosh公司δ+ρδsinhδ,in（41）ξ是唯一解ξ∈ 方程（43）的（0，ξmax）2ξ（4ξ+ρ）=ab（2ξcosξ+ρsinξ）。ξmax是方程tanξmax=-2ξ最大值/ρ。对于给定的（a>0，b，ρ），两个方程（42）和（43）中只有一个有解，因此变分问题的解是唯一的。GBM和亚式期权平均值的渐近性证明。证据将在附录中给出。让我们回顾一下limn→∞（r）-q） τn=ρ，在短期到期期限内→ 0在康斯坦特，q，我们得到ρ=0。因此，在考虑短期到期限制时，特殊情况ρ=0具有实际意义。对于这种情况，很明显只有（43）有一个>0的解，所以我们得到的结果更简单。推论5。