几何布朗的离散时间平均的渐近性

另一种方法是直接推导浮动走向亚洲期权的大偏差结果。然后，我们将利率函数与固定行使亚式期权的利率函数联系起来，并证明这与等价关系是一致的。我们得到了以下关于浮动走向亚洲期权的渐近结果。提案17。（i） 当κ<ρ（1- e-ρ） ，看涨期权不存在，（111）C（n）=e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞,看跌期权是货币，（112）P（n）=-κSe-rr（右后）-qρ+Se-rr（右后）-qρeρ-1ρ+e-rρr-qS（eρ-1） 2n+O（n-2) ρ 6= 0,(1 - κ） S+e-nH（0）+o（n）ρ=0。（ii）当κ>ρ（1- e-ρ） ，看跌期权不在货币范围内（113）P（n）=e-nH（0）+o（n），以n表示→ ∞,看涨期权是货币，（114）C（n）=κSe-rr（右后）-qρ- Se公司-rr（右后）-qρeρ-1ρ-e-rρr-qS（eρ-1） 2n+O（n-2） ρ6=0，S（κ- 1） +e-nH（0）+o（n）ρ=0。（i）和（ii）中的速率函数由（115）H（0）：=infg给出∈AC[0,1]，κe√2βg（1）-Re公司√2βg（y）dy=0Zg（x）-ρ√2βdx。（iii）当κ=ρ（1- e-ρ） ，看涨期权和看跌期权都是货币，（116）limn→∞√nC（n）=limn→∞√nP（n）=Se-rρr-qE[Z1Z≥0]，GBM和亚洲期权21平均值的渐近性，其中Z=N（0，s）是一个正态随机变量，平均值为0，方差（117）s=2βρ1.-ρ（eρ- 1） +e2ρ- 12ρ.证据证据类似于固定罢工案件。附录中将给出证明的草图。接下来，我们展示了速率函数H（0）可以简单地与（50）中定义的I（x）相关。回想一下，我们明确显示了各自速率函数H（·）和i（·）的ρ的依赖性。稍微滥用符号来强调对ρ的依赖，让H（·；ρ）：=H（·）和I（·；ρ）：=I（·）。我们得到了以下结果，这与等价关系（106）、（107）明显一致。提案18。固定走向和浮动走向亚洲期权的利率函数与（118）H（0；ρ）=I（κS；-ρ) .证据

H（0）和I（x）的变分问题中的泛函是相同的，唯一不同的是g（x）上的约束。这些约束可以如下所示。让我们用定义为g（x）=g（1）+H（1）的新函数H（x）表示H（0）变分问题中的g（x）- x） 。该函数满足约束h（0）=0。ratefunction现在由（119）H（0）：=infh给出∈AC[0,1]，κ-Re公司√2βh（y）dy=0Zh（x）+ρ√2βdx，很容易看出这个变分问题与速率函数I（x）的变分问题相同，确定K/S=κ和ρ→ -ρ. 这就是关系的证明（118）。隐含波动率和数值测试已经成为公认的市场惯例，可以根据其最大波动率来报价欧洲期权价格。这被定义为对数正态波动率的值，替代布莱克-斯科尔斯公式，再现市场期权价格。类似的正常隐含波动率可以用Bachelier公式定义。虽然亚洲期权在实践中是按价格报价的，而不是按隐含波动率报价的，但也可以方便地确定这些期权的等效隐含波动率。我们将行权为K且到期日为T的亚式期权的等效对数正态隐含波动率定义为波动率∑LN（K，T）的值，当替代为具有相同参数（K，T）C（K，S，T）=e的欧式期权的Black-Scholes公式时，该值再现了亚式期权价格-rT（A∞Φ（d）- KΦ（d）），（120）P（K，S，T）=e-rT（KΦ(-d）- A.∞Φ(-d） ，其中（121）A∞= Sρ（eρ- 1） =（r-q） T（e（r-q） T型- 1） ，和（122）d1,2=∑LN（K，T）√TlogA公司∞K±∑LN（K，T）T.22 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu以这种方式定义的等价对数正态波动率∑对于满足默顿界限（A∞-K）+≤ erTC（K、S、T）≤ A.∞[43].

最后，亚式期权的价格限定为（E[An]-K）+≤ erTC（K、S、T）≤ E[An]，其中E[An]=neρ-11-e-ρ/n，因此满足n的要求界限→ ∞.我们还可以定义亚式期权的正常等价波动率∑N（K，T），即当替代为Bachelier期权定价公式时，重现亚式期权价格的波动率。我们想研究第4节中得出的亚洲期权价格的渐近结果对等价对数正态波动率∑LN和等价正态波动率∑N的影响。这是由以下结果得出的。提案19。i） n中OTM亚式期权的渐近正态和对数正态等价隐含波动率→ ∞ 常数β=σtnn时的极限由Limn给出→∞∑LN（K，n）σ=对数（K/A∞)J（K/S，ρ），（123）limn→∞∑N（K，N）σ=（K- A.∞)J（K/S，ρ），（124），其中J（K/S，ρ）与（51）中的速率函数I（x）相关，由命题9给出。ii）n的等效对数正态隐含波动率→ ∞ 货币亚洲期权（125）limn→∞∑LN（A∞, n） σ=SA∞pv（ρ），等效正态隐含波动率的相应结果为（126）limn→∞∑N（A∞, n） σ=Spv（ρ）。证据附录中给出了证明。我们注意到in（123）σ隐含地依赖于n，因为极限取固定β。特别是，在固定到期制度τn=T固定时，我们有σ~ n-1/2使σ和∑LN（K）都接近0，作为n→ ∞, 以这样的方式，他们的比率接近一个有限的非零值。我们将使用该关系式将有限n近似为（127）∑LN（K，n）=σlog（K/A∞)J（K/S，ρ）。与∑N（K）类似。这些波动率可与（120）一起使用，以获得亚式期权价格的近似值。我们在表2中给出了从（120）中获得的Asianoptions的渐近近似值的数值结果，对于[20]中提出的一些情形。

它们与文献中考虑的几种替代方法进行了比较：Linetsky方法【33】、PDEmethods方法【19，50】、拉普拉斯变换反演【11，44】和对应于连续时间平均的对数正态近似【32】。渐近结果与频谱扩展[33]的精确结果的数值一致性非常好，相对值的差异始终低于0.5%。A更下界来自payoff（x）的凸性- K）+，上界从（x）开始- K）+≤ x、 GBM和亚洲期权平均值的渐近23表1。[20，33]等中考虑的亚洲期权定价的7个基准情景，q=0。方案r T SKσ1 0.02 1 2 0.12 0.18 1 2 2 0.33 0.0125 2 2 0.254 0.05 1 1.9 2 0.55 0.05 1 2 0.56 0.05 1 2.1 2 0.57 0.05 2 2 0.5近似测试比较了与选项Vega V的差异：近似结果的近似误差始终低于0.24V（与对数正态近似相比，其误差高达1.54V（对于方案7））。这比ATM点附近σ的典型精度要小，并且与亚洲期权的典型买卖价差相比，可以~ 1年至2年的到期日为1V。备注20。我们评论了渐近隐含波动率（123）与对数正态近似的关系[32]。对数正态近似值【32】对应于等效对数正态波动率∑（Levy）LN（T）。相比之下，（123）给出的渐近等价对数正态隐含波动率∑LN（K）对罢工具有非平凡的依赖性。

可以很容易地证明，对数正态隐含波动率在极限limσT内的ATM点复制了渐近等价隐含波动率→0，rT=ρ∑（Levy）LN（T）=∑LN（K=A∞).表2的结果表明，渐近结果是对数正态近似的改进。备注21。[20，33]的结果是使用连续时间平均法获得的，而我们的结果（123）是针对离散时间亚式期权得出的。然而，我们注意到，结果（123）不取决于时间步长τ的大小，因此它应该适用于任意滑动时间步长。其他地方[40]表明，类似于（123）的结果适用于连续时间亚洲期权在固定σ、r、q下的小到期限制，替代ρ=0。本文采用的限制程序，取n→ ∞ 在固定的β，ρ下，可以考虑短期到期扩展中对r，q的依赖性。为了解决小波动率和到期制度下渐近结果的性能问题，我们将我们的结果与[19]表4中的结果进行了比较。正如【44，20】所指出的，文献中提出的一些方法在模型参数的这些状态中存在数值问题。本测试考虑的情景对应于σ=0.01、S=100、r=0.05、q=0，以及表3所示的三种到期日和行权选择。出于空间经济的原因，我们仅在[19]的表4中给出了测试结果的一个子集，这表明与蒙特卡罗计算的结果最为一致。渐近结果与所示的替代方法非常一致。

我们注意到，渐近方法所需的计算时间非常好，因为它只需要解一个简单的非线性代数方程和对一个函数的求值。我们在表4中给出了与[50]表B中考虑的情景对应的离散抽样亚洲选项测试结果的比较。这些场景的参数r=0.1，q=0，σ=0.4，T=1，K=100。将结果与24 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 2进行比较。[20，33]等中考虑的7种情景下亚洲看涨期权的数值结果。FPP3：Foschi等人的三阶近似。[19] ，Vecer：来自【50】的PDE方法，MAE3：来自Dewynne和Shaw【11】的匹配渐近展开，Mellin500：Shaw【44】中基于Mellin变换的方法。最后一列显示了【33】中光谱展开的结果，LN列显示了对数正态近似的结果【32】。PZ列使用（120）给出了本文渐近结果的结果。方案FPP3 MAE3 Mellin500 Vecer PZ LN Linetsky1 0.055986 0.055986 0.056036 0.055986 0.055998 0.056054 0.0559862 0.218387 0.218369 0.218360 0.218388 0.218480 0.219829 0.2183873 0.172267 0.172263 0.172369 0.172269 0.172460 0.173490 0.1722694 0.193164 0.193188 0.192972 0.193174 0.193692 0.195379 0.1931745 0.246406 0.246382 0.246519 0.246416 0.246944 0.249791 0.2464166 0.306210 0.306139 0.3064970.306220 0.306744 0.310646 0.3062207 0.350040.349909 0.348926 0.350095 0.351517 0.359204 0.350095表3。小波动率下亚洲看涨期权的测试结果σ=0.01，S=100，r=0.05，q=0。FPP3列显示了Foschi等人[19]中的三阶近似值。MAE3列显示了使用Dewynne和Shaw的匹配渐近展开式得出的结果【11】。Mellin500列显示了Haw中基于Mellin变换的方法的结果【44】。

PZ列显示了本文的渐近结果。T K PZ FPP3 MAE3 Mellin5000.25 99 1.60739 1.60739×101.60739×101.51718×100.25 100 0.621359 6.21359×10-16.21359 × 10-16.96855 × 10-10.25 101 0.0137615 1.37618 × 10-21.37615 × 10-21.60361 × 10-21.00 97 5.2719 5.27190 × 105.27190 × 105.27474 × 101.00 100 2.41821 2.41821 × 102.41821 × 102.43303 × 101.00 103 0.0724339 7.26910 × 10-27.24337 × 10-28.50816 × 10-25.00 80 26.1756 2.61756 × 102.61756 × 102.61756 × 105.00 100 10.5996 1.05996 × 101.05996 × 101.05993 × 105.00 120 5.8331 · 10-62.06699 × 10-55.73317 × 10-61.42235 × 10-3在【50、45、9】中获得的软管。渐近结果与其他方法一致，相对误差在1%~1.5%之间。最后，为了测试等效对数正态隐含波动率的渐近关系（123），我们在图2中显示了通过数值模拟获得的几个亚洲期权的等效对数正态隐含波动率（黑点）。这些结果是通过参数σ=0.2、r=q=0、τ=0.01、（128）和n=50、100、200平均日期的亚式期权蒙特卡罗定价获得的。蒙特卡罗计算使用NMC=10个样本。考虑的打击覆盖ATM点K=S周围的区域；GBM和亚洲期权平均值的数值精度渐近25表4。

与[50，45，9]的结果相比，在[50]的表B中考虑的情景下，离散抽样亚洲看涨期权的渐近结果。S=95 S=100 S=105Vecern=250 8.4001 11.1600 14.3073n=500 8.3826 11.1416 14.2881n=1000 8.3741 11.1322 14.2786∞ 8.3661 11.1233 14.2696Tavella-Randalln=250 8.3972 11.1573 14.3054n=500 8.3804 11.1392 14.2866n=1000 8.3719 11.1300 14.2771∞ 8.3640 11.1215 14.2681货币=250 8.3972 11.1572 14.3048n=500 8.3801 11.1388 14.2857n=1000 8.3715 11.1296 14.2762∞ - - -PZ 8.3789 11.1362 14.2818模拟值在该区域外迅速下降。我们注意到，即使对于低至50的n，也与命题19的渐近结果非常一致。致谢我们感谢匿名推荐人和编辑的宝贵意见和建议。D、 P.感谢Dyutiman Das和Roussen Roussev就金融实践中的亚洲期权进行了有益的讨论。五十、 Z.部分由NSF GrantDMS-1613164.7支持。附录命题4的证明。通过引入函数f（x）=bg（x）作为（129）λ（a，b；ρ）=bsupf，方程（39）中出现的变分问题可以等价地写成∈AC【0,1】-abZef（x）dx-Zf（x）- ρdx公司.这个变分问题中出现的泛函∧[f]可以重写为∧[f]=-abZdxef（x）-Zf（x）- ρdx（130）=-abZef（x）dx-Z[f（x）]dx+f（1）ρ-ρ.在第二行中，我们通过零件和wroteRf（x）dx=f（1）进行积分，其中我们考虑了约束f（0）=0。虽然在命题4中，我们有a>0，但第4节中的变量26 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu问题也需要负a的情况。

因此，我们将在此处理正a和负a的两种情况。最优函数f（x）满足欧拉-拉格朗日方程（131）f（x）=abef（x），边界条件（132）f（0）=0，f（1）=ρ。第二个边界条件（x=1）是横截性条件。我们观察到数量（133）E=-abef（x）+[f（x）]=-abef（1）+ρ是微分方程（131）的运动常数。通过取x=1并使用边界条件（132），其值以f（1）表示。取此关系对x的积分：（0，1）可用于消除函数∧[f]中[f（x）]的积分。这可以用∧[f]=-2abZef（x）dx+abef（1）+f（1）ρ- ρ.（134）Euler-Lagrange方程（131）可以精确求解。该方程的两个独立解aref（x）=δx- 2个日志eδx+γ1+γ,（135）f（x）=-2 log | cos（ξx+η）|+2 log | cosη|。（136）【26】中给出了第一个解决方案，其中一个相关的微分方程出现在亚洲期权蒙特卡罗定价的最优抽样中。通过直接代入（131）很容易看出，这些函数满足这个方程，在x=0时有适当的边界条件。

要求满足该方程中的系数和边界条件f（1）=ρ，给出了两个条件。对于f（x），我们有条件2γδ=-ab（1+γ），Δγ- eδγ+eδ=ρ。（137）将这两个方程之间的γ消除为γ=δ+ρδ-ρeδ给出了δ的方程：（138）δ- ρ= -2abcosh公司δ+ρδsinhδ.对于f（x），我们得到了条件2ξ=abcosη，2ξtan（ξ+η）=ρ。（139）第二个关系式允许将η消去为（140）tanη=ρ- ξtanξ+ρtanξ。我们得到了ξ（141）2ξ（4ξ+ρ）=ab（2ξcosξ+ρsinξ）的方程。GBM和亚洲期权平均值的渐近性270.25 0.5 0.7511.251.5 1.7520.060.080.10.120.140K/S∑0BST=0.5（K，T）0.25 0.5 0.7511.251.5 1.7520.060.080.10.120.140K/S∑0BST=1（K，T）0.51 1.520.060.080.10.120.140K/S∑0BST=2（K，T）图2。（123）给出的Black-Scholes模型中亚洲期权的等价对数正态波动率∑LN（K，S）（黑色曲线）。红线是√σ和对应于ATM等效波动率。点显示了对数正态当量波动率，该波动率是通过对到期日T=0.5、1、2的亚洲期权进行蒙特卡罗定价获得的。BS模型参数R=q=0，σ=0.2。