希尔伯特变换、谱滤波器与期权定价

需要在较低屏障下进行监测的PDF函数isebp（ξ，q）=Pl+（ξ，q）Φ+（ξ，q），（20），对应于（Fusai et al，2016，Eq.（14））。对于双屏障选项，程序更为复杂，因为辅助功能SEBP+（ξ，q）和BP-（ξ，q）为非零。参考Fusai等人（2016）的注释，[1/Φ-（ξ，q）]l+=[e-ilξ/Φ-（ξ，q）]+，由于位移。希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价7我们通过减去障碍上方和下方不需要的部分来计算所需PDF的傅立叶-z变换，即ebp（ξ，q）=1-Jl公司-（ξ，q）-Ju+（ξ，q）Φ（ξ，q）（21），对应于（Fusai et al，2016，Eq.（16））。然而，计算Ju+（ξ，q）需要了解Jl-（ξ，q），反之亦然。事实上，它们通过以下耦合方程联系在一起，迄今为止，这些方程仅通过迭代方法求解：Jl-（ξ，q）Φ-（ξ，q）=1.-Ju+（ξ，q）Φ-（ξ，q）l-, （22）Ju+（ξ，q）Φ+（ξ，q）=1.-Jl公司-（ξ，q）Φ+（ξ，q）u+。（23）2.4数值方法上一节中的方法进行了分析描述。然而，由于它们涉及一些无法以闭合形式求解的表达式，它们的实现需要使用数值近似技术，我们将在下面讨论这些技术。2.4.1离散傅立叶变换和光谱滤波等式中的正向和反向傅立叶变换。（1） 和（2）是一个内点域上的积分，为了进行数值计算，需要使用离散傅立叶变换（DFT）对其进行近似。DFT不是在x和ξ值的有限和连续范围内定义的，而是在x和ξ域中大小为M的网格上定义的。对于我们的方案，x和ξ网格均以零为中心，并根据x域xmax中的最大值定义。步长为x=2xmax/M，x域网格定义为xj=jx、 j=-M-M+1，M-1.

（24）然后根据Nyquist关系通过获得步长计算ξ域中的点ξ=π/xmax和范围ξmax=π/x表示ξ域网格为ξk=k ξ，k=-M-M+1，M-1.（25）离散傅里叶变换是指BFM，x（ξk）=xM/2-1.∑j=-M/2f（xj）eixjξk，（26）fM，ξ（xj）=ξ2πM/2-1.∑k级=-M/2bf（ξk）e-ixjξk.（27）在实践中，我们基于Frigo和Johnson（1998）的FFTW库，使用内置的MATLAB FFT函数进行计算。可以在等式中看到。（26）和（27）我们计算Fourier变换的范围被截断，因此我们必须考虑吉布斯现象对错误的影响8 Phelan等人-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6x00.20.40.60.81fM，（x）M=6M=8M=10-1-0.5 0.5 1x-0.6-0.4-0.200.20.40.6fM，（x）-f（x）M=6M=8M=10Fig。1 Gibbs现象对矩形脉冲的影响的图示，将网格大小为M的逆FFT应用于sinc（ξ/2π）。近似函数显示在左侧，误差与分析矩形脉冲有关，显示在右侧。随着M的增加，不连续处的峰值误差保持不变，远离不连续处的误差减小，振荡频率增加。汇聚这描述了等式（27）中的有限和收敛到对应于有限和的分析函数f（x）的方式。休伊特和休伊特（1979）对这一效应提供了全面的指导，威尔布拉姆（1848）首次观察到这一效应，吉布斯（18981899）随后对此进行了描述。如图1所示，其中显示了fM，ξ（x）对于矩形脉冲，随着M值的增加而变化。误差在不连续f（xd）处达到峰值，并远离它振荡，振幅随与不连续的距离而减小。

不连续fM处恢复函数的值，ξ（xd），其中| xd |=0.5，将是不连续前后值的平均值，即fM，ξ（xd）=[f（x+d）+f（x-d） ，因此即使M的值增加，也保持不变。相反，从图1可以看出，随着M值的增加，振荡频率增加，振幅减小。然而，对于本文的工作来说，吉布斯现象最重要的方面是函数在傅里叶域中的形状与其在状态空间中的形状之间的关系。根据Boyd（2001）（参见Ruijter et al，2015）所述的“部件系数界限整合”，如果功能平滑到并包括其（k-2） TH导数，且其KTH导数是可积的，则傅里叶系数减小为O（1/ξk）。图2显示了标准正态分布的傅立叶变换和标准正态分布的傅立叶变换乘以步长x=-1.5.许多针对吉布斯现象提出的解决方案计算量太大，无法用于我们的应用，如Tadmor andTanner（2005）和Tadmor（2007）提出的自适应滤波和molli fiers。此外，如第3节所述，我们的误差分析特别关注傅里叶域中函数的形状。因此，我们采用Ruijter等人（2015）的方法，使用简单的光谱滤波技术，该技术通过傅立叶域中的逐点乘法应用，因此可以直接塑造函数，同时只增加很少的计算量。在Vandeven（1991）、Gottlieb和Shu（1997）的论文中，p阶过滤器被定义为η上支持的函数σ（η）∈ [-1,1]具有以下性质：a）σ（0）=1，σ（l）（0）=0b）σ（η）=0，对于η|=1c）σ（η）∈内容提供商-1.

（28）希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价9图。2吉布斯现象对标准正态分布的傅里叶变换影响的图示。可以看出，在函数中引入一个阶跃，可以将傅里叶变换的衰减从指数变为O（1/ξ）；这里H（x）表示Heaviside阶跃函数。在我们的应用中，标度变量η与ξ相关，即η=ξ/ξmax。本文研究了两个过滤器的使用。Gottlieb和Shu（1997）描述的指数滤波器的形式为σ（η）=e-θηp，（29），其中p是偶数且正的。这并不严格符合公式（28）中的标准b，因为当|η|=1时，它不会精确归零。然而，如果我们选择θ<εlog 10，其中10-ε是机器精度，则过滤器系数在要求的计算精度范围内。指数滤波器的一个优点是其形式简单，滤波器的阶数等于直接输入滤波器方程的参数p。我们在此研究的另一个过滤器是普朗克锥（McKechan et al，2010），它被分段定义为σ（η）=0, η ≤ η, η= -1，ez（η）+1，z（η）=η-ηη-η+η-ηη-η, η< η < η, η= ε -1,1, η≤ η ≤ η, η= 1 -ε、 ez（η）+1，z（η）=η-ηη-η+η-ηη-η, η< η < η, η= 1,0, η ≥ η。（30）ε的值给出了用于斜坡区域的η范围的比例。在这些区域之外，其值完全为1。这与指数滤波器形成对比，指数滤波器对η6=0的任何值都会引入一些失真，尽管失真通常很小。此外，普朗克锥度具有显著的特性，即对于所有ε>0的值，σ（η，ε）∈C∞所以普朗克锥的阶数是∞. 然而，很明显，ε的不同值给出了不同的滤波器形状，因此滤波器的阶数不能单独作为性能的预测因子。

这两种过滤器的示例如图3.10 Phelan等人所示。1-0.5 0 0.5 110-2010-1510-1010-5100（；）普朗克锥度=0.1=0.3=0.5-1-0.5 0.5 110-2010-1510-1010-5100（；p）指数滤波器p=4p=6p=8p=12图。3具有不同参数值的指数滤波器（左）和普朗克锥（右）的形状。2.4.2希尔伯特变换函数bf（ξ）的希尔伯特变换计算可通过逆/前向傅里叶变换对和符号函数H的乘法实现bf（ξ）= -i外汇→ξsgn（x）F-1ξ→xbf（ξ）. （31）然而，这给出了随网格点数量M多项式递减的误差收敛。为了获得指数误差收敛，Feng和Linetsky（2008）以及Fusai et al（2016）使用Stenger（1993、2011）全面研究的sinc扩展技术实现了希尔伯特变换。Stenger证明，给定在包括实轴在内的整个平面上解析的函数bf（ξ），函数及其希尔伯特变换可以表示为bf（ξ）=+∞∑k级=-∞bf（k ξ）sin（π（ξ-k ξ )/ξ )π(ξ -k ξ )/ξ、 （32）小时bf（ξ）=+∞∑k级=-∞bf（k ξ )1 -cos（π（ξ-kξ )/ξ )π(ξ -k ξ )/ξ、 （33）其中ξ是傅里叶域中的网格步长。Stenger（1993）还表明，当函数bf（ξ）在包括实轴在内的复平面条带中解析时，方程中的表达式。（32）和（33）是近似值，其误差按指数衰减为ξ减小。除了离散化之外，公式（33）中的有限和也必须截断为网格大小M，以便希尔伯特变换的离散近似变得bf（ξ）≈+米/2∑k级=-M/2bf（k ξ )1 -cos（π（ξ-kξ )/ξ )π(ξ -k ξ )/ξ.

（34）Feng和Linetsky（2008，2009）表明，ifbf（ξ）至少以指数形式衰减为ξ→ ∞,i、 e.bf（ξ）≤κexp(-c |ξ|ν），则Hilbert变换中的误差和公式（33）中截断有限和引起的Plemelj-Sokhotskirelations中的误差也是指数有界的。此外，Feng和Linetsky证明了ifbf（ξ）是多项式有界的ξ→ ∞,i、 e.bf（ξ）≤ c |ξ|ν，则截断序列所导致的误差不再是指数边界（Feng和Linetsky，2008，2009）。Hilbert变换、频谱滤波器和期权定价112.4.3定价方法：具有Spitzer识别的单障碍期权Fusai等人（2016）设计并深入解释了两种定价方法，我们对其进行了修改，以减少离散Hilbert变换的误差。我们研究的第一种方法是单障碍期权的定价程序。在不丧失一般性的情况下，我们只考虑了穷困潦倒的情况；我们提出的修改同样适用于其他类型的单屏障选项。这里简要描述了该方法，以便为改进收敛性所做的更改提供背景。1、将日期数设置为N-2以便特征函数作为方案中第一个和最后一个日期的平滑函数。2、计算特征函数ψ（ξ+iα），t） ，其中α是第2.1.3节中使用的阻尼系数。使用Plemelj-Sokhotski关系和sinc方法分解Φ（ξ，q）：=1-qψ（ξ+iα，t） =Φ+（ξ，q）Φ-（ξ，q）（35），其中q根据阿巴特和惠特（1992b）规定的反向z变换标准选择。分解ep（ξ，q）：=ψ（ξ+iα，t） /Φ-（ξ，q）=Pl+（ξ，q）+Pl-（ξ，q）（36）和calculateF（ξ，q）：=bφ*（ξ）ψ（ξ+iα），t） Pl+（ξ，q）Φ+（ξ，q）。(37)5. 计算价格V（0，N）：=e-rTF公司-1ξ→x=0Z-1季度→n=n-2[F（ξ，q）]。

（38）斯皮策恒等式给出了特征函数的z变换，因此逆z变换z-1季度→必须应用n[ef（q）]。使用的方法由阿巴特和惠特（1992a，b）设计，并近似于逆z变换byf（tn）≈男ρnmE∑j=0mEj公司bnE+j，（39），其中bk=ef（ρ）+k∑j=1(-1） jReef公司ρeπjin. （40）NEA和MEA的参数选择要足够大，以达到足够的精度，并且要足够小，以便nE+mEn、 测试表明，选择nE=12和mE=20可提供良好的准确性。这使得nE+mE=32，远远小于大多数期权合同中规定的日期数。参数ρ控制反向z变换的精度；为了达到10的精度-2γ，必须设置ρ=10-γ/n（Abateand Whitt，1992b）。这会导致ρ值非常小，因此在实践中发现，最佳可实现性能约为10-12γ=6。然而，这对于实际目的和显示是否实现了指数收敛来说是非常低的。Fusai et al（2016）表明，该方法可以在广泛的L'evy过程中实现指数收敛。然而，对于VG过程，该方法仅实现了12 Phelan等人的多项式收敛。如上文第2.4.2节所述，这与VG过程中离散希尔伯特变换的错误行为一致。第3节更详细地解释了使用此过程时误差收敛是如何有界的。为了改善结果，我们将特征函数乘以频谱滤波器σ（η），使分解和分解步骤的输入均呈指数衰减。等式中的表达式。（35）和（36）替换为Φ（ξ，q）：=1-qψ（ξ+iα，t） σ（ξ/ξmax）=Φ+（ξ，q）Φ-（ξ，q），（41）P（ξ，q）：=ψ（ξ+iα，t） σ（ξ/ξmax）Φ-（ξ，q）=Pl+（ξ，q）+Pl-（ξ，q）。

（42）2.4.4定价方法：具有Spitzer识别的双障碍期权Fusai et al（2016）的第二种方法是我们在本文中研究的双障碍期权定价程序。这与第2.4.3节中所述的单个屏障选项的方法非常相似，因为它使用维纳-霍普夫分解和分解来计算适当的斯皮策恒等式。然而，这种情况下的主要区别在于方程无法直接求解，因此需要使用定点算法。双障碍期权定价程序中的步骤与第2.4.3节中描述的单障碍向下和向外期权的步骤相同，但步骤4除外，该步骤现在被以下定点算法所取代：4。（a） 设置Ju+（ξ，q）=Jl-（ξ，q）=0。（b） 分解ep（ξ，q）：=ψ（ξ+iα，t）-Ju+（ξ，q）Φ-（ξ，q）=Pl+（ξ，q）+Pl-（ξ，q）（43）并设置Jl-（ξ，q）：=Pl-（ξ，q）Φ-（ξ，q）。（c） DecomposeQ（ξ，q）：=ψ（ξ+iα，t）-Jl公司-（ξ，q）Φ+（ξ，q）=Qu+（ξ，q）+Qu-（ξ，q）（44）并设置Ju+（ξ，q）：=Qu+（ξ，q）Φ+（ξ，q）。（d） CalculateF（ξ，q）：=bφ*（ξ）ψ（ξ+iα），t） Φ（ξ，q）[ψ（ξ+iα，q）-Jl公司-（ξ，q）-Ju+（ξ，q）]。（45）（e）如果新值和旧值F（ξ，q）之间的差值小于预定公差或迭代次数大于某个值，例如5，则使用公式（38）计算价格，否则返回步骤（b）。与第2.4.3节中描述的单障碍选项的直接方法不同，该迭代方法仅限于所有过程的多项式误差收敛。在第3节中，我们说明这是由于吉布斯现象造成的。为了提高误差收敛性，我们在定点算法的每个分解步骤的输入上放置了一个滤波器σ（η）。式中P（ξ，q）和q（ξ，q）的计算。

（43）和（44）替换为p（ξ，q）：=σξξ最大值ψ（ξ+iα，t）-Ju+（ξ，q）Φ-（ξ，q）, （46）Q（ξ，Q）：=σξξ最大值ψ（ξ+iα，t）-Jl公司-（ξ，q）Φ+（ξ，q）. （47）希尔伯特变换、谱滤波器和期权定价13还必须注意的是，这种变化只是为了对具有指数衰减特征函数的双屏障方法进行重大改进。对于多项式衰减特征函数，如VG过程的特征函数，该方法也将受到第3.1节中所述的单屏障选项的精度限制。因此，如果我们希望在VGP过程中使用该方案，我们还必须对因子分解步骤进行过滤，如公式（41）所示。2.4.5定价方法：Feng和Linetsky我们研究的第三种定价方法是Feng和Linetsky（2008）发布的递归定价方法，并在第2.2节中进行了解释，以说明通过在基于sinc的希尔伯特变换中添加频谱滤波而获得的改进。总的来说，FL方法在单屏障和双屏障选项上都取得了优异的结果（Feng和Linetsky，2008；Fusai等人，2016）；误差随网格大小呈指数收敛，对于相当小的网格大小，误差达到机器精度。然而，对于FGM模型，其缺点是计算时间随监测日期的数量线性增加。与单障碍选项的FGM方法类似，仅当特征函数以指数形式减小为ξ时，才能实现指数误差收敛→ ∞. 因此，VG过程的误差收敛性较差，它具有一个只将多项式减少为ξ的非特征函数→ ∞. Feng和Linetsky（2008）对此进行了详细解释，说明了这与离散希尔伯特变换的截断误差之间的关系。

为了改善结果，我们改变了FL方法，在希尔伯特变换的输入上放置了一个滤波器，以确保其呈指数衰减。我们更换了EQ。（14） 和（15）bybv（ξ，tn-1) =σξξ最大值ψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）+eilξiHe-ilξσξξ最大值ψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）, （48）bv（ξ，tn-1) =eilξiHe-ilξσξξ最大值ψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）-eiuξiHe-iuξσξξ最大值ψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）. （49）3定价过程的误差收敛在本节中，我们为不同计算的误差收敛提供了新的界限，这些计算构成了没有频谱滤波器的原始定价过程，并显示了各个步骤的界限。在此过程中，将检查过程中每个步骤对傅里叶域中输出函数形状的影响，因为这在很大程度上决定了后续步骤的误差收敛性。在FGM和FL定价方法中，特征函数的计算直接在傅立叶域中进行，因此没有与此计算相关的数值误差。我们所考虑的所有L'evy过程都具有指数衰减为ξ的特征函数→ ∞, 除VG过程外，其中特征函数多项式衰减且以|ξ为界|-2.t/ν。计算中省略了阻尼系数α，以使符号更加简洁14 Phelan等人。这是适当的，因为iα的值变得不重要，如|ξ|→ ∞. 在下面的误差计算中，n=1,2,3。。。作为正常数包含。3.1使用斯皮策识别法通过VG过程定价单障碍期权在计算特征函数后，定价过程的下一步是Φ（ξ，q）=[1的因式分解-qψ（ξ，t） ，这意味着我们需要将离散希尔伯特变换应用于logΦ（ξ，q）=log[1-qψ（ξ，t） 】。