希尔伯特变换、谱滤波器与期权定价

除VG过程外，as |ξ|→ ∞, qψ（ξ，t）~ 量化宽松-tξ迅速变小。Thuswe可以说为|ξ|→ ∞, |日志[1-qψ（ξ，t） ]|<ce-κtξ具有c，κ正常数。因此，从Stenger（1993）和Feng and Linetsky（2008）证明的基于sinc的希尔伯特变换的误差界来看，对数Φ（ξ，q）分解的输出对于指数衰减的特征函数具有指数误差收敛性。对于VG过程，特征函数为ψ（ξ，t）=1.-iνθξ+νξσ-t/ν。（50）ξ时→ ∞ 然后ψ（ξ，t） 由ξ控制-2.t/ν，so | log[1-qψ（ξ，t） ]|<cξ-2.t/ν。因此，我们可以从log的分解中限制截断误差[1-qψ（ξ，t） 】。Feng和Linetsky（2008）表明，将基于sinc的Hilbert变换应用于衰减为cξ的函数的截断误差|-2.t/ν以2cν2为界t型-ν（Mξ )-(2t/ν-1） ，其中对t>ν/2。我们表明，如果我们考虑离散希尔伯特变换的形式以及特征函数正负尾部之间的相似性，可以定义更紧的界限，并且可以放松对参数的限制。定义fξ（ξ）为式（33）和式（f）中单位的输出ξ，M（ξ）为公式（34）中截断和的输出，| fξ(ξ ) - fξ，M（ξ）|<cξ∑k> 米/2（k ξ )-2.t/ν1.-cos公司πξ -k ξξξ -k ξ+∑k级<-米/2（k ξ )-2.t/ν1.-cos公司πξ -k ξξξ -k ξ<cξ∑k> 米/2（k ξ )-2.t/ν1.-cos公司πξ -k ξξξ -k ξ+1 -cos公司πξ+k ξξξ+k ξ<cξ∑k> 米/2（k ξ )-2.t/νξ -k ξ+ξ+k ξ<cξ∑k> 米/2（k ξ )-2.t/νξ-（k）ξ）|<cξ∑k> 米/2（k ξ )-2.t/ν（k ξ）<cZ+∞Mξ /2ξ-(2tν+2）kdξk<c（Mξ )-(2tν+1）。（51）希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价15-2000-1500-1000-500 0 500 1000 1500 2000 10-1510-1010-5100函数的模log（，q）[log（，q）]-1/-（，q）图。

4Φ（ξ，q）=1因式分解的输入和输出函数-qψ（ξ，t） Q=ρ的Kou过程。该图显示了分解如何改变函数的衰减。这两个余弦相等，因为它们的参数之差为2kπ。为了使积分收敛，我们必须有2t/ν+2>1，这是所有可能的工艺参数的情况。当此分解的输出被指数化以获得分解结果时，误差将有界为ef公司ξ(ξ )-ef公司ξ，M（ξ）efξ(ξ )< c1.-ec（Mξ )-(2tν+1）. （52）对于大M，其收敛为OM-(2t/ν+1）; 因此，因式分解的误差收敛是多项式的。公式（51）中的表达式给出了ξ固定值的误差，即网格点；因此，ξ可以被吸收到cand c中。此外，在最终价格计算中，斯皮策恒等式乘以收益和特征函数，两者都会随着ξ的增加而衰减，因此，接近ξ=0的误差对解的最终误差影响最大。然而，随着M的增大，ξ的范围增大，因此我们应该考虑ξ值较大时的误差对计算中下一步误差的影响。如下所述，我们用特征函数乘以后续希尔伯特变换的输入，如果网格点的数量从M增加*到M，其中M* M、 然后，这些点的附加误差以cm为界∑j=M*j ξM-（4）t/ν+1）ξ- jξ<厘米∑j=M*M-（4）t/ν+1）<厘米-（4）t/ν）。（53）根据VG过程的参数，其下降速度比原始界限快或慢，如果我们根据Feng和Linetsky（2008）2的要求选择参数t/ν>1，然后OM-(2t/ν+1）将占据主导地位。

然而，无论参数选择如何，误差均以多项式形式收敛于M。将因子分解的输出乘以特征函数的要求是由于其在傅立叶域中的形状，因为这将影响后续步骤的误差收敛。图4显示，函数fl在|ξ|的高值处衰减，并逐渐接近1。因此，如果我们在分解步骤中直接向希尔伯特变换输入Φ±（ξ，q），那么我们将无法使用Feng和Linetsky对指数有界函数的误差限制来限制截断误差。16 Phelan等人。然而，女性生殖器切割定价方案中没有最后的日期。这意味着我们将要分解的函数乘以特征函数。在指数衰减特征函数的情况下，对于ξ的高值，这恢复了函数的指数衰减，这再次意味着离散希尔伯特变换的截断误差是指数有界的。然而，如果使用VG过程，则分解的输入仅为多项式衰减，因此我们在此阶段再次具有多项式误差收敛性。3.2具有未过滤Spitzer识别的双障碍期权双障碍期权的原始定价程序显示了所有过程的多项式收敛性，即使是特征函数呈指数衰减的过程。单障碍期权和双障碍期权定价程序的主要区别在于固定点算法的存在，在本节中，我们将说明这是如何导致多项式误差收敛的。如第3.1节所示，对于指数衰减的特征函数，因式分解具有指数误差收敛性。

此外，我们将固定点算法的输入乘以特征函数，这意味着其指数有界为|ξ|→∞. 如果定点算法第一次迭代的输入函数是指数有界的，则初始分解的输出误差是指数有界的。然而，分解操作相当于将x域中的函数乘以1R+（x）或1R-（x） ，这将引入输出函数的跳转。由于吉布斯现象，这意味着分解的输出函数衰减为O（1/ξ）as |ξ|→∞. 这样做的结果是，固定点算法第二次迭代的输入函数不再是指数有界的，因此，根据Stenger（1993）和Feng and Linetsky（2008），公式（33）中有限和的截断得出公式（34）的误差不再是指数有界的。此错误的界限为| fξ(ξ ) - fξ，M（ξ）|<cξ∑k> 米/2（k ξ）<cZ+∞Mξ/2ξkdξk<cMξ. （54）因此，使用具有多个迭代的定点算法意味着误差不再是指数有界的。等式（54）中所示的界限为O（1/M）。然而，定价过程的误差实际上衰减为O（1/M）；这种更好的性能可能是由于傅里叶系数的交替性质。3.3采用VG流程的Feng和Linetsky定价方法方程式中描述了FL方法。（14） 和（15），其中显示了如何将希尔伯特变换应用于每个监测日期。如第3.2节所述，希尔伯特变换的应用在对数价格域的函数中引入了不连续性，因此希尔伯特变换输出的傅立叶系数将衰减为O（1/ξ）为|ξ|→ ∞.

然而，在对下一个监测数据应用希尔伯特变换之前，傅里叶域函数将乘以基础过程的特征函数。因此，正如Feng和Linetsky（2008）所解释的，如果特征函数希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价17呈指数衰减，这将导致指数收敛误差。然而，对于多项式衰减的特征函数，如VG过程的特征函数，则会产生非多项式收敛误差。3.4基于sinc的希尔伯特变换滤波的误差收敛指数衰减系数为ξ的滤波器乘法→ ∞ 给出了基于sinc的离散Hilbert变换与非截断形式相比的指数收敛截断误差。然而，过滤在一定程度上扭曲了功能。第4节显示了更新方法的数值结果，并将使用过滤版本计算的价格与使用最大网格大小的未过滤FL方法计算的价格进行了比较，以确认任何失真误差都不如误差收敛的改善显著。由于错误受到这两种相反影响的影响，我们没有试图设计一个紧密的错误界限，以与实践中取得的性能改善紧密匹配。在有关吉布斯现象的文献中经常看到，经验结果超过了计算的误差范围。例如，Ruijter等人（2015）认为，他们看到的更快的收敛可能是由于傅里叶系数的交替性质。4数值结果我们使用更新的定价方案进行了数值测试，以包括过滤，如第2节所述。

第4.1节给出了具有指数衰减特征函数的双势垒选项FGM方法的结果。第4.2节包含VG过程中所有方法的结果。合同和模型参数的详细信息见附录A中的表4。数值结果是在2015 Retina MacBook Pro2.7GHz Intel Core i5处理器和8GB RAM上，使用在OS X Yosemite下运行的MATLAB R2016b获得的。4.1指数衰减特征函数的结果我们给出了第2.4.4节所述定点算法中包含过滤的双屏障选项FGM方法的结果。我们检查了N=4、52和252的Kou和NIG过程的性能。52和252的值代表一年内每周和每天的监测。给出了N=4的结果，以显示该方法在监测日期很少的情况下的性能。图5显示了Kou过程的结果，图6显示了NIG过程的结果。原始的FL和FGM方法被标记为“FL”和“FGM”。对于指数过滤器的结果，带有过滤的FGM方法标记为“FGM-E，p=顺序”，对于Plancktaper的结果，标记为“FGM-p，ε=参数”。比较所有方法的结果，我们发现FL方法相对于网格大小的误差收敛性最好。这是由于FGM方法的误差受到逆z变换性能的限制。与过滤后的FGM方法相比，指数过滤器的结果更好，但普朗克锥度对过滤器形状的变化不太敏感。

使用p=12阶指数滤波器可获得最佳结果。本文附带的在线补充材料证明了定价算法对参数变化的鲁棒性。18 Phelan等人的表1和表2给出了一系列日期的迭代次数和计算时间。结果表明，随着日期数量的增加，迭代次数和计算时间要么不增加，要么最小程度地增加，因此证实了计算时间与监控日期的数量无关。图5和图6显示了数值技术的收敛性如何随网格大小而变化，图7和图8显示了收敛行为如何与12阶指数滤波器的计算时间相对应。如图5和图6所示，由于计算精度的提高，FGM方法中加入过滤器与未过滤方法相比有很大的改进。然而，这也改进了算法的计算能力，因为它现在在比原始FGM方法更少的迭代次数内达到了所需的精度。尽管有了这一改进，但对于较少的监测日期，FL方法表现出了最佳的性能。然而，对于252个监测日期，如果误差大于10，过滤后的FGM方法与FL方法的性能大致相同-10；对于更多的日期，过滤后的FGM方法对于大于10的错误显示出最佳性能-10、在FL方法中加入滤波器会产生一个绝对误差收敛性稍差但仍保持指数收敛的结果，见图7和图8。

我们可以将此与第3.4节中的错误讨论联系起来：滤波器会导致轻微失真，从而降低绝对误差收敛，但由于未经滤波的方法已经达到指数收敛，因此收敛速度没有改善。102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=4FLFGMFGM-E，p=4FGM-E，p=6FGM-E，p=12102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=52FLFGMFGM-E，p=4FGM-E，p=6FGM-E，p=12102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=252FLFGMFGM-E，p=4FGM-E，p=6FGM-E，p=12102104M10-1510-1010-1015 0-5100105价格绝对误差n=4FLFGMFGM-p，=0.1FGM-p，=0.3FGM-p，=0.5102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=52FLFGMFGM-P，=0.1FGM-P，=0.3FGM-P，=0.5102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=252FLFGMFGM-P，=0.1FGM-P，=0.3FGM-P，=0.5图。5 Kou过程的误差与网格大小M以及不同数量的监测日期N。该过滤器将FGM方法的收敛性从多项式提高到指数。使用p=12阶指数滤波器可获得最佳结果。希尔伯特变换、频谱滤波器和期权定价19102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=4FLFGMFGM-P、=0.1FGM-P、=0.3FGM-P、=0.5102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=52FLFGMFGM-P、=0.1FGM-P、=0.3FGM-P、=0.5101102104105M10-1510-5100105价格绝对误差n=252FLFGMFGM-P、=0.1FGM-P，=0.3FGM-P，=0.5102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=4FLFGMFGM-E，p=4FGM-E，p=6FGM-E，p=12102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=52FLFGMFGM-E，p=4FGM-E，p=6FGM-E，p=12102104M10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=252FLFGMFGM-E，p=4FGM-E，p=6FGM-E，p=12图。6 NIG过程中误差与网格大小M的关系，以及不同数量的监测日期N。

该滤波器提高了FGM方法从多项式到指数的收敛性。使用p=12阶指数滤波器可获得最佳结果。日期容差M平均迭代次数价格错误CPU时间4 E-8 1024 2.000 0.00721968941 4.12E-14 5.63E-0352 E-8 1024 2.000 0.00518403635 3.07E-13 3.81E-02104 E-8 1024 2.000 0.00490517113 5.54E-13 3.99E-02252 E-8 1024 2.000 0.00465711572 4 4 4 E-12 3.72E-02504 E-8 1024 2.000 0.00452396360 4 E-09 3.80E-024 E-024 10 1024 2.000 0.00721968941 4.12E-14 1.82E-0252 E-10 1024 2.000 0.00518403635 3.07E-133.50E-02104 E-10 1024 2.091 0.00490517113 5.62E-13 3.88E-02252 E-10 1024 2.121 0.00465711572 4.31E-12 3.71E-02504 E-10 1024 2.152 0.00452396360 4.31E-09 3.90E-02表1定点算法公差设置为10的Kou过程结果-8和10-10.4.2多项式衰减特征函数我们给出了具有多项式衰减特征函数的过程（即VG过程）的FL和FGM方法的结果。图9和图10显示了单屏障和双屏障选项的测试结果，其中我们应用了第2.4节所述的指数过滤。由于FGM和FL两种方法都增加了过滤功能，因此对于少量日期的性能表现出良好的改善。这表明，即使多项式衰减是函数形状的真实表示，而不是第4.1节中固定点算法的简单伪影，基于SINC的多项式衰减函数离散希尔伯特变换的性能也可以提高。对于更高数量的数据，FGM方法的误差收敛与网格大小的关系得到了改善，从而与FL方法相同，无论是否进行过滤。

这是一个显著的改进，因为FGM方法比FL方法的优势在于其计算时间超过20 Phelan et al.10-310-210-1100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=4FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-2100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=52FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-2100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=104FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-2100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=252FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-210-1100101CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差n=504FLFLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-210010102CPU时间/s10-1510-1010-5100100 5价格绝对误差n=1008FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12图。7具有Kou过程和不同监测日期数的双屏障选项的错误与CPU时间N。过滤器改进了所有N的FGM方法；FGM-E是误差为10的最快方法-8当N>252.10-310-210-1100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差N=4FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-2100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差N=52FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-2100CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格的绝对误差N=104FLFL-EFGMFGM-E，p=1210-210-1100101CPU时间/s10-1510-5100105价格的绝对误差N=252FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-210-1100101CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=504FLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=1210-2100102CPU时间/s10-1510-1010-5100105价格绝对误差n=1008FLFLFL-E，p=12FGMFGM-E，p=12图。8具有NIG进程和不同监测日期数的双屏障选项的错误与CPU时间N。