希尔伯特变换、谱滤波器与期权定价

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英文标题：
《Hilbert transform, spectral filters and option pricing》
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作者：
Carolyn E. Phelan, Daniele Marazzina, Gianluca Fusai, Guido Germano
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We show how spectral filters can improve the convergence of numerical schemes which use discrete Hilbert transforms based on a sinc function expansion, and thus ultimately on the fast Fourier transform. This is relevant, for example, for the computation of fluctuation identities, which give the distribution of the maximum or the minimum of a random path, or the joint distribution at maturity with the extrema staying below or above barriers. We use as examples the methods by Feng and Linetsky (2008) and Fusai, Germano and Marazzina (2016) to price discretely monitored barrier options where the underlying asset price is modelled by an exponential L\\\'evy process. Both methods show exponential convergence with respect to the number of grid points in most cases, but are limited to polynomial convergence under certain conditions. We relate these rates of convergence to the Gibbs phenomenon for Fourier transforms and achieve improved results with spectral filtering.
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中文摘要：
我们展示了谱滤波器如何提高基于sinc函数展开的离散Hilbert变换的数值格式的收敛性，从而最终提高了快速傅立叶变换的收敛性。例如，这与波动恒等式的计算有关，波动恒等式给出了随机路径的最大值或最小值的分布，或在极值保持在障碍下方或上方的成熟期的联合分布。我们以Feng和Linetsky（2008）以及Fusai、Germano和Marazzina（2016）的方法为例，对离散监控的障碍期权进行定价，其中基础资产价格由指数列维过程建模。这两种方法在大多数情况下都显示出相对于网格点数量的指数收敛性，但在某些条件下仅限于多项式收敛。我们将这些收敛速度与傅里叶变换的吉布斯现象联系起来，并通过频谱滤波获得了更好的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Hilbert_transform,_spectral_filters_and_option_pricing.pdf (616.44 KB)

2022-6-1 01:19:40 上传

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关键词：希尔伯特 期权定价 滤波器 distribution Applications

Noname手稿编号（将由编辑插入）Hilbert变换、谱滤波器和option pricingCarolyn E.Phelan·Daniele Marazzina·Gianluca Fusai·Guido Germanorreceived:date/Accepted:dateAbstract我们展示了谱滤波器如何改善基于sinc函数展开的离散Hilbert变换的数值模式的收敛性，从而最终实现了快速傅立叶变换。例如，这与函数恒等式的计算有关，它给出了arandom路径的最大值或最小值的分布，或在极值保持在障碍之下或之上的成熟时的联合分布。我们以Feng和Linetsky（2008）以及Fusai、Germano和Marazzina（2016）的方法为例，对离散监控的障碍期权进行定价，其中基础资产价格由指数L'evy过程建模。在大多数情况下，这两种方法都显示出相对于网格点数量的指数收敛性，但在某些条件下，它们的局部收敛性有限。我们将这些收敛速度与傅里叶变换的吉布斯现象联系起来，并通过频谱滤波获得更好的结果。感谢经济及社会研究理事会（ESRC）资助系统风险中心（拨款编号ES/K002309/1）和工程和物理科学研究理事会（EPSRC）资助英国金融计算和分析博士培训中心（拨款编号1482817）。卡罗琳E。

PhelandDepartment of Computer Science，University College LondonE邮件：c。phelan@cs.ucl.ac.uk，carolyn。费兰。14@ucl.ac.ukGianlucaFusaiDipartimento di Studi per l\'Economia e l\'Impresa（DiSEI），东方皮埃蒙特大学（Universit\'a del Piemonte Orientale“Amedeo Avogadro”，新金融学院，Cass商学院，伦敦大学城市，邮编：gianluca。fusai@uniupo.it，gianluca。福赛。1@city.ac.ukDanieleMarazzinaDipartitiono di Matematica，Politecnico di MilanoE邮件：daniele。marazzina@polimi.itGuido德国伦敦大学学院系统风险中心计算机科学系，伦敦经济和政治学院电子邮件：g。germano@ucl.ac.uk，g。germano@lse.ac.uk2Heston（1993）首先研究了Phelan等人的关键词：双障碍期权·离散监测·L’evy过程·Spitzer恒等式·维纳-霍普夫分解·希尔伯特变换·傅立叶变换·FFT·z变换·正弦函数·吉布斯现象·谱滤波器1引入傅立叶变换的衍生定价。Carr和Madan（1999年）发表了第一种在傅里叶域中同时使用特征函数和支付函数的方法。Fang和Oosterlee（2008、2009）设计了基于傅里叶余弦展开的COS方法。Feng和Linetsky（2008）也成功地利用希尔伯特变换（King，2009）在傅立叶空间中使用反向归纳法对障碍期权进行定价，Marazzina et al（2012）和Fusai et al（2016）通过Plemelj-Sokhotski关系计算斯皮策恒等式（Spitzer，1956；Kemperman，1963）所需的因子。衍生工具，尤其是奇异期权的定价，是运筹学文献中一个具有挑战性的问题。

Fusai et al（2016）对此以及希尔伯特变换的许多非金融应用以及保险、排队论、物理、工程、应用数学等领域的维纳-霍普夫因式分解和斯皮策恒等式的相关主题提供了广泛的参考。在傅立叶域工作时，使用数值解意味着必须处理在有限域上用有限和近似积分所产生的问题。只要明智地选择原木价格域中的截断极限，就要解决的主要问题是所谓的吉布斯现象（Wilbraham，1848；Gibbs，18981899）。有许多论文探讨了一般情况下吉布斯现象的可能解决方案，尤其是休伊特和休伊特（1979）、范德文（1991）、戈特利布和舒（1997）、塔德莫尔和坦纳（2005）以及塔德莫尔（2007）。最近，Ruijter等人（2015）探索了使用频谱滤波技术来解决COS方法用于非光滑概率分布时出现的多项式误差收敛缓慢的问题。本文研究的应用是对基于快速希尔伯特变换的L'evy过程离散监控障碍期权定价方法的改进。最近的论文描述了这些类型金融合同估值方面的重大进展。Feng和Linetsky（2008）利用Stenger（1993，2011）提出的基于sinc的Hilberttransform设计了一种方法，该方法对于许多L'evy过程来说是指数收敛的，但对于方差gamma（VG）过程来说只有多项式收敛；该方法的计算时间随监测日期数N线性增加。

Fusai et al（2016）使用Spitzer恒等式设计了一种方法，该方法的计算时间与N无关，对于单障碍和回溯选项，该方法可以实现指数收敛，但VG过程除外，但对于双障碍选项，该方法仅限于多项式收敛。我们对这方面文献的主要贡献是产生一个误差界，解释Fusai et al（2016）发现的多项式误差收敛的起源，然后使用谱滤波器将此方法扩展到指数收敛。因此，我们为离散监控的双屏障期权提供了第一种定价方法，其误差在网格点数量上呈指数收敛，其CPU时间与监控日期数量无关。我们还表明，Feng和Linetsky（2008）提出的定价方法可以在VG过程中得到改进，并且这两种方法的光谱滤波器结果都得到了改进。在这项工作的过程中，我们扩展了对基于sinc的希尔伯特变换的误差性能的研究，并表明误差希尔伯特变换、谱滤波器和期权定价3的收敛性既与基础过程的特征函数的形状有关，也与吉布斯现象有关。我们还实施了Ruijter等人（2015年）在定价应用中提出的指数滤波器和McKechan等人（2010年）提出的普朗克锥。据我们所知，这是后者首次被用于金融数学。本文的结构如下。在第2节中，我们通过傅立叶变换、希尔伯特变换和z变换对brie-fly进行了分析，简要概述了原始定价方案，并解释了我们为提高收敛性所做的修改。

第3节讨论了定价技术的性能，以及它们与吉布斯现象和基础过程特征函数的形状的关系。最后，第4节展示了数值结果，将滤波算法与原始方法进行了比较。在线补充材料中提供了进一步的数值试验。2背景由于该方法直接扩展了Fusai、Germano和Marazzina（FGM）（Fusai et al，2016）和FL（Feng和Linetsky，2008）的定价方法，我们参考原始文件进行全面介绍。这里描述了与错误调查直接相关的方法的各个方面，以便为我们为改进收敛性所做的更改提供背景。2.1傅里叶变换和希尔伯特变换在本文中，我们广泛使用傅里叶变换（参见Polyanin和Manzhirov，1998；Kreyszig，2011），这是一种具有多种应用的积分变换。从历史上看，它被广泛应用于光谱学和通信领域，因此许多文献都将傅里叶域中的函数称为其光谱。根据金融文献中的常见惯例，正向和反向傅立叶变换定义为BF（ξ）=Fx→ξ[f（x）]=Z+∞-∞f（x）eiξxdx，（1）f（x）=f-1ξ→xhbf（ξ）i=2πZ+∞-∞bf（ξ）e-iξxdξ。（2） 设S（t）为标的资产的价格，x（t）=log（S（t）/S其对数价格，其中S=S（0）。让我们考虑一个以到期收益T为特征的衍生工具。E、 例如，具有走向K和上（下）势垒U（L）的双势垒期权具有阻尼收益φ（x（T））=EαxSmax（θ（ex-ek），0）1（l，u）（x），（3）其中θ=1表示调用，θ=-1对于put，1A（x）是集合a的指示器功能，k=log（k/S）是对数走向，u=log（u/S）是上对数屏障，l=log（l/S）是下对数屏障。

阻尼因子eαxis用于确保支付函数的可积性；有关阻尼参数α选择的完整讨论，请参见Feng和Linetsky（2008）。为了在t=0时确定期权的价格v（x，t），当标的物的初始价格为沙，因此其对数价格为x（0）=0时，我们需要贴现无阻尼期权收益φ（x（t））e的预期值-αx（T）在到期时T=T，根据Phelan等人提出的适当风险中性概率分布函数（PDF）p（x，T），其初始条件为p（x，0）=δ（x）。如Lewis（2001）所示，这可以使用Plancherelation，v（0,0）=e来完成-rTEhφ（x（T））e-αx（T）| x（0）=0i=e-rTZ公司+∞-∞φ（x）e-αxp（x，T）dx=e-rT2πZ+∞-∞bφ（ξ）bp*（ξ+iα，T）dξ=e-rTF公司-1ξ→xhbφ（ξ）bp*（ξ+iα，T）i（0）。（4） 给，bp*（ξ+iα，T）是e的傅里叶变换的复共轭-αxp（x，T）。Toprice期权使用这种关系，我们需要阻尼支付和PDF的傅立叶变换。阻尼支付φ（x）的傅里叶变换在解析上可用，bφ（ξ）=Se（1+iξ+α）a-e（1+iξ+α）b1+iξ+α-ek+（iξ+α）a-ek+（iξ+α）biξ+α！，（5） 其中，对于看涨期权a=u，b=max（k，l），而对于看跌期权a=l，b=min（k，u）。随机过程x（t）的PDF p（x，t）的傅里叶变换是特征函数ψ（ξ，t）=Eheiξx（t）i=Z+∞-∞p（x，t）eiξxdx=Fx→ξ[p（x，t）]=bp（ξ，t）。（6） 对于L'evy过程，特征函数可以写成ψ（ξ，t）=eψ（ξ）t，其中特征指数ψ（ξ）由L'evy-Khinchine公式给出，即ψ（ξ）=iuξ-σξ+ZR（eiξη-1.-iξη1[-1,1]（η））νL（dη）。（7） L’evy-Khinchine三重态（u，σ，νL）唯一定义了L’evy过程。u的值定义了过程的线性漂移，σ是过程扩散部分的波动性，νL（η）是与过程跳跃部分相关的L'evy度量。

在风险中性测量下，三重态的参数通过方程式u=r联系起来-q-σ-ZR（eη-1.-iη1[-1,1]（η））νL（dη），（8），其中r是无风险利率，q是股息率。通常，L'evy过程的特征函数以闭合形式可用，例如高斯函数（Schoutens，2003）、NIG函数（Barndorff-Nielsen，1998）、CGMY函数（Carr等人，2002）、Kou双指数函数（Kou，2002）、Merton跳跃扩散函数（Merton，1976）、L'evyα稳定函数（Nolan，2018）、VG函数（Madan和Seneta，1990）、Meixner函数（Schoutens，2003），和混合回火稳定（Mercuri和Rroji，2016）工艺。一些基于傅立叶变换的定价技术，例如FGM和FL，也使用希尔伯特变换，这是一种与傅立叶变换相关的积分变换。然而，与傅里叶变换相比，变换下的函数保持在相同的域中，而不是在x域和ξ域之间移动。定义了傅里叶域中函数的希尔伯特变换bf（ξ）= P、 V.πZ+∞-∞bf（ξ）ξ-ξdξ=limε→0+πZξ-εξ -1/εbf（ξ）ξ-ξdξ+Zξ+1/εξ+εbf（ξ）ξ-ξdξ！，（9） 希尔伯特变换、谱滤波器和期权定价5，其中P.V.表示柯西主值。在傅立叶域应用希尔伯特变换相当于将x域中的函数乘以-isgn x；见。g、 金（2009）；Fusai等人（2016）。2.2使用希尔伯特变换应用势垒希尔伯特变换可用于获得势垒b上方或下方函数的傅立叶变换，即dfb+（ξ）=Fx→ξf（x）1R+（x-（b）anddfb-（ξ）=Fx→ξf（x）1R-（十）-（b）,不需要通过普莱梅尔J-Sokhotski关系离开傅里叶域，普莱梅尔J-Sokhotski关系也采用了移位定理Fx→ξ[f（x+b）]=bf（ξ）e-ibξ。这些是DFB+（ξ）=bf（ξ）+eibξiHe-ibξbf（ξ）, （10） dfb公司-(ξ ) =bf（ξ）-eibξiHe-ibξbf（ξ）. （11） 等式。

（10） 和（11）可组合以获得两个势垒之间函数部分的傅里叶变换，即cflu（ξ）=Fx→ξf（x）1（l，u）（x）,cflu（ξ）=eilξiHe-ilξbf（ξ）-eiuξiHe-iuξbf（ξ）. （12） 我们可能还需要对函数进行因式分解，即获得cg+（ξ）和cg-（ξ）使得bg（ξ）=cg+（ξ）cg-(ξ ). 这是通过对数分解来实现的，即分解对数hmbh（ξ）=logbg（ξ），然后将结果指数化，得到cg+（ξ）=expch+（ξ）和cg-（ξ）=表达式-(ξ ).Feng和Linetsky（2008）利用两个连续监测日期的价格之间的关系，利用希尔伯特变换对离散型障碍期权进行定价：tn=nt、 n=0,1，·，n，v（x，tn）-1） =Zulv（x，tn）fX（x-x，t） dx，n=n，n-1, ··· ,1. （13） 此处v（x，tN）=φ（x）e-αx，即期权的收益和外汇（·，t） 用步长表示基础流程的转移敏感度t、 将卷积定理与希尔伯特变换结合使用，方程。（10） –（12）可用于表示两个连续日期asbv（ξ，tn）的价格之间的关系-1） =nψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）+eilξiHhe-ilξψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）io（14），用于单个安全栅下降和退出选项，以及bv（ξ，tn-1） =neilξiHhe-ilξψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）i-eiuξiHhe-iuξψ（ξ+iα，t） bv（ξ，tn）io（15），用于双屏障选项。6 Phelan等人2.3 Spitzer识别如果我们希望使用公式（4）来定价障碍选项，所需的特征函数比第2.1节中提到的闭合形式表达式更复杂。我们需要时间t=t时过程X（t）值分布的特征函数，条件是在离散监控日期tn，n=0,1，…，时，过程仍在上下屏障内，。。。，N、 幸运的是，对于单个屏障，我们可以使用Spitzer（1956）的标识，对于双屏障，我们可以使用Kemperman（1963）的扩展标识。

这些提供了所需PDF的傅立叶-z变换：傅立叶变换应用于原木价格X，z变换应用于离散监测时间。带n的离散函数f（tn）的z变换∈ Nis定义的asef（q）=Zn→q【f（tn）】=∞∑n=0f（tn）qn，q∈ C、 （16）本文使用了Green et al（2010）提出的Spitzer恒等式，Fusai et al（2016）也使用了该恒等式。其想法是，后续监控日期所需的PDF与asp（x，tn）相关-1） =Zulp（x，tn）fX（x-x，t） dx。（17） 其中fX（x-x，t） 是基础过程的跃迁密度，p（x，tN）=δ（x）。通过对p（x，tN）应用z变换，我们得到了一个维纳-霍普夫型方程，我们必须求解该方程才能得到所需的PDFep（x，q）-qZulep（x，q）fX（x-x，t） dx=δ（x）。（18） 维纳-霍普夫方法是一个大课题，虽然我们简要概述了该技术，为定价方案提供了背景，但我们请感兴趣的读者参考Noble（1958）；Daniele和Zich（2014）详细介绍了一般方法，Green等人（2010）；Fusai et al（2016），以获取其在本应用中的使用指南。利用卷积定理，即Fx→ξ[g（x）*h（x）]=g（ξ）h（ξ），式（18）转化为前向域asebp（ξ，q）（1-qψ（ξ，t） ）+ebp+（ξ，q）+ebp-（ξ，q）=1，（19），其中EBP+（ξ，q）和BP-（ξ，q）是（未知）辅助函数，定义为沿整个x轴扩展等式（18）。为了解决单个（较低）势垒的问题，我们有ebp+（ξ，q）=0。我们首先分解Φ（ξ，q）=1-qψ（ξ，t） =Φ+（ξ，q）Φ-（ξ，q）并将两侧除以Φ-（ξ，q），使所需的“+”函数bp（ξ，q）仅与“+”函数Φ+（ξ，q）相乘。然后我们放弃EBP-（ξ，q）/Φ-（ξ，q）为纯负，分解为1/Φ-（ξ，q）围绕l获得正函数Pl+（ξ，q）=[1/Φ-（ξ，q）]l+。