Tsallis收入分配的波动

此外，如上所述，Tsallis函数对于高收入值具有类似幂律的行为，因此与Pareto幂律一致。考虑到这些观察结果，参考文献[20]对个人收入分配F（x）=Ae提出了以下描述-Bxq，（21），其中A和B为正参数。因为我们有一个F（0）=100形式的约束条件，所以上面的表达式表示a=100。因此，式（21）可重写如下，F（x）=100 e-Bxq。（22）请注意，粗略检查公式（22）不会提供任何明显的周期性行为证据，或者q的复杂性会揭示任何振荡特征，因为q参数只是一个指数。我们将在下面展示，允许q变得复杂将暴露这些特性。D、 收入分配函数的周期性行为让我们从定义n（3）开始，将公式（22）改写如下，F（x）=100h1+（1- q）(-Bx）i1/（1）-q） 。（23）该方程也可以用公式（13）表示为m的函数，F（x）=1001+Bmx-m、 （24）遵循方程式中建议的络合。（14） 至（17），式（24）可写成如下，F（x）=100ha（x）+ib（x）i-（m′+im′，（25）式中（x）=1+B m′m | x，（26）B（x）=-B m′′m | x。（27）展开式（25）中的项，得到以下表达式，F（x）=100 A（x）e-iω（x）=100 A（x）hcosω（x）- i sinω（x）i，（28）其中A（x）=expm′′И（x）- m′θ（x）,ω（x）=m′Д（x）+m′′θ（x），（29）（30）和^1（x）=棕褐色-1英寸-B m′x|m |+B m′x#,θ（x）=lnr1+Bx | m |（Bx+2m′）。（31）（32）我们必须记住B总是正的。现在，如果我们只考虑公式（28）的真实部分，则原始收入数据的TD描述，如公式（28）所示。

（22），结果如下所示，F（x）=100 e-Bxq=100 A（x）cosω（x）, （33）式中，cosω（x）的绝对值保证我们将始终具有经验获得的F（x）的正值。这一结果清楚地表明，参考文献[20]在收入数据中经验观察到的周期性行为似乎是由上述表达式描述的。或者至少可以预期观察到的振荡行为，因为它构建在TD中。注意，原始q参数存在于A（x）和ω（x）到m′和m′之间，它们分别是q的实部和虚部。个人收入分布函数可以用公式（28）给出的标准指数形式表示，这一事实表明，我们可以定义一个周期函数，其中a（x）可以被视为该振荡运动的振幅，ω（x）可以被视为其角频率。仅通过实数项考虑q参数隐藏了这种周期行为。该词汇添加了新的成分，如上文所述的成分，因此能够揭示从收入分配数据中获得的经验曲线中确实出现的周期性行为。始终将q参数视为一个完全复数的问题，即实数部分和虚数部分，是一个悬而未决的问题，尽管我们相信这取决于我们正在处理的问题。我们可以想象这一特性与量子物理学中电子的双重特性类似，因为它具有波粒二象性行为特征，这取决于我们正在分析的经验。通过这种方式，我们可以讨论q-对偶，它值得其他解释，当然也可能是进一步研究的目标。四、 数值应用我们现在的问题是通过一个数值例子来分析等式（33）关于收入分配实际数据的q复杂版本。

目的是从公式中计算m′和m′的值。（14） 也就是说，对于参考文献[20]表中给出的每个经验收入值xkgiven，获得一个pairmk′和mk′。让我们首先重写公式s.（31）和（32），以符合离散实数数据，如下所示，νk=Д（xk）=arctan-Bmk′xkmk′+mk′+Bmk′xk！！！，（34）θk=θ（xk）=lnvt1+BxkBxk+2 mk′型mk′+mk′，（35），其中xkis是参考文献[20]中产生的第k个收入数据点。从公式（29）中，我们可以写出第k个表格收入数据的以下表达式，Ak=A（xk）=expmk′arctan公司-Bmk′xkmk′+mk′+Bmk′xk！！！- mk′lnvt1+BxkBxk+2mk′mk′+mk′.（36）类似地，等式。（30）允许我们写出下面的表达式，ωk=ω（xk）=mk′arctan”“”-Bmk′xkmk′+mk′+B mk′xk###+mk′lnvt1+BxkBxk+2mk′mk′+mk′。（37）目的是数值求解公式（33）。为了完成这项任务，我们将其写成以下数值离散形式，F（xk）=100 A（xk）cosω（xk）, ==> Fk=100 Akcosωk. （38）对于第k个收入，需要计算mk′和mk′。来自Eqs。（15） 到（17）我们有| m |=| q- 1 |=mk′+mk′，（39）这允许我们将表达式写在下面，mk′=±p1- mk′| q- 1 | q- 1.（40）考虑到由于方形roo t，mk′有两个解，将g式（40）替换为式。（36）和（37）我们分别得到以下结果，Ak=exp(((-p1级- mk′| q- 1 | q- 1arctan”“”Bxk（q- 1） p1级- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk（q- 1)###-- mk′lnq1+Bxk（q- 1)Bxk+2mk′))), （41）和ωk=- mk′arctan”“”Bxk（q- 1） p1级- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk（q- 1） ###++p1- mk′| q- 1 | q- 1lnq1+Bxk（q- 1)Bxk+2 mk′型. （42）最后，将上述表达式代入等式。

（38）结果可写如下，Fk=100 exp(((-p1级- mk′| q- 1 | q- 1arctan“”Bxk | q- 1 | p1- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk | q- 1|###-- mk′lnq1+Bxk | q- 1|Bxk+2 mk′型)))××cos公司(((- mk′arctan”“”Bxk | q- 1 | p1- mk′| q- 1 | 1+Bmk′xk | q- 1 |###++p1- mk′| q- 1 | q- 1lnq1+Bxk | q- 1|Bxk+2mk′))). （43）参考文献[20]使用巴西的收入数据，在观察到的时间窗口内，获得每年收入值xk的分布fk，然后将TD拟合到经验分布中，以便找到给定年份中所有k值的参数q和B。一旦这样做了，知道给定年份中[q，B]的值，就可以对每个数据对[Fk，xk]的等式（43）进行数值求解，最终获得未知量mk′。然后，可以使用上述方法对整个络合过程进行测试。首先，选择参考文献[20]提供的一年的数据集，使用所选年份的经验值[Fk，xk，q，B]计算每个数据点的mk\'，以找到表达式（43）的根，将结果[mk\'，xk，q，B]替换回等式（43），以恢复分布Fk，然后将原始分布与恢复的分布进行比较。如果恢复的点与原始经验分布（包括观察到的振荡）非常接近，这将证明上面的合并程序确实揭示了分布中存在的振荡。图1 s展示了2011年巴西国际贸易数据组织（incomedata）使用经验CCDF方法获得的结果。人们可以清楚地看到，恢复的分布确实与emp irical分布密切相关，包括由于振幅Ak值增加而在尾部出现更明显的振荡。

由于公式（43）的高度非线性，这些结果无法得到更好的结果，因为计算该表达式的根会导致严重的数字损失。减少这些波动需要使用不少于0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0.01 0.1 1 10 100F（x）的原始与复杂回收分布经验回收分布图。1： 该图显示了2011年巴西的CCDF，q=1.265，使用经验数据（开放圆）获得，回收数据（填充圆）通过求公式（43）的根获得。等式。（12） 和（13）是从q到m的参数转换，虽然q在整个分布中只有一个值，但复杂化过程会为分布的每个点产生实部和虚部。因此，由于分布是由k个点组成的，所以复m将有k个值，如等式所示。（39）、（40）和（43）。因此，方程式（43）的解产生的k点显示在该图中。由于式（43）实际上是式（38）的扩展形式，并且它有一个与振幅项耦合的振荡项，那么，一旦式（43）找到Fk的k值，分布的振荡性质就会通过拟合再现。然而，由于其高度非线性以及其具有接近单位的两个值的多个子集，数值问题因重大数字的灾难性丢失而产生的强大数值不稳定性而得到解决。在公式（43）的数值计算过程中，使用20位数字显著改善了这种不稳定性。

尽管存在不稳定性，但分布的振荡性质在恢复点中清晰可见，这意味着允许TD的参数q成为复数，可以揭示分布的振荡性质，尤其是在其尾部。数值计算中的20位数。使用超过20个数字并不能改善结果，因为参数[q，B]仅适用于最多3个数字的数据。如果由于重要数字的丢失而导致的数值波动有所减少，那么图1所示的结果可能会得到改善。一种可能性是通过重新计算至少20位的参数q和B，因为它们最初都是用3位数字获得的。但是，减少这些波动的任务超出了本文的范围，因为我们在这里的目的只是为了表明，允许TD的参数q成为复数，可以揭示分布的振荡性质，如图1的图表所示。五、 结论由于帕累托的工作，即对整个人口收入分配的研究一直是经济专家的目标，并且在一段时间内一直是经济物理学文献的目标。尽管在多个函数中使用了大量参数来拟合收入数据，但在某些情况下，从三到五，一些数学方法在描述整个数据范围方面已经蓬勃发展。在这项工作中，我们使用了Tsallis的非扩展观点和复杂模式，其中q参数由复数表示。这里的目的是使用这种复合物，以便从分析上证明参考文献中获得的结果。

[20] ，它在收入数据中显示出周期性行为。如上所示，在这样做的过程中，我们将数据拟合所需的参数数量从原来的两个增加到了三个。虽然增加问题中未知参数的数量是一个糟糕的过程，但在我们的案例中，复杂性揭示了收入分配中以周期运动形式出现的收入分配的额外行为，这一点已经存在于多个收入分配研究中，但只有Soares et a l明确承认。通过将收入分配的这种振荡运动解释为一种典型的周期运动，我们可以确定常用的振荡参数，如振幅和角频率。根据实际数据对所开发的分析程序进行了测试，在这种情况下，2011年巴西a的收入分配d，数值结果表明，考虑到复杂的Q参数，可以揭示分布的振荡性质，尤其是在其尾部。因此，从这里获得的结果来看，我们可以说，年度收入分配样本的“高ghs和低ghs”是一种预期行为，使用Tsallis qparameter的compl-ex形式进行确认。然而，目前还不完全清楚，这种周期性振荡是否能够引导我们理解q参数的真实性质，即q参数是否复杂取决于我们正在处理的问题的特征。最后，这项工作向我们展示了收入分配实证研究所面临的任务。数据给出了F（x）、x、B、q和m，因此经验任务是从数据中同时确定m′和m′，以便最终得到表征整个年度分布所需的三个参数，包括振荡特征，即B、m′和m′。六、 确认SE。M、 C.A。

巴西联邦机构CNPq国家环境保护委员会（CNPq Conselho National de DesenvolvimentoCient）是一家联邦科学支持机构，负责部分财政支持，赠款编号为30 2155/2015-5和40 6 894/2018-3。M、 B.R.承认里约热内卢州科学基金局（FAPERJ）的部分财政支持。[1] V.Pareto，“政治经济学课程”，洛桑，1897年。[2] B.B.Mandelbrot，“自然的分形几何”，弗里曼，旧金山，1982年。[3] N.C.Kakwani，“收入不平等与贫困”，牛津大学出版社，1980年。[4] N.J.Moura Jr.，M.B.Ribeiro，“巴西1978-2005年收入分配中Gompertz曲线的证据”，欧元。物理。J、 B，67（2009）101-120，arXiv:0812.2664。[5] F.C hami Figueira，N.J.Moura Jr.，M.B.Ribeiro，“Gompertz-Pareto收入分配”，Physica A，390（2011）689-698，arXiv:1010.1994。[6] A.agulescu博士，V.M.Yakovenko，“美国收入指数分布的证据”，欧元。物理。J、 B，20（2001）585，arXiv：cond mat/0008305。[7] J.C.Ferrero，“货币的统计分布和货币转移率”，Physica A，341（2004）575-585。[8] A.Christian Silva，“物理学在金融和经济中的应用：回报、交易活动和收入”，马里兰大学博士论文，2005年，arXiv：物理学/0507022。[9] V.M.Yakovenko，J.B.Rosser，“座谈会：货币、财富和收入的统计机制”，Rev。摩登派青年物理。，81（2009）1703-1725，arXiv:0905.1518。[10] R.Coelho，P.Richmond，J.Barry，S.Hutzler，“收入和财富分配中的双重幂律”，Physica A，387（2008）3847-3851，arXiv:0710.0917。[11] A.Banerjee，V.M.Yakovenko，“不平等的普遍模式”，新物理杂志。，12（2010）075032，arXiv:0912.4898。[12] N.J.Moura Jr.，硕士。

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