稀疏动态投资组合的基于遗憾的选择

投资者选择满足πλt>κ的投资组合决策t、 确保她持有的投资组合能够满足她在每个投资期的后悔承受能力。λt-通过提高满意度概率（损失差异）排序的决策-0.005 0.000 0.005 0.010●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.40 0.45 0.50 0.55概率●●E[遗憾]πλt图2。遗憾分布（左纵轴）和πλt（右纵轴），用于在水平轴上从左到右增加πλt值。显示的是300个稀疏投资组合决策，用λt表示。随着满意度概率（πλt）的增加，灰点表示的平均后悔通常会下降。灰色带表示遗憾的20%中心后验可信区间。在图（2）中，我们展示了由λtas索引的遗憾分布（右垂直轴和灰色条）的示例序列，以及满足概率πλt（左垂直轴和开放圆）。

具体而言，我们展示了在对数累积财富效用下300个稀疏决策的遗憾分布，以及与所有可用资产优化的目标投资组合的遗憾分布。最后悔的决定（根据满意度概率）在左边，当你在水平轴上向右移动时，他们会变得不那么后悔。这些稀疏的投资组合决策都非常接近目标决策。因此，相应的遗憾分布将Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择7徘徊在0左右，πλt徘徊在0.5左右。类似图（2）的探索图有助于选择κ阈值的适当值。在这种情况下，πλt>0.5相当高。一旦规定了时间不变阈值κ，就可以实施动态选择策略。在每个时间t，我们都会看到一组决策，如图（2）所示，并选择稀疏投资组合决策，使其πλt>κ。如果有多个稀疏决策满足阈值，我们可以选择πλt最接近κ的决策。当然，在可接受的稀疏决策中进行选择的最后一步是灵活的。例如，可以在时间t选择一个稀疏决策，该决策与时间t的前一个稀疏决策“接近”（就标准或持有的资产而言）- 1降低与资产买卖相关的交易成本。这些特性将在应用程序部分讨论。3、应用本节分为三个部分。首先，我们描述了一个动态线性模型，该模型用于推断资产回报的时变矩，并完成了该方法的第1步。其次，我们指定了用于选择的损失和结果后悔函数（步骤2和3）。第三，我们使用一组25只被动基金演示了该方法。在演示部分，我们考虑一个简单的示例和一个更实际的研究。3.1.

模型规格和数据我们推断的一般模型参数化了未来资产回报的分布，其平均值和协方差按时间索引：~Rt~ ∏（ut，∑t）。我们提出的方法的一个重要特点是，可以使用任何提供这些时变矩估计的模型。为了证明我们的方法，我们估计了一个动态线性模型（DLM），该模型由Fama和French（2015）提出，他们详细介绍了五个“风险因素”，以及与资产定价相关的未来回报率RFTA。具体而言，我们通过建模p（▄Rt▄RFt）和p（▄RFt），对未来资产收益和要素收益p（▄Rt，▄RFt）的联合分布进行组合建模。根据Harrisonand West（1999）建立的动态线性模型，资产i的未来回报率是未来factorPuelz、Hahn和Carvalho/基于后悔的选择8回报率（| Rit | | RFt）：Rit=（βit）TRFt+它它~ N（0，1/φit），βit=βit-1+智慧，智慧~ Tnit公司-1（0，Wit），βi | D~ Tni（mi，Ci），φi | D~ Ga（ni/2，di/2），βit | Dt-1.~ Tnit公司-1（麻省理工学院-1，Rit），Rit=Cit-1/Δβ，φit | Dt-1.~ Ga（δnit公司-1/2, δdit公司-1/2），（5），其中Wit=1-ΔβΔβCit-1和DTI是时间t之前的所有信息。该模型允许因子系数以及观测值和状态水平方差随时间变化。预先规定的贴现系数δ和Δβ∈ （0.8，1）分别实现观测和状态水平方差的目标。此外，请注意，Cit（βit状态方程的后方差）通过前βit | Dt的矩进行更新-1和提前一步预测分布| Rit | Dt-Harrison和West（1999）的Theorem4.1提供了单变量DLM的一般更新方程。

本书中的表10.4总结了方差贴现特殊情况下的递推关系，提供了所有t和每种资产i的参数{mit，Cit，nit，dit}的后验矩。我们使用以下矩阵正态动态线性模型，用全残差协方差矩阵对五因子未来收益RFt进行建模：RFt=uFt+νtνt~ N（0，∑Ft），uFt=uFt-1+Ohmt型Ohmt型~ N（0，Wt，∑Ft），（uF，∑F | D）~ 西北方向-1n（m，C，S），（uFt，∑Ft | Dt-（1）~ 西北方向-1δFnt-1（公吨-1，Rt，St-1） ，Rt=Ct-1/δc，（6），其中Wt=1-δcδcCt-1、与模型（5）类似，贴现因子δFand和δcinModel（6）的作用相同，即分别允许观测值和状态水平方差的时间变化。（6）的另一个好处是∑FTI是一个完整的残差协方差矩阵。在Harrisonand West（1999）的指导下，对模型（5）和（6）背后的直觉进行了详细阐述，方差贴现的目的是提供一种自然的方法，在保持序列更新的共轭性的同时，从后到前的方差。例如，考虑模型（5）中精度的后验值：φit-1 | Dt-1.~ Ga（nit-1/2，dit-1/2）。（7） Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择9构建p（φit | Dt-1） ，我们希望保持Gamma形式，使其与由一步预测分布给出的▄Rit的似然函数共轭。一种合理的方法是保留分布的平均值（7），但通过贴现自由度参数nt来反映方差-1.→ δnt公司-1、然后优先级分布变为：φit | Dt-1.~ Ga（δnit公司-1/2, δdit公司-1/2）。（8） 从分布（7）移动到（8）增加了之前表示的“信息丢失”的分散性，其特征是在Dt中缺少完整信息的情况下向前移动到时间t-1.

剩余的贴现因子δβ、δC和δFinModels（5）和（6）为各自的随机过程提供了类似的方差波动。方差贴现学习的极限行为对应于过去给值进一步赋予的指数加权历史数据的权重越来越小（见Harrison and West（1999）第10.8.2-3节）。较大的贴现系数对应于衰减较慢的权重，表明参数的时间序列变化较慢。贴现系数越小，本质上意味着我们估计参数所需的数据越少，因为人们认为序列的波动速度更快。因此，贴现因子的选择相当于为与预测当前参数相关的先前数据选择衰减权重。模型（5）和（6）共同构成了未来资产和要素收益联合分布的时变模型：p（~Rt，~RFt）=p（~Rt | | | RFt）p（~RFt）。正如Harrison和West（1999）所详述的那样，它们是贝叶斯模型，在每个时间t，所有参数的后验分布都很接近，并且没有MMC便于快速更新和不确定性表征，这是我们基于遗憾的投资组合选择程序的必要组成部分。在这些模型下，我们得到以下平均值和协方差结构：|t=βTtuFt，∑t=βt∑FtβTt+ψt，（9）其中β皮重的第i列是资产i的系数，βit。此外，ψtisa对角线矩阵，第i个元素ψtii=1/φit。参数Θt=（ut，∑t）是程序步骤2的输入。3.1.1. 数据和贴现因子选择我们使用ETFDB 25只交易量最大（即流动性最强）的股票基金的数据。com作为我们的可投资资产。这是证券价格研究中心（CRSP）数据库1992年2月至2016年5月的月度数据（CRSP，1992-2016）。

如果该基金的成立日期在1992年之后，我们将其回报数据填入其法定跟踪的指数。表（1）显示了基金名称、股票代码和样本统计信息。有关Fama French五个因子的报告可从Ken French网站上公开提供的Peelz、Hahn和Carvalho/Re悔选10数据库中获得。我们从10年的数据开始训练模型，并于2002年2月开始形成投资组合。基金名称股票收益率（%）St.Dev.（%）SPDR道琼斯工业平均指数DIA 8.06 14.15SPDR标准普尔500 ETF SPY 7.46 14.34SPDR工业选择板块XLI 9.19 16.49古根海姆标准普尔500等重ETF RSP 9.37 15.92 IShares MSCI新兴市场EEM 6.06 22.78 IShares MSCI EAFE EFA 3.94 16.43 IShares MSCI德国EWG 6.82 22.23 IShares MSCI日本EWJ 0.22 19.28 IShares MSCI英国EWU 4.6315.88iShares摩根士丹利资本国际韩国上限EWY 9.46 36.78iShares摩根士丹利资本国际欧元区EZU 6.00 19.85iShares标准普尔500价值IVE 7.36 14.95iShares核心标准普尔500 IVV 7.48 14.34iShares Russell 1000 IWB 8.22 14.00iShares Russell 1000价值IWD 8.10 14.26iShares Russell 1000增长IWF 7.63 14.56iShares Russell 2000 IWM 8.00 18.76iShares Russell 2000价值IWB 7.78 18.67iShares Russell 2000增长IWO 6.63岁22.14iShares Russell中等市值增长IWP 8.52 19.98iShares Russell中等市值IWR 9.52 15.96iShares Russell 3000 IWV 7.52 14.61iShares美国房地产IYR 9.32 19.12iShares美国科技IYW 11.64 26.09iShares标准普尔100 OEF 7.32 14.61表1。用于实证研究的交易所交易基金（ETF）列表。还显示了股票代码，并在其采样周期内实现了回报和标准差（年化）。我们程序的第一步是指定和推断资产回报模型。对于我们的实证分析，我们使用模型（5）和（6）。

因子系数和因子均值过程的贴现因子设置为δc=δβ=0.9925，我们考虑时变剩余方差δF=δ= 0.97. 财务文献中充分记录了时变残差方差的证据（例如，参见Ng（1991））。选择贴现因子是为了在指数加权移动窗口中包含足够数量的数据。当δ=0.9925（0.97）时，过去八（三）年的数据占今天数据的一半。我们要求因子系数和平均过程的衰减更低，因为需要更多的数据来学习这些参数，而不是剩余波动率。3.2. 损失和遗憾说明我们考虑由N项资产的投资组合决策的负对数累积回报定义的损失函数。回顾损失函数的一般形式：Lλt（wt，~Rt）=L（wt，~Rt）+Φ（λt，wt），定义：L（wt，~Rt）=- log1+NXk=1wktRkt！，(10)http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/Puelz，Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择11损失效用（10）可被视为Kelly投资组合标准（Kelly Jr，1956）的一个版本，其中投资者的偏好涉及投资组合增长率。复杂性函数Φ（λt，wt）在下面的两个示例中分别指定。投资组合决策wt现在可以使用L（wt，~Rt）给出的负对数累积回报偏好进行评估。然而，为了找到这些投资组合决策，我们必须首先优化损失预期（10）。

我们分两步来实现这一点：首先，我们使用二阶泰勒展开来近似损失，其次，我们在所有未知量上取期望值，并针对每个λt进行优化。在Rising和Wyner（2012）的工作之后，我们考虑了一种方便的二阶泰勒近似L（wt，~Rt）≈初始损耗（10）的L（wt，Rt）扩展约为w=~ 0：L（wt，Rt）=NXk=1NXj=1wktwjtRktRjt-NXk=1wktRkt，（11），其中我们将包括惩罚函数在内的近似损失写为Lλt（wt，Rt）=L（wt，Rt）+Φ（λt，wt）。近似预期损失E[Lλt（wt，~Rt）]写为：E[Lλt（wt，~Rt）]=ENXk=1NXj=1wktwjtRktRjt-NXk=1wktRkt+Φ（λt，wt）. （12） 具有后验分布（Θt，~Rt | Rt-1） 在步骤1中，我们可以实现预期。我们在（~Rt | t，Rt）上积分-1） 然后是（Θt | Rt-1） 获得综合近似损失函数：Lλt（wt）=E[Lλt（wt，ΘRt）]=EΘ第Lλt（wt，ΘRt）ii=EΘtwTt∑nctwt- wTtut+Φ（λt，wt）=wTt∑nctwt- wTtut+Φ（λt，wt），（13），其中上划线表示平均u和非中心二阶矩∑nct的后均值。非中心二阶矩根据方差计算为∑nct=∑t+utuTt。损失函数（13）可以在每个时间t的λt值范围内最小化。在接下来的小节中，我们将使用该模型和数据进行两次分析。首先，我们讨论一个简单的无监督示例来演示基于后悔的选择过程。其次，我们提出了一个深入的实际案例研究。3.3。简单示例：总风险敞口有限的投资组合决策在本节中，我们提供一个简单示例，演示基于收益的选择的主要组成部分。我们通过将复杂度函数指定为权向量的范数：Φ（λt，wt）=λtkwtk来完成损失函数（2）。

复杂性函数通过将基于Puelz、Hahn和Carvalho/遗憾的选择12的绝对值相加来衡量决策的总风险敞口，每个位置：kwtk=∑i | wit |。具有较大绝对值分量的决策将评估为较大的“标准”。惩罚参数λt通过放大损失函数中的惩罚直接对应于单个投资组合决策。近似损失函数（13）现在是凸函数，可以写成：Lλt（wt）=wTt∑nctwt- wTtut+λtkwtk。（14） 损失函数（14）很容易通过各种软件包进行优化，详情请参见附录（a）。考虑到计算的便利性，它具有一些值得注意的重要特性。首先，损失（14）不需要列举决策；它可以在λt的范围内快速最小化。这样，它是一种解决sparseportfolio选择问题的“无监督”方法。其次，λtnow除了将决策指数化外，还有明确的含义。由于它是复杂性函数的乘积，较大（较小）的λtwill通常对应于较稀疏（密集）的投资组合决策。方便地，这显示了基于遗憾的过程在选择具有时变输入的优化问题中的调整参数方面的有用性。

资产回报数据的动态特性使得使用i.i.d.抽样测试和训练分割的传统交叉验证方法不合适。λt-按满意度概率递增排序的决策- 2002年3月汇率（亏损差额）0.000 0.005 0.010 0.015●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50概率●●E[遗憾]πλt图3。遗憾分布（左纵轴）和πλt（右纵轴），用于在水平轴上从左到右增加πλt值。显示了2002年3月由λt索引的300个稀疏PortfolioDecision。随着满意度概率（πλt）的增加，灰点表示的平均后悔通常会下降。灰色带代表遗憾的20%中心后可信区间。我们在每次t的λtand范围内优化损失函数（14）。具体而言，我们考虑了从最稀疏的“一项资产决策”到λt=0决策的500个λt值。