稀疏动态投资组合的基于遗憾的选择

后一个决策称为未启用的Kelly最优组合，并在所有可用资产中放置非零权重。这被用作目标决策，因为总风险敞口没有限制，也将被称为密集投资组合。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择13我们还将所有决策规范化为一个决策，并允许资产中的多头和空头头寸。我们将所有决策正常化，以便投资者既不借贷也不投资于无风险（现金）利率。相反，她完全投资于风险资产组合。换言之，将wcash和wrisky分别表示为财富在现金和风险资产（ETF）中的百分比，wcash+wrisky=1将始终保持不变，本文考虑了wrisky=1的情况。在每个时间点，投资者希望从500个由λt索引的稀疏决策中进行选择。这可以通过首先计算所考虑的500个决策中的每个决策的相应满足概率πλt，然后选择一个满足和预先规定的阈值κ来实现。回想一下，πλ在（4）中定义为遗憾（相对于致密目标）小于零的概率。公式（10）中规定的效用是下一个周期的对数累积高度。图（3）显示了2002年3月300项稀疏决策的横截面后悔分布（左纵轴）和满足概率πλt（右纵轴）。按照基于遗憾的程序的规定，投资者使用此信息选择投资组合。满意度概率范围为0.4至0.5，表明该投资期间的决策都非常相似。在该图的指导下，我们选择κ=42.5%的阈值来构建所选投资组合的示例序列。一旦选择了静态阈值，我们就可以遍历选择过程。

每次t时，投资者都会面临由图（3）所示横截面图提供的事前后悔信息，并选择满足阈值κ的投资组合。一旦构建了决策序列，我们就可以了解遗憾分布是如何随时间变化的。图（4）精确地显示了所选决策的遗憾是如何随着时间的推移而演变的。此示例演示了遗憾的平均值（黑线）和方差（围绕阴影黑色区域）如何发生显著变化。请注意，遗憾接近于零，在大多数时间段内变化很小。然而，围绕2009年的金融危机，平均值先上升后下降到零以下，方差增加。当后悔为负时，稀疏投资组合决策的效用大于稠密投资组合决策的效用。在2009年不久的危机期间，稀疏的投资组合决策似乎比密集的投资组合更受青睐（以事前投资者效用衡量）。尽管如此，均值的下降伴随着方差的增加，这提醒投资者要警惕自己后悔评估的准确性。Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择14-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6遗憾（损失差异）20022003200420520062007200820092010201120122013201420152016图4。由κ=42.5%阈值给出的稀疏长/短portfoliodecision的事前后悔分布与未实现Kelly最优目标的演变。线表示平均遗憾，周围区域表示以60%可信区间为中心的演化。3.4. 案例研究：从大量列举的决策中进行选择以下案例研究的目的是为普通投资者展示基于后悔的投资组合选择。我们假设我们的投资者希望持有一只broadmarket基金（SPY）和几只其他基金的多元化头寸。

此外，我们考虑一种情况，即投资者不能在基金中持有负面头寸；i、 例如，禁止卖空。因此，我们只考虑正权重的决策：wt≥ 0t、 对于q<N基金的稀疏投资组合，我们使用以下规则为LaymaniInvestor构建了一组投资组合决策：1。≥ 该投资组合的25%投资于SPY，这是一家追踪指数的广泛市场基金，由市值最大的500家美国公司组成。2.≥ 25%的投资组合在q- 1以下非市场基金：q- 1非市场基金各有权重≥q-1%。我们考虑两支、三支、四支和五支基金的投资组合，所有这些基金都包括SPY。这些稀疏投资组合中的每一个都是以未实现的Kelly最优损失为目标（损失（13），不含复杂度函数）和上述定义的约束条件进行优化的。由于我们的数据中有24只基金，不包括SPY，所以以这种方式枚举决策会导致∑i=1我= 12950个稀疏投资组合可供选择。稀疏决策的枚举意味着一个复杂性函数，用于衡量投资组合中包含的基金的数量或心性。由于复杂性函数现在隐式存在于稀疏枚举中，因此λtma可以被认为是每个可能的投资组合决策的方便索引。如初始示例所示，我们必须指定一个目标决策，然后定义等式（3）中定义的遗憾随机变量。我们考虑了两个Puelz、Hahn和Carvalho/遗憾选择的15个目标，分别位于稀疏度谱的两端，用于实证分析。1、密集目标：未实现的Kelly最优决策；针对所有可用资产进行优化的投资组合。将Kelly最优决策定义为w*t=arg最小值≥0L（wt），其中L（wt）=E[L（wt，~Rt）]=wTt∑nctwt- wTtut；在没有罚函数的情况下的最优决策。

这与上述“惩罚”示例中使用的目标相同，现在对权重进行了正约束。2、稀疏目标：市场；由一项代表金融市场广泛敞口的资产组成的投资组合。我们选择间谍作为市场基金。每一个目标的选择都会让投资者从截然不同的角度来分析投资组合选择。在目标密集的情况下，投资者希望做出一个稀疏的投资组合决策，该决策（就遗憾而言）接近于涉及所有可能基金的潜在无法实现的决策。稀疏目标将此方法置于其头部。在这种情况下，稀疏目标法将告知投资者在从广泛市场基金多元化方面的额外优势（如有）。πλt- 2002年3月频率0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.650 500 1000 1500 2000 2500作为targetSPY作为Target的密集投资组合图5。两个目标决策的满足概率直方图（πλt）：denseportfolio（黑色）和SPY（即稀疏目标，灰色）。所示为2002年3月的投资期，是所有12950个枚举稀疏决策的分布。12950个稀疏决策中的每一个都具有满足目标的概率（πλt），可以通过在每个时间点使用方程（3）和（4）以及模型（5）和（6）给出的未来收益分布进行模拟轻松计算。在图（5）中，我们显示了2002年3月所有12950个稀疏决策的满意度概率直方图。与图（2）相关的是，对应于右纵轴的满意度概率以直方图形式显示，现在针对各种目标。与密集（间谍）目标相对的概率以黑色（灰色）显示。密集目标是所有25只基金的密集投资组合优化。

Puelz、Hahn和Carvalho收集了对这种密集投资组合决策的满意度/基于遗憾的选择16与间谍投资组合决策相比，概率更小。当然，与单一基金的稀疏投资组合相比，与分散的密集投资组合相比，满意度会明显降低。图（5）有助于正确选择后悔阈值κ。在下一期累积财富效用下进行评估时，所有仅长期投资组合决策都是相似的。因此，遗憾（损失差异）通常会被收集到接近于零的舍入值，而满意概率将被收集到接近于0.5的舍入值。

作为下一步，我们选择一个κ并给出稠密目标和间谍目标的结果动态投资组合决策。日期SPY EZU EWU EWY EWG EWJ OEF IVV IVE EFA IWP2003 25 75--58--8.3--8.32004 25 75--43--20--6.2--25 75--25--6.2--13--8.3--2006 62 75--6.2--19--12--2007 75--25--8.3--8.32008 44 75--12 8.3 13 21--26--2009 30 45--6.2--41 - - - - 34 - - 17 21 6.3 2010 75 55 - - - - 8.3 - - - - - - - - 26 - - - 11 8.3 2011 58 57 - - 25 - - - - - - - - - - 26 - - - - 8.3 2012 29 25 8.3 - - - - - - - 54 - - 56 - 6.2 - - - - - 2013 34 25 - - - - - 6.2 - 6.2 49 - - 56 - - - - - - 8.3 2014 25 75 - - - - - - - - 37 - 26 - - - - - 6.2 - - 2015 45 25 - - - - - - - - 39 36 - 27 - - 8.3 - - 6.2 8.3 2016 35 75 - - - - - - - - 40 - - - 17 - -8.3-8.3 8.3 8.3日期IWR IWF IWN IWM IYW IYR RSP EEM IWO IWW2003----8.3----8.3----8.3----2004----12----12----6.2----2005----8.3----8.3 30----2006----6.3----6.2----12----2007----8.3----2008----2009----2010---------8.3 8.3----2011----8.3 8.3----8.32012----6.2----8.3----6.32013----8.3----6.3----2014 6.2----12----2015----6.2----2016----表2。δF=δ的DLM（5）和（6）的稀疏投资组合决策（百分比）= 0.97，δc=δβ=0.9925。所示为两个目标的选定投资组合决策：密集投资组合（左栏为白色）和SPY（右栏为灰色）。

请注意，虽然投资组合每月更新，但为了简洁起见，显示了年度权重。在这种动态投资组合选择中，两个目标的regretthreshold都是κ=45%。我们在表（2）中显示了密集型（在所有基金中优化的投资组合）和稀疏型（灰色列中仅为py的投资组合）目标决策的κ=45%阈值的选定稀疏决策。这些决策中的每一项都具有这样的特性，即在每个时间点，投资于该决策相对于各自目标的满意度概率至少为45%。投资组合每月更新一次；为了简洁起见，该表显示了年度权重。对于每个目标，有许多决定将满足该阈值（例如，参见图（5）中概率质量大于0.45）。在这种情况下，我们添加了flexibilitypuelz、Hahn和Carvalho/遗憾型选择17，其中稀疏的选择决定。我们构建稀疏决策，以便每月选择或移除atmost one基金。例如，如果t时的当前投资组合具有SPY、OEF和IVV，则t+1时的两个可接受投资组合可能包括SPY、OEF、IVV和EWG或SPY和OEF基金，它们也都满足κ阈值。在表（2）中，与密集投资组合目标的稀疏决策相比，间谍目标的稀疏决策在交易期间具有更大的分配。此外，它对美国技术部门基金IYW也有一致的分配。相比之下，密集目标的稀疏决策通常会对日本股票专用基金EWJ进行重大分配。图（6）显示了表（2）中所示稀疏决策的遗憾分布的演变。这些线是预期的遗憾，周围区域对应于居中的60%后可信区间。

两项决策的预期回报率都接近于零，大多数投资期的预期回报率都略高于零；这是通过构造实现的，因为我们选择在每个时间点满足κ=45%阈值的稀疏决策。总的来说，这些决定不会带来太多遗憾。事实上，许多列举的长期决策在下一个时期的对数财富效用方面是相似的。-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04遗憾（亏损差额）2002200320042052006200720082009201020112012201320142152016目标公司的密集投资组合如图6所示。表（2）中稀疏决策的事前后悔分布相对于两个目标的演变：密集投资组合（黑色）和间谍（灰色）。平均遗憾由线表示，周围区域代表以60%可信区间为中心的演化。图（6）中遗憾分布的方差在投资期间发生了显著变化。开始时“denseportfolio作为目标”的对数累积财富差异范围很大(~ 累积高度刻度为0.98至1.02）。当稀疏决策与稠密投资组合非常接近时，稠密目标的稀疏决策在2005年前后方差崩溃。请注意，以SPY为目标Puelz、Hahn和Carvalho/基于遗憾的选择18的稀疏决策的遗憾方差通常小于密集目标决策。

由于所有枚举决策都将至少25%的投资组合分配给了间谍（目标本身）和其他多样化头寸，因此遗憾的不确定性应该更小，这是很直观的。以间谍为目标的稀疏决策的遗憾演变揭示了另一个问题：是否存在分配给其他基金的多元化利益？在12950个稀疏的决定（包括多达四个非间谍基金）中进行选择，预期的遗憾似乎基本为零（参见图（6）中的灰色线）。该分析表明，在对数累积财富效用下，考虑到本节开头定义的大量枚举决策，从事前角度来看，最好的稀疏决策可能是SPYitself！对于表（2）中显示的稀疏决策，可以研究其他指标（如投资组合夏普比率）的事前演变。夏普比率不是绝对值，因为它不是未来收益率的函数。然而，它是模型参数的函数，其不确定性以后验分布为特征。具体而言，确定预测投资组合夏普比率：SR（wt，Θt）=wTtut/（wTt∑twt）1/2，ρSR（w*λt，w*t、 Θt）=SR（w*t、 Θt）- SR（w*λt，Θt），（15），其中ρSR（·）是预测性的，即模型参数上的未来返回rtcondition被积分出来。该投资组合指标不同于Kellycriterion损失，因为它侧重于投资组合预期收益率和方差的比率。它可以作为一种探索性工具，伴随着基于后悔的投资组合选择。-0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6夏普比率的差异20022003200420520062007200820092010120122013201420152016作为targetSPY作为target的密集投资组合图7。

表（2）中稀疏决策的事前“年化夏普比率差异”分布相对于两个目标的演变：密集投资组合（黑色）和间谍（灰色）。平均遗憾由线条表示，周围区域代表演变中心60%后可信区间。Puelz、Hahn和Carvalho/基于后悔的选择19我们以探索性的方式利用这种“夏普比率差异”分布，如图（7）所示，以年为单位。夏普比率差异的演变类似于图（6）中的遗憾。在这种情况下，夏普比率的较大正差异意味着所选稀疏决策与目标决策相比具有较小的回报风险权衡。与间谍目标的稀疏决策相比，密度目标的稀疏决策具有更大的方差和围绕更大正值的趋势。这些特征的基本原理是相似的：枚举稀疏决策被构造为包含间谍，因此稀疏决策和间谍目标决策的夏普比（如损失）通常很接近。在2009年左右的金融危机之后，两个稀疏决策的夏佩尔蒂奥差异稳定在较低的值。3.4.1. κ发生变化时会发生什么？动态投资组合决策的选择将根据后悔阈值κ发生变化。在图（8）中，我们展示了对于使用间谍目标的选定稀疏决策，夏普比率（按年计算）的预期后悔和差异是如何变化的。对于使用三个κ阈值构建的稀疏决策，显示了这些度量的演变：κ=45%（黑色）、50%（深灰色）和55%（浅灰色）。