鲁棒优化确定性等价物的计算方面和

另见【27】。此外，请注意，各种证明的技术不同。我们的证明建立在可测函数定义的凸函数和Choquet正则性结果的基础上，并且明显更短。^1*表示ν的凸共轭，即*（y） =supx（xy- ^1（x））。2.1. 优化的确定性等价物和短缺风险度量贯穿本节，让X=R和u∈ M（R）是一些固定的基线分布。对于任何“损失”功能l:R→ (-∞, ∞] 从下面可以测量并有界，回想一下，关于u的优化确定等价性和短缺风险度量由OCE（l）：=infm定义∈RZl（·）- m） ）du+m和ES（l）：=infm级∈ R:Zl（·）- m） du≤ 0.对于其余部分，我们定义了一个成本函数c和一个惩罚函数Д，为了便于符号的简单性，该函数仅取决于差异。给定f:R→ (∞, ∞] 从下方可测量并有界，定义（f）：=supu∈M（R）Zf du- ^1（直流（u，u）））.稳健优化确定性等价/短缺风险度量CE（l）：=infm∈R（R（l）（）- m） ）+m）和ES（l）：=infm级∈ R:R（l）- m） （）≤ 0对于l：R→ (-∞, ∞] 从下方可测量和有界。以下是本节的第一个主要结果，说明计算量OCE（l）和ES（l）的有限维问题实际上是一个具有不同损失函数l的有限维问题。定理2.7。给定损失函数l:R→ R可测量且从下面有界，它认为OCE（l）=infλ≥0OCE公司lλc+ ^1*(λ).如果进一步的infxl（x）<0，那么它认为es（l）=infλ≥0ESlλc+Д*(λ).备注2.8。在Д（x）=x的特殊情况下，计算会简化，并且OCE（l）=OCE（lc）和ES（l）=ES（lc）。类似，如果Д（x）=∞1(δ,∞]对于某些δ>0，一个getsOCE（l）=infλ≥0（OCE（lλc）+λδ）和ES（l）=infλ≥0ES（lλc+λδ）。备注2.9。

Wasserstein距离是建模模糊度的常用距离选择的主要原因是，经验度量相对于该距离收敛，并且相对于总变化距离而言，它不是太强，例如，参见[18]。例如，真实测度和经验测度之间的距离以非渐近速率在期望值中收敛，约为n阶-1/2如果存在足够的力矩。这就需要使用最佳运输距离对金融或任何其他领域中的模糊集进行建模，其中真实分布通过基于可用数据的经验度量进行近似。收敛性意味着随着数据样本量的增加，近似值变得更加精确。此外，浓度不等式表明了如何根据N选择δ。更准确地说，如果c（x，y）=x，则由[23]得出- y | pand假设真实分布u满足fyrex p（| x | 2p）u（dx）<∞, 然后它保持P（dc（u，uN）≥ δ) ≤ C扩展(-cNδ）对于所有δ∈ （0，∞)式中，uN：=NPNn=1δxnis是N i.i.d.观测值的经验测量值xi，x和C，C>0是常数（强指数可积性假设可以被削弱为矩的存在，但公式变得更难看）。有关类似的界限，请参阅[13]。在定义R时，还可以考虑概率度量空间上的许多其他距离，从而确定OCE或ES（例如，调查见[28]）。我们之前已经注意到，Wasserstein距离比弱收敛性强，这实际上在目前的情况下是有益的：如果用与弱收敛或iflim infx兼容的距离替换DCS→∞c（x）<∞ u=δ，则始终OCE（l）=ES（l）=∞ 只要l是一个凸的非常数损失函数。第4节给出了这些事实的证明。

尽管定理2.7将有限维问题简化为有限维问题，但无论经典OCE的计算如何，计算lλc（通常针对几个不同的λ）的挑战仍然存在。然而，对于许多相关示例，存在闭式公式。示例2.10（风险平均值）。对于某些α，设l（x）=x+/α∈ （0，1），使OCE（l）成为风险稳健平均值AV@Rα在α级。表1总结了非稳健平均风险值之间的关系AV@R和强大的对手AV@R对于c和Д的不同选择。AV@Rαc（x，y）=x- y | c（x，y）=| x- y |Д=∞1(δ,∞]AV@Rα+ δ/α AV@Rα+（δ/α）1/2Д（x）=x∞ AV@Rα+1/（4α）Д（x）=xp/pAV@Rα+（1/α）q/qAV@Rα+（p+1）/（p（4α）-p/（p+1））表1：所选惩罚函数Д和Wasserstein距离的稳健平均风险值。这里q>1是指1/p+1/q=1。这个例子给出了一个被称为后估价调整（post-valuationadjustment）的直观自然事实的数学证明。在计算损失风险u时，建议增加保证金以对冲可能的模型错误或计算错误，例如参见【17，第5章】。例2.11（单调平均方差）。设l（x）=（（（1+x）+）- 1） /2所以OCE（l）成为稳健单调均值方差风险度量，参见[35]。对于成本函数c（x，y）=（x- y） ，onehasOCE（l）=infλ>1/2OCE公司2λ2λ - 1升+4λ - 2.- ^1*(λ).例如，如果Д（x）=x，则该公式简化为OCE（l）=OCE（2l）+1/2。示例2.12（风险价值）。设c（x，y）=x- y | p对于某些p>0。然后，对于α级风险的稳健值∈ （0，1），一个hasV@Rα： =infm级∈ R:R（1（m，∞)) ≤ α= infλ≥0infm级∈ R：u（（m，∞)) + e（m，λ）+Д*（λ）≤ α,式中，e（m，λ）：=R（m-λ-1/p，m]1- λ| x- m | pu（dx）。例如，如果Д（x）=x和c（x，y）=x- y |此公式简化了V@Rα=inf{m∈ R：u（（m，∞)) +R（米-1，m]（m- x） u（dx）≤ α}. 2.2。

欧式期权的稳健定价定理2.7背后的原则不限于OCE或ES或其他类似形式的风险度量。例如，它可以应用于期权定价，参见最近的论文【10】，了解均值方差对冲的应用。自始至终，设X=Rd为d维金融资产的正则空间S=（S，…，Sd），即S:Rd→ RDI是身份。在这里，我们再次定义了一个成本函数c，对于符号简单性而言，它仅取决于差异，以及一个惩罚函数Д。此外，我们假设对于某些ε>0的情况，itholds lim inf | x|→∞c（x）/| x | 1+ε=∞. Letu∈ M（Rd）是S的可积风险中性定价度量，即S=RS du∈ Rdi是时间0时这些资产的价格，并假设Rc（x- y） u（dx）<∞ 对于每个y∈ Rd.我们进一步假设利率为0。给定一种欧式期权报酬H：=H（S），其中H:Rd→ R是可测量的，从下面开始，我们用价格（H）表示：=ZRdh（x）u（dx）=Zh（S）du。其风险中性价格。考虑到定价措施中的不确定性，上一节中的R类似物包括考虑与资产价格一致的所有概率，即价格（H）：=sup{u∈M（Rd）：RRdS du=s}Zh du- ^1（直流（u，u）））.当且仅当infα时，满足附加约束trs du=s∈RdRα·（S）- s） du>-∞,正式应用极大极小定理1，得到位置2.13。对于每个可测量的回报h:Rd→ R使supx∈Rd | h（x）|/（1+| x |）<∞一个hasPRICE（H）=infα∈Rdinfλ≥0Zhλc，αdu+Д*(λ)式中，hλc，α（x）：=supy∈Rd（h（y）+α·（y）- s）- λc（y- x） ）对于x∈ Rd，α∈ Rd，λ≥ 后一个函数hλc，α可解释为根据原始风险中性定价分布u定价的修正收益。特别是如果ν（x）=x，则公式再次简化了toPRICE（H）=infα∈RdZhc，αdu。示例2.14（健壮调用）。

让我们考虑一个到期日为1的看涨期权的情况，该看涨期权的行使时间为单一资产，即h（x）=（x- k） +和d=1。为了便于标注，我们用CALL（k）表示相应的价格。对于成本c（x，y）=（x- y） /2，罢工时的稳健调用k满足调用（k）=infα∈Rinfλ>0呼叫k-2α + 12λ+α2λ+ φ*(λ).同样，如果Д（x）=x，则调用的稳健价格简化为调用（k）=infα∈R呼叫k-2α + 1+α. 图1显示了作为罢工函数的标准Black和Scholes价格与稳健价格。正如所料，Black和Scholes价格与稳健价格之间的最大价差在于货币，而对于货币内或货币外期权而言，稳健成本消失。图1:Black和Scholes与Robust的看涨期权价格。^1（x）=x，现货价格为1，利率为零，分布为对数正态分布，波动率为20%，期限为一年。备注2.15。当短缺风险由非线性期望R控制时，稳健价格（H）也可以解释为H的最小超边际价格。更准确地说，[15]给出了稳健价格可以表示为inf{m的条件∈ R：R(-m级- α·（S）- s） +小时）≤ 0表示某些α∈ Rd}。备注2.16（稳健效用最大化）。稳健数学金融中定理2.4直接适用的另一个问题是效用最大化。实际上，给定一个效用函数U:R→ R从上到下的边界和一个可测量的索赔f:Rd→ R、 定理2.4暗示SUPα∈Rdinfu∈M（Rd）ZU（f（S）+α·（S）- s） ）du+Д（dc（u，u））= supα∈Rdsupλ≥0ZUλc，αdu- ^1*(λ),式中，Uλc，α（x）：=infy（U（f（y）+α·（y- s） ）+λc（x，y））。请注意，也可以用动态规划来处理多周期情况，请参见[3，第2.3节]，以了解此框架中对Wasserstein距离的讨论。3、一般设置结果3.1。

本标段尾部风险措施和Kusuoka型代表，letD M（R）和R（f）：=supu∈DZf du表示f:R→ (-∞, ∞] 从下方可测量和有界。在非稳健设置下，即D为单变量，众所周知，平均风险值（见示例2.10）是一种通过满足以下条件捕获“尾部风险”的风险度量representationAV@Rα=αZαV@Rudu，（3.1）其中V@R是风险值，参见示例2.12。也就是说，AV@R粗略地说是V@R低于α-分位数；例如，最优投资组合问题中的一个重要性质，见Rockafellar和Uryasev【41】。然而，我们将在第3.2节中看到AV@Rα等于上μ∈ D是相对于u的平均风险值，当D由多个元素组成时，很容易得出（3.1）通常不再成立。以类似的方式，我们不能期望任何形式的Kusuoka类型表示（3.1）的抽象版本，其中任何法律不变的风险度量可以表示为平均风险值。为了证明公式（3.1）的稳健版本，需要对集合D进行更强的假设。IfD 6= 满足度很高，并且对于所有u，~u∈ D有ν∈ D如u所示(-∞, t] ，￠u(-∞, t]≥ ν(-∞, t] 对于所有t, （DIR）这也表明稳健OCE与非稳健OCE具有相同的性质，参见推论4.2。这里的意思是，对于每个ε>0，都有一些紧集K R满足supu∈Du（Kc）≤ ε.提案3.1。假设（DIR）为true。ThenAV@Rα=αZαV@Rudufor每个α∈ (0, 1).示例3.2。让(Ohm, F、 P）是携带布朗运动（Wt）t的概率空间∈[0，T]，其中T∈（0，∞), 完成W的自然过滤。设σ、\'b和\'b为三个实数，使得σ>0。

然后，对于每个严格递增函数f:R→ R和S>0，设定值：=Po f（ST）-1 dSt=St（b dt+σdWt）和b∈ [\'b，\'b]满意度（DIR）。命题3.1提出了一种Kusuoka型表示，用于法律不变风险度量的鲁棒性。事实上，将ρ定义为ρ（u）：=supν∈M（（0,1）Z（0,1）AV@Ru（u）ν（du）- β(ν)!对于某些惩罚函数β：M（（0，1））→ (-∞, ∞], 考虑ρ（D）：=supu∈Dρ（u）。下面的推论给出了ρ（D）的表示形式AV@R.特别是，它表明当D满足（DIR）时，AV@R构成法律不变风险度量稳健性的基本构建块。推论3.3。假设D满足（DIR）且在弱拓扑中是闭合的。然后，它认为ρ（D）：=supu∈Dρ（u）=supν∈M（（0,1]）Z（0,1]AV@Ru（D） ν（du）- β(ν)!.3.2. 二元论(Ohm, F） 是一个给定的可测空间，具有非线性期望（·）：=支持∈M级(Ohm)（EP[·]- β（P）），对于某些函数β：M(Ohm) → [0, ∞], 其中M(Ohm) 是关于金融学的一组概率测度。在本文的第一部分，我们定义了稳健的OCE asOCE（X）=infm∈R（E（l（X- m） ）+m）对于每个可测量的函数X：Ohm → R、 这里l:R→ 假设R满足通常的假设SL是凸的、递增的、从下有界的，且l（0）=0，l*（1） =0，l（x）>x表示| x |足够大（CIB）和l*（y） =supx∈R（xy- l（x））表示l对y的凸共轭∈ R和l*(∞) := ∞. 注意，l*（y）≥ 如果l是连续可微的，那么l*（1） =0表示l（0）=1。对于本节的剩余部分，如果Q相对于P和dQ/dP是绝对连续的，则dQ/dP表示氡尼科德姆导数≡ ∞ 否则定理3.4。假设l满足（CIB）且β与infP凸∈M级(Ohm)β（P）=0。

那么onehasOCE（X）=supQ∈M级(Ohm)等式[X]- infP公司∈M级(Ohm)EP公司l*dQdP+ β（P）对于每个有界可测函数X：Ohm → R、 当β是M的非空凸集P的凸指示符时(Ohm), 即β=∞1件，然后（·）=供应∈PEP[·]andOCE（X）=supQ∈M级(Ohm)等式[X]- infP公司∈佩普尔*dQdP我.特别是，这意味着鲁棒优化确定性等价物等于上确界overP∈ P的优化确定性等效于P。示例3.5。Troughout这个例子让E（·）=supP∈PEP[·]对于某些凸集P.o相对熵：设l（x）=（exp（αx）- 1） /α对于某些α>0。新（X）=支持∈Pαlog EP[经验（αX）]=supQ∈M级(Ohm)等式[X]- infP公司∈PαEQhlogdQdPi.这是著名的吉布斯变分原理的推广，infP∈PEQ[对数dQ/dP]可以看作概率测度Q和集合P之间的Kullback-Leibler散度。o单调平均方差：设l（x）=（（（1+x）+）- 1)/2. ThenOCE（X）=supQ∈M级(Ohm)等式[X]- infP公司∈佩普dQdP- 1） 我！。函数infP∈政治公众人物[（dQ/dP）/2-1） ]可以看作概率测度Q和集合P之间的2阶Rènyi散度。o风险平均值：对于某些α，设l（x）=x+/α∈ (0, 1). 新（X）=sup等式[X]：Q∈ M级(Ohm) 这样，dQ/dP≤ 对于某些P，1/α∈ P.4、证明4.1。第2Proof节（定理2.4）的证明。对于每个可测函数f:X→ (-∞, ∞] 从下方界定，定义Φ（f）：=infλ≥0Zfλcdu+Д*(λ).目标是将Choquet定理（以定理A.1的形式）应用于函数Φ，这需要检查以下四个步骤。步骤1：单调性和凸性。如果f≤ g、 那么fλc≤ gλc对于任何λ，使得Φ（f）≤ Φ（g）。此外，对于t∈ [0，1]和λ，λ≥ 0它认为（f+g）λc≤ tfλc+（1- t） gλc或λ：=tλ+（1- t） λ，这意味着（也使用ν的凸性*) Φ（tf+（1- t） g）≤ tΦ（f）+（1- t） Φ（g）。

最后，forevery m∈ R、 λ≥ 0和x∈ 它认为mλc（X）=m- infy公司∈Xλc（X，y）=msoΦ（m）=infλ≥0(φ*（λ）- m） =m。由于Φ是单调的，因此Φ（f）尤其是∈ Rwhenever f是有界的。第2步：从上方连续。用cb和ub分别表示从X到R的有界连续函数集和上半连续函数集。我们证明了Φ在Cb上是连续的。设ε>0，设（fn）为cb中的一个序列，该序列逐点减小到0。修正一些m，使f≤ mandλ>0，以便*(λ) < ε. 这是可能的，因为根据假设，Д不是常数，因此*在0的某个邻域上，isreal值（因此通过凸性连续）。进一步固定k，使u([-k、 k]c）≤ ε。假设r>0，λc（x，y）≥ m每当| x- y |≥ r、 hencefλcn（x）=supy∈[x-r、 x+r]（fn（y）- λc（x，y））≤ 苏比∈[x-r、 x+r]fn（y）。根据Dini引理，fn[-k-r、 k+r]≤ ε表示n大，thusfλcn≤ ε1[-k、 k]+m1[-k、 k]C对于n大。因此Φ（fn）≤ ^1*（λ） +Zfλcn（x）u（dx）≤ ε + εu([-k、 k]）+mu([-k、 k]c）≤ （2+m）ε对于n大且ε>0是任意的，Φ（fn）↓ 0 = Φ(0).第3步：从下面连续。我们证明Φ（fn）↑ Φ（f）每当（fn）是一系列可测函数fn:X时→ (-∞, ∞] 从下方开始，增加到f。因为Φ在增加，它的f表示Φ（f）≤ supnΦ（fn）。假设supnΦ（fn）<∞, 因为否则就没有什么可证明的了。对于每n fixλn≥ 0，以便*（λn）+Zfλncndu≤ Φ（fn）+nand m∈ R带m≤ f≤ fnso thatfλncn（x）≥ 苏比∈X（米- λnc（x，y））=m。注意*假设为凸且非常数，ν*（注册护士）→ ∞ 对于收敛到的每个序列（rn）∞. 因此（λn）是有界的，并且可能在传递到子序列之后，（λn）收敛到某个λ∈ [0, ∞).

注意fλc（x）=supy∈Xlimn（fn（y）- λnc（x，y））≤ lim infnsupy公司∈X（fn（y）- λnc（x，y））=对于每个x和相同的参数，lim infnfλncn（x）*（λ）≤ lim infnД*（λn）。Fatou引理nowimpliesΦ（f）的一个应用≤ ^1*（λ） +Zfλcdu≤ lim信息^1*（λn）+Zfλncndu= supnΦ（fn）≤ Φ（f），其中最后一个不等式成立，因为Φ在增加，fn≤ f代表每n。因此，索赔如下。第四步：计算凸共轭。我们声称Φ*Cb（u）：=supf∈Cb公司Zf du- Φ（f）= Φ*Ub（u）：=supf∈乌兰巴托Zf du- Φ（f）= ν（dc（u，u）），约定dc（u，u）=∞ 如果u不是概率。首先请注意0≤ Φ*Cb公司≤ Φ*Ub，因为Φ（0）=0，且Cb是Ub的子集。显示Φ*Ub（u）≤ ν（dc（u，u））可以假设dc（u，u）<∞, 否则，这就微不足道了（如假设所示）(∞) = ∞). 然后，在X×X上有一个可能性π，边缘π（·×X）=u，π（X×·）=u，使得rc dπ=dc（u，u），参见例如【42，定理5.9】。对于任何f∈ Ubandλ≥ 0，点态不等式f（y）≤ λc（x，y）+fλc（x），对于所有x，相对于πyieldsZXf（y）u（dy）=ZX×Xf（y）π（dx，dy）积分≤ λdc（u，u）+ZXfλc（x）u（dx）。（4.1）定义为λdc（u，u）- ^1*（λ）≤ ν（dc（u，u））对于所有λ≥ 0，使RF du- Φ（f）≤ν（dc（u，u））；因此Φ*Cb（u）≤ Φ*Ub（u）≤ ^1（直流（u，u））。要显示反向不等式，请乘以一些u和ε>0。根据Fenchel-Moreau定理，ν（x）=supλ≥0（λx- ^1*（x） ）每x≥ 0，因此存在λ≥ 0，使得λdc（u，u）- ^1*（λ）≥ ^1（直流（u，u））- ε、 ifД（dc（u，u））<∞,λdc（u，u）- ^1*（λ）≥ 1/ε，如果dc（u，u）<∞ 但ν（dc（u，u））=∞,^1*（λ）≤ 如果dc（u，u）=，ε和λ>0∞.当dλc（u，u）=λdc（u，u）时，根据dc的对偶公式（2.1），存在有界且连续的函数sf，g，使得f（x）+g（y）≤ λc（x，y）表示所有x，y和zf du+Zg du≥（λdc（u，u）- ε、 如果dc（u，u）<∞,1/ε，否则。注意f（x）- λc（x，y）≤ -g（y），由此得出fλc≤ -g。