鲁棒优化确定性等价物的计算方面和

AsД（dc（u，u））<∞ impliesdc（u，u））<∞ 因此，我们获得ZF du- Φ（f）≥Zf du+Zg du- ^1*（λ）≥（Д（直流（u，u））- 2ε，ifД（dc（u，u））<∞,1/ε - ε、 如果φ（dc（u，u））=∞.由于ε>0是任意的，因此Φ*Cb（u）≥ Д（dc（u，u）），上一部分显示Φ*Cb（u）=Φ*Ub（u）=Д（dc（u，u））。现在表示（2.2）来自定理A.1的应用。关于最优λ的存在性≥ 0，将步骤3应用于常数序列fn=f。（定理2.7的）证明。首先要注意的是，由于c只取决于差值，所以有l（·）- m） λc（x）=lλc（x- m） 对于所有m∈ R、 x个∈ R、 和λ≥ 现在，根据定理2.4，一个hasOCE（l）=infm∈Rsupu∈M（R）Zl（x- m） u（dx）- ^1直流（u，u））+ m级= infm公司∈Rinfλ≥0Zl（·）- m） λc（x）u（dx）+Д*(λ)+ m级= infλ≥0infm∈RZlλc（x- m） u（dx）+Д*（λ） +百万= infλ≥0OCE（lλ）+Д*(λ),这就完成了证明。相同的参数表明es（l）=infnm∈ R：最小λ≥0Zlλc（x- m） u（dx）+Д*(λ)≤ 0o=infλ≥0infnm∈ R:Zlλc（x- m） u（dx）+Д*（λ）≤ 0o=infλ≥0ES（lλc+Д*(λ)). 证明（备注2.9）。我们首先证明了OCE（l）=ES（l）=∞ 如果lim infx→∞c（x）<∞ l是一个lossfunction。因为l是递增的、凸的且不是常数，所以存在a，b>0，使得l（x）≥ 斧头-b外汇x∈ R、 因为Д在0处是连续的，所以δ>0使得Д（δ）<∞. 此外，根据假设，存在一些r∈ R和R中的序列（xk），使得xk≥ k和c（xk）≤ r、 为了简单起见，让我们假设c（0）=0，u=δ，并定义uk=（1- δ/r）δ+δ/rδxk。THNDC（uk，u）=1.-δrc（0- 0）+δrc（xk- 0）≤ δ，因此φ（dc（uk，u））≤ φ(δ) < ∞. 然而，assupkZl（x- m） uk（dx）≥ 高级大床房1.-δrl（0- m） +δr（a（xk- m）- （b）= ∞每m∈ R、 因此，OCE（l）=ES（l）=∞.显示OCE（l）=ES（l）=∞ 如果用与弱收敛兼容的距离代替dcs，则设uk=（k-1） /kδ+1/kδk，弱收敛于δ。

当ν在0时连续时，Д（d（uk，δ））→ 然而，supkRl（x- m） uk（dx）=∞ 对于每个m，这再次意味着OCE（l）=ES（l）=∞. 证明（示例2.10）。对于每个λ≥ 0它可以容纳thatsupy∈Rαy+- λ（x- y）=αx+4λα+因此，对于每个λ，OCE（lλc）=OCE（l）+4λα≥ 因此，定理2.7 yieldsOCE（l）=OCE（l）+infλ≥0^1*(λ) +4λα.仍需插入不同的Д并计算其上限。这证明了p=2的说法。类似地，对于p=1，它认为lλc（x）=∞ 如果λ<1/α且lλc（x）=x+/α，则为其他。因此，根据定理2.7，OCE（l）=OCE（l）+infλ≥1/αφ*（λ） =OCE（l）+Д*α其中最后一个等式成立，因为*正在增加。证明（示例2.11）。它保持SLλc（x）=(∞, 如果λ<1/2,2λ2λ-1l（x）+4λ-2，其他。因此，对于优化的确定性等价物，一个具有OCE（lλc）=OCE（2λ2λ-1l）+4λ-因此，根据定理2.7，它认为oce（l）=infλ>1/2OCE公司2λ2λ - 1升+4λ - 2.- ^1*(λ). 证明（示例2.12）。请注意，风险值是预期短缺的特例，对应于损失函数l=1（0，∞)- α. 此外，使用约定0-1/p=∞, 它认为lλc（x）=l（x）+（1- λ| x | p）1(-λ-1/p，0]（x）- α为每x。因此，λc（x- m） u（dx）=u（（m，∞)) + e（m，λ）- αsothatV@Rα=ES（l）=infλ≥0ESlλc+Д*(λ)= infλ≥0infm级∈ R：u（（m，∞)) + e（m，λ）+Д*（λ）≤ α,根据定理2.7。注释2.8给出了特殊情况Д（x）=x。证明（命题2.13）。这个证明类似于定理2.4的证明，我们只给出了一个草图。用Blinn可测函数集f:Rd表示→ 其中supxf（x）/（1+| x |）是有限的，并且由Ulinand Clin分别定义上半连续函数和连续函数的子集。

对于每个人∈ 盲板Φ（f）：=infα∈Rd，λ≥0Zfλc，αdu- ^1（直流（u，u）））定义为fλc，α（x）≥ f（x）- α·（x- s）- c（0）≥ -k（| x |+1）对于某些k>0和R | x |u（dx）<∞.如定理2.4所示，我们检查Φ是blinw上的凸函数，它从Clin上是连续的（这里的增长条件lim inf | x|→∞c（x）/（1+| x | 1+ε）=∞ 已使用）。此外，定理2.4中的类似参数表明Φ在Blin上从下到下是连续的（这里的条件是rc（x- y） u（dx）<∞ 每使用一个y）。根据定理a.1的一个版本（见[4，定理2.2]），可以得出Φ（f）=supu∈M（Rd）Zf du- Φ*临床（u）对于f∈ Blin，前提是Φ*临床（u）：=supf∈临床Zf du- Φ（f）= supf公司∈乌林Zf du- Φ（f）=: Φ*Ulin（u）。AsΦ（α·（S- s） （）≤ 0和α·（S- s）∈ Clinfor everyα∈ Rd，与定理2.4屈服Φ中的计算类似*Clin（u）=Φ*Ulin（u）=（ν（dc（u，u））），ifRS- s du=0∞, 否则证据到此为止。证明（示例2.14）。

我们计算λc，α（x）=supy∈R（y）- k） ++α（y- s）-λ（y- x）.一阶条件产生（0，∞)（y）- k） +α- λ（y- x）≥ 0≥ 1[0,∞)（y）- k） +α- λ（y- x） 对于优化器，有三种情况：oy*< k、 然后是y*- x=α/λ，因此y*= α/λ+x和x∈ (-∞, k- α/λ).o y*> k、 然后是y*- x=（α+1）/λ，因此y*= （α+1）/λ+x和x∈ （k）- (α + 1)/λ, ∞).o y*= k是不可能的。因此，我们有三种情况：o对于x∈ (-∞, k- (α + 1)/λ]  (-∞, k- α/λ），则hλc，α（x）=ααλ+x- s-λαλ=α（x- s） +α2λo对于x∈ [k]- α/λ, ∞)  （k）- (α + 1)/λ, ∞), 因此hλc，α（x）=α+1λ+x- k+ αα+1λ+x- s-(α + 1)2λ=x个-k-2α + 12λ+ α（x- s） +α2λo对于x∈ （k）- （α+1）/λ，k- α/λ），则hλc，α（x）=α（x- s） +α2λ∨x个-k-2α + 12λ+ α（x- s） +α2λ.Hencehλc，α（x）=x个-k-2α + 12λ++ α（x- s） +α2λ。因此，命题2.13和u是一个定价度量yieldCALL（k）=infα的事实∈Rinfλ>0呼叫k-2α + 12λ+α2λ+ φ*(λ).在这个等式中插入ν的特殊情况，就得到了索赔。4.2. 第3.1节的证明命题3.1证明的主要论点在下一个引理中给出。引理4.1。假设D满足（DIR）。然后，存在u*∈ Msuch thatsupu∈DZfdu=Zfdu*（4.2）对于每个递增的连续函数f:R→ R，从下面开始限定。如果在由所有连续有界函数诱导的弱拓扑中另外D闭合，则u*∈ D、 证明。首先假设f是有界的。由于D很紧，可以检查“F（t）”定义的“F”：=infu∈DFu（t），其中Fu（t）：=u(-∞, t] 是一个累积分布函数。此外，如果是递增的、连续的和有界的，它定义了实线上的有限Borel度量df。因此，df是规则的，τ是可加的，例如参见[12，命题7.2.2]。让我们首先说明z'F df=infu∈DZFudf。（4.3）每个累积分布函数Fu都在增加且右连续，因此上半连续。

由于D满足（DIR），净（Fu）u∈Dis递减。因此，（1- Fu）u是非负下半连续函数的递增网络，因此1-\'F=limu（1- Fu）。因此，从[12，引理7.2.6]得出∈DZ1- Fudf=limuZ1- Fudf=Z1-\'F df，显示（4.3）。此外，由于f是连续的，一个hasR'f（x-) df（x）=R'F（x）df（x）。因此，部件集成yieldZfd'F=F(∞) -Z'F df=F(∞) -锌u∈DFuDF=f(∞) - infu∈DZFudf=f(∞) - infu∈Df级(∞) -ZfdFu= supu∈DZfdFu，D被赋予排序u ν当且仅当u(-∞, t]≥ ν(-∞, t] 当f有界时，每t显示（4.2），u*与“F”相关的分布。如果f没有界，我们从下面用fn来近似f：=f∧ n、 如果D也是闭的，那么根据普罗霍罗夫定理和紧性，D是紧的。假设存在矛盾，u*/∈ D、 然后，根据强分离定理和（4.2），存在一个连续的有界增函数f:R→ R使RFDu*>supu∈DRfdu，这显然与（4.2）相矛盾。因此，u*∈ D推论4.2。假设（DIR）成立，l:R→ R是凸的，递增的，从下面开始有界，当| x |足够大时，l（x）>x。然后存在u*∈ 曼德m*∈ R使得OCE（l）=infm∈RZl（x- m） u*（dx）+m=Zl（x- m级*) u*（dx）+m*.特别是m*以ZL为特征-（十）- m级*) u*（dx）≤ 1.≤Zl+（x- m级*) u*（dx）对于右侧和左侧导数l-如果l是连续可微的，那么上面公式中的不等式就是等式。证据u的存在*∈ Msuch that OCE（l）=infm∈R（Rl（x- m） u*（dx）+m）直接来自引理4.1。因此，最优分配m*可以从非稳健性的情况中推断，例如参见[6]。证明（命题3.1）。

根据引理4.1和推论4.2，一个有u*(-∞, t] =infu∈Du(-∞, t] 对于每个意味着V@Rα=inf{m∈ R：u*（（m，∞)) ≤ α} 以及AV@Rα=infm∈R（R（x- m） +/αu*（dx）+m）。因此，[25，引理4.51]yieldsAV@Rα=ααZinf{m∈ R：u*（（m，∞)) ≤ u} du=ααZV@Rudu. 证明（示例3.2）。对于每个\'b≤ b≤流程Sbt=Sexp（（b-σ） t+σWt）是dSt=St（b dt+σdWt）的解。此外，当S>0且f严格增加时，一个搭扣（f（S'bT）≤ x）≤ P（f（SbT）≤ x）≤ P（f（S’bT）≤ x） （4.4）对于所有x。因此，一个简单的计算表明，D满足（DIR）。证明（推论3.3）。根据引理4.1，有u*因此AV@Ru= AV@Ru（u*) 对于每个u∈（0，1）。因此，定义ρ（D）≤ supν∈M（（0,1]）Z（0,1]AV@Ruν（du）- β(ν)!.另一方面，当D闭合时，它保持u*∈ D，因此supu∈DR（0,1）AV@Ru（u）ν（du）≥Ru（u）下的R（0,1）AV*) ν（du）=R（0,1）AV@Ruν（du），证明了逆不等式。（定理3.4的）证明。用dom（β）表示：={P∈ M级(Ohm) : β（P）<∞} 假设β的区域是一个非负凸集。因此，函数J定义为：R×dom（β）→ R、 （m，P）7→ EP[l（X- m） ]+米- β（P）在m中是凸的和连续的，在P中是凹的。此外，因为X是有界随机变量，而l是从下到下以limx为界的→∞l（x）/x=∞ 根据假设，存在一些∈ R使得以下等式中的第一个和最后一个等式保持不变∈RsupP公司∈dom（β）J（m，P）=infm∈[-m、 m]支持∈dom（β）J（m，P）=支持∈dom（β）infm∈[-m、 m]J（m，P）=支持∈dom（β）infm∈RJ（m，P）。中间等式源自极大极小定理，例如参见[22，定理2]。现在注意左手边等于OCE（X），右手边是P的上确界∈ P下最优确定性等价物的dom（β）。

尤其是，它遵循优化确定性等价物的经典表示，即OCE（X）=supP∈dom（β）supQ∈M级(Ohm)等式[X]- EPhl*dQdP我- β（P）= supQ公司∈M级(Ohm)等式[X]- infP公司∈M级(Ohm)EPhl*dQdPi+β（P）. A、 附录X Rdbe闭合，用Bb表示-从X到(-∞, ∞] 它是有界上半连续（分别是有界连续）函数的子集。进一步将M（X）写入X上所有可数加性、有限、正钻孔量的集合，即M（X）：={tu：u∈ M（X）和t≥ 0}。以下定理是对[4]中定理2.2的轻微修改，它构建了乔奎特关于容量正则性的理论。定理A.1。LetΦ：Bb-→ (-∞, ∞] 是单调凸泛函，使得Φ（f）<∞ 当f有界时。IfoΦ（fn）↓ Φ（0）对于cb中的每个序列（fn），其逐点减少到0，oΦ*Cb（u）：=supf∈Cb（Rf du-Φ（f））=supf∈Ub（Rf du-Φ（f））=：Φ*Ub（u）每u∈ M（X），oΦ（fn）↑ Bb中每个序列（fn）的Φ（f）-逐点增加到f∈ Bb型-,那么Φ（f）=supu∈M（X）Zf du- Φ*Cb（u）对于每个f∈ Bb型-. （A.1）证明。如果Bb-替换为所有有界可测函数集这正是[4，定理2.2]的陈述，因此（A.1）适用于所有有界可测f。对于一般f∈ Bb型-, 请注意，（A.1）适用于每个f∧ n、 因此，根据第三个假设Φ（f）=supnΦ（f），提出索赔∧ n） 交换两个超上界，并在每个u下应用单调收敛定理∈ M（X）。参考文献[1]P.Artzner、F.Delbaen、J.M.Eber和D.Heath。一致的风险度量。数学《金融》，1999年9:203–228。[2] J.Backhoff和L.Tangpi。布朗过滤中一些时间不一致风险度量的动态表示。预印本：arXiv:1608.074982016。[3] D.巴特尔。

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