鲁棒优化确定性等价物的计算方面和

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英文标题：
《Computational aspects of robust optimized certainty equivalents and
  option pricing》
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作者：
Daniel Bartl, Samuel Drapeau, Ludovic Tangpi
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Accounting for model uncertainty in risk management and option pricing leads to infinite dimensional optimization problems which are both analytically and numerically intractable. In this article we study when this hurdle can be overcome for the so-called optimized certainty equivalent risk measure (OCE) -- including the average value-at-risk as a special case. First we focus on the case where the uncertainty is modeled by a nonlinear expectation penalizing distributions that are \"far\" in terms of optimal-transport distance (Wasserstein distance for instance) from a given baseline distribution. It turns out that the computation of the robust OCE reduces to a finite dimensional problem, which in some cases can even be solved explicitly. This principle also applies to the shortfall risk measure as well as for the pricing of European options. Further, we derive convex dual representations of the robust OCE for measurable claims without any assumptions on the set of distributions. Finally, we give conditions on the latter set under which the robust average value-at-risk is a tail risk measure.
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中文摘要：
考虑到风险管理和期权定价中的模型不确定性，会导致无限维优化问题，这些问题在分析和数值上都很难解决。在本文中，我们研究了所谓的优化确定性等效风险度量（OCE）何时可以克服这一障碍，包括作为特例的平均风险值。首先，我们将重点放在不确定性由非线性期望惩罚分布建模的情况，该分布与给定基线分布的最佳运输距离（例如Wasserstein距离）相比“远”。结果表明，鲁棒OCE的计算简化为有限维问题，在某些情况下甚至可以显式求解。这一原则也适用于短缺风险度量以及欧洲期权的定价。此外，我们推导了可测索赔的鲁棒OCE的凸对偶表示，无需对分布集进行任何假设。最后，我们给出了后一个集的条件，在此条件下，鲁棒平均风险值是尾部风险度量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Computational_aspects_of_robust_optimized_certainty_equivalents_and_option_pricing.pdf (458.47 KB)

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关键词：等价物 确定性 distribution Optimization Presentation

稳健优化确定性等价物和期权pricingDaniel Bartla的计算方面，1，*, Samuel Drapaub，2，+，Ludovic Tangpic，3，2019年3月7日摘要考虑到风险管理和期权定价中的模型不确定性会导致有限维优化问题，这些问题在分析和数值上都很难解决。在本文中，我们研究了所谓的优化确定性等价性度量（OCE）何时可以克服这一障碍，包括作为特例的平均风险值。首先，我们关注这样一种情况，即不确定性由一个非线性期望建模，该非线性期望惩罚从给定基线分布到最佳运输距离（例如Wasserstein距离）而言“远”的分布。结果表明，鲁棒OCE的计算简化为有限维问题，在某些情况下甚至可以显式解决。这一原则也适用于短缺风险度量以及欧洲期权的定价。此外，在不假设分布集的情况下，我们证明了鲁棒OCE可公式化权利要求的凸对偶表示。最后，我们给出了后一个集的条件，在此条件下，稳健平均风险值是尾部风险度量。作者：德国康斯坦茨大学数学系，Universit"atstrasse10，78464。中国上海市淮海西路211号上海交通大学数学科学学院和上海高级金融研究所。

200030中国。C美国新泽西州普林斯顿查尔顿街普林斯顿大学运营研究与金融工程系，邮编：08544。bartl@uni-康斯坦茨。desdrapeau@saif.sjtu.edu.cnndounkeu@普林斯顿大学。埃杜*非常感谢维也纳科学技术基金（WWTF）通过VRG17005项目和FWF Y00782赠款。+感谢中国国家科学基金会、11550110184和11671257的资助。感谢上海交通大学授予AF0710020号“金融风险和不确定性评估”项目感谢维也纳科学和技术基金（WWTF）在MA 14-008赠款下提供的财政支持。论文信息ARXIV eprint:1706.10186 MSC 2010:91G80、90B50、60E10、91B30关键词：优化确定性等价物；最佳运输；瓦瑟斯坦距离；惩罚、分配不确定性；凸性；风险平均值；稳健的期权定价。1、导言在本文中，我们研究了Ben-Tal和Teboulle[6，7]的优化确定性等价物（简称OCE）的性质，以及模型不确定性下更广泛的期权定价。在风险评估的背景下，OCE定义的基本原理如下。假设金融机构面对未来不确定的损失分配u，她希望评估其风险。在她的评估中，给出了损失函数l:R→ (-∞, ∞], 她计算了代表当前损失平均成本的预期RL（x）u（dx）。然而，她可以通过分配一些现金m来减少未来的总体损失，从而得出现值RL（x- m） u（dx）+m。在所有可能的分配中最小化确定u的最佳成本或OCE，关于损失函数l:OCE（l）：=infm∈RZl（x- m） u（dx）+m.

（1.1）现在，如果未来损失的分布u不完全清楚，风险规避金融代理人将考虑由R（l）给出的分配m的总成本(·-m） ）+m，其中R是非线性期望。感谢Martin Herdegen、Jan Oblój、Mathias Pohl和Johannes Wiesel的卓有成效的讨论，即R建模投资者的保守程度或风险厌恶程度，可以在线性情况R（·）=R·du和最坏情况R（·）=supu之间插值∈M（R）R·du，其中M（R）是R上的一组可能性度量。因此，稳健优化确定性等效等参比函数（l）的自然定义：=infm∈R（R（l）（）- m） ）+m），（1.2）即未来预期损失以非线性预期R表示时的最小分配成本。经典OCE满足[6]中讨论的良好经济特性。特别是，它是Artzner等人[1]和F"ollmer and Schied[24]意义上的一种常规货币风险度量，具有额外的法律不变性，有关定义和后果，请参见Frittelli和Rosazza Gianin[26]。此外，根据损失函数l的具体情况，它包括经典风险度量，如熵危机度量、风险平均值，见Rockafellar和Uryasev【41】、Macheroni等人的单调平均方差【35】，以及F"ollmer和Schied【24】的短缺风险度量，作为标度限制。作为一个经典的无约束一维优化问题，OCE是一个光滑的量化工具，参见Cheridito和Li【14】以及Cherny和Kupper【16】。风险的计算以及风险贡献可以根据一阶条件明确说明，并使用傅里叶变换方法有效地实现，见Drapeau等人【20】，以及随机寻根方法，见Hammet等人【29】以及Dunkel和Weber【21】。

然而，当面临模型不确定性时，由于优化问题（1.2）的潜在有限维性质，这些属性在先验上具有挑战性。此外，还不清楚由此产生的稳健风险量化与非稳健风险量化之间的偏差有多大，这在实践中是一个至关重要的问题。本文的目标是研究稳健的OCE，并提供几种方法来降低稳健带来的复杂性，以获得明确的公式，从而量化模型误判下的风险。我们的第一个主要结果集中在r（f）：=supu的情况下∈M（R）Zf du- ^1（直流（u，u））,如果ν是一个正函数，DCA可以通过成本函数c（x，y）获得最佳运输距离，如瓦瑟斯坦距离和ua固定的给定分布。潜在的直觉是，例如使用粘贴信息，人们先验地知道分布u可能是正在评估其风险的财务损失的真实分布。由于该估计的不确定性，一个考虑了严重的可能分布，但惩罚了那些在距离dc方面“远离”基线分布u的分布。参见Remark2.9中关于这种方法的更多具体财务动机。在证明了一般对偶公式SUPu之后∈M（R）Zf du- ^1（直流（u，u））= infλ≥0Zfλcdu+Д*(λ)（1.3）带*作为定理2.4中ν的凸共轭，我们在定理2.7中显示出，oce（l）=infλ≥0OCE公司lλc+ ^1*(λ), 式中，lλc（x）：=supy∈R（l（y）- λc（x，y））。稳健OCE的公式表明，计算OCE（l）的有限维优化问题转化为计算分布u的OCE的有限维问题，并使用修改的损失函数lλc。我们强调，对偶公式（1.3）本身很有趣，适用于可测函数f、较低的半连续成本和惩罚函数。

调整惩罚函数Д可以设置风险规避水平。选择Д：=∞1(δ,∞]对于某些δ>0，当非线性期望R变为sr（f）=sup{u∈M（R）：直流（u，u）≤δ} Zf du，在基线分布u周围的球的最坏情况预期。在这种情况下，取dcto为一阶Wasserstein距离，l（x）=x+/α，使OCE成为α级风险的平均值，1hasAV@Rα= AV@Rα（u）+δ/α，（1.4）参见示例2.10，了解不同的惩罚和不同的距离。换句话说，稳健平均风险值与标准平均风险值加上“不确定性溢价”δ/α相同。Wozabal[43]在假设存在支配概率测度的情况下得出了上述公式。在特殊情况下，其中Д=∞1(δ,∞], 最近研究了R的凸对偶表示及其在随机规划中的应用。第一个贡献来自Esfahani和Kuhn【37】，他们在dcis为一阶Wasserstein距离、u为经验测度、函数f为凸函数且具有特殊结构时推导出对偶公式。对于类似的设置和另一类目标函数f，我们参考Zhao和Guan【44】。Blanchet和Murthy【11】以及Gao和Kleywegt【27】在一般的Polish空间上获得了结果，对于下半连续的成本函数c和上半连续的可积函数f。本文给出的证明本质上更直接。它依赖于Choquet电容性定理的一个版本，并应用可公式化的函数。这种对偶的应用远远超出了鲁棒优化确定等价的降维。它还使我们能够推导出F"ollmer和Schied稳健短缺风险度量的有限维表示[24]。

有趣的是，（1.3）的“鞅版本”为稳健的欧式期权定价提供了一个精确的维度分析公式，见命题2.13。作为一个例子，如果我们考虑时间为1价格S、时间为零价格且风险中性分布u的股票上的看涨期权的价格看涨期权（k），对于线性惩罚看涨期权的稳健价格，我们得到了看涨期权（k）：=sup{u∈M（Rd）：RRdS du=s}Z（x- k） +du- 直流（u，u）= infα∈R呼叫k-2α + 1+α当Dc为二阶Wasserstein距离时。换言之，关于惩罚Wasserstein距离的欧式期权稳健定价，简单地归结为优化期权价格相对于基准风险中性分布的回报（此处为打击）。回到优化确定性等价，我们进一步研究了当非线性期望R是任意集合d上的最坏情况期望时，鲁棒OCE的替代表示 M（右）。特别是，我们推导了鲁棒AV@R作为尾部风险度量的表示。Rockafellar和Uryasev【41】首次在非稳健情况下证明了该表示，该表示在优化问题中有重要应用，除非对集合D进行了更强的结构和拓扑假设，否则不会延续到稳健情况，见命题3.1。在这种假设下，我们推导出了Kusuoka型表示（见Jouini等人[33]和Jouini等人[33]），对于法律不变风险度量的“鲁棒性”，见推论3.3。最后，当定义随机变量时，OCE的凸对偶表示尤其相关，例如，Cherny和Kupper【16】用于优化问题，Backhoff和Tangpi【2】用于动态表示。

在本文中，我们推导了有界可测随机变量集上鲁棒OCE的对偶表示，在样本空间上没有任何拓扑假设。模型模糊下的金融建模，即稳健金融，目前是深入研究的主题。最早研究瓦瑟斯坦·鲍尔（Wasserstein ball）给出的模糊集的稳健风险度量的论文包括P flug et al.【40】和Wozabal【43】在投资组合优化问题的背景下。在其他较新的论文中，我们参考了[5、15、19、31]中的超边缘问题，以及[3、9、36、38、39]中的鲁棒效用最大化。分布鲁棒性问题也在不稳定性、经济学和运筹学中进行了研究，例如参见[30，32]。论文组织如下：下一节总结了我们的主要发现。即，一般罚函数和可测代价函数的非线性算子R的对偶结果。然后，该结果用于在存在模型模糊的情况下，提供OCE、短缺风险度量和欧洲期权价格的有限维表示。此外，我们给出了当OCE定义为随机变量时，鲁棒AV@R是尾部风险度量的条件，以及凸对偶表示。我们还举了几个有启发性的例子。在最后一节中，我们提供了详细的证据。2、Wasserstein distances给出的不确定性主要结果我们在本节开始时简要定义了我们的符号，简要回顾了最佳运输产生的距离，以及（1.3）中暗示的对偶定理。自始至终，让d∈ N和X Rdbe是一个闭合集。我们用M（X）表示X的Borelσ-场上的所有概率集。对于可测函数f:X→ (-∞, ∞] 从下方和u开始绑定∈ M（X），表示byRf du=RXf（X）u（dx）∈(-∞, ∞] f对u的积分。

现在fix一些可测函数c:x×x→ [0, ∞] DC运输成本（u，ν）：=infZX×Xc（x，y）π（dx，dy）：π∈ M（X×X），使得π（·×X）=u和π（X×·）=ν对于u，ν∈ M（X）。如果假设c是下半连续的，这个问题有一个对偶公式DC（u，ν）=supZXf du+ZXg dν：f，g：X→ R有界连续，使得f（x）+g（y）≤ c（x，y）表示所有x，y∈ 十、, （2.1）参见示例【42，定理5.9】，以获取证明。备注2.1。对于特定选择c（x，y）=y-x | p带p≥ 1，函数d1/pC定义了p阶的celebratedWasserstein距离。对于紧X，这实际上是与弱拓扑兼容的M（X）度量，弱拓扑是使所有映射u7的最粗糙拓扑→Rf ducontinuous表示连续和有界f。但是，对于一般X Rd，一个有dc（un，u）→ 0当且仅当un弱收敛到uandRX | x | pun（dx）→RX | x | pu（dx），见[42，定理6.8]。对于函数f:X→ (-∞, ∞] 和λ≥ 0它的λc变换由fλc（x）定义和表示：=sup{f（y）- λc（x，y）：y∈ X使得f（y）<∞} .备注2.2。如果f和c是连续的，则fλcis是下半连续的。一般来说，如果只假设f是可测的，那么fλcis不一定是可测的。然而，如果f是可测量的，例如从[8，第7节]可以得出，fλcis是普遍可测量的，尤其是对于每个u，u-是可测量的∈ M（X）。这意味着只要f是可测量的且从下方有界的，则积分Rfλcdu就可以很好地定义。还请注意，fλcis是在“c-变换”的名称下，在最佳传输的背景下研究的经典芬切尔-勒让德变换的一个众所周知的修改，参见示例【42，第5节】。

从现在起，我们称成本函数为任何下半连续函数c:X×X→ [0, ∞] 带infy∈对于所有x，Xc（x，y）=0∈ 十、 对于每个r≥ 0有k≥ 0使得c（x，y）≥ r如果| x- y |≥ k、 o惩罚函数任何凸的、递增的下半连续函数Д：[0，∞] → [0, ∞]使用Д（0）=0，且既不使用Д也不使用Д*为常数0。备注2.3。对于成本函数仅取决于差异的典型情况，稍微滥用符号c（y- x） =c（x，y）–成本函数的假设满足∈Xc（x）=0和lim inf | x|→∞c（x）=∞. 特别是，c（x，y）：=| y- 对应于Wasserstein距离的p>0的x | p都是成本函数。定理2.4。给定闭集X Rd，一个成本函数c和一个惩罚函数Д，那么它保持着sthatsupu∈M（X）ZXf du- ^1（直流（u，u））= infλ≥0ZXfλcdu+Д*(λ)（2.2）对于每个可测函数f:X→ (-∞, ∞] 从下面开始。此外，还确定了λ上的最小值。示例2.5。我们所想到的惩罚函数的典型示例：o如果是φ=∞1(δ,∞]对于某些δ>0的固定值，计算*（λ） =Δλ，因此SUP{u∈M（X）：dc（u，u））≤δ} Zf du=infλ≥0Zfλcdu+Δλ. （2.3）o对于Д（x）=x，一个得到Д*= ∞1(1,∞)和fλc≤ Fc适用于所有λ≤ 1，公式简化为累积u∈M（X）Zf du- 直流（u，u））=Zfcdu其他示例可能包括对于某些p>1且其中*（λ） =λq/q，其中1/p+1/q=1，或Д（x）=exp（x）- 1其中*（λ） =λlogλ- λ + 1. 备注2.6。注意，公式（2.3）最近已由几位作者在不同的假设下证明。在[37]和[44]中，作者关注的是案例c（x，y）=x- y |和u是经验测量。与我们的假设最接近的一组是[11]。其中，作者研究了一般的Polishspace X，假设c是下半连续实值函数，并证明了（u-可积）上半连续函数f的对偶性。