指数效用最大化与无差异估值

此外，取πu≡ 0表示u∈ [t，t]，我们得到了值函数过程的下界，V（t，x）≥ e-αxE[-eαF | Ft]>-∞, P-a.s.，用于t∈ [0，T]，因此值函数过程始终是有限的。为了解（6），我们寻找V（·，·），使得V（t，Xπt），t∈ [0，T]是任何可容许π的asuper鞅，并且存在一个可容许π使得V（t，Xπt） ，t∈ [0，T]是鞅。因此，在容许集中对V（·，Xπ·）施加可积性条件是自然的。定义3。[带约束的可容许策略2]可容许交易策略集A′与ADin定义1相同，除了类（D）条件被以下条件{V（τ，Xπτ）所取代：τ是[0，T]中的停止时间取值}是一致可积族。容许集A′d依赖于值函数process V（·，Xπ·）的可积性，因此，在某种意义上，容许集A′Dalso构成待解的一部分。然而，这并不意味着这里存在循环。事实上，通过定义V（t，Xπt），可以立即检查V（t，Xπt）=exp(-αXπt）V（t，0）。在定理6的证明中，我们将证明V（t，0）=-eαYT和Y solvingan即将发布的BSDE（8）。因此，A′Dis等于e-αXπ·eαY·属于（D）类，这在前面与优化问题（3）无关。另一方面，如果F有界，则容许集A′D=AD，这与值函数过程无关。实际上，如果F是有界的，那么Y也是有界的，V（t，0）和V（t，0）也是有界的（其证明见[21]的定理7）。在这种情况下，价值过程V（·，Xπ·）上的类（D）条件等价于财富e的指数效用上的类（D）条件-αXπ·，因此，A′d包含AD。备注4。

另一种选择是选择小于A′D的容许集，方法是将定义3中的类（D）条件替换为以下条件{Vτ、 Xπτ；（πu）u∈[τ，T]: τ是在[0，T]}中取v值的停止时间，是一致可积族。由于最优交易策略π也留在里面。要看到这个，如果π∈ A′不理想，然后Vτ、 Xπτ是一致可积的。注意，对于最佳π*,按（6），Vτ、 Xπτ= 五、τ、 Xπτ; (πu） u型∈[τ，T], 所以后者也是唯一可积的，π保持在这个较小的容许集中。然而，当F有界时，这个较小的容许集将与adf不一致。因此，我们的效用最大化问题的公式如下：在满足假设1和定义3.2.3中的容许集A′Das的条件下求解优化问题（3）。终端数据无界的二次BSDE。我们首先给出终端数据满足指数可积条件（4）的二次BSDE的存在性和唯一性定理。它将随后用于解决优化问题（3）。具有终端条件F和生成器F的BSDE是以下类型的方程式Yt=F+ZTtf（s，Zs）ds-ZTtZtrsdBs，t∈ [0，T]，（7），通常用BSDE（F，F）表示。回想一下，生成器是rand omfunction f：[0，T]×Ohm ×Rm→ R、 这是可以衡量的B（Rm），终端条件是实值FT可测随机变量F。对于BSDE（F，F）的解，我们指的是一对可预测过程（Y，Z）=（Yt，Zt）t∈[0，T]，在P-a.s.，T 7时的值以R×rm表示→ Ytiscontinuous，t 7→ Zt属于L[0，T]，即RT | Zt | dt<+∞, t 7→ f（t，Zt）属于L[0，t]，且（Y，Z）满足（7）。让我们∞是实值、自适应和c\'adl\'ag有界过程的空间。

对于p≥ 1，Spdenotes实值、自适应和c\'adl\'agprocesses（Yt）t的空间∈[0，T]这样| | Y | | Sp：=E“supt∈[0，T]| Yt | p#1/p<+∞,Mp表示Rm值可预测过程（Zt）t的（等价类）空间∈[0，T]这样| | Z | | Mp：=EhZT | Zs | dsp/2i1/p<+∞.定理5。假设假设1成立。然后BSDE（F，F）Yt=F+ZTtf（s，Zs）ds-ZTtZtrsdBs，t∈ [0，T]，（8），其中f（T，z）=αminπT∈Cσtrtπt- （z+αθt）- ztrθt-2α|θt |，（9）允许唯一解（Y，Z），其中eαY+∈ Sp，eεY-∈ S、 和Z∈ M、 即，即epαY++ eεY-+ZT | Zs | ds< +∞,其中Y= 支持∈[0，T]| Yt |是随机过程Y的运行最大值。此外，如果E[ep′F |]<+∞ 对于任何p′≥ 1，然后是eαY∈ Sp′，和Z∈Mp′，即“ep′αY”+ZT | Zs | dsp′/2#<+∞.证据参见第4.2.4节主要结果我们现在准备提供其中一个主要结果，即假设1下优化问题（3）的值函数特征和相应的最优交易策略。定理6。假设假设1成立。设（Y，Z）为BSDE（F，F）的唯一解（参见（8））。然后，由v（0，x）=- 经验值(-α（x- Y） ），（10）存在最优交易策略π*∈ 带π的A′d*t型∈ argminπt∈Cσtrtπt- （Zt+αθt）, t型∈ [0，T]，P-a.s.（11）证明。按照[21]中的类似参数，证明值函数过程的形式为V（t，Xπt）=- e-α（Xπt-Yt），t∈[0，T]，这是任何π的上鞅∈ 是π的鞅*在（11）中给出，带π∈ A′D。

注意，A′Dis中的类（D）条件等价于表示值函数处理-e-α（Xπ·-Y·）包括类别（D）。首先，对于π∈ A′D，It^o公式在-e-α（Xπt-Yt）给予-e-α（Xπt-Yt）=-e-α（x-Y） AπtLπt，其中πt=expαZtα|σtruπu- （Zu+θuα）|- Ztruθu-|θu | 2α- f（u，Zu）杜邦,andLπt=EtαZ·（Ztru- πtruσu）dBu.自Aπt≥ 1，并且Aπ·Lπ·属于（D）类（根据可采性的定义），因此-e-α（Xπt-Yt），t∈ [0，T]是s SuperMartin gale。证明的鞅性质-e-α（Xπt型-Yt），t∈ [0，T]，我们观察到如果π是（11）中的极小值，然后是πt=1，此外，σtrtπt=项目σtrtCZt+θtα, t型∈ [0，T]，P-a.s.（12），其中ProjσtrtC（·）是闭凸集σtrtC上的投影算子。因此，证明π在（12）中给出了最优密度过程Lπ在类（D）中，这将进一步暗示Lπ是auniformly可积鞅，且-e-α（Xπ·-Y·）也在（D）班。我们通过证明Lπ来完成证明在下面的引理中是有限熵。引理7。最优密度过程Lπ这是有限熵。因此，byDe la Vall'ee Poussin定理，Lπ在类（D）中，因此它是一个统一可积鞅。证据对于整数j≥ 1，我们引入了后续停止时间τj=inft型∈ [0，T]：最大值经验值αZt | Zu- σtruπu | du,Zt |祖|杜≥ j∧T、 所以Lπ·∧τjandR·∧τjZtrudBuare鞅。应用Fenchel不等式xy=（xp）（py）≤x ln xp-x ln pp+epy，用于（x，y）∈ （0，∞) ×R，（13）至Lπτj（αYτj）给出τjαYτj]≤E[Lπτjln Lπτj]p-E[Lπτj]ln pp+E[epαY+] （14） p>1，如（4）所示。此外，我们定义了一个概率度量Qπ关于FτjbydQπdP：=Lπτj，并在Qπ下重写BSDE（8）asYτj=Y-Zτjf（u，Zu）du+ZτjZtru（dBπu+α（Zu- σtruπu） du），其中Bπt:=Bt-Rtα（Zu- σtruπu） du，t∈ [0，τj]是Qπ下的m维辛亚尔布朗运动.

反过来，E[LπτjαYτj]=等式π[αYτj]（15）=等式παY-Zτjαf（u，Zu）- αZtru（Zu- σtruπu）杜邦.从f在（9）中的表达式，我们推导出f（u，Zu）≤α| Zu- σtruπu型|- θtruσtruπu、 将上述不等式代入（15），我们进一步得到[LπτjαYτj]≥ αY+等式πZτjα| Zu- σtruπu | du- αEQπZτj | Zu- σtruπu型|-θtruασtruπu- Ztru（Zu- σtruπu） 杜邦= αY+等式πZτjα| Zu- σtruπu | du- αEQπZτj(πu） trσu- （Ztru+θtruα）σtruπudu.自σtruπuis是闭集和凸集σtruC（cf.（12））上Zu+θuα的投影算子，并且，0∈ σtruC，如下所示(πu） trσu- （Ztru+θtruα）σtruπu型=项目σtrc（Zu+θuα）- （Zu+θuα）tr公司项目σtrc（Zu+θuα）- 0≤ 0，因此，E[LπτjαYτj]≥ αY+等式πZτjα| Zu- σtruπu型|. （16） 最后，组合（14）和（16），并观察gE[Lπτjln Lπτj]=等式π“Zτjα| Zu- σtruπu | du#，我们得到（1-p） E[Lπτjln Lπτj]≤ -αY-ln-pp+E[epαY+] < +∞.然后通过发送j得出结论→ ∞ 在上述不等式中，并使用Fatou引理。2.5从下面的结果可以看出，当F满足比假设1更强的条件时，下一个结果是关于放宽可容许集ADD中的（D）类条件。假设2。支付满意度E[epαF+]<+∞ 对于一些大于1的积分，存在一个常数k>0，使得F-≤ k、 备注8。从下到F的有界性意味着，如果随机禀赋F为负，那么在随机禀赋F可能损失的金额上有一个统一的下界。通常情况下，F建模为一个payoff，因此它甚至是非负的。文献[11]中也对F进行了类似的假设，其中作者将最小熵表示作为子空间投资组合约束下效用最大化问题（3）的对偶。由于θ是有界的，我们可以在FTbydQθdP上定义一个等价的最小局部鞅测度（MLMM）Qθ：=LθT=ET(-Z·θtrtdBt），（17），其中ET（·）表示随机指数。同样，我们定义QθdP | Ft：=Lθt，对于t∈ [0，T]。

然后，在Qθ下，财富过程Xπ遵循Xπt=X+ZtπtruσudBθu，（18），其中Bθt：=Bt+Rtθudu，t∈ [0，T]是MLMM Qθ下的m维布朗运动。接下来，我们用等价的最小鞅测度（MMM）条件替换可容许集中的类（D）条件，并在假设2下求解优化问题（3）。定义9。[约束条件下的容许策略3]定义1中给出C。可容许交易策略集包含所有Rd值可预测过程π∈ L[0，T]，它们是自融资的，并且满足πT∈ C、 P-a.s.，用于t∈ [0，T]。此外，（Xπt）t≥0是Qθ下的阿马丁格尔，即Qθ是MMM。我们现在可以在本节中介绍最后一个主要结果。特别地，当F有界时，我们的结果也将通过将其容许集从Ad扩大到A来推广[21]中的定理7。定理10。假设假设2成立。设（Y，Z）为BSDE（8）的唯一解。然后，具有容许集A的优化问题（3）的值函数V（0，x）和相关的最优交易策略π*∈ A分别是giv en，如（10）和（11）所示。当终端条件F满足假设2时，我们首先确定解（Y，Z）到二次BSDE（F，F）的空间。引理11。假设假设2成立。然后BSDE（F，F）（cf.（8））允许唯一解（Y，Z），其中eαY+∈ Sp，Y-∈ S∞, 和Z∈ M、 证明。我们显示Y-∈ S∞. 事实上，从定理5的证明中，我们得到了≥ Yt=-公式θF-+ZTt2α|θs | ds | Ft≥ -k- 公式θZT2α|θs | ds.其余断言已在Lemm a 23中得到证明。定理10的证明。对于整数n>0，我们截断payoff F asFn：=F∧ n，所以- k≤ Fn公司≤ n

我们首先表明，对于任何π∈ A、 我想是这样的-e-α（XπT-Fn）i≤ -e-α（x-Yn），（19），其中Yn是对应截断二次BSDE（Fn，f）的有界解（的第一个成分）。注意，如果Ee-αXπT= +∞, 然后由于Fn的有界性，E-e-α（XπT-Fn）= -∞. 因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以假设e-αXπT< +∞.根据[21]的定理7，很明显不等式（19）适用于π∈ 公元 A、 因此，为了证明（19），必须证明存在πj∈ 广告，例如e-α（XπjT-Fn）→ Ehe公司-α（XπT-Fn）i，作为j→ ∞. （20） 为此，我们定义πjt=πt{t≤τj}，对于t∈ [0，T]和整数j≥ 1，其中τjis是定义为τj=inf{t的停止时间∈ [0，T]：XπT≤ -j}∧ T、 通过定义τj，Xπ·∧τjis从下方起界，因此e-αXπ·∧τjis有界，因此在类（D）中，表示πj∈ AD.仍需说明（20）中的收敛性。注意，对于上述πjde finedas，e-αXπjT=e-αXπτj→ e-αXπT，P-a.s.，所以我们只需要建立e的一致可积性-αXπτjunder P.我们回忆起，从通常的截断参数来看，对于任何ξ∈ L（P），等式θ[ξ| Fτj]收敛于L（P）中的ξ，其中Qθ是（17）中给出的MLMM，L（P）表示P下平方可积随机变量的空间。通过我们对π，E[E]的假设-αXπT]<+∞, so等式θ[e-αXπT | Fτj]收敛到e-αXπtinl（P）。因此，公式θ[e-αXπT | Fτj]在P下是统一积分的。另一方面，根据Jen-sen不等式和Xπ在Qθ下是阿马丁格尔的事实（根据可容许性的定义），我们得到了-αXπτj=eEQθ[-αXπT | Fτj]≤ EQθhe-αXπT | Fτji。因此，e-αXπτjis在P下可统一积，不等式（19）成立。自Fn起≤ F，从（19）可以看出-e-α（XπT-F）i≤ -e-α（x-Yn）。此外，s ince Yn→ Y（见定理8的证明），发送n→ ∞在上述不等式中，yieldsEh-e-α（XπT-F）i≤ -e-α（x-Y） 。

（21）为了证明等式，请注意最优交易策略的选择π在（12）中，确保e-α（Xπt型-Yt），t∈ [0，T]是一个正的局部鞅，因此是一个超鞅，这意味着-e-α（XπT-F）i≥ -e-α（x-Y） 。（22）最后，由于|σtrtπt |≤ |Zt |+|θt |α和Z∈ M、 我们有σtrπ∈ M、 然后，B-D-G不等式意味着eqθ“supt∈[0，T]Zt（σtrtπt） trdBθt#≤ CEQθZT |σtrtπt | dt≤ CEh（LθT）iEZT |σtrtπt | dt< +∞.因此，Xπ是Qθ和π下的鞅∈ A、 结合（21）和（22），我们得出-e-α（XπT-F）i=-e-α（x-Y） 。（23）3效用差异估价的应用在本节中，我们将第2节中获得的结果应用于具有无限支付的衍生工具的效用差异定价。效用差异估价的概念在【20】中提出，并在【9】中进一步发展。有关效用差异定价和相关主题的概述，请参阅[7]和其中的更多参考文献。为了确定有报酬的衍生工具的效用差异价格，我们还需要考虑投资者在不出售（或购买）衍生工具的情况下的优化问题。这涉及投资者只投资无风险债券和风险资产本身，相应的最优交易策略表示为π(0). 强调π的依赖性在F上，我们也把它写成π（F）。定义12。[效用差异估值和对冲]假设假设假设1成立。然后，带有payoff F的衍生工具的效用差异价格c（F）由上π的解定义∈A′DE-e-αXx+C（F）T（π）-F= supπ∈AEh公司-e-αXxT（π）i，（24），其中A′和A分别在定义3和9中给出。衍生工具的套期保值策略由两种最佳交易策略π的差异决定（F）- π（0）。备注13。

由于payoff F是无界的，我们为（24）中的两个优化问题选择了不同的容许集，因为它们的性质不同。如果F≥ 0，则C（F）被解释为F的售价。由于在这种情况下，F从下自动有界，根据定理10，我们可以将容许se t从A′dt扩大到A。因此，（24）中的两个优化问题在相同的容许集A下求解。另一方面，如果F≤ 0，那么-C类(-F）可解释为-F根据定理6和10，我们得到-e-α（x+C（F）-Y（F））=-e-α（x-Y（0）），其中Y（F）是BSDE（F，F）的唯一溶液（第一组分）（参见（8））。在此，我们使用Y（F）来强调解Y（F）对其终端数据F的依赖性。因此，我们获得了该衍生工具的效用差异价格，支付F asC（F）=Y（F）- Y（0）。（25）相关hed老化策略满足σtrtπt（F）- σtrtπt（0）（26）=项目σtrtCcZt（F）+θtα- 项目σtrtCcZt（0）+θtα, t型∈ 【0，T】，P-a.s.3.1效用差异价格的凸对偶表示受【13】的启发，我们在本节中提供了解决方案（F）的凸对偶表示，一方面完成了定理5的证明，另一方面，给出了效用差异价格C（F）的凸对偶表示。对于第3.3节中考虑的特定示例，凸对偶表示将简化为众所周知的效用差别价格的最小entr opy表示（见[11]、[15]和[24]，其中有更多参考）。首先，我们观察到，由于C是凸的，因此（9）中定义的生成器f（t，z）在z是凸的。因此，我们可以引入f（t，z），f的凸度（t，q）：=supz∈Rmztrq公司- f（t，z）, （27）对于（t，q）∈ [0，T]×Rm。

请注意，f以R表示值∪ {+∞}.然后，Fenchel-Moreau定理得出f（t，z）=supq∈Rm（ztrq- f（t，q）），（28）表示（t，z）∈ [0，T]×Rm。此外，q∈ fz（t，z），它是z 7的次微分→ f（t，z）在z处∈ Rm，达到（28）中的最大值，f（t，z）=ztrq- f（t，q). （29）接下来介绍凸对偶问题的容许集。对于anRm值可预测流程q∈ L[0，T]，我们将其随机指数定义为Lq：=E（R·qtrudBu）。如果LqTln具有有限熵，即[LqTln LqT]<+∞,然后，德拉瓦利-普桑定理暗示LQI在类（D）中，因此是一致可积鞅。然后，我们可以定义概率度量qon ftbydqdp：=LqT，并引入容许集aF【0，T】=q∈ L[0，T]：LqT=ET（Z·qtrudBu）具有有限熵，EQq|F |+ZT | F*（s，qs）| ds< +∞, 其中dqqdp=LqT.定理14。假设假设1成立。然后，解Y-toBSDE（F，F）（cf.（8））允许以下凸对偶表示yt=ess supq∈A.F[t，t]EQqF-ZTtf公司（s、qs）ds英尺, （30）其中f: [0，T]×Ohm ×Rm→ R∪ {+∞} 是f在（27）中的凸对偶。此外，存在一个最优密度过程q∈ A.F[t，t]使得yt=EQqF-ZTtf公司（s、qs） ds公司英尺. （31）证明。见第4节。作为定理14的直接结果，我们得到了效用微分priceC（F）=supq的凸对偶表示∈A.*F[0，T]EQqF-ZTf公司*（s、qs）ds- 谱仪半定量分析∈A.*[0，T]EQq-ZTf公司*（s、qs）ds.（32）注意，通常，由于非子空间组合约束的出现，上述凸对偶表示可能不是最小熵表示（例如，参见[11]、[15]和[24]）。