指数效用最大化与无差异估值

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英文标题：
《Exponential utility maximization and indifference valuation with
  unbounded payoffs》
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作者：
Ying Hu, Gechun Liang, Shanjian Tang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We solve an exponential utility maximization problem with unbounded payoffs and portfolio constraints, via the theory of quadratic backward stochastic differential equations with unbounded terminal data. This generalizes the previous work of Hu et al. (2005) [Ann. Appl. Probab., 15, 1691--1712] from the bounded to an unbounded framework. Furthermore, we study utility indifference valuation of financial derivatives with unbounded payoffs, and derive a novel convex dual representation of the prices. In particular, we obtain new asymptotic behavior as the risk aversion parameter tends to either zero or infinity.
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中文摘要：
我们利用终端数据无界的二次倒向随机微分方程理论，解决了一个具有无界收益和投资组合约束的指数效用最大化问题。这概括了Hu等人（2005）[Ann.Appl.Probab.，15，1691-1712]之前的工作，从有界框架到无界框架。此外，我们还研究了具有无界收益的金融衍生品的效用无差异估值，并推导出了一种新的价格凸对偶表示。特别地，当风险厌恶参数趋于零或无穷大时，我们得到了新的渐近行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Exponential_utility_maximization_and_indifference_valuation_with_unbounded_payoffs.pdf (409.11 KB)

2022-6-1 01:56:44 上传

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关键词：效用最大化 最大化 Indifference Mathematical maximization

指数效用最大化和无边界支付的差异估值*Ying Hu+Gechun LiangShanjian Tang§Abstracts我们通过具有无界终端数据的二次倒向随机微分方程理论，解决了一般投资组合约束下具有无界支付的指数效用最大化问题。这将Hu等人（2005）[Ann.Appl.Probab.，15，1691–1712]之前的工作从有界框架推广到无界框架。此外，我们还研究了具有无界支付的金融衍生品的效用差异估值，并推导了价格的新凸对偶表示。特别是，当风险规避参数趋于零或不完整时，我们获得了新的渐近行为。关键词：指数效用最大化、效用差异估值、无界支付、无界二次BSDE、有限熵条件、渐近行为。数学学科分类（2010）：91G40 91G80 60H30。*这项工作在英国爱丁堡举办的BSDE、SPDE及其应用研讨会上以及在复旦大学、牛津大学和雷恩大学举办的研讨会上进行了介绍。作者感谢观众的宝贵意见和建议。+法国雷恩塞德克斯35042号，雷恩大学一期，伊尔玛和复旦大学数学科学学院，中国上海200433。部分由Lebesgue数学中心“avenir投资”项目ANR11-LABX-0020-01、ANR CAESARS（批准号15-CE05-0024）和ANR MFG（批准号16-CE40-0015-01）支持。电子邮箱：ying。hu@univ-rennes1.fr华威大学统计系，科文特里，CV4 7AL，英国。部分由皇家学会国际交易所资助（批准号170137）。

电子邮件：g。liang@warwick.ac.uk§复旦大学数学科学学院金融与控制科学系，上海200433。部分由国家科学基金会（批准号11631004）和上海市科学技术委员会（批准号14XD1400400）资助。电子邮件：sjtang@fudan.edu.cn1引言本文致力于研究在一般投资组合约束下，具有无界随机捐赠的投资者终端财富的预期指数效用最大化问题。市场通常是不完整的，因为投资组合约束、随机市场系数和非交易资产敞口所产生的风险无法完全对冲。这个效用最大化问题受到了极大的关注。例如，它在不完全市场中的衍生品定价和套期保值中有着广泛的应用，通过所谓的效用差异估值，其中国内收益通常被视为衍生品的收益。如果随机禀赋是有界的，则借助终端数据有界的二次倒向随机微分方程（简称quadraticBSDE）理论，相应的效用最大化问题已在[21]中完全解决。结果表明，价值函数和相关的最优交易策略都可以用终端数据有界的二次BSDE的有界解来描述。关于不同通用性的模型，另请参见【3】、【15】、【19】、【24】和【26】。关于二次BSDE理论，有界解的存在性和唯一性首先在[23]中的布朗环境中建立，并在[5，6]中推广到无界解，然后在[12，13]中使用凸生成器。

有界解的相应半鞅情形可以在[26]和[29]中找到，其中，在前者中，扩展了[21]和[23]的主要结果，在后者中，使用了定点参数。关于这种情况下无界解的扩展，另请参见[25]。最近，在[16]中发现了BSD解的一些有用的凸性界，而在[1]中，引入了二次半鞅的概念来研究解的稳定性。关于二次BSDE理论在上述效用最大化问题中的应用，现有的大多数工作仅限于有界随机禀赋——参见[15]、[19]、[21]、[24]和[26]，其中有更多参考文献。结果在很大程度上依赖于终端数据有界的二次BSDE解的BMO鞅性质。这当然排除了许多有趣的案例，例如看涨期权的定价和对冲。尽管人们对无限的随机捐赠很感兴趣，但可获得的结果相对较少。众所周知的一维情况是一个例外。在一个马尔可夫框架中，一个导数写在一个单一的非交易资产上，[18]和[27]使用Cole-Hopf变换将值函数的方程线性化，这使它们能够在特殊情况下处理无界情况。另一方面，在su bspace投资组合约束的情况下，作为凸对偶的最小熵表示已被广泛用于研究原始效用最大化问题（例如，参见[2]、[11]和[17]）。其中，可能的无界随机内禀可以通过概率测度的简单变化来消除。然而，在布朗环境中，这个技巧似乎没有用处。

同时，非子空间投资组合约束的存在也会阻碍该方法的进一步发展，因为最小熵表示和原始效用最大化问题之间的对偶性不再成立。本文利用终端数据无界的二次BSD理论中的元素，在一般投资组合约束下，求解了一类具有无界支付的指数效用最大化问题。虽然相应的二次BSDE解的存在性和唯一性来自于【5】、【6】和【13】中提出的论点，但本文的主要难点之一是在实施最优交易策略时验证价值函数过程的鞅性质。如果支付是无界的，就失去了解的bmomartingable性质。为了克服这一困难，我们利用Fenchel不等式探索了二次BSDE和相关最优密度过程之间的对偶性（见引理7）。我们验证了最优密度过程的有限熵条件，从而保证了值函数过程的martin-gale性质。因此，我们只要求支付函数是指数可积的（见定理6）。在[21]中，对投资者财富的指数效用施加了一个技术等级（D）条件。这似乎是不必要的，作为本文的第二个贡献，我们放松了这样一个技术假设，即当支付从下方有界且指数可积时（见定理10）。我们引入了一个等价的最小鞅测度条件，而不是类别（D）条件，这似乎更适合于衍生品的定价和对冲。

其思想是通过一系列有界的支付来近似从下方获得原始支付，并构建一系列满足类别（D）条件的交易策略作为近似交易策略。我们的第三个贡献是关于效用差异价格的一个新的凸对偶表示（见定理14），当存在一般投资组合约束时，可以将其视为现有最小熵表示的一般化。该结果的动机是证明了具有无界终端数据的二次BSDE的解的唯一性，首先建立在【13】和【14】中。与定理6类似，我们需要研究对偶BSDE和相应的最优密度过程之间的对偶性。我们验证了最优密度过程的有限熵条件，这将反过来保证对偶优化器的存在（见引理24）。我们的最后一个贡献是系统地研究了当投资组合被约束为圆锥时，风险规避参数效用差异价格的渐近分析。更普遍的情况仍然悬而未决。据我们所知，大多数现有的渐近研究都涉及子空间投资组合约束的有界支付（见[11]、[15]和[24]）。子空间投资组合约束允许他们采用最小entropyrepresentation，这在我们的锥形投资组合约束下不成立。相反，我们通过将效用无差异价格描述为二次BSDE的解来研究原始问题。

利用BSDE的稳定性理论，我们证明了当风险平均参数为零时，效用差异价格一方面收敛于某个等价概率测度（不一定是最小熵鞅测度）下的预期收益，另一方面，当风险规避p参数趋于完整时，超复制价格（不一定在鞅测度下）。我们的渐近结果（见定理17和定理20）似乎涵盖了所有现有的结果，我们的方法似乎是新的。本文的组织结构如下。在第二节中，我们引入了效用最大化问题，并利用具有无界终端数据的二次BSDE理论中的元素来解决它。在第3节中，我们将第2节的结果应用于具有无界支付的衍生品的效用差异定价，并提供了价格的凸对偶表示及其风险规避参数的渐近分析。第4节收集了一些技术性建议，第5节总结了本文。2效用最大化，无限制的支付为非负实数T>0。设B=（Bt）t≥0be是在某个完全概率空间上定义的标准m维布朗运动(Ohm, F、 P）和{Ft}t≥0是B的强化自然过滤，满足通常条件。在本文中，我们将始终使用这种过滤。[0，T]×的可预测子集的西格玛场Ohm 用P表示，如果根据P.2.1最优投资模型的公式可以测量，则随机过程称为可预测。考虑一个由一个利率为零和d的风险债券组成的金融市场≤ m库存。在d<m的情况下，我们面临一个不完全市场。股票的价格过程i根据方程dsitsit=bitdt+σitdBt，i=1，d、 （1）其中bi（分别为σi）是R值（分别为。

Rm值）可预测有界随机过程。波动率矩阵σt=（σt，…，σdt）tr具有满秩，即σtσtrtis可逆，P-a.s.，对于t∈ [0，T]。将风险溢价定义为实值可预测过程θt=σtrt（σtσtrt）-1吨，吨∈ [0，T]，并假设θ也是有界的。自始至终，我们将使用Atrtodenote矩阵A的转置。因此，风险价格θ解出风险方程σtθt=bt，t的市场价格∈ [0，T]。在这种市场环境下，投资者在无风险债券和风险资产之间进行动态交易。对于1≤ 我≤ d、 让πIt表示在时间t时投资于股票i的金额，因此股票的数量是πItIt。一个rdvalue可预测过程π=（πt）0≤t型≤这被称为自我融资交易策略，例如RT |πtrtσt | dt<∞, P-a.s.和相应的财富P过程Xπ，初始资本X满足方程Xπt=X+dXi=1ZtπiuSiudSiu=X+Ztπtruσu（dBu+θudu）。（2） 投资者对其最终财富XπT具有指数效用。我们记得，对于α>0，指数效用函数定义为asU（X）=- 经验值(-αx），x∈ R、 除了他/她的最终财富XπT外，投资者还可以在到期时支付或接受可计量的随机捐赠/支付。如果F≥ 0表示付款；如果F≤ 0，表示收入。投资者的目标是选择可接受的自我融资交易策略π为了最大化他/她对到期净财富的预期效用，T:V（0，x）：=sup{πu，u∈[0，T]}可受理人- 经验值-αx+ZTπtrtdStSt- F, （3） 其中，V（0，·）在初始时间0时被称为值函数。为了解（3），我们需要进一步选择一个可容许的集合，从中我们选择最优交易策略π.

不同的容许集和对支付的不同假设可能导致不同的解决方案。在[21]中，借助于具有有界终端数据的二次BS-DE理论，作者在假设F有界的情况下解决了上述优化问题（3），π取以下容许集的值。定义1。[带约束的容许策略1]设C是RD0和0中的闭凸集∈ C、 可容许交易策略集由所有Rd值的可预测过程π组成∈L[0，T]，它们是自融资的，并且满足πT∈ C、 P-a.s.，用于t∈ [0，T]。此外，以下类（D）条件成立：{exp(-αXπτ）：τ是一个停时值，在[0，T]}是一个一致可积族。一方面，排他性报酬的边界假设有许多有趣的情况，如看涨期权。另一方面，可容许集合中的类（D）条件是技术性的，而且似乎是不必要的（至少对于从下到下的F是指数可积的）。我们在本节中的目的是通过使用带u边界终端数据的二次BSDE理论中的元素来放松上述两个假设，这两个假设对[21]中的证明至关重要。2.2无限支付和相关的可接受策略我们注意到，支付的最小条件应确保（3）中的期望值为πt≡ 0，即E[EαF]<+∞.直觉上，投资者在将所有资金投入无风险债券时，应该有明确的预期效用，因此F不会太坏，什么都不做会导致潜在的惩罚。此外，要求Q[| F |]<+∞在不同的等效概率度量Q下，即预期收益（在不同的等效概率度量下）应该是有限的，因此F不太可能是真的。

上述讨论促使我们对F施加以下假设，这将贯穿整篇文章。假设1。支付满足指数可积条件[epαF+]<+∞; E[EεF-] < +∞ （4） 对于某些整数p>1且正数ε>0，其中F+=max{F，0}和F-= 最大值{-F、 0}。备注2。我们要求F+上有更多的指数可积性。这是为了保证Lπ和T（见Le mma 7）和LqT（见引理24），它将分别用于验证定理6和14中的类（D）条件。另一方面，H¨older不等式可能表明F-beingLp可积足以保证F-在不同的等价概率测度下是可积的。然而，该断言依赖于Lpp-相应Radon-Nikodym密度过程的可积性，但并不总是成立（例如密度过程Lqin定理14）。因此，我们需要F的指数可积性-. 然后，我们只需要具有有限熵的密度过程。[13]和[17]中也出现了终端数据F上类似类型的非对称指数可积条件。尽管如此，通过调整[14]中使用的参数，可能会放宽F+上p>1的假设。这样的扩展留待将来研究。由于Payoff仅满足指数可积条件（4），我们需要进一步加强可容许集ADin中的类（D）条件，以解决优化问题（3）。对于任何给定的自定价交易策略（πu）u∈[0，T]，我们定义t、 Xπt；（πu）u∈[t，t]:= E- 经验值-αXπt+ZTtπudSuSu- F|英尺,（5） 对于t∈ [0，T]，以及相关的值函数过程asV（T，XπT）：=ess sup{πu，u∈[t，t]}可受理Vt、 Xπt；（πu）u∈[t，t]. （6） 注意，当t=0时，值函数过程包括（3）中的值函数作为特例。