指数效用最大化与无差异估值

如果是子空间投资组合约束，上述凸对偶表示正是最小熵表示，如第3.3.3.2节风险规避参数的渐近性所示。我们在本节中研究了风险规避参数α的效用差异价格的渐近性。我们对支付做出以下假设。假设3。满意度的支付[ep′F+]<∞ 对于任何p′≥ 存在一个常数k>0，使得F-≤ k、 备注15。将渐近解作为风险规避参数α→ +∞, 很明显，我们需要假设F+是任意阶的指数可积的。在假设3下，根据定理5和引理11，BSDE（F，F）（cf.（8））允许唯一解（Y，Z），例如eαY+∈ Sp′，Y-∈ S∞, 和Z∈ Mp′。现有文献（如[11]、[15]和[24]）只讨论了投资组合的子空间约束情况，这使得他们能够处理双重问题，并在效用差异价格的渐近分析中使用相应的最小熵表示。在投资组合约束的更一般情况下，最小entropyrepresentation不包含任何元素，如凸对偶表示（32）所示。我们将通过考虑效用差异价格的BSDE表示（25）来解决主要问题。为了便于我们的子部分讨论，我们进一步对约束集施加以下锥条件。定义16。

[具有约束条件的可容许策略4]可容许交易策略集ACC与定义3中的A相同，只是约束集C被Cc取代，其中CCI是RD0中的闭合凸锥∈ 复写的副本。为了增强对风险规避参数α的依赖性，我们编写BSDE（F，Fα）及其解（Yα（F），Zα（F）），并将相应的效用差异价格和相关套期保值策略写成Cα（F）和πα，（F）- πα,（0）。回想一下（9）中的生成器fα（C由圆锥体Cc代替）的fα（t，z）=α项目σtrtCc（z+αθt）- （z+αθt）- ztrθt-2α|θt |。由于CCI是一个圆锥体，因此αProjσtrtCc（z+αθt）=ProjσtrtCc（αz+θt），因此，αfα（t，z）=f（t，αz）。（33）反过来，如果（Yα（F），Zα（F））是BSDE（F，Fα）的唯一解，则αYαt（F）=αF+ZTtαFα（u，Zαu（F））du-ZTt（αZαu（F））trdBu=αF+ZTtf（u，αZαu（F））du-ZTt（αZαu（F））trdBu，so（αYα（F），αZα（F））求解BSDE（αF，F）。但是，根据第2节中的定理5和引理11，BSDE（αF，F）允许一个唯一的解和擦除3，因此我们必须有（αYα（F），αZα（F））=（Y（αF），Z（αF）），特别是，（αYα（0），αZα（0））=（Y（0），Z（0））。（34）上述标度特性对于效用差异Cα（F）的渐近分析至关重要。接下来，我们定义（Cαt（F），Hαt（F））：=（Yαt（F）- Yαt（0），Zαt（F）- Zαt（0））。（35）然后立即检查cαt（F）=F+ZTt（Fα（u，Hαu（F）+Zαu（0））- fα（u，Zαu（0）））du-ZTt（Hαu（F））trdBu=F+ZTtαf（u，αHαu（f）+Zu（0））- f（u，Zu（0））杜邦-ZTt（Hαu（F））trdBu，t∈ [0，T]，（36），其中我们在最后一个等式中使用了（33）和（34）。此外，我们还引入了generatorgα（t，h，Zt（0））=distσtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- distσtrtc（Zt（0）+θt）2α，其中distσtrtc（·）是σtrtc的距离函数。用生成器gα重写（36）asCαt（F）=F+ZTtgα（u，Hαu（F），Zu（0））du-ZTt（Hαu（F））trθudu-ZTt（Hαu（F））trdBu，t∈ [0，T]。

（37）注意，如果F满足假设3，上述BSDE（37）实际上允许唯一解（Cα（F），Hα（F）），其中eαCα（F）+∈ Sp′，Cα（F）-∈S∞, 和Hα（F）∈ Mp′表示任意p′≥ 确实，如果（Cα（F），Hα（F））是（37）的解，那么用（Yα（0），Zα（0））∈ S∞×Mp′作为BSDE（0，fα）的唯一解，很明显（Cα（f）+Yα（0），Hα（f）+Zα（0））解为BSDE（f，fα）。但根据定理5和引理11，BSDE（F，Fα）允许唯一解。因此，（Cα（F），Hα（F））必须是（37）的唯一解。在下文中，我们将通过BSDE（37）研究效用指数Cα（F）的渐近性。3.2.1α的渐近性→ 2017年10月17日。假设假设3成立，可容许集在定义16中为ISACAS。然后，limα→0Cα（F）=C（F），其中C（F）是线性BSDECt（F）=F+ZTt（Hu（F））tr的唯一解（的第一个分量）Zu（0）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）杜邦-ZTt（Hu（F））trdBu，t∈ [0，T]。（38）备注18。如果CCI是Rd的一个子空间，我们也有最优交易策略的收敛性。实际上，通过子空间σtrtCc上投影算子的线性，我们得到σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- 项目σtrtCcHt（F）=项目σtrtCcZαt（F）+θtα- 项目σtrtCcZαt（0）+θtα- 项目σtrtCcHt（F）=项目σtrtCcHαt（F）- Ht（F）.自Hα（F）→ H（F）在L[0，T]（见定理17的证明）中，它遵循limα→0ZT |σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- 项目σtrtCcHt（F）|dt=0，P-a.s。根据定理17，我们可以进一步表示在某些等效概率测度下，支付预期值（38）的解。要了解这一点，我们需要定义QZasdQZdP：=ET（Z·Zt（0）- 项目σtrtCc（Zt（0）+θt）trdBt）。（39）由于·（Zt（0））trdbt是一个BMO鞅（见[21]中的引理12），（39）中的托氏指数确实是一个统一可积鞅，因此Qzi定义良好。

当α→ 0 aslimα→0Cα（F）=C（F）=EQZ[F]。（40）在第3.3节中，我们将证明，如果投资组合约束是一个空间，那么概率测度Qz将简化为最小熵鞅测度。为了证明定理17，我们首先给出生成元gα的一些估计。引理19。生成元gα（t，h，Zt（0））具有以下性质：（i）gα（t，h，Zt（0））在α中不减量；（ii）对于α∈ （0，1），gα（t，h，Zt（0））具有上界和下界，两者都与α无关，htr（Zt（0）+θt）- 项目σtrtCc（Zt（0）+θt）≤ gα（t，h，Zt（0））≤|h |+htrmt，（41）对于某些可预测过程m满足| mt |≤ |Zt（0）|+|θt |，对于t∈ [0，T]。证据（i） 为了证明gα在α中是不变的，我们回忆起σtrtCc是凸的，因此distσtrtCc（·）是凸的。然后得出gα（t，h，Zt（0））=距离σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- distσtrtCc（Zt（0）+θt）2α在α中不减。（ii）根据（i），我们知道gα（t，h，Zt（0））≥ limα→0gα（t，h，Zt（0））。接下来，我们计算gα的极限，当α→ 0 aslimα→0gα（t，h，Zt（0））=αdistσtrtCc（αh+Zt（0）+θt）|α=0=htr（αh+Zt（0）+θt）- 项目σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）|α=0=htr（Zt（0）+θt）- 项目σtrtCc（Zt（0）+θt）. （42）关于二次距离函数导数的计算，请参考[10]。另一方面，使用初等等式a- b=（a- b） +2b（a- b） ，我们重写生成器gαasgα（t，h，Zt（0））=2α| distσtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- distσtrtCc（Zt（0）+θt）|+distσtrtCc（Zt（0）+θt）距离σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- 距离σtrtCc（Zt（0）+θt）α.根据距离函数的Lipschitiz连续性，gα由gα（t，h，Zt（0））支配≤α| h |+htrmt≤|h |+htrmt，其中mt：=距离σtrtCc（Zt（0）+θt）距离σtrtCc（αh+Zt（0）+θt）- 距离σtrtCc（Zt（0）+θt）α| h | h.因此，我们最后指出| mt |≤ |Zt（0）|+|θt |，对于t∈ [0，T]。定理17的证明。

我们应用终端数据有界的二次BSDE的稳定性性质来研究当α→ 为此，我们考虑α的BSDE（F，gα）∈ （0，1）（参见（37））：Cαt（F）=F+ZTtgα（u，Hαu（F），Zu（0））du-ZTt（Hαu（F））trθudu-ZTt（Hαu（F））trdBu，t∈ [0，T]。（43）由于生成器gα满足（41）和终端条件F满足假设3，二次BS DE与无界终端数据的比较定理（见[6]第3节）简化了CT≤ Cαt（F）≤ Cα′t（F）≤Ct，对于0<α≤ α′≤ 1，其中Csolves BSDECt=- k+ZTt（Hu）trZu（0）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）杜邦-ZTt（Hu）trdBu，t∈ [0，T]，（44）和C解决BSDECt=F++ZTt胡杜邦-ZTt公司胡tr（dBu- mudu），t∈ [0，T]。（45）常规检查两个参数是否都符合显式表达式Ct=-kCt=ln EQmheF+| Fti，其中qm定义为dqmdp：=LmT=ET（R·mtrudBu）。我们声称Ct<+∞. 实际上，sinceR·（Zu（0））trdBuis是一个BMO鞅（见[21]中的引理12），R·mtrudBuis也是一个BMO鞅。然后，从逆H¨older不等式得出，存在一些p>1这样的结果LmTLmtp英尺≤ C对于某些常数C>0。反过来，H¨older不等式意味着ln EQmheF+| Fti=ln ELmTLmteF+|英尺≤印尼国家电力公司LmTLmtp英尺+ （1）-p） ln E[epp-1F+|英尺]<+∞.接下来，我们通过（43）中的极限。但是，由于gα的上界涉及m（cf.（41）），由于Z（0）的无界性，m通常是无界的，并且终端条件F是无界的，因此稳定性属性并不直接适用。

为了克服这一困难，我们应用定理5中的局部化参数，并定义停止时间τj=inft型∈ [0，T]：最大{Zt | Zs（0）| ds，Ct}>j∧ T、 对于整数j≥ 1、然后（Cαj（t），Hαj（t））：=（Cαt∧τj（F），Hαt（F）1{t≤τj}），t∈ [0，T]，满足αj（T）=Fαj+ZTt{u≤τj}gα（u，Hαj（u），Zu（0））du-ZTt（Hαj（u））trθudu-ZTt（Hαj（u））trdBu，（46），其中Fαj=Cαj（T）=Cατj（F）。对于固定j，我们观察到Cαj（·）是有界的，并且BS DE（46）的生成器满足{u≤τj}gα（u，h，Zu（0））≤ 1{u≤τj}| Zu（0）|+|θu |+| h |，对于u∈ [0，T]，排序{u≤τj}| Zu（0）| du≤ j、 此外，根据（42），{u≤τj}gα（u，h，Zu（0））→ 1{u≤τj}htr（Zu（0）+θu）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）,asα→ 因此，二次BSDE（46）满足[26]第2.2节中的稳定性条件。因此，设定Cj（t）=在fαCαj（t）中，从具有有界终端数据的二次BSDE的稳定性性质（见文献[26]中的引理3.3]）可以看出，存在Hj（·）∈ M如此limα→0Hαj（·）=Hj（·），单位为M，且Cj（·）、Hj（·）满足度j（t）=Fj+Zτjt（Hj（u））trZu（0）- 项目σ结构（Zu（0）+θu）杜邦-Zτjt（Hj（u））trdBu，（47），其中Fj=Cj（T）=infαCατj（F）。然后，线性BSDE（38）接着是结束j→ ∞ 在（47）中。3.2.2α的渐近性→ ∞通过考虑α的情况，我们完成了Cα（F）的渐近分析→ ∞ 在下一个定理中。定理20。假设假设3成立，可容许集在定义16中为ISACAS。此外，假设以下约束BSDEC∞t（F）=F+ZTtdA∞u（F）-ZTt（H∞u（F））trθudu-ZTt（H∞u（F））trdBu，以H为准∞u（F）∈ σtruCc，适用于a.e.u∈ [0，T]，（48）至少允许一种溶液（C∞（F），H∞（F），A∞（F））∈ S×M×SwithA∞（F）非减损过程。然后，limα→∞Cα（F）=C∞（F），其中（C∞（F），H∞（F），A∞（F））是约束BSDE（48）的最小解。

这里，最小解是指如果（C∞（F），H∞（F），A∞（F））是（48）的解，则∞t（F）≤C∞t（F），P-a.s.，用于t∈ [0，T]。备注21。约束BSDE（48）的假设意味着，对于a.e.u∈ [0，T]。请注意，如果F有界，则上述假设确实可以用TakingC来满足∞（F）≡ ||F级||∞, F，H的本质上确界∞（F）≡ 0，安达∞u（F）=1{u=T}（| | F||∞- F）+1{u<T}0。此外，如果F是有界的，且cci是Remark18中Rdas的子空间，则我们还具有最优交易策略的收敛性。要看到这一点，因为σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- H∞t（F）=项目σtrtCc（Hαt（F）- H∞t（F）），和Hα（F）→ H∞（F）弱in M，强in mp对于p<2（参见定理20的顶部），我们得到limα→∞EZT |σtrtπα，t（F）- σtrtπα，t（0）- H∞t（F）| pdt= 让我们回顾一下，根据[8]，最小解C∞（F）实际使用随机控制表示。为了看到这一点，我们引入了容许集Γ[0，T]=∪m级≥0v∈ L[0，T]：| vt |≤ m和vtis的取值单位为Γt，t∈ [0，T].域定义如下：∈ [0，T]，给定闭凸锥σtrtCc，我们定义其支撑函数δσtrtCc（·）作为σtrtCc，δ的特征函数ΔσtrtCc（·）的凸对偶σtrtCc（v）=s upz∈Rmztrv公司- ΔσtrtCc（z）对于（t，v）∈ [0，T]×Rm。那么，δσtrtCc（·）用R表示∪{+∞}, 且有界于势垒锥的紧致子集Γt=nv∈ Rm：δσtrtCc（v）<+∞o、 在我们的例子中，由于σtrtcc是一个闭的凸锥，因此Γt={v∈ Rm：ztrv≤ z为0∈ σtrtCc}，和δσtrtCc≡ Γt上的0。然后根据定理5.1和[8]的推论5.1得出（u=-θ） thatlimα→∞Cα（F）=C∞（F）=supv∈A.Γ[0，T]方程F-ZTδσ结构（vu）du= supv公司∈A.Γ[0，T]EQv[F]，（49），其中dqvdp：=ET（Z·（vt- θt）trdBt）。

（50）在第3.3节中，我们将∞（F）当投资组合约束为子空间时，仅为MLMM下F的su perreplicationprice。定理20的证明。该证明基于彭的单调极限定理（见[28]）。我们从有界F开始，然后通过近似过程进入一般F。（i） F有界的情况。我们首先重写（37）asCαt（F）=F-ZTdistσ结构Zu（0）+θu2αdu+ZTtdAαu（F）-ZTt（Hαu（F））trθudu-ZTt（Hαu（F））trdBu，（51），其中Cαt（F）：=Cαt（F）-Ztdistσ结构Zu（0）+θu2αdu，（52）和Aα是一个自适应、连续和非减量过程，定义为asAαt（F）：=Zt2αdistσtruCcαHαu（F）+Zu（0）+θudu=αZtdistσtruCcHαu（F）+Zu（0）+θuα杜。（53）我们将（51）视为约束BSDE（48）的惩罚方程，我们将证明（Cα（F），aα（F），Hα（F））→ （C）∞（F），A∞（F），H∞（F）作为α→ ∞.为此，我们注意到，由于F是有界的，而gα在α中是非减量的（见引理19），因此二次BSDE与有界终端数据的比较定理暗示Cα（F）在α中是非减量的。因此，Cα（F）也是n，在α中减少。我们声称，对于任何有界解（C∞（F），H∞（F），A∞（F））到约束的BSDE（48）（有界解是指∞（F）是有界的），它认为cαt（F）≤ C∞t（F），P-a.s.，用于t∈ [0，T]。（54）我们将上述不等式的证明推迟到引理22。

那么（54）将进一步计算cαt（F）≤C∞t（F）由（52）中的cα（F）定义，然后是二次距离函数的非负性。因此，存在C∞（F）∈ S∞使得Cα（F）→ C∞（F）在S中∞, andC公司∞t（F）≤C∞t（F），对于t∈ [0，T]。然后从[28]中引理2.5得出SUPα≥1E[| AαT（F）|]≤ Csupα≥1E级ZT | Hαt（F）| dt≤ C、 （55）对于某些常数C>0。应用文〔28〕中的彭单调极限定理，我们得到存在（H∞（F），A∞（F））∈ M×S确认A∞（F）在增加，Aα（F）→ A.∞（F）S中较弱，Hα（F）→ H∞（F）M弱，MPP强，p<2，C∞（F），H∞（F），A∞（F））满足（48）中的等式。我们接下来展示H∞u（F）∈ σtruCc，适用于a.e.u∈ [0，T]。事实上，通过（53）中α（F）的定义和（55）中的首次估计，我们已经ZTdistσ结构Hαu（F）+Zu（0）+θuα杜邦=2E[αT（F）]α≤2E[| AαT（F）|]α≤2Cα→ 0，作为α→ ∞,这迫使H∞u（F）∈ σtruCc，适用于a.e.u∈ [0，T]，即（48）中的约束条件成立。（ii）满足假设3的情况。通常，我们通过引入Fn：=F从下面近似F∧ n、 然后，根据比较定理和终端数据有界的二次盲源数据交换的稳定性，得出Cα（Fn）在n和limn中是不减的→∞Cα（Fn）=supnCα（Fn）=Cα（F）。另一方面，我们在（i）中也证明了Cα（Fn）在α中是非减量的，并且limα→∞Cα（Fn）=supαCα（Fn）=C∞（Fn）。因此，通过交换上述两个极限程序，我们得到了limα→∞Cα（F）=supαsupnCα（Fn）=supnsupαCα（Fn）=limn→∞C∞（Fn）。根据（49），C∞（Fn）接受随机控制表示C∞（Fn）=supv∈A.Γ[0，T]EQv[Fn]。自Fn起→ 由下可知，通过单调收敛定理，我们得到了→∞C∞（Fn）=supv∈A.Γ[0，T]EQv[F]。再次使用（49），我们知道上述等式的右侧只不过是C的随机控制表示∞（F），即。

约束BSDE的最小解（48）的第一个组成部分。因此，limα→∞Cα（F）=C∞（F）。引理22。假设payofff是有界的，并且（Cα（F），Hα（F））是BSDE（37）的唯一解。然后，对于任何有界解（C∞（F），H∞（F），A∞（F））对于约束BSDE（48），我们有Cαt（F）≤C∞t（F），P-a.s.，用于t∈ [0，T]。证据如果（C∞（F），H∞（F），A∞（F））是约束BSDE（48）的有界解，它遵循（37）和（48）th atCαt（F）-C∞t（F）=ZTtgα（u，Hαu（F），Zu（0））du-ZTtdA公司∞u（F）-ZTt（Hαu（F）-H∞u（F））tr（θudu+dBu）≤ZTtgα（u，H∞u（F），Zu（0））du-ZTt（Hαu（F）-H∞u（F））tr（（βu+θu）du+dBu），其中β定义为βu=gα（u，H∞u（F），Zu（0））- gα（u，Hαu（F），Zu（0））| Hαu（F）- H∞u（F）|Hαu（F）-H∞u（F）,对于u∈ [0，T]。利用引理19中gα上界的证明中类似的参数，我们推导出|βu |≤ |Zu（0）|+|θu |+α（| H∞u（F）|+| Hαu（F）|）。ButR·（Zu（0）+H∞u（F）+Hαu（F））trdBuis是一个BMO鞅，它沿着[21]引理12中的类似论点，通过注意F是有界的，或··βtrudBuis也是一个BMO鞅。反过来，定义QβasdQβdP：=ET（Z·（βu+θu）trdBu），我们有cαt（F）-C∞t（F）≤ EQβZTtgα（u，H∞u（F），Zu（0））du | Ft. （56）回想引理19，gα（u，H∞u（F），Zu（0））在α中不递减。设置β：=1/α，类似于（42），我们有limα→∞gα（u，H∞u（F），Zu（0））=limα→∞2αdistσtruCcαH∞u（F）+Zu（0）+θu= limβ→02β距离σ结构H∞u（F）+β（Zu（0）+θu）- d istσ结构H∞u（F）=βdistσtruCcH∞u（F）+β（Zu（0）+θu）|β=0，其中我们使用了约束条件h∞u（F）∈ σtruCcin最后一个等式。然后，我们计算上述距离函数distσtruCc（·）对βas（Zu（0）+θu）tr的导数H∞u（F）+β（Zu（0）+θu）- 项目σ结构（H∞u（F）+β（Zu（0）+θu））,β=0时为0。