基于Black-Scholes方程的美式看涨期权定价

通过区分函数Y与u变量的关系，并使用u=SS、 我们获得uY=t（S）SV）+S（β+uβ）+（r- q） 上海- qS公司SV，uY=t（S）SV+SSV）+（r- q） S（H+uH）（14）+S（β+uβ）+S(xβ+uβ）- qS公司SV公司- qH，其中S=Eeu。然后uY公司- uY=Eeuψ[H]，其中ψ[H]：=-τH+uβ（H）+uβ（H）+（r- q）嗯- qH，（15）如权利要求所述。在特定情况下，当Y≡ 0时，函数V（t，S）表示欧洲式看涨期权的价格，它是非线性Black-Scholes方程（1）的解，当且仅当函数H是受初始条件H（x，0）=δ（x）约束的所谓Gamma方程（12）的解，其中δ是Dirac函数（参见[24]，[26]）。引理3如果函数Y ful满足渐近行为limu→-∞Y（τ，u）=0和limu→-∞e-uuY（τ，u）=0然后Z+∞-∞（S）-Eeu）+ψ[H]（τ，u）du=Y（τ，u）| u=ln（S/E）≡ 电视+（r-q） SSV+Sβ（SSV）-rV。用引理2和（14）我们可以表示+∞-∞（S）-Eeu）+ψ[H]（τ，u）du如下：Z+∞-∞（S）- Eeu）+Ee-u型[uY公司- uY]du=EZln（S/E）-∞（Se-u- E）[uY公司- uY]du=EZln（S/E）-∞Se公司-uuY公司- （Se-u- E）uY du公司+ [（Se-u- E）uY]ln（序列号）-∞| {z}=EZ+∞-∞EuY du=Y（τ，u）| u=ln（S/E）=电视+（r- q） SSV+Sβ（SSV）- rV，引理的证明如下。定理1函数V（t，S）是非线性互补问题（13）的解，当且仅当变换函数H是以下Gammavariational不等式和互补约束的解：-Z+∞-∞（S）- Eeu）+ψ[H]（τ，u）du≥ 0，Z+∞-∞（S）- Eeu）+H（τ，u）du≥ g（S），（16）Z+∞-∞（S）- Eeu）+ψ[H]（τ，u））du×Z+∞-∞（S）- Eeu）+H（τ，u）du- g（S）= 0，对于任何S≥ 0和τ∈ [0，T]。它直接来自引理2和引理3。

备注1在计算定理1中的V（T，S）时，我们使用以下事实：H（0，u）=H（u），u∈R、 式中，H（u）：=δ（u）是狄拉克δ函数，使得R+∞-∞δ（u）du=1，andR+∞-∞δ（u- u） φ（u）du=任意连续函数φ的φ（u）。在下面的内容中，我们将近似初始狄拉克δ函数如下：H（x，0）≈ f（d）/（σ）√τ*),其中0<τ* 1是一个非常小的参数，f（d）是正态分布的PDF函数，即：f（d）=e-日期/2/√2π和d=（x+（r- q- σ/2)τ*) /σ√τ*.该近似值源自以下观察结果：对于在时间T时具有常数波动率σ>0的线性Black–Scholes方程的解- τ*接近到期t值Hlin（x，τ*) = SSVlin（S，T- τ*) 由Hlin（x，τ）给出*) = f（d）/（σ）√τ*). 此外，Hlin（.，τ）*) → δ(.) asτ*→ 分布意义上的0。4用Sor方法求解Gamma变分不等式根据定理1，美式看涨期权定价问题可以用函数H（τ，u）的形式重写为带有互补约束的Gamma变分不等式（16）（17）。我们遵循_Sev_coviˇc和_Zit_nanskˇa[26]的论文，以推导出一种有效的数值格式，用于解决函数β（H）的一般形式的Gamma变量不等式，包括可变交易成本模型的特殊情况。为了将投影连续超松弛方法（PSOR）（参见Kwok[18]）应用于变分不等式（16），我们必须离散（15）中定义的非线性算子ψ。建议的数值离散基于有限体积法。假设空间变量u属于有界区间(-五十、 L）对于充足的大凝胶>0。我们划分空间间隔[-五十、 L]进入离散点的均匀网格ui=ih，其中i=-n、 ···，n，空间步长h=Ln。

时间间隔[0，T]与时间步长k=tmi统一划分为离散点τj=jk，j=1，···，m。算子ψ[H]的细观离散化导致三对角矩阵乘以向量Hj=（Hj-n+1，···，Hjn-（1）∈ R2n-更精确地说，向量ψ[H]jat由ψ[H]j=-（AjHj- dj）其中（2n- 1） ×（2n- 1） 矩阵A格式=北京-n+1cj-n+10···0aj-n+2bj-n+2cj-n+2。。。0 . . . 0... ··· ajn公司-2bjn-2cjn-20···0 ajn-1bjn-1.（17） 系数：aji=-khβ（Hj-1i-1） +k2h（r- q） ，cji=-khβ（Hj-1i）-k2h（r- q） ，bji=（1+kq）- （aji+cji），dji=Hj-1i+khβ（Hj-1i）- β（Hj-1i-1).最后，使用简单的数值积分，变分不等式（16）可以离散如下：V（S，T- τj）=hnXi=-n（S）- Eeui）+Hji，j=1，2，·····，m.（18）然后，给出（16）中出现的不等式的全时空离散化版本=-n（S）- Eeui）+（AjHj）i- dji公司≥ 0，（19）hnXi=-n（S）- Eeui）+Hji≥ g（S）≡ （S）- E） +。（20） 让我们将辅助可逆矩阵P=（Pli）定义如下：Pli=h max（Sl- Eeui，0）=hE max（evl- eui，0）（21）0.000.020.040.060.080.100.120.14HΒHHLFigure 2：与分段线性递减交易成本函数相关的函数β（H）图（见【10】）。式中，vl=（ul+1+ul-1） /2，对于l=-n、 ···，n。接下来，我们的目的是通过PSOR方法解决问题（19）–（20）。使用矩阵P，我们可以将美式看涨期权的（19）–（20）改写为（P AH）i≥ （P d）-, （P H）i≥ gi，（22）（P AH- P d）i·（P H- g） i=0，对于所有i，其中A=Aj，gi=（Si- E） +和H=Hj。互补问题（22）可以通过PSOR算法来解决，该算法由以下迭代格式给出：1。对于k=0设置vj，k=vj-1,2. 直到k≤ kmaxrepeat:wj，k+1i=~Aii-Xl<iAilvj，k+1l-Xl>i▄Ailvj，kl+▄dji！，vj，k+1i=最大NVj，ki+ω（wj，k+1i- vj，ki），gio，3。

设置vj=vj，k+1，对于i=-n、 ····，n和j=1，···，m，其中vj=P Hj，~dj=P dj和~A=P AjP-1、这里ω∈ [1，2]是一个松弛参数，可以调整该参数以加快收敛过程。最后，使用值Hj=P-1vjand方程（18），我们可以评估期权价格V。5数值实验在本节中，我们将重点放在基于非线性Black-Scholes方程计算美国式看涨期权价格的数值实验上，该方程包括一个分段线性递减的交易成本函数C。在图2中，我们展示了由β（H）=σ1给出的对应函数β（H）-rπИC（σ| H|√t） sgn（H）σ√t！H、 表1：数值试验中使用的模型和数值参数。模型参数数值参数c=0.02 m=200，800κ=0.3，ξ-= 0.05ξ+=0.1 n=250，500t=1/261 h=0.01σ=0.3τ*= 0.005r=0.011，q=0.008 k=T/mT=1，E=50 L=2.5，其中C是交易成本函数C的平均值修正。参数C，κ，ξ±，表1给出了表征非线性分段线性可变交易成本函数C和其他模型参数的t。在这里t是两次连续投资组合重组之间的时间间隔，t是到期时间，σ是历史波动率，q是股息收益率，E是执行价格，r表示无风险利率。小参数0<τ* 1表示狄拉克δ函数近似的平滑参数（见备注1）。对于表1中的数值参数，我们计算了几个潜在资产价格的期权值VVTC。通过投标和询价期权价格的数值解计算价格，如表2所示。投标价格VBidvtcis与通过二叉树方法计算的价格Vbinmin进行比较（参见。

[18] ）具有恒定的较低波动率^σmin=σ（1- Cqπσ√t） ，而上限价格VbinMax对应于具有更高常数波动率的解^σmax=σ（1-Cqπσ√t） 。类似地，对于要价VASKVTC，下限Vbinmin对应于二叉树方法的解，其波动率较低^σmin=σ（1+Cqπσ√t） ，而上界VbinMax对应于具有更高常数波动率的解^σmax=σ（1+Cqπσ√t） 。关于[26]，对于欧式期权，可以使用抛物线比较原理得出以下上下限：Vσmin（S，t）≤ Vvtc（t，S）≤ Vσmax（t，S），S>0，t∈ [0，T]。对于美式期权，可在表2中观察到数值解的类似不等式。在表3中，我们比较了基于Gamma变分不等式解决方案的方法获得的结果，其中我们考虑了常数波动率σmin和σmax，以及基于美国式看涨期权二项式树的著名方法获得的结果（参见[18]）。价格差异的顺序为网格大小h=L/n。在图3中，我们给出了通过我们的方法获得的自由边界函数Sf（t），与σmin的二叉树相比，投标期权价值的可变交易成本函数C，σmax。在图4中，我们绘制了t=0时，表2的解Vvtc（t，S）的曲线图：Bid（上表）和Ask（下表）美式看涨期权价格VBidvtcand Vaskvtc，这是从不同网格的具有可变交易成本的非线性模型的数值解得出的。