基于Black-Scholes方程的美式看涨期权定价

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英文标题：
《Pricing American Call Options by the Black-Scholes Equation with a
  Nonlinear Volatility Function》
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作者：
Maria do Rosario Grossinho, Yaser Faghan Kord, Daniel Sevcovic
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we investigate a nonlinear generalization of the Black-Scholes equation for pricing American style call options in which the volatility term may depend on the underlying asset price and the Gamma of the option. We propose a numerical method for pricing American style call options by means of transformation of the free boundary problem for a nonlinear Black-Scholes equation into the so-called Gamma variational inequality with the new variable depending on the Gamma of the option. We apply a modified projective successive over relaxation method in order to construct an effective numerical scheme for discretization of the Gamma variational inequality. Finally, we present several computational examples for the nonlinear Black-Scholes equation for pricing American style call option under presence of variable transaction costs.
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中文摘要：
本文研究了美式看涨期权定价的Black-Scholes方程的非线性推广，其中波动率项可能取决于基础资产价格和期权的伽马。我们提出了一种美式看涨期权定价的数值方法，通过将非线性Black-Scholes方程的自由边界问题转化为所谓的Gamma变分不等式，新变量取决于期权的Gamma。为了构造伽玛变分不等式离散化的有效数值格式，我们采用了一种改进的投影逐次超松弛方法。最后，我们给出了在交易成本可变的情况下，美式看涨期权定价的非线性Black-Scholes方程的几个计算实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Pricing_American_Call_Options_by_the_Black-Scholes_Equation_with_a_Nonlinear_Vol.pdf (542.64 KB)

2022-6-1 02:06:00 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

具有非线性波动函数的Black-ScholesEquation美式看涨期权定价Maria do Ros\'ario Grossinho，Yaser Faghan Kord*DanielˇSevˇcoviˇc+2018年6月14日摘要在本文中，我们研究了Black-Scholes方程的非线性推广，用于定价美式看涨期权，其中波动率项可能取决于基础资产价格和期权伽马。我们提出了一种美式看涨期权定价的数值方法，通过将非线性Black-Scholes方程的自由边界问题转化为所谓的Gamma变分不等式，新变量依赖于期权的Gamma。我们采用一种改进的投影逐次超松弛方法来构造一种有效的数值格式，用于离散Gammavariational不等式。最后，我们给出了在存在可变交易成本的情况下，美式看涨期权定价的非线性Black-Scholes方程的几个计算实例。关键词和短语：美式期权定价、非线性Black-Scholes方程、可变交易成本、PSOR方法数学主题分类：35K15、35K55、90A09、91B28.1简介在一个程式化的金融市场中，欧式期权的价格可以通过Black和Scholes在[4]中推导出的著名Black-Scholes线性抛物线方程的解来计算。回想一下，欧洲看涨期权赋予其所有人在到期时间T以到期价格E购买标的资产的权利，但没有权利。在本文中，我们考虑可以在时间间隔[0，T]内的任何时间T行使的美式期权。经典的线性Black-Scholes模型是在无交易成本、无摩擦、流动和完全市场等限制性假设下导出的。

然而，我们需要更现实的市场数据分析模型，以克服由于经典Black-Scholes理论的这些限制而导致的撤资。第一个*葡萄牙里斯本大学高等经济研究所和塞马普研究所。mrg@iseg.ulisboa.pt，yaser。kord@yahoo.com+斯洛伐克布拉迪斯拉发842 48号夸美纽斯大学应用数学与统计系。sevcovic@fmph.uniba.sknonlinear考虑交易成本的模型是Avellanda、L'evy和第[2]段提出的跳跃波动率模型。原始Black-Scholes模型的非线性也可能源于反馈和流动性不足的市场效应，这是由于大型交易者选择给定的股票交易策略（Sch¨onbucher和Wilmott【23】、Frey和Patie【6】、Freyand Stremme【7】、不完全复制和投资者偏好（Barles和Soner【3】），无保护投资组合的风险（Kratka【17】、Jandaˇcka和ˇSevˇcoviˇc【10】）。在本文中，我们关注的是最近由_Sev_covi_c和_Zit_nansk_a推导的一个新的非线性模型，该模型用于在存在可变交易成本的情况下对看涨期权或看跌期权进行定价。该模型推广了著名的Leland模型，其交易成本函数为常数（参见[22]、[8]），以及Amster等人的模型[1]，其交易成本函数为线性递减。它导出了以下广义Black-Scholes方程，其非线性函数^σ取决于乘积H=S标的资产价格SV和期权价格V的二阶导数（Gamma）：tV+^σ（SSV）SSV+（r- q） SSV公司- rV=0，V（T，S）=（S- E） +，（1）其中r，q≥ 0分别为利率和股息收益率。

在存在可变交易成本的情况下，此类看涨期权的价格V（t，S）由非线性抛物线方程（1）的解给出，该解取决于t时标的股票价格S>0∈ [0，T]，其中T>0是到期时间，E>0是行权价格。对于欧式看涨期权，Duriˇs等人在[5]中提出并分析了求解完全非线性抛物方程（1）的各种数值方法。Jandaˇcka和Zitˇnanskˇa在[24]和[26]ˇSevˇcoviˇc中研究了一种新的变换技术（称为伽马变换）。他们表明，完全非线性抛物方程（1）可以转化为拟线性抛物方程τH- uβ（H）- uβ（H）- （r）- q）uH+qH=0，其中β（H）=^σ（H）H/2，（2）多孔介质类型的转换量H（τ，u）=SSV（t，S），其中τ=t- t、 u=长度（S/E）。与完全非线性方程（1）相比，以发散形式（2）求解拟线性抛物方程具有双重优势。首先，从分析的角度来看，形式（2）的拟线性抛物方程解的存在唯一性理论得到了很好的发展和理解。利用Ladyzhenskaya等人[19]提出的拟线性抛物方程的一般理论，Sevˇcoviˇc和Zitˇnanskˇa在[26]中证明了（2）的H¨oldersmooth解的存在性。其次，发散形式的拟线性抛物方程可以通过有限体积法进行数值近似（参见LeVeque[21]）。此外，第4节中提出的半隐式近似方案被划分为一类二阶收敛的方法（参见Kilianov\'a和Sevˇcoviˇc[12]）。

科列娃（Koleva）和沃尔科夫（Vulkov）在一系列文献[13、14、15、16]中研究了欧洲风格的看涨期权和看跌期权定价的转换Gammaequation（2）。他们还导出了求解（1）和（2）的二阶保正数值格式。我们的目标是研究美式看涨期权，这会导致自由边界问题。它们的价格可以通过具有非线性波动函数（1）的广义BlackScholes方程来计算。如果波动率函数是常数，那么众所周知，美式期权可以通过线性互补问题的解来定价（参见Kwok[18]）。同样，对于非线性volatilitymodel，可以构造一个非线性互补问题，涉及（1）左侧的变量不等式和不等式V（t，S）≥ （S）- E） +。然而，由于（1）中微分算子的完全非线性性质，非线性互补的直接计算变得更加困难和不稳定。因此，我们提出了一种替代方法，并根据新的变换变量H重新表述了非线性互补问题，对于该变量，微分算子具有出现在（2）左侧的水下线性抛物线算子的形式。为了将Gamma变换应用于美式期权，我们推导了变换变量H的非线性互补问题，并通过改进的投影连续超松弛方法（参见Kwok[18]）解决了变分问题。利用这种方法，我们计算了存在可变交易成本的Black-Scholes非线性模型的美式看涨期权价格。本文的组织结构如下。在第二节中，我们提出了可变交易成本下的非线性期权定价模型。

第三节致力于将自由边界问题转化为所谓的伽马变分不等式。在第4节中，我们提出了互补问题的有限体积离散化及其通过投影超松弛（PSOR）方法得到的解。最后，在第5节中，我们给出了美式看涨期权定价的各种数值实验结果、早期行使边界位置以及与具有恒定波动率项的模型的比较。2存在可变交易成本时期权定价的非线性Black-Scholes方程在原始Black-Scholes理论中，允许对包括标的股票和期权在内的投资组合进行连续套期保值。在存在购买和出售标的股票的交易成本的情况下，这一连续性特征可能会导致有限数量的交易成本，从而产生无限的总交易成本。包括交易成本在内的基本非线性模型之一是期权定价的利兰模型[22]，其中可以放宽在离散时间重新安排投资组合的可能性。回想一下，在利兰模型的推导过程中[8、9、22]，假设投资者遵循delta对冲策略，其中购买/出售资产的数量δ取决于期权的delta，即δ=SV。然后，应用自我融资投资组合参数，可以推导出Black-Scholesequation的扩展版本电视+（r- q） SSV+σSSV公司- rV=rT CS。（3） 这里，交易成本度量rT CI由T C=E给出[T C]St、 （4）其中T C是交易成本在长度的时间间隔内的变化t>0。如果是C≥ 0表示股票买卖成本相对于当时价格S的百分比T C=CS|δ|其中δ是购买的数量(δ>0）或已售出(δ<0）时间间隔内的标的资产t。

参数C>0衡量每单位标的资产的交易成本可以是常数，也可以取决于交易标的资产的数量，即C=C(|δ|).此外，假设标的资产遵循几何布朗运动ds=uSdt+σSdW，可以证明δ=SV公司≈ σSSVΦ√t其中Φ~ N（0，1）为正态分布随机变量。HencerT C=E[C（α|Φ|）α|Φ|]t、 （5）式中α：=σS|SV公司|√t（参见[25]、[10]）。为了重写方程（3），我们回顾了[26]中引入的交易成本函数平均值修正的通知。定义1【26，定义1】设C=C（ξ），C:R+→ R、 成为交易成本函数。积分变换C:R+→ 函数C的R定义如下：△C（ξ）=RπE[C（ξ|Φ|）|Φ|]=Z∞C（ξx）x e-x/2dx，（6）称为交易成本函数的平均值修正。这里Φ是具有标准化正态分布的随机变量，即Φ~ N（0，1）。如果我们假设C:R+→ R是一个可测量且有界的交易成本函数，则基于可变交易成本的期权价格由以下非线性Black-Scholes偏微分方程的解给出（参见[26，命题2.1]）：电视+（r- q） SSV+^σ（SSV）SSV公司- rV=0，（7），其中非线性扩散系数^σ由（表示^σ（.）：=^σ(.)):^σ（SSV）=σ1-rπИC（σSSV公司√t） sgn（S）SV）σ√t！。（8） Sevˇcoviˇc和ZitˇnanskˇA在[26]中提出并分析了交易成本函数的一个现实例子。C（ξ）给出了分段线性递减交易成本函数C=C、 如果0≤ ξ < ξ-,C- κ(ξ - ξ-), ifξ-≤ ξ ≤ ξ+，C≡ C- κ(ξ+- ξ-), ifξ≥ ξ+，（9），其中0<ξ-≤ ξ+、κ>0、C>0是模型参数。

这种交易成本函数对应于一个程式化的市场，在该市场中，投资者为少量交易资产支付CFA，而如果股票交易量较高，投资者支付的C则较小。修改后的平均值交易成本函数可以通过以下公式解析表示：~C（ξ）=C- κξZξ+ξξ-ξe-u/2du，用于ξ≥ 0（10）0.000.010.020.030.040.05-0.010-0.0050.0000.0050.0100.0150.0200.025ΞCHΞL，CHΞLFigure 1：参数C=0.02，κ=1，ξ的分段线性交易成本函数-= 0.01，ξ+=0.02，其平均值修正C（ξ）（虚线）。（参见[26，等式（24）]）。根据[26，命题2.2]，分段线性交易成本函数C（ξ）的平均值修正存在下限/上限和限制行为，即≤C（ξ）≤ C、 和limξ→∞C（ξ）=limξ→∞C（ξ）=C。（11）图1所示为分段线性交易成本函数C及其平均值修正图。如果交易成本函数C≡ C> 0是常数（即ξ±=0），我们得到了著名的利兰模型（参见[8，9，22]），其中扩散项的形式为：^σ（SSV）=σ（1）- 勒斯根(SV））=σ（1- Le sgn（S）SV）），Le=rπCσ√t、 其中Le是Leland数。在[1]中，Amster等人研究了一个线性非递增交易成本函数，其形式为：C（ξ）=C- κξ，其中ξ≥ 0，即ξ-= 0, ξ+= ∞. 平均值修正函数的形式为：~C（ξ）=C-pπ/2κξ，其中ξ≥ 很明显，这种交易成本函数可以达到负值，这可以被视为该模型的一个缺点。3自由边界问题到Gamma变分不等式的转换在欧式期权的背景下，Jandaˇcka和Sevˇcoviˇc提出并分析了Gamma方程的转换方法[10]。

如果我们考虑欧式期权的广义非线性Black-Scholes方程（1），那么，使变量u=ln（SE）和τ=T的变化- 通过计算方程（1）对u的二阶导数，我们导出了所谓的伽马方程（2），即。τH- uβ（H）- uβ（H）- （r）- q）uH+qH=0，其中β（H）=σ（H）H。（12）伽马方程的推导、经典H–older光滑解的存在性和唯一性的更多细节可在_Sev_coviˇc和_Zit_nansk_a的论文[26]中找到。引理1[26，命题3.1，备注3.1]让我们考虑一个具有支付图V（T，S）=（S）的看涨期权- E） +。那么函数H（τ，u）=SSV（t，S），其中u=ln（SE），τ=t- t是（12）的解，受狄拉克初始条件H（0，x）=δ（x）当且仅当ifV（t，S）=Z+∞-∞（S）- Eeu）+H（τ，u）du是（1）的解。3.1美式期权在本节中，我们通过解决所谓的Gammavariational不等式，研究美式期权定价中出现的自由边界问题的转换方法。美式期权合同的主要优点是对持有人的灵活性，因为它可以在到期日之前的任何时候行使。金融市场上交易的大多数衍生品合约都是美式的。在美式期权的数学模型中，与欧式期权不同，有可能在某个时间提前行使合同*∈ [0，T）在到期时间T之前。众所周知，对支付连续股息收益率q>0的标的股票的美式看涨期权定价会导致自由边界问题。

除了功能V（t，S），我们还需要找到早期运动边界功能Sf（t），t∈ [0，T]。函数Sf（t）具有以下属性：o如果Sf（t）>S表示t∈ [0，T]然后V（T，S）>（S- E） +.o如果Sf（t）≤ S代表t∈ [0，T]然后V（T，S）=（S- E） +。在过去的几十年中，许多作者分析了自由边界位置函数Sf。在[27]Stamicar，ˇSevˇcoviˇc和Chadam中，对于具有恒定波动性的Black-Scholes模型，导出了接近到期时间t的早期练习位置的精确近似值（另请参见[11]、[20]、[28]）。Sevˇcoviˇc在[24]中对非线性Black-Scholes模型的方法进行了推广。继Kwok[18]（另见[25]）之后，Americancall期权定价的自由边界问题在于找到一个函数V（t，S）和早期行使边界函数，使得V在时间依赖域上求解Black-Scholes PDE（1）：{（t，S），0<S<Sf（t）}和V（t，Sf（t））=Sf（t）- E、 以及SV（t，Sf（t））=1。或者，Csmooth函数V是（1）自由边界问题的解，当且仅当它是非线性变分不等式的解电视+（r- q） SSV+Sβ（SSV）- rV≤ 0，V（t，S）≥ g（S），电视+（r- q） SSV+Sβ（SSV）- rV×（五）- g） =0，（13）对于任何S>0和t∈ [0，T]其中g（S）≡ （S）-E） +。3.2变分不等式的Gamma变换在本节中，我们介绍了一种变换技术，如何将函数V（t，S）的非线性互补问题（13）转化为涉及变换函数H（τ，x）的所谓Gamma变分不等式。我们需要两个辅助引理。引理2设V（t，S）为给定函数。设u=ln（SE），τ=T- t并定义函数Y（τ，u）：=电视+（r- q） SSV+Sβ（SSV）- rV。然后-τH+uβ（H）+uβ（H）+（r- q）嗯- qH=Ee-u型[uY公司- uY]，其中H（τ，u）=SSV（t，S）。P r o f。