作为人口博弈的个人健康或财富积累

当财富水平相差不远，但又不相同时，就有三个候选均衡。在一个平衡中，富人不吃蛋糕，而在另一个平衡中，穷人不吃蛋糕，而在第三个平衡中，他们都在D手之间随机化，但概率略有不同。无论在这种遭遇中发挥哪种平衡，种群中的一般战斗水平都低于基线鹰鸽模型。这一结论与2005年麦克纳马拉和休斯顿的结论一致。（然而，我们的模型和他们的模型之间的区别在于，在他们的模型中，两名选手不知道另一名选手的对抗能力）。如果财富水平发生在Beidetical，那么我们回到了基线模型。备注1。生物学上众所周知，多次争夺资源的动物通过判断彼此的力量来避免争斗，从而避免伤害。参赛者还经常通过展示或夸大自己的格斗能力来给对方留下深刻印象。通常情况下，如果两名选手表现出大致相同的实力，就会发生火灾。可以说，避免不平等个体之间的冲突在我们之间也很常见，我们忽略了刀锋情况，当| wi- wj |=σ-1ln（信用证），因为这种情况只发生在非常特殊的情况下。人类。关于动物格斗的数学模型，请参见恩奎斯特和莱玛（1983、1984、1987、1990）、休斯顿和麦克纳马拉（1988）、克劳利（2000）以及麦克纳马拉和休斯顿（2005）。在Houston和McNamara（1988）中，个人的“能量储备”水平不同，ESS的形式为“如果你的能量储备低于某个临界值，则按H进行，否则按D进行”。

Crowley（2000）分析了当个人只知道自己的战斗能力时，以及当他们也知道对手的能力时的情况。在麦克纳马拉和休斯顿（2005），每个人都只知道自己的格斗能力，ESS的形式是随着自身格斗能力的提高，从D切换到H的阈值。上述研究均未分析相关的随机累积过程。一种可能的情况是，只要（21）成立，就进行混合均衡；这与经验观察一致，即争斗似乎主要发生在实力相对平等的各方之间。从形式上讲，人口博弈中个体的均衡策略（所有个体都是随机配对的玩家）可以定义为自身财富w和对手财富w的函数ξ：ξ（w，w）=P（H | w，w）=1如果w- w> σ-1ln（c/v）v2（v+c）f（w，w）-vif | w- w |≤ σ-1ln（c/v）0（如果有）- w>σ-然而，正如Selten（1980）所示，混合平衡并没有在进化稳定的条件策略中发挥作用。因此，进化稳定性要求在0<| w时播放（H，D）或（D，H- w |≤σ-1ln（c/v）。以下人口博弈策略在进化上是稳定的：ξ*（w，w）=P（H | w，w）=1如果w>wv/c如果w=w0如果w<w，下面的图6比较了在人口策略ξ下σ=1的长期财富分布*, 对于σ=0的基线情况，对于图2中相同的参数值（但分辨率略有不同）。毫不奇怪，分布更加分散，平均财富有所增加（因为避免了火灾）。

该模拟中的经验平均值为1206，标准差506，中位数1177，最大值3625，图6：与基线模型中的分布相比，“财富强度”时个人财富的长期分布。基尼系数为0.23。与基线模型相比，在赢得公平的概率相等的情况下，经验平均值、中值、最大值增加了近10%，基尼系数增加了15%，标准差增加了约25%。当个人的策略依赖于国家时，如目前的“财富就是力量”模型，基线模型的一些先前结果仍然成立。特别是，当财富强大时，命题1的证明不会改变。因此，财富过程仍然是遍历的。个人拥有自己的财富和对手的财富这一事实为混沌传播的证据带来了非线性。有关类似但非线性财富积累过程中混沌传播的证明，请参见Gibaud（2016）。基于这一证明，我们认为，当财富是力量时，混沌的传播也是如此。然而，由于演化方程发生变化，在人口策略ξ下，经验平均财富水平为1195，标准差508，中位数1171，最大值3696，基尼系数为0.24。

因此，当财富水平接近时，采用哪种人口策略无关紧要。因此，推论1.6讨论也是如此。本研究的目的是制定一个分析框架，允许对财富积累和分配的机制进行严格的数学分析，这一框架将允许对更丰富、更现实的模型进行扩展和概括。例如，这里不是只玩一个游戏，而是一个simpleHawk Dove游戏，可以有一系列或多或少复杂的n-playergames（对于n=1、2、3…）代表生产、贸易、议价等机会，根据某种（外生或内生）概率分布随机抽取的博弈。然后，个人可以选择不参与互动，这可以通过添加纯策略轻松实现，如果参与者选择了该策略，则该个人的财富不会受到影响（并且会以规定的方式影响其他参与者的物质报酬）。我们希望，目前的分析框架，以适当扩展的形式，可以帮助理解财富积累和分配背后的机制，参见Bardhan、Bowles和Gintis（1999）、Davies和Shorrock（1999）和Picketty（2014）。目前的分析基于其他英勇和不切实际的假设。当前模型框架中缺少的一个重要因素是消费。我们这里所说的“折旧”当然可以被认为是“消费”。显然，这是一种相当机械的处理此类活动的方法。因此，一个有趣的扩展将包括由（潜在风险厌恶）具有（某些）远见的个人做出的内源性消费决策。

也许同样重要的是，个人动机可能要复杂得多，涉及利他主义或恶意、不公平厌恶和/或道德等。鹰派-鸽派游戏可以被视为一种简单的讨价还价游戏，其中H代表一种积极的主张（整个蛋糕），D代表一种适度的主张（平分蛋糕）。Molander（2014）讨论了讨价还价能力的微小差异如何可能导致广泛的财富分散。在鹰派-鸽派博弈中，这种选择几乎没有什么意义，因为弃权将被策略D弱支配。只需提及一个潜在的扩展：创造机会的过程的内生性。可以说，机会的价值及其到达率都以积极的方式取决于当前和过去的国民财富。这种通过正反馈实现的内生增长可能会将当前的遍历财富过程转变为所谓的爆炸性过程，从而可能确定稳定的增长路径。虽然这样的概括可能会带来重大的数学挑战，但对于理解真实世界的现象和数字计算机模拟来说，它们将是非常重要的。未来研究的另一个途径是实验室实验，这与电脑游戏密切相关。人们可以想象基于模型的实验，如本文所分析的，但也有更复杂的版本，其中有大量的人类受试者，每个人都被赋予了群体中特定个体的角色。正如在我们的理论框架中一样，个体将进行外源性随机匹配，进行匿名战略互动——这样他们就不会被告知手上互动中其他参与者的身份，只会被告知有问题的游戏策略和报酬，以及他们自己在该游戏中的角色分配（可能是对称或非对称的）。

在长时间的实验课程结束时，每个受试者都可以根据其最终财富获得报酬。然后将这些实验的结果与理论预测和数值模拟进行比较。财富积累和财富分配是经济学文献中理所当然的话题。尽管如此，该文献中使用的模型似乎与我们的截然不同。据我们所知，目前的模型框架和我们的分析结果都与经济学文献中的其他工作密切相关。事实上，如果能提供建议，以参考可能相关的工作，我们将不胜感激。经济学最接近的分支似乎是搜索文献，也许Rubinstein和Wolinsky（1990）离我们最近。我们希望，对当前模型框架的概括将能够对能力和财富的积累和分配进行新的分析。事实上，使用预先编程的行为规则让群体中的一些个体成为“机器人”可能会很有趣。为了控制个人的风险态度，另一种选择是让财富作为彩票发放，在课程结束时，向统一随机抽取的彩票持有人发放一个大奖。7附录本附录中的证明是对Gibaud（2016）中更一般结果的当前证明设置的改编。7.1符号和序言let N∈ N、 对于N>1，为总体大小，让F表示状态空间，其中F=nn或F=R。用C表示∞c（F）在F上定义的实值密度函数集（完全不同）。设Cb（F）是从F到R的连续有界函数的空间。

像往常一样，k.k∞表示有界函数上的sup范数，和| | | |.| | |表示Cb（F）上的运算符形式，即| | | | L | | |=supf∈Cb（F）kLfk∞kfk公司∞.A（连续时间）随机过程X=hX（t）it≥0in F是一个随机变量，取D（R+，F）中的值，D（R+，F）是右连续左极限函数的空间，从[0+∞) 至F。我们将考虑具有初始分布ν（F上的概率度量）和转移矩阵的马尔可夫过程，将其称为速率矩阵（a（x，y））x，y∈F、 A（x，x）=-Py公司∈F \\{x}A（x，y）。对于x 6=y，A（x，y）是从状态x到状态y的转换速率。与此矩阵相关的生成器是有界线性算子A，它将所有有界和Borel可测函数f从f发送到R，这样对于所有x∈ F:Af（x）=Xy∈FA（x，y）[f（y）- f（x）]。相反，从给定的生成器中，可以根据差异所依据的因素构建相关的费率矩阵[f（y）- f（x）]在生成器的表达式中乘以。因此，设A是F上的任何速率矩阵，ν是F上的任何概率测度。我们将构造一个马尔可夫过程X，如下所示。首先，让hY（n）进入∈F中的Nbea马尔可夫链（在离散时间n上），无吸收状态，具有初始分布ν和转移矩阵A（x，y）| A（x，x）|. 那么A（x，x）6=0，因为没有吸收态。允许, ,. . . , 是均值为1的独立指数分布随机变量。这些是到达之间的时间间隔，并假设它们在统计上依赖于链Y。我们定义了马尔可夫过程hX（t）it≥0in F，初始分布ν和发电机A，X（t）=Y（0）表示0≤ t型<|A（Y（0），Y（0））| Y（k）叉-1Pj=0j | A（Y（j），Y（j））|≤ t<kPj=0j | A（Y（j），Y（j））|在本申请中，我们将马尔可夫过程的构造WN=（WN。

，WNN）分为两部分，其中第一部分是玩游戏的成对个人的随机匹配，第二部分是个人财富的贬值。[第1部分]在强度λ=N的泊松过程到达时，从总体中抽取一部分个体进行博弈。在每一对配对中，两个人同时独立地做出选择。如果所有人都使用独特的ESS策略x*, 然后他们用概率pDD=（1）玩（D，D）- v/c），（D，H）或（H，D），概率pDH=（1- v/c）v/c和（H，H），概率pHH=（v/c）。与财富过程这一部分相关的生成器是ANg，具有域Cb（NN）并定义为所有f∈ Cb（NN）和w∈ NNbyANg[f（w）]=N·X（i，j）∈{1，…N}i6=jpDDN（N-1)·fw+v+y（ei+ej）- f（w）+pDHN（N-1)·fw+v+yei+yej- f（w）+pDHN（N-1)·fw+v+yej+yei- f（w）+pHHN（N-1)·fw+v+yei公司+-c+yej公司- f（w）+fw+v+yej公司+-c+y工程安装- f（w）,（24）其中{e，…eN}是RN的规范基。给定两个个体之间的博弈相互作用i 6=j发生在强度为1/（N）的泊松过程到达时- 1） ，我们表示Ni，j的过程【第2部分】在总体中，个人财富贬值发生在一个独立的泊松过程的到来时，强度λ=N。在每个到达时间，随机抽取一个个人i进行财富贬值，并根据随机变量Zwi的分布，释放他或她的全部或部分当前财富wi。折旧操作有一个生成器和域Cb（NN），为所有f定义∈ Cb（NN）和w=（w，…，wN）∈ NN。为P（Zwi=k）写入zi（k），为k=0，1。。。，wi。Wehave for all w=（w，…，wN）∈ NNand i=1。。。N thatPwik=0kzi（k）=-δwi和zi（wi）≥ ε > 0. 小型发电机的折旧为and[f（w）]=NXi=1wiXk=0zi（k）[f（w）]- kei）- f（w）]（25）对于任何给定的个人i∈ {1。

，N}，贬值泊松过程的强度为1，在该过程每次到达时，个人i根据Zi的分布松开。平均而言，个人失去的财富是其当前财富的δ倍。对于任何个体i、k和h，其中k 6=h，过程与Nk无关。因此WN（t）t型≥0is:AN[f（w）]=ANg[f（w）]+and f（w）（26）以下符号在续集中很方便：对于所有w∈ N、 写入f（w）用于f（w）=2pDDhfw+v+y- f（w）i+pDHhfw+v+y- f（w）i+pDHhfw+y- f（w）i+pHH高频w+v+y- f（w）i+hfw- c+y- f（w）i让f∈ Cb（N）。那么f=（f，0，…，0）∈ Cb（NN）和writeL（f（w））=f（w）+wXk=0zi（k）[f（w- k）- f（w）]。（27）然后L（f（w））=Af（w），马尔可夫过程的最小生成元WNi（t）t对于每个i∈ {1，…，N}。7.2命题1的证明let N为正整数、总体大小和letWNn公司n∈与马尔可夫过程相关的马尔可夫链WN（t）t型∈R+。为零向量（0，…，0）写入θ∈ NN。这足以证明WNn公司n∈Nis不可约、非周期和正循环。不可约性来自两个观察结果，其中第一个是所有财富在n=n期间从人口中消失的概率为正，而不管初始状态：PwWN（N）=θ> 所有w的0∈ NN。第二个观察结果是WNn公司n∈NHA正好是一个等价类，即setE=w∈ NN编号：n∈ N s.t.PθWNn=w> 0.这就建立了不可约性。此外，由于PθWN=θ≥ ε>0，链也是非周期的。为了完成遍历性的证明，还需要证明WNn公司NIS正复发。

为此，可以使用Bremaud（2020）中的引理6.3.20，该引理指出，如果（Xn）是一个不可约马尔可夫链，其状态空间E的子集合F，τ（F）是F的返回时间，那么如果Ej[τ（F）]<∞ 适用于所有州j/∈ F我们使用这个引理来表示E=nn和F={（0，…，0）}。在泊松过程每次到达时，i的财富贬值的概率为ε2n。让我来承担个人财富贬值的后果吧。那么，对于所有σ∈ NN：Pσ（τ≤ N）≥ Pσ（τ=N）≥ Pσ（D，D，…，DN）≥ε2NN、 ThusPσ（τ>N）≤ 1.-ε2NN、 因此σ∈ NN：Eσ（τ）=Xk∈NNXl=1（Nk+`）Pσ（τ=kN+`）≤Xk公司∈NNXl=1（Nk+N）Pσ（τ>kN）≤Xk公司∈NN（k+1）Pσ（τ>kN），但对于所有σ，我们也有∈ NN，Pσ（τ>kN）=Pσ（τ>N）Pσ（τ>kN |τ>N）≤1.-ε2NNXσ∈NNPσ（τ>kN，WNN=σ|τ>N）≤1.-ε2NNXσ∈NNPσ（τ>kN | WNN=σ，τ>N）Pσ（WNN=σ|τ>N）通过我们得到的强马尔可夫性质：Pσ（τ>kN）≤1.-ε2NNXσ∈NNPσ（τ>（k- 1） N）Pσ（WN=σ|τ>N）1.-ε2NNkkY`=1Xσ`∈NNPσ`-1.WNN=σ` |τ>（`- 1） N个| {z}=1≤1.-ε2NNkHence，对于所有σ∈ NN，Eσ（τ）≤Xk公司∈NN（k+1）1.-ε2NNk≤Nε2N2N<+∞,这证明WNn公司nis正复发。因此WNn公司NHA是唯一的不变分布，它从所有初始分布收敛到这一点（例如，见Barbe和Ledoux，2007年的Thm VIII.6.8）。7.3命题2Let huNiN的证明∈Nbe一系列对称概率测度uNon NN。继Sznitman（1991）之后，我们说huNiN∈Nis u-混沌，u为N上的概率测度，if，对于N，limN上连续有界函数的任何有限集合{φ，…，φk}→+∞ZNNφ（x）。φk（xk）uN（dx…dxN）=kYi=1ZNφi（x）u（dx）。这一定义的含义，如果我们将其应用于固定数量的个人，当人口中的总人数N达到单位时，这些个人的财富水平就成为i.i.d。