作为人口博弈的个人健康或财富积累

我们称δ为折旧率。所描述的游戏配对事件和个人财富贬值事件在统计上都是独立的。给定泊松时钟，基本对策G（v，c），相关ESS x*, 折旧率δ和概率界ε，WN=WN（t）t型∈在NN中，R+构成一个马尔可夫过程。3渐近我们这里提供了财富过程的两个渐近结果。首先是关于给定有限人口的时间，然后是关于给定有限观察时间的人口规模。考虑任意大小的人口，N>1。在任何特定时间，财富过程的状态都明显取决于历史。然而，随着时间的推移，情况并非如此。随着时间的推移，初始财富分配的影响逐渐消失，并逐渐消失。鉴于这一过程的性质，这并不奇怪。然而，为了正式证明这一点，附录中为感兴趣的读者提供了soa证明。提案1。财富过程是遍历的，因此具有唯一不变的分布，它从任何初始状态收敛到该分布。其次，当人口非常庞大时，我们考虑在任何固定时间和给定时间t的个人财富分布。更具体地说，我们分析了任意给定个人财富在某个时间t>0的概率分布，极限为N→ +∞. 为此，设L（X）表示任意随机变量X的概率分布，且设（L（Xi））k这类i.i.d.随机变量的乘积概率分布Xi。假设初始个人财富水平，随机变量Wni（0），对于i=1。。。，N、 是i.i.d.π，与人口规模N无关。

然后，当鹰鸽博弈不是优势可解的，即当v<c.命题2时，我们可以为有争议的最有趣的情况建立以下“混沌传播”结果。假设v<c，所有个体都使用策略x*. 对于任何初始概率分布π，个人财富的演化可以用马尔可夫过程W表示=W（t）t型∈N中的R+，其中l（~W（0））=π，因此对于任意数N∈ 个人数量：limN→+∞L（WN，…，WNn）=L（￠W）n、 （3）此外，当P（Zk∈ {0，k}）=1，则以下“混沌传播”微分方程成立，对于任何w∈ 与非t≥ 0:tPW（t）=W= 2.1.-vc公司· PW（t）=W- 五/二- 是/2（4） +2vc1.-vc公司·PW（t）=W- v- 是/2+ PW（t）=W- 是/2+vc公司·PW（t）=W- v- 是/2+ PW（t）=W+c- 是/2-2·PW（t）=W- Dw，其中Dw=δ·PW（t）=W对于所有w 6=0，D=δ·PW（t）=0- δ.这一过程可以被视为代表性个人的财富动态。该定理的第一部分，即收敛结果（3），确定了人口越大，任何特定群体（固定规模k）中的财富水平相关性越低，并且在人口规模N趋于完整的限度内，这些个人财富水平在统计上变得独立。此外，随着人口规模N趋于完整，每个人财富的概率分布WNi（t）在任何给定时间t>0时趋于随机变量W的分布。方程（4）给出了该概率分布随时间t的演变，特别是当折旧采取剧烈形式时，即保持个人财富不变（概率为1- δ） 或使其完全消失（概率δ）。

从技术上讲，假设一个拥有财富w的个人，随机财富损失zwtakesvalue在{0，w}，也就是说，要么所有w单位消失，要么个人财富保持不变。此外，对于任何水平的财富w，P（~w（t）=w）是特定人口中具有该财富水平的个人的人口份额。演化方程中的不同项表示与任何给定财富水平w不同的“流入”和“流出”∈ N、 更准确地说，从财富水平来看，有三种流动- v/2，w- v和w+c，以及两种溢出，一种是因为个人被吸引来玩游戏，另一种是因为财富贬值。方程（4）中的系数可以从图1中获得，方法是在假设个体iat根有财富w的情况下，将概率从终端节点向下乘以树的根，并使用个体的平均游戏时间率始终为2的事实，也在N的限制范围内→ ∞. 然而，如果δ>0，财富水平0是特殊的，因为它没有贬值流出。相反，它有一个额外的流动，来自非零财富个人财富的贬值。假设折旧率为正值，可以使用方程（4）推导代表性个人财富在任何时间点的第一和第二时刻分布的运动定律。推论1。假设（a）v<c，（b）折旧为P（Zk∈ {0，k}）=1，（c）所有个体始终使用策略x*, （d）初始个人财富分布π具有有限的均值和方差。这一假设只是为了使混沌演化方程变得简单。更现实的折旧建模将不具有此功能。

然而，这种更丰富的模型不允许我们现在拥有的分析可处理性。标准K，K，K，K∈ R这样EW（t）=δh1.-vc公司五+一+可-δtt型≥ 0（5）V arW（t）=δδA+1.-vc公司v+y- 2V重型+Ke公司-δt+Ke-2δt+Kte-δtt型≥ 0.（6）论坛=4.-1.-vc公司五+2.-vc公司vy+1y、 换言之，一阶矩和二阶矩随时间指数收敛到其渐近值limt→∞EW（t）=δh1.-vc公司v+yi（7）和Limt→∞V配置总成W（t）=δδA+1.-vc公司v+y- 2ycv（8） 因此，折旧率δ中的渐近变异系数（也称为“相对标准差”）在下降，并且，当该比率δ趋于零时，变异系数趋于零δ→0限制→+∞qV ar（￠W（t））E（￠W（t））=q1.-vc公司v+y- 2yv1.-vc公司个人财富的变化有三个来源。首先是仓促到达的收入y/2。第二，产生收益和损失的战略互动，由博弈参数sv和c表示，其中v<c。第三，个人财富的贬值，由参数δ表示，这里取为零。我们注意到，当δ↓ 0总是小于1，对于任何值v<c，在没有外生收入y的情况下，它等于1。我们推测，这种不变性是由于个体行为的平衡性质，概率x*. 对于两种纯策略，H和D，则会产生相同的预期净财富收益。当贬值幅度低于上述计算中的假设值时，财富分布就会有所不同。

例如，假设折旧可以采取两种形式，其中第一种形式与上述形式相同，即个人的全部财富以概率δ消失，而第二种形式是个人财富的每个单位以相同的概率δ消失，并且该事件在统计上独立于财富单位。此外，假设第一种形式的折旧具有概率ρ，第二种形式的折旧具有概率1- ρ、 假设所有这些随机变量在统计上是独立的。因此，在第二种情况下，ZWOFD增值财富单位的数量是二元分布的，即Bin（w，δ）。请参见下图。图2：部分二项折旧下的经验长期财富分布。图中显示了v=40、c=20、y=100、δ=0.1、N=10000、T=10000和ρ=1/10的模拟结果。在此模拟中，经验平均值（相对于给定个人）约为1098，标准差为403，中值1095，最大财富3347，基尼系数为0.2。我们注意到，因此，变量的经验系数约为0.37，而根据（9），ρ=1的理论渐近值约为0.44。正如预期的那样，较不剧烈的折旧会导致较低的变化系数。4平均财富设T为上述泊松过程的任何到达时间，设WN（T）为此时人口的平均财富，定义见（2）。因此，“人口财富”或“国民财富”为N（T）。在这个到达时间T，将发生两个同样可能发生的事件之一：要么选择一个人进行财富贬值，要么选择一对有序的个人来获得收入并玩游戏G（v，c）。在第一个事件中，随机抽取的一个人的财富以概率δ为零。

因此，人口中的平均财富随后减少了一个随机整数YN（取决于随机抽取的个体的财富），其中的期望值以“WN（T）”为条件，为δ·“WN（T）/N。在第二种情况下，两个匹配的个体都将被点燃的正概率为，即两者都玩H，而这个概率为（x*)= （最小值{1，v/c}）。当这种情况发生时，平均财富将改变（v- c） /N.如果两者都不正确，那么在相互作用中不会损失任何财富，平均财富会增加v/N。总之，任何时候的平均财富都不会减少∈ [T，T），其中是下一个到达时间，确定如下：\'WN（T）=\'WN（T）+N·-Yn具有概率V- c+y，概率（min{1，v/c}）v+y，否则。（10） 这定义了一个随机过程，但它不是马尔可夫过程。原因是当人口贬值泊松时钟敲响时，贬值的统计分布取决于当前的财富分布。如果富人而不是穷人受到“大幅贬值”的打击，平均财富下降幅度会更大。4.1情况v<在进化博弈论的这一经典案例中，G（v，c）中唯一的进化稳定策略是以概率x与H博弈*= 如果人口中的每个人都使用这种策略，那么对于每个努力在每次互动中实现预期净财富收益最大化的个人来说，这是一种最佳策略。如果所有人都玩x*= 在所有匹配中，则随机匹配中的正确概率（HH）为q*= v/c。人们可能会猜测，当N较大时，平均财富过程紧随其平均场方程的解轨迹。为了精确起见，假设所有比赛中的所有人都使用唯一的ESS，x*= v/c。

（10）中的期望值表明，对于任何初始状态下的预期平均财富动态，存在一个简单的时间齐次普通微分方程。提案3。设w（t）=E\'WN（t）|\'WN（0）=w, 假设δ>0。那么˙w（t）=v1.-vc公司+ y- δw（t）t型≥ 0，（11），初始值w（0）=w。在附录中，我们使用微型发电机证明了这一点。这个简单的平均场方程有一个唯一的解，即w（t）=1.-vc公司vδ+yδ+w-1.-vc公司vδ-yδe-δtt型≥ 0.（12）不考虑初始财富水平w≥ 0，该解渐近收敛到唯一稳态水平（见推论1）w*=1.-vc公司vδ+yδ=极限→∞EW（t）. （13） 我们还注意到，在没有折旧的情况下，平均财富随时间呈线性增长：对于δ=0，（11）的解是w（t）=w+yt+v1.-vc公司t型t型≥ 0，（14）对于任何初始财富水平w≥ 0.4.2情况v>c如果机会值v超过损坏成本c，会发生什么情况？如上所述，策略H总是最佳选择。假设所有人都这样做。然后，平均财富的平均场方程变为˙w（t）=y+v- c- δw（t）。（15） 因此，无论初始条件如何，所有解都会收敛到稳态水平W*=y+v- cδ。（16） 上述近似结果，即命题3，如等式（11）所述，由等式（15）代替。同样，在这种情况下，在没有折旧的情况下，平均财富将随时间线性增加：w（t）=w+（y+v- c） t型t型≥ 0。（17）4.3比较静态组合方程（13）和（16）我们获得了与任何正折旧率δ相关的平均财富唯一稳态水平的以下一般表达式：w*= 最大值y+v- v/cδ，y+v- cδ. （18） 毫不奇怪，平均财富越低，折旧率越高。

然而，该方程还显示了一个可能不太令人期待的特征，即稳态平均财富在成对机会的股份价值V和损失冲突的成本c方面都是非单调的。下面的两个图表对此进行了说明。图3显示了稳态平均财富作为v的函数，c=40，y=100，δ=0.1。灰暗的水平线表示在没有顺时针相互作用的情况下的稳态财富。图4再次显示了稳态财富，但现在是c的函数，对于v=20，y=100，δ=0.1.0 10 20 30 40 50 60 70 80 900 1000 1200 1300 1400 VW*图3：稳态平均财富是gameG（v，c）中v值的函数。0 10 20 30 40 50 60 70 80900100011001200130014000CW*图4：稳态平均财富作为gameG（v，c）中成本c的函数。为什么游戏对稳态财富水平w没有任何增加*当v=c时，则所有匹配对都有一个对，其中一方获胜，另一方损失同样多。因此，对于此类博弈参数，平均财富随时间从任何初始水平收敛到稳态水平y/δ=1000。为什么稳态财富在失去冲突的成本c中也是非单调的，这是同一枚硬币的另一面。对于c<v，H支配D，因此所有对都是正确的，每次净增益为v- c、 在c中，这再次呈线性下降。当c上升到v时，净增益为零，而对于更高的c，着火的概率为v/c，这是c的递减函数，因此随机匹配中的预期净增益为v- v/c，c的递增函数。失去冲突支持的个人受到的伤害越大，处于平衡状态的冲突就越少，社会就越富有，处于稳定状态。

因此，与人们最初的想法相反，减少火灾造成的损害可能会增加火灾的频率，足以减少稳态财富。5当财富变得如此强大时，我们假设所有个人都有同样的机会赢得权利。可以说，富裕的个人通常有更高的发生冲突的可能性。在动物王国中，“财富”可能是体重、肌肉质量或对良好领土的控制，而在人类中，财富可能部分存在于建筑物和武器中，或存在好律师。我们在此简要概述了如何将我们的基线模型推广到“财富就是力量”。考虑（对称）HD博弈G（v，c）到（潜在不对称）HD博弈G的轻微推广*（v，c，p）如下图所示，其中p∈ [0，1]是玩家1获胜的（外生）概率。我们注意到，原来的鹰鸽游戏是NP=1/2的特例。为简洁起见，我们接下来将重点放在v<c的情况下。考虑人口中的两个人，i和j，他们刚刚被匹配到玩扩展HD游戏G（v，c，p），其中玩家1的成功概率p取决于他们的财富水平。更准确地说，如果个人ihas wealth wiand在玩家角色1中，个人j拥有财富wjand在玩家角色2中，那么p=f（wi，wj），其中f:R→ [0，1]是Tullock竞赛函数的逻辑版本（Tullock（1980））：f（wi，wj）=eσwieσwi+eσwj。（19） 此处σ≥ 0是一个参数，表示成功概率p对两个竞争者之间财富差异的敏感性。当wi=wj时，它增加了对手的财富wi，减少了对手的财富，wjand等于σ任何值的一半。

成功概率也是1/2VV012V/2v/2v-c-cv0D[p][1-p]DDHHHF图5：略微广义化的鹰鸽游戏G*（v、c、p）。当σ=0时，无论财富水平如何（就像游戏G（v，c））。我们还注意到，个人分配给哪个玩家角色1或2并不重要（如果我被分配给玩家角色2，那么p=f（wj，wi）=1-f（wi，wj））。出现了许多相关的信息场景。在一种情况下，每个印度人只知道自己的财富。在另一种情况下，任何两个匹配的个体都会观察彼此的财富。在第三种情况下，比赛中的每个人都知道自己的财富，并收到关于对手财富的嘈杂私人信号。这里我们重点讨论σ>0的第二种情况。很容易验证，策略H严格支配个人i的策略D（不考虑玩家角色），当且仅当其获胜概率足够高，f（wi，wj）>c/（v+c），这是一个与wi等价的条件- wj>σln简历. （20） G（v，c，p）的纳什均衡集，当在个人iin参与者角色1和参与者角色2中的个人j之间发挥作用时，取决于不对称信息分析的参数，见Enquist和Leimar（1983）。有关不对称竞赛游戏的分析，请参见Franke、Kanzow和Leininger（2013）及其引用。如下（见附录以获取证明）：命题4。假设v<c。如果（20）成立，那么唯一的纳什均衡是（H，D）。如果| wi- wj |<σln简历, （21）然后有三个纳什均衡：（H，D），（D，H），和一个混合均衡，其中个体i与概率x玩H*=v2（v+c）f（wi，wj）- v（22）和个人j用概率Y玩H*=v2（v+c）f（wj，wi）- v、 （23）总的来说：当财富水平相差悬殊时，越穷的人玩D，越富的人玩H。然后，富人毫不犹豫地拿走了整个“蛋糕”。