作为人口博弈的个人健康或财富积累

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英文标题：
《Accumulation of individual fitness or wealth as a population game》
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作者：
Sylvain Gibaud, Jorgen W. Weibull
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  The accumulation of individual fitness or wealth is modelled as a population game in which pairs of individuals are recurrently and randomly matched to play a game over a resource. In addition, all individuals have random access to a constant background resource, and their fitness or wealth depreciates over time. For brevity we focus on the well-known Hawk-Dove game. In the base-line model, the probability of winning a fight (that is, when both play Hawk) is the same for both parties. In an extended version, the individual with higher current fitness or wealth has a higher probability of winning. Analytical results are given for the fitness/wealth distribution at any given time, for the evolution of average fitness/wealth over time, and for the asymptotics with respect to time and population size. Long-run average fitness/wealth is non-monotonic in the value of the resource, thus providing a potential explanation of the curse of the riches.
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中文摘要：
个人健康或财富的积累被建模为一个群体博弈，在该博弈中，成对的个人被重复和随机匹配，以在资源上玩一个博弈。此外，所有个人都可以随机获得固定的背景资源，他们的健康或财富会随着时间的推移而贬值。为简洁起见，我们将重点介绍著名的鹰鸽游戏。在基线模型中，双方赢得一场战斗的概率（即双方都玩鹰牌）是相同的。在扩展版本中，当前健康状况或财富较高的个人获胜概率较高。给出了任意给定时间的适应度/财富分布、平均适应度/财富随时间的演化以及关于时间和人口规模的渐近性的分析结果。长期平均健康/财富在资源价值上是非单调的，因此提供了财富诅咒的潜在解释。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Accumulation_of_individual_fitness_or_wealth_as_a_population_game.pdf (671.61 KB)

2022-6-1 02:19:24 上传

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关键词：Quantitative accumulation Applications distribution QUANTITATIV

个人健康或财富的积累，如中风配子图卢兹大学数学研究所保罗·萨巴蒂耶，图卢兹·约根·W·威布尔*经济系斯德哥尔摩经济学院2021年8月13日摘要个人能力或财富的积累被建模为一种人口博弈，在这种博弈中，成对的个人被反复随机配对，在一种资源上进行博弈。此外，所有个人都可以随机访问恒定的背景资源，并且*这份手稿建立在作者之一的不完整草图上，见Weibull（1999）。我们感谢英格拉·阿尔杰（Ingela Alger）、杰罗姆·雷诺（Jér^ome Renault）、劳伦特·米洛（Laurent Michlo）、丹尼尔·瓦尔登斯特罗姆（Daniel Waldenstr"om）和两位匿名裁判对标题为“财富积累模型”的早期版本的《手稿》（themanuscript）的评论和建议。西尔万·吉博德(gibaudsylvain@gmail.com)感谢UnitéMixte de Recherche 5219的财务支持。约尔根·韦布尔（jorgen。weibull@hhs.se)感谢Knut和Alice Wallenberg研究基金会、国家研究机构、主席IDEX ANR-11-IDEX-0002-02以及Tore Browald和Tom Hedelius基金会的财政支持。他们的能力或财富会随着时间的推移而贬值。为简洁起见，我们将重点介绍著名的鹰鸽游戏。在基线模型中，双方赢得一场比赛（即双方都打出鹰牌）的概率是相同的。在扩展版本中，当前能力或财富较高的个人获胜概率较高。给出了任意给定时间的能力/财富分布、平均能力/财富随时间的演变以及时间和人口规模的渐近性的分析结果。

长期平均能力/财富在资源价值上是非单调的，因此提供了财富诅咒的潜在解释。关键词：鹰鸽、能力动力学、财富动力学、能力分布、财富分布、财富诅咒、遍历性、混沌传播。1导言本文分析了有限人口中个人财富的积累和贬值，其中个人是重复和随机配对的，以相互作用。这种互动采取了一种对称的两人博弈的形式，在某些资源上，代表收益和损失的报酬被加到两个人当前的能力或财富水平上或从中减去。为了简洁明了，我们将重点放在一个简单但经典的鹰鸽游戏上。然而，该机器适用于任何对称有限博弈，并且可以很容易地扩展到任意有限博弈。我们推广了Weibull（1999）提出的确定性平均场模型。据我们所知，本研究首次分析了战略互动个体群体中个体和平均能力或财富的随机累积和贬值。正如我们将看到的那样，不平等会随着时间的推移而产生，即使所有个人都事先相同，并且从相同的能力或财富水平开始。梅纳德·史密斯（MaynardSmith）和普莱斯（Price）（1973年）用鹰鸽博弈来说明混合策略可能是进化稳定的。虽然他们只考虑了预期的回报，但我们这里考虑的是实现的回报。特别是，如果双方都使用鹰派策略，那么结果就是赢家通吃，输家亏损。因此，在这种互动之后，他们的个人能力或财富水平会有所不同。

在我们的基线模型中，我们遵循梅纳德·史密斯（MaynardSmith）和普莱斯（Price）的假设，即所有个人都有同样的机会赢得一场比赛。在扩展版本中，越有钱或越富有的个人赢得权利的几率越高。本研究的重点是诱导随机种群动力学。虽然我们模型中的个体可能是动物或其他生物有机体，而报酬可能被解释为个人能力的增量，正如梅纳德·史密斯和普莱斯最初的贡献一样，我们随后仅从个人财富的角度解释模型，其中游戏代表生产或贸易的经济机会，特定自然资源和机构自发产生的机会。当出现此类互动机会时，双方可寻求合作（“鸽派”）或冲突（“鹰派”）。如果双方都寻求合作，他们就会平均分配资源。如果双方都寻求冲突，其中一方将赢得资源，另一方将遭受损失。如果一个人寻求合作，另一个人寻求冲突，后者将获得资源的全部价值，而前者既没有收益也没有损失。这只是游戏的一个例子，在目前的框架中可以用来表示经济活动。除了游戏报酬外，个人偶尔也会获得固定的背景收入，他们积累的财富也会随着时间的推移而贬值。这定义了一个遍历马尔可夫过程。我们从个人财富分布和平均财富之间的角度分析了这一过程，包括在固定和给定的时间和有限的人口规模，以及在时间和人口规模上的渐近性。我们推导出了长期平均财富及其方差的表达式，并表明该平均值与梅纳德·史密斯和普莱斯的静态结果一致（以表示折旧的系数为模）。

然而，在目前的模型中，个人财富水平是永久性地影响随机变量。我们通过数值例子说明了不变分布的形状。我们的分析结果之一是，平均财富，即使在所有个人都有相同机会赢得权利的基线模型中，也与资源的价值v不是单调相关的。如果损失成本表示为c（我们使用与梅纳德·史密斯和普莱斯（Maynard Smith and Price，1973）相同的表示法），那么在任何固定和给定的c值下，平均能力或财富在v<c/2时在v中增加，在c/2<v<c时在v中减少，在v>c时（线性）在v中增加。这种非单调性的原因是v值的增加会激发个人进行更多的斗争，hencemore亏损。因此，该模型为“财富的诅咒”提供了可能的解释。与对该现象的其他解释相比，目前的解释可能最接近寻租解释，参见Torres等人（2013）的调查和讨论。该模型显然基于英勇的简化，允许分析结果和数值模拟。我们希望这里开发的工具和方法可以应用于更复杂和更真实的模型。有关这些主题的经济学文献调查，请参见Bardhan、Bowles和Gintis（1999）和Davies和Shorrock（1999），更多分析、讨论和最新数据请参见Picketty（2014）和追随者。在生物学文献中，我们的分析属于“动物格斗”的范畴，这是由恩奎斯特和莱玛（1983、1984、1987）以及休斯顿和麦克纳马拉（1988）开创的文献。后一篇文章分析了鹰鸽博弈，并添加了一个状态变量，该变量代表了动物的能量储备水平。

Crowley（2000）和McNamara及Houston（2005）开发了其他动物格斗模型，brie fly在下面的备注1中进行了讨论。材料组织如下。在第2节中，我们建立了应用于鹰鸽游戏的模型。在第3节中，确定财富过程是遍历的。在任何给定的时间，人口越多，任何特定群体（固定规模）内的财富水平相关性越低。在人口规模趋于完整的极限下，这些财富水平在统计上变得独立且分布相同，这是“混沌传播”的结果。当时间和人口规模趋于正整数时，我们在双极限下解析求解代表性个人财富的均值和方差。第4节致力于平均财富的动力学和渐近性质。特别是，对于任何规模的人口，平均财富的预期遵循平均场微分方程的解，我们表明，在DRASTICDEVISION下，对于非常大的人口，平均财富也是如此。平均场方程也用于建立上述“财富曲线”结果。第5节考虑了一种环境，即比赛中较富有（或在生物学背景下，更健康）的人有较高的获胜概率。我们在那里确定了不同的纳什均衡。“财富诅咒”或“自然资源诅咒”是1990年的一个实证结果，在跨国研究中，在控制其他相关变量后，表明国家自然资源丰度与其经济增长之间存在负相关。有关文献调查，请参见Hammerstein和Leimar（2015）。ria以当前财富为条件，建立遍历性，并通过数值模拟表明平均财富和中值财富都会增加。第6节结束。

所有的数学证明都在本文末尾的附录中给出，并且使用的仿真程序可用athttps://github.com/ProfesseurGibaud/Model-of-wealth-Accumulation.2ModelLet N是正整数、N个非负整数、2N个非负数、R个实数和R+非负实数的集合。考虑一个由大量N组成的总体∈ Nof偶尔随机配对玩一场和平鸽游戏的人（梅纳德·史密斯和普莱斯，1973年）。这个游戏，G（v，c），是由它的两个积极参数“价值”v和“成本”c定义的。每个玩家只有两个纯策略，H（“鹰派”）和D（“鸽派”），其中第一个是“积极的”，第二个是“温顺的”。配对的个体同时做出策略选择。如果两人都选择D，他们将平均分配该值，因此各自获得Payoff v/2。如果其中一方选择H，则该玩家将获得Payoffv，而另一方的财富不变。如果双方都选择H，则一方赢v，另一方输c，即输掉一场比赛的成本，两者的概率相等。我们将称之为战略文件DD合作和战略文件HH权利。游戏如下图1所示。玩家1的物质收益和损失高于玩家2。如果双方都打H，那么“自然”（玩家0）将与阿兰多姆平局，结果是“赢家”和“输家”，双方机会均等。随着时间的推移，个人会积累报酬，这取决于他们在与随机抽取的对手进行鹰鸽游戏时的表现。个人在任何时间点的累积收益存量称为个人当前财富。

因此，个人∈ {1，…，N}与财富w进行空中互动，与财富w+v退出互动/2如果同时玩D，与财富w+v，如果她玩H，而她的对手玩生物学文献中的游戏，通常会假设其中一个玩家收到了SPAYO OFF v，而另一个玩家什么也没有收到（参见McNamara和Houston，2005）。通过明确说明火灾的结果，我们背离了进化博弈论中的通常处理方法，即考虑预期的、未实现的回报。0vv012v/2v/2v-c-cv0D[1/2][1/2]DDHHF图1：鹰鸽游戏G（v，c）D的扩展形式表示，如果她玩D，而对手玩H，则财富不变，w。如果两人都玩H，她最终会得到财富w+v（概率为一半），或者财富w- c、 就人口的总财富而言，DD、DH和HD这三个战略文件导致v的增长，而HH战略文件（称为a fight）导致人口财富净增长v- c、 为了便于分析，我们假定c和v是正整数，v是偶数。在一个有限且对称的两人博弈中，一个纯策略或混合策略是进化稳定的，或者一个ESS（Maynard Smith and Price，1973），如果它是对自身的最好回答，也是对所有其他最佳回答的更好回答。因此，这是对称纳什均衡的一个条件，这一条件捕获了对任何出现在非常小的人口份额中的“突变”策略的抵抗力。鹰鸽游戏有一个独特的ESS，即使用策略H和概率X*= 最小值{1，v/c}。可以说，这种假设是无害的，因为对于财富的最小单位，v和c都很大，可以用这种方式任意近似。

当v和c为实数时，通过将财富过程视为aso称为跳跃过程，后续结果也成立。当双方使用此策略时，预期收益为π*= 最大值1.-vc公司v、 五- c.在目前的模型中，所描述的战略互动不是财富的唯一来源。个人也有其他收入来源。为了便于分析，外部收入的到达时间与玩游戏的到达时间相同。然后，每一方都会收到y/2>c的收入。这一收入会增加成对游戏中的收益或损失。假设y/2>c保证每个随机匹配的净收益为非负，从而避免了个人财富可能变为负。除了获得游戏报酬和背景收入外，每个人的累积财富都会受到随机折旧的影响，从而使其急剧下降，并可能降至零（但不会变为负）。形式上，我们将所有N个人的财富演化建模为连续时间t上的阿马尔科夫过程WNin nn≥ 其在任何时间的状态t为矢量WN（t）=WN（t）。。。，WNN（t）个人财富持有量。时间t的财富分布是nn上的概率分布，由uN（t）=NNXi=1δ（i）WNi（t），（1）其中δ（i）WNi（t）是nn上的概率分布，它将单位概率分配给财富向量，其中所有分量j 6=i为零，分量i等于WNi（t）。相关的平均财富为“WN（t）=NNXi=1WNi（t）。（2） 我们为每个个体附加一个比率为1的“折旧泊松时钟”，并为每个有序的两个不同个体附加一个比率为1/（N）的“博弈泊松时钟”- 1).

由于统计上的独立性，这些泊松过程在整个人口中的叠加导致了生物背景下的稳定人口，在生物背景下，财富被能力所取代，贬值可以解释为在没有能量摄入的情况下，能力的逐渐衰退，如偶然事故或疾病。泊松过程，以及伴随而来的人口财富过程在其到达时间精确地改变状态。聚集种群泊松过程的强度为λ=2N。要看到这一点，请注意“人口贬值泊松时钟”和“人口博弈泊松时钟”都具有强度N（有序对的数量为N（N- 1)).当两个人的博弈泊松时钟响起时，他们每个人都会得到收入y/2，然后玩博弈G（v，c）。在该模型的基线版本中，我们假设所有个体始终使用唯一的进化稳定策略x*= 玩游戏时的最小值{v/c，1}（参见第5节的概括）。当个人的贬值泊松时钟响起时，个人财富会随机减少。预期的缩减因子固定在δ处，财富减少到零的概率有一个统一的正下界ε。更准确地说，让δ∈ [0，1]和ε>0。对于eachk∈ N、 设Zk是一个随机变量，取{0，1，…，k}中的值，其中e（Zk）=δk，P（Zk=k）≥ ε。如果WNi（t）=w>0，则折旧将个人当前财富w替换为随机财富水平w-Zw（对于所有其他随机事件具有统计独立性）。如果Wni（t）=0，则折旧后的个人财富保持为零。因此，假设当前财富WNi（t）=w>0，折旧后的有条件预期个人财富水平为（1- δ） 对于所有的w>0，失去所有财富的概率有一个正的下界ε。