无限方差下的基尼估计

注意，当尾部指数等于2时，我们得到对称高斯分布，两个估计值重合，因为方差的不确定性，非参数估计值不再有偏差。6、结论在本文中，我们讨论了基尼指数的非参数估计在存在有限方差分布的情况下的渐近行为问题，这一问题被文献奇怪地忽略了。大量使用的非参数方法的中心错误是认为渐近一致性转化为等价的预渐近性质。我们证明，由于极大似然估计的性质，参数方法提供了更好的渐近结果。因此，我们强烈建议，如果收集的数据被怀疑是厚尾的，应首选参数方法。在不能使用全参数方法的情况下，我们提出了一种基于模式与其渐近分布平均值之间的距离的非参数估计的简单校正机制。即使校正效果很好，我们建议谨慎使用，因为校正项的估计存在额外的不确定性。引理1集U=F（X）的技术附录证明是随机变量X的标准均匀分布积分概率变换。对于顺序统计量，我们有[5]：X（i）a.s.=F-1（U（i））。亨塞恩=nn∑i=1（i/n-U（i））F-1（U（i））。（22）现在，根据经验c.d.f的定义，得出Rn=nn∑i=1（Fn（U（i））-U（i））F-1（U（i）），（23），其中Fn（U）=n∑ni=1Ui≤Ui是均匀分布随机变量的经验c.d.f。显示RnL-→ 0，我们将施加一个到0的上界。首先我们注意到e | Rn |≤nn型∑i=1E |（Fn（U（i））-U（i））F-1（U（i））|。

（24）要为（24）的右侧（r.h.s）建立一个界，我们可以利用以下事实，而F-1（U（i））可能只是L-可积，Fn（U（i））- U（i）是L∞可积，因此我们可以使用q=∞ p=1。它遵循thatnn∑i=1E |（Fn（U（i））-U（i））F-1（U（i））|≤nn型∑i=1E supU（i）|（Fn（U（i））-U（i））| E | F-1（U（i））|。（25）然后，由于Cauchy-Schwarz不等式，我们得到∑i=1E supU（i）|（Fn（U（i））-U（i））| E | F-1（U（i））|≤nn型∑i=1（E supU（i）|（Fn（U（i））-U（i））|）nn∑i=1（E（F-1（U（i）））. （26）现在，首先回顾一下∑ni=1F-1（U（i））a.s=∑ni=1F-1（Ui）带Ui，i=1。。。，n、 beingan i.i.d序列，然后注意E（F-1（Ui））=u，因此方程式（26）的第二项变为unn型∑i=1（E supU（i）|（Fn（U（i））-U（i））|）. （27）最后一步是表明方程（27）变为零，即n→ ∞.我们知道fn是均匀随机变量的经验c.d.f。利用三角不等式，方程（27）的内项可以有界为nn∑i=1（E supU（i）|（Fn（U（i））-U（i））|）（28）≤nn型∑i=1（E supU（i）|（Fn（U（i））- F（U（i）））|）+nn∑i=1（E supU（i）|（F（U（i））-U（i））|）。因为我们在处理制服，我们知道F（U）=U，（28）的r.h.s中的第二项消失了。然后我们可以将E（supU（i）|（Fn（U（i））绑定-F（U（i））|）使用所谓的VapnikChervonenkis（VC）不等式，经验过程的统一界[6，28，1]，得到supU（i）|（Fn（U（i））- F（U（i））|≤rlog（n+1）+log（2）n。

（29）结合方程式（29）和方程式（27），我们得到unn型∑i=1（E supU（i）|（Fn（U（i））-U（i））|）≤ urlog（n+1）+log（2）n，（30），其归零为n→ ∞, 从而证明了第一个主张。对于第二项权利要求，当乘以nα时，观察（30）的r.h.s仍然为零是足够的-1αL（n）如果α∈ (1, 2).定理2的证明证明的第一部分在于表明，我们可以将方程（10）重写为i.i.d随机变量的函数，以代替顺序统计量，从而能够应用中心极限定理（CLT）参数。让我们从sequencenn开始∑i=1Z（i）=nn∑i=1我-1n- 1.-1.F-1（U（i））。（31）使用积分概率变换Xd=F-1（U）与U标准统一，并添加和删除N∑ni=12U（一）-1.F-1（U（i）），r.h.s.不等式（31）可以重写为nn∑i=1Z（i）=nn∑i=1（2U（i）-1） F级-1（U（i））+nn∑i=1我-1n- 1.-U（一）F-1（U（i））。（32）然后，利用序统计量的性质[5]，我们得到以下几乎确定的等价项∑i=1Z（i）a.s.=nn∑i=1（2Ui-1） F级-1（Ui）+nn∑i=1我-1n- 1.-U（一）F-1（U（i））。（33）注意，（33）的r.h.s中的第一项是i.i.d随机变量的函数，而第二项只是一个提醒，因此∑i=1Z（i）a.s.=nn∑i=1Zi+Rn，其中Zi=（2Ui-1） F级-1（Ui）和Rn=n∑ni=1（2（i-1n-1.-U（i）））F-1（U（i））。给出等式（10）并利用（33）中给出的分解，我们可以重写我们的索赔asnα-1αL（n）nn∑i=1Z（i）-θ!=nα-1αL（n）nn∑i=1Zi-θ!+nα-1αL（n）Rn。（34）根据引理1的第二个主张和Slutsky定理，可以通过观察sequencenα的行为来证明方程（10）的收敛性-1αL（n）nn∑i=1Zi-θ!, （35）其中Zi=（2Ui-1） F级-1（Ui）=（2F（Xi）-1） Xi。这就减少了证明Ziis处于厚尾吸引域的难度。回想一下，假设X∈ DA（Sα）与α∈ (1, 2).

这个假设使我们能够使用一种特殊类型的CLT参数来收敛厚尾随机变量之和。然而，我们首先需要证明z∈ DA（Sα），也就是P（| Z |>Z）~ L（z）z-α、 带α∈ （1，2）和L（z）缓慢变化。请注意p（| | Z |>Z）≤ P（| Z |>Z）≤ P（2X>z），其中▄z=（2U- 1） X和U⊥ 十、 由于X和F（X）之间的正相关性，第一个界成立，并且可以通过注意2UX得到严格证明≤ 2F（X）X通过所谓的重新排列不等式[18]。相反，上界是微不足道的。利用慢变函数的性质，我们得到了P（2X>z）~αL（z）z-α. 显示▄Z∈ DA（Sα），我们使用Breiman定理，该定理确保α-稳定类在乘积下的稳定性，只要第二个随机变量不是太厚尾[29]。为了应用这个定理，我们重写了P（|Z |>Z）asP（|Z |>Z）=P（| Z>Z）+P(-~Z>Z）=P（~UX>Z）+P(-UX>z），其中▄U是带▄U的标准制服⊥ 十、 我们将重点放在P（~UX>z）上，因为P的过程是相同的(-UX>z）。我们有P（▄UX>z）=P（▄UX>z▄U>0）P（▄U>0）+P（▄UX>z▄U≤ 0）P（~U）≤ 0），对于z→ +∞.现在，我们有了P（▄UX>z▄U≤ 0）→ 0，而通过应用Breiman\'sTheorem，P（UX>z（U>0））变为sp（UX>z（U>0）→ E（~Uα| U>0）P（X>z）P（U>0）。因此（| Z |>Z）→E（~Uα| U>0）P（X>z）+E((-U）α| U≤ 0）P（X>z）。从该点（| | Z |>Z）→P（X>z）[E（~U）α| U>0）+E((-Uα| U≤ 0)]=α1 - αP（X>z）~α1 - αL（z）z-α.然后我们可以得出结论，根据压缩定理[14]，P（| Z |>Z）~ L（z）z-α、 作为z→ ∞. 因此Z∈ DA（Sα）。我们现在准备调用序列Zi的广义中心极限定理（GCLT）[13]，即nc-1nnn∑i=1Zi-E（Zi）！d→ Sα，β。（36）E（Zi）=θ，Sα，βa标准化α-稳定随机变量，其中cnisa序列必须满足→∞nL（cn）cαn=Γ（2-α） | cos（πα）|α- 1=Cα。

（37）注意，cn可以表示为cn=nαL（n），其中L（n）是另一个可能不同于L（n）的慢变函数。偏度参数β为P（Z>Z）P（| Z |>Z）→1 + β.回顾通过构造∈ [-c、+∞), 上面的表达式减少了toP（Z>Z）P（Z>Z）+P(-Z>Z）→P（Z>Z）P（Z>Z）=1→1+β，（38）因此β=1。这与方程（34）、reminderRnof引理1和Slutsky定理的结果相结合，使我们可以得出结论，方程（10）中Z（i）的有序序列也存在同样的缺陷。定理3的证明证明的第一步是证明有序序列∑ni=1Z（i）∑ni=1Xi是基尼指数的特征，在分布上与i.i.d序列相等∑ni=1Zi∑ni=1Xi。为了证明这一点，将方程（33）中的因式分解应用于方程（11）是足够的，得到nα-1αL（n）∑ni=1Zi∑ni=1Xi-θu+nα-1αL（n）Rnn∑ni=1Xi。（39）通过引理1和连续映射和Slutsky定理的应用，方程（39）中的第二项至少在概率上为零。因此，为了证明这一说法，推导以下序列nα的弱极限是足够的-1αL（n）∑ni=1Zi∑ni=1Xi-θu. （40）展开方程（40），并回顾Zi=（2F（Xi）- 1） Xi，我们得到α-1αL（n）n∑ni=1Xinn∑i=1Xi2F（Xi）- 1.-θu!. （41）术语∑ni=1Xiin方程（41）通过应用连续映射定理，以及我们处理正随机变量X的事实，概率收敛到u。因此，它将有助于通过Slutsky定理实现最终极限。我们首先重点研究termnα的极限定律-1αL（n）nn∑i=1Xi2F（Xi）- 1.-θu. （42）设置^Zi=Xi（2F（Xi）- 1.-θu），注意E（^Zi）=0，因为E（Zi）=θandE（Xi）=u。为了应用GCLT参数来表征sequencenα的极限分布-1αL（n）n∑ni=1^zi我们需要证明^Z∈ DA（Sα）。

如果是，那么我们可以应用GCLT tonα-1αL（n）∑ni=1^Zin-E（^Zi）！。（43）注意，由于E（^Zi）=0，等式（43）等于等式（42）。证明^Z∈ DA（Sα），记住^Zi=Xi（2F（Xi）- 1.-θu）只是Zi=Xi（2F（Xi）- 1） 移位θu。因此，OREM 2中使用的Z的相同参数适用于此处，以表明^Z∈ DA（Sα）。特别是我们可以指出，^Z和Z（因此也是X）共享相同的α和缓慢变化的函数L（n）。注意，假设X∈ [c，∞) 当c>0时，我们处理的是连续分布，因此^Z∈ [-c（1+θu），∞). 因此，^Z的左尾不会改变极限偏斜度参数β，通过应用方程式（38），该参数保持等于1（对于Z）。因此，通过应用GCLT，我们最终得到nα-1αL（n）(∑ni=1Zi∑ni=1Xi-θu）d-→uS（α，1，1，0）。（44）我们在总结证明时指出，如等式（39）所证明的，基尼指数的弱极限以∑ni=1Zi∑ni=有序随机变量的1倍，α-稳定随机变量的尺度下闭合常数[25]。参考文献【1】O.Bousquet，S.Boucheron，G.Lugosi，《统计学习理论导论》，Springer（2004）。[2] B.K.Chakrabarti、A.Chakraborti、S.R.Chakravarty、A.Chatterjee，《收入和财富分配的经济物理学》，剑桥大学出版社（2013）。[3] D.Chotikapanich，《收入分布和洛伦兹曲线建模》，斯普林格（2008）。[4] P.Cirillo，你的数据真的是帕累托分布的吗？，Physica A 392（2013）59475962。[5] H.A.David，H.N.Nagaraja，《顺序统计》，第三版，Wiley seriesin概率与统计（2003）。[6] A.DasGupta，《统计和机器学习概率》，Springer（2011）。[7] L.De Haan，A.Ferreira，《极值理论：导论》，Springer（2007）。[8] I.Eliazar，《不等式谱》，Physica A 469（2017）824-847。[9] I.Eliazar，M.H。

Cohen，《社会不平等：分析贫富差距》，Physica A 401（2014）148-158。[10] I.Eliazar，I.M.Sokolov，《统计异质性的最大化》。从香农熵到基尼指数，Physica A 389（2010）3023-3038。[11] I.Eliazar，I.M.Sokolov，《基尼特征极值统计》，Physica A 389（2010）4462-4472。[12] I.Eliazar，I.M.Sokolov，《测量统计均匀度：全景图》，Physica A 391（2012）1323-1353。[13] P.Embrechts、C.Kluppelberg、T.Mikosch，《保险和金融极端事件建模》，Springer（2003）。[14] W.Feller，《概率论及其应用导论》，第2卷，Wiley，2008年。[15] A.Fontanari，P.Cirillo，C.W.Oosterlee，《从浓度图到浓度图》。研究损失分布的新工具，《保险：数学与经济学》78（2017）13-29。[16] A.H.Jesen，T.Mikosch，《定期变化的函数》，新德里数学研究所出版物，（2006年）。[17] C.Gini，Variabilitáe mutabilitá（1912），再版于：Variabilitáe mutabilitá，e.Pizetti and T.Salvemini，Memorie di Metodologica Statistica，Libreria Eredi Virgilio Veschi（1955）。[18] G.H.Hardy，J.E.Littlewood，G.Pólya，《不平等》，剑桥大学出版社（1952年）。[19] C.Kleiber，S.Kotz，《经济学和精算学中的统计规模分布》，Wiley（2003）。[20] D.Li，M.B.Rao，R.J.Tomkins，《L-统计量的重对数定律和中心极限定理》，多元分析杂志78（2001）191217。【21】J.P.Nolan，《稳定分布的参数化和模式》，《统计与概率快报》38.2（1998）187-195。【22】V.Pareto，《财富的分割》（1896年），重印于《政治经济学》（Rivistadi Politica Economica）87（1997）647-700。[23]T.Piketty，《二十一世纪的资本》，哈佛大学出版社（2014）。[24]T。

Piketty，《不平等经济学》，哈佛大学出版社（2015年）。【25】G.Samorodnitsky，M.S.Taqqu，《稳定非高斯随机过程：具有有限方差的随机模型》，第1卷，CRC出版社（1994）。[26]J.Shao，数理统计，Springer（2003）。【27】N.N.Taleb，R.Douady，《分位数贡献的超加性和估计偏差》，Physica A：统计力学及其应用429（2015）252-260。【28】A.W.Van Der Vaart，J.A.Wellner，《弱收敛与经验过程》，Springer（1996）。【29】杨Y.Yang，S.Hu，T.Wu，《最大吸引域依赖随机变量乘积的尾部概率》，统计与概率字母81（2011）1876-1882。【30】S.Yitzhaki，E.Schechtman，《基尼方法：统计方法学入门》，Springer（2012）。