具有延迟信息的期权定价

对于具有支付功能的任何未定权益：Ohm → R和到期时间N，其超级复制价格||||Μ（Д）定义为投资组合的最小初始值，超过时间N时的值，即||Μ（Д）：=inf（x，)∈Γmaxω∈OhmnV（x，)（ω） =x+HeSH（ω）o，（2.7），其中Γ：={（x，) ∈ R×AG:VN（x，) ≥ ^1P- a、 s.}。（2.8）如果存在一对（x*, *) 达到（2.7）中的最大值，即|π（Д）=最大ω∈OhmV（x）*, *)（ω） ，则时间k超级复制投资组合价值Vk（ω）定义为Vk（ω）：=Vk（x*, *)（ω） ，k=0，N，（2.9）因此，\'-π（ν）=最大ω∈OhmV（ω）。备注2。2、考虑到最坏的情况，超级复制价格是选项卖方最保守的定价方法。换言之，很容易证明任何高于超级复制价格的价格都会导致市场上的套利。备注2.3。值得注意的是，调用-输出奇偶校验不再成立。原因是超级复制价格'π是空间L上的一致风险度量∞(Ohm, F、 P）支付函数，因此它是次可加的。本文的所有结果都是针对具有凸payoff函数的欧式未定权益。在第2.4节中，我们首先考虑H=N的情况- 1并确定超级复制的价格和相应的策略。这将为第2.5节中讨论的一般情况奠定基础。非凸Payoff函数的情况在计算上要求更高，因为我们无法使用为凸函数开发的所有机制。2.4. H=N的N周期二项模型- 1延迟期当H=N时，我们确定欧洲或有索赔的超级复制价格和相应策略- 1.

H=N- 1延迟信息周期意味着在时间0时，观察到风险设定价格，但订单H、 投资者在时间0发送，将在时间H执行。例如，当N=2，H=1时在时间0发送在时间1执行，有两种可能的价格S=Sd或S=Su（见图1）。让我们观察一下，在H=N的情况下- 1，终值VN（x，) 将（2.4）简化为（2.10）VN（x，)（ω） =erNx+SN（ω）·N-SN（ω），ω有（N+1）个可能值∈ Ohm 在（2.1）中，只有两个控件（x，N-1） 在终值中。由于有（N+1）个约束，只有两个控制，最小化问题（2.7）可能有很多解决方案。换句话说，在经济意义上，市场是不完整的。要了解有关不完全市场中定价的更多信息，请参阅Staum（2007）。SSdSuSdSudSutime 0时间1时间2图1：资产价格过程Skin a 2期二项式模型定理2.2。对于一个欧式未定权益，对于H=N的N周期二项式模型中的一些凸函数Φ（·），payoffД：=Φ（SN）- 1延迟期，超级复制价格为'π（Д）=最大x个*+ e-右侧*H·SuH，x*+ e-右侧*H·SdH,（2.11）其中相应的策略（x*, *) 由给出*j≡ 0，j=0，1，H- 1 ,(2.12) *H=*N-1=Φ（太阳）-Φ（SdN）S·（uN- dN）和x*= e-rN·uNΦ（SdN）- dNΦ（SuN）uN- dN。证据首先，我们将证明对于任何ω∈ Ohm , （十）*, *) 在（2.12）中，满足inf（x，)∈ΓnV（x，)（ω） =x+HeSH（ω）o=V（x*, *)（ω） =x*+ *H·eSH（ω）。（2.13）此处的上限为（2.8）中的集合，即x∈ R和 ∈ Ag必须满足VN（x，) ≥^1（SN）几乎可以肯定。注意，VN（x，) = （erNx+x·N-1） | x=SNin（2.10）表示为线性函数y=erNx+x的值atx=SNofN-1带坡度将y截距erNxin交给（x，y）坐标。

此外，由于Payoff函数Φ（·）是凸的，通过Jensen不等式，可以验证Γ={（x，) ∈ R×AG：erNx+SuN·N-1.≥ Φ（太阳），erNx+SdN·N-1.≥ Φ（SdN）}。（2.14）也就是说，为了检查不等式VN（x，) ≥ Φ（SN）以概率1成立，只需在极端情况下进行检查，其中资产价格SNat时间N是二叉树模型中的最小SdNor最大sun。然后很容易检查选项（x*, *H） 在（2.12）中属于集合Γ，因为我们有erNx*+ *HSuN=Д（太阳），erNx*+ *HSdN=Д（SdN）。换句话说，最小化问题被简化为线性规划问题最小化（x，H）∈接收+H·eSH（ω）受erNx+SuN·H≥ Φ（SuN）和erNx+SdN·H≥ Φ（SdN）。定义拉格朗日asL：=x+HeSH（ω）+λ[Φ（SuN）-erNx+SuNH] + λ[Φ（SdN）-erNx+SdNH] ,其中λ和λ是拉格朗日乘子。然后，很容易检查quantitiesx*= e-rN·uNΦ（SdN）- dNΦ（SuN）uN- dN，*H=Φ（太阳）- Φ（SdN）太阳- SdN，λ*=eSH（ω）- e-RNSDN·（联合国- dN），λ*=e-rNSuN公司-eSH（ω）太阳- SDN满足最小化的Karush-Kuhn-Tucker条件。因此，（2.13）紧随其后，关键是要证明（2.15）inf（xo，)∈Γmaxω∈OhmV（x，)（ω） =最大ω∈Ohminf（xo，)∈ΓV（x，)(ω) .因此，我们得到（2.16）(R)π（Д）=maxω∈Ohminf（xo，)∈ΓV（x，)（ω） =最大ω∈OhmV（x）*, *)(ω) .然后，通过以下观测maxω完成证明∈Ohm{V（x*, *)（ω） =x*+ *HeSH（ω）}=最大值x个*+ e-右侧*H·SuH，x*+ e-右侧*H·SdH.（2.17）利用定理2.2，投资组合价值VH∈ 超级复制策略时间H的FHin（2.9）可计算为vh=erHx*+ *H·SH=HXj=0e-r（N-H） 方程[Φ（SN）]·{SH=SujdH-j} =HXj=0e-r（N-H）pjΦ（太阳）+qjΦ（SdN）·{SH=SujdH-j} 。（2.18）这里{Qj}Hj=0是(Ohm, F） 由Qj定义（IN=N）：=pj=1- Qj（IN=0）=1- qj，pj：=ujdH-杰尔- dH+1小时+1小时- dH+1，j=0，H（2.19）备注2.4。

我们可以从（2.18）中的形式得出结论，VH，即每复制一个portfolioat时间H的su值，是Sand SH的函数。换句话说，Svh≡ VH（S，SH）。因此，超级复制投资组合的价值过程是路径依赖的，因为订单提交和执行之间存在时滞。因此，超级复制价格'π（Д）可以计算为'π（Д）=最大ω∈OhmV（ω）=maxj∈{0，…，H}e-rNEQj[Φ（SN）]=最大值∈{0，H}e-rNEQj[Φ（SN）]=最大值∈{0，H}e-注册护士pjΦ（太阳）+qjΦ（SdN）= e-rNmax公司puΦ（SuN）+quΦ（SdN），pdΦ（SuN）+qdΦ（SdN）,（2.20）其中第三个等式与（2.17）中的等式类似。注释：从现在起，我们使用（pu，qu）作为（pH，qH）和（pd，qd）作为（p，q），因为（pH，qH）和（p，q）分别对应于极限点SH=SuHand SH=sdh处的度量。2.5. 具有H个延迟周期的N周期二项模型我们从第2.4节扩展了我们的考虑，并将该模型推广到具有H个延迟周期的N周期二项模型(≤ N-1） 延迟时间。我们确定了具有凸支付函数的欧式未定权益的超级复制价格和相应的策略。在这里，我们将从动态规划（或反向归纳）方法和直接方法来解决这个问题。2.5.1动态规划方法首先，让我们将长度为N的树TN（0，0）定义为一组节点（i，j），使得从节点（0，0）到0有i个上下起伏≤ i+j≤ N，即TN（0，0）：={（i，j）∈ N： 0个≤ i+j≤ N} 。然后定义其（H+1）-周期子树TH+1（a，b），从时间a+b的节点（a，b）开始，通过TH+1（a，b）：={（i，j）∈ N： a+b≤ i+j≤ a+b+H+1，i≥ a、j≥ b} ，对于每个（a，b）∈ TN（0，0），使a+b≤ N- （H+1）。我们将识别所有N-H子树TH+1（a，b），从时间N的节点（a，b）开始-（H+1）（即a+b=N-（H+1））。

我们使用第2.4节中的结果，并考虑时间N时超级复制投资组合的价值过程- 1作为下一轮（H+1）周期子树的新支付，从时间N的节点开始- （H+2）。然后，我们继续以同样的方式向后进行超级复制。备注2.5。考虑到在动态规划方法中，我们在每个步骤中使用第（2.4）节中的结果，以及备注（2.4），我们可以得出结论，k级的价值过程∈ {H，…，N}一般模型中的超级复制策略也是路径依赖的，即（2.21）Vk≡ Vk（Sk-H、 Sk），k=H，N因此，让我们通过（2.22）ΦTH+1（a，b）（p，q）来定义从时间a+b的节点（a，b）开始的子树TH+1（a，b）的支付（即，p+q=a+b+H+1）：=Vp+qSa+bd，Sa+bdH+1如果p=a；最大值Vp+qSa+bd，Sa+buidH+1-我, Vp+qSa+bu，Sa+buidH+1-我如果p=a+i，i=1，HVp+qSa+bu，Sa+buH+1如果p=a+H+1；对于p+q≤ N- 1和ΦTH+1（a，b）（p，q）：=Φ（SN），p+q=N，其中SN=Supdq。直观地说，对于从时间a+b开始的子树TH+1（a，b），只有两个（H+1）周期子树，TH+1（a+1，b）和TH+1（a，b+1），从时间a+b+1开始，可以在时间p+q产生回报。因此，我们需要将两种可能的价值过程中的最大值作为新的回报，因为我们总是考虑超级复制中的最坏情况。请注意，在边缘点处，仅存在一个值过程。示例2.1。在H=1的四周期二叉树模型（如图2所示）中，我们需要在节点S=Sud上考虑什么新的支付取决于我们是否将该节点视为子树（1，0）或t（0，1）的一部分。

作为子树T（1，0）的一部分ΦT（1,0）（2,1）将是子树T（1，1）和T（2，0）对应值过程的最大值，而作为子树T（0，1）的一部分，支付ΦT（0,1）（2,1）将是子树T（1，1）的相应值过程。动态规划方法的一个重要组成部分是，当我们从ConverPayoff函数开始时，所有中间期（H+1）子树的Payoff（2.22）需要相对于相应的风险资产价格进行转换，以便能够在每个步骤中使用定理（2.2），并保持超级复制向后。定理（2.3）将这种关系形式化。定理2.3。对于带有H的N周期二项式模型中的某些凸函数Φ（·）的欧式未定权益，payoffД：=Φ（SN）≤ N-1延迟周期，支付函数ΦTH+1（a，b）（，.），a+b=0，N-（2.22）中的（H+1）对于所有中介（H+1）-期子树，相对于相应的风险资产价格是凸的。证据注意，对于a+b=N-（H+1），支付函数ΦTH+1（a，b）（，.）适用于所有（N-H） 中间（H+1）-周期子树是凸的，因为最终支付函数Φ（SN）是凸的。现在我们证明了所有的payoff函数ΦTH+1（a′，b′）（，.），a′+b′=a+b- 如果所有支付函数ΦTH+1（a，b）（，.），则1将是凸的，a+b∈ {0，…，N- （H+1）}是凸的。通过归纳，这就完成了预防。假设支付函数ΦTH+1（a，b）（，.）是凸的，根据定理（2.2），存在x*和*因此，我们定义（t）：=Va+b+H（Sa′+b′u，Sa+b+H）=erHx*+ *t、 t型∈ {Sa′+b′udH，…，Sa′+b′uH+1}；erHx公司*+ *t、 t=Sa′+b′dH+1。同样，存在x*和*因此，我们定义（t）：=Va+b+H（Sa′+b′d，Sa+b+H）=erHx*+ *t、 t型∈ {Sa′+b′dH+1，…，Sa′+b′uHd}；erHx公司*+ *t、 t=Sa′+b′uH+1，我们可以定义h（t）：=最大值（h（t），h（t）），t∈ {Sa′+b′dH+1。

，Sa′+b′uH+1}；（2.23）注意，h（t）=ΦTH+1（a′，b′）（p，q），其中t：=Supdq，假设ΦTH+1（a，b）（，.）是凸的，和（2.22）。离散函数h（.）是凸的，如果对于任何v和w，Suvdw∈ {Sa′+b′udH，Sa′+b′uHd}，wehaveh（tp）+h（tn）≥ 2h（tm），（2.24），其中tp：=Suv-1dw+1，tn：=Suv+1dw-1和tm：=Suvdw。根据v和w的选择，有4种情况：情况1：h（tp）=h（tp）和h（tn）=h（tn）。然后，给出（2.23）中的形式，我们得到h（tm）=h（tm）。然后，很容易证明（2.24）之后是函数h（tm）的线性。情况2：h（tp）=h（tp），h（tn）=h（tn）。这种情况与情况1类似。情况3：h（tp）=h（tp），h（tn）=h（tn）。然后，h（tm）将等于h（tm）或h（tm）。在不丧失一般性的情况下，假设h（tm）=h（tm）。然后假设h（tn）=h（tn），我们通过（2.23）中的形式得出结论，h（tn）≥ h（tn）。因此，我们导出h（tp）+h（tn）=h（tp）+h（tn）≥ h（tp）+h（tn）≥ 2h（tm）=2h（tm），其中最后一个不等式后跟h的线性（.）作用情况4：h（tp）=h（tp），h（tn）=h（tn）。该案例与案例3类似。因此，在给定定理（2.3）的情况下，我们可以应用动态规划方法，推导出投资组合值Vk（Sk-H、 k=a+b+H，k时的Sk）in（2.21）∈ {H，…，N- 1} 在超级复制策略中，使用表示法（2.18），asVk（Suadb，Sk）=HXj=0e-rpjΦTH+1（a，b）（a+H+1，b）+qjΦTH+1（a，b）（a，b+H+1）{Sk=Sk-HujdH公司-j} ，（2.25）k=H，N- 1，其中pjand qj，j=0，H的定义如（2.19）所示。插入（2.22），k=H，N- 2，我们得到了密钥递归公式lavk（Sk-H、 Sk）=HXj=0e-rpjVk+1（Sk-Hu，Sk-HuH+1）+qjVk+1（Sk-Hd，Sk-HdH+1）{Sk=Sk-HujdH公司-j} ，（2.26）k=H，N-2.SSDSUSDSUDSUSDSUDSUDSUDSUDSUDSUDSUDSUDSUTIME 0次1次2次3次4图2：资产价格过程皮肤a 4期二项模型备注2.6。

我们可以得出结论，当我们向后超级复制时，价值过程Vk（Sk-H、 （2.21）中的Sk）仅在两个极端点Sk=Sk时需要-HuHand Sk=Sk-HdH，因为递归公式（2.26）右侧的公式。换句话说，我们只使用（pu，qu）=（pH，qH）和（pd，qd）=（p，q）。因此，与（2.20）类似，超级复制价格'π（Д）最终可计算为'π（Д）=e-rHmaxVH（S，SuH），VH（S，SdH）.（2.27）2.5.2直接逼近本节，我们求解递归方程（2.26）并获得值过程Vk（Sk-H、 Sk）明确表示超级复制策略。正如备注（2.6）所示，当我们向后超级复制时，我们只需要极端点的值过程，即Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）和Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH），k=H，N-1、定义概率空间(Ohmk、 Fk，Qk）对于k=H，N- 1个带Ohmk={0，1}eN+H，Borelσ-代数Ohmk、 andeN=N- k、 对于每个ωk=（ωk，1，…，ωk，eN+H）∈ Ohmk、 我们通过ZK，m（ωk）=ωk，mf为每个m定义一个坐标图∈ {1，…，eN+H}。设Qkbe为概率测度，其中Zk，m，m=1，初始位置为Zk的eN+H，0为阿马尔科夫链，对于l=1，恩- 1，它有转移矩阵q=qdpdqupu在{0，1}上。（2.28）此外，对于l=eN，eN+H，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=1 | Zk，eN-1= 1= pu，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=-1 | Zk，eN-1= 1= qu，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=1 | Zk，eN-1= 0= pd，QkZk，eN+H=···=Zk，eN=-1 | Zk，eN-1= 0= qd。（2.29）风险资产价格Sk-H+msatis fiessk公司-H+m：=Sk-HuIk，mdm-Ik，m，Ik，m=mXl=1Zk，l，m=1，eN+H。（2.30）备注2.7。在测量值Qk下，k=H。

N- 1，Pu是先向上移动再向上移动的概率，quis是先向下移动再向上移动的概率，Pd是先向上移动再向下移动的概率，Qd是先向下移动再向下移动的概率。此外，方程式（2.29）旨在确保最后的H+1移动是向上还是向下。备注2.8。在测量值Qk下，k=H，N-1，向下移动之前向下移动（qd）的概率高于向下移动之前向上移动（qd）的概率。向上移动也是如此。因此，在这些措施下，风险资产价格的方差高于初始措施P。备注2.9。如果我们把H=0，转移矩阵（2.28）将有重复的行（即pu=pdandqu=qd）。因此，在这种情况下，该模型归结为Cox等人（1979）的二叉树模型，所有方程都得到了相应的简化。定理（2.4）表示Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）和Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH），k=H，N-1测量值Qk下的预期值。定理2.4。对于一个欧式未定权益，对于某些凸函数Φ（SN），payoffД：=Φ（SN）∈ L∞(Ohmk、 Fk，Qk），k=H，N-1、价值过程Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）和Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH），k=H，N- 1对于超级复制策略，在具有H个延迟周期的N周期二项模型中，可以计算asVk（Sk-H、 Sk公司-HuH）=e-reNEQk（Φ（SN）| Zk，0=1），（2.31）Vk（Sk-H、 Sk公司-HdH）=e-reNEQk（Φ（SN）| Zk，0=0）。（2.32）证明。我们需要证明（2.31）和（2.32）满足k=H，…，的递归方程（2.26），N- 2和方程（2.25），对于k=N-1、对于k=N- 1，如（2.18）所示，对于k=H。

N- 2，通过调节Zk，1，（2.31）Satisfik（Sk-H、 Sk公司-HuH）=e-reNEQk（Φ（SN）| Zk，0=1），=e-reN“EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=0）Qk（Zk，1=0 | Zk，0=1）+EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=1）Qk（Zk，1=1 | Zk，0=1）#。注意(Ohmk、 Fk、Qk）和(Ohmk+1，Fk+1，Qk+1），EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=0）=e-rEQk+1（Φ（SN）| Zk+1,0=0），EQk（Φ（SN）| Zk，0=1，Zk，1=1）=e-需求K+1（Φ（SN）| Zk+1,0=1）。此外，Qk（Zk，1=0 | Zk，0=1）=quand Qk（Zk，1=1 | Zk，0=1）=pu。因此，Vk（Sk-H、 Sk公司-HuH）=e-任puEQk+1（Д（SN）| Zk+1,0=1）+quEQk+1（Д（SN）| Zk+1,0=0）,= e-rpuVk+1（Sk-H+1=Sk-Hu，Sk+1=Sk-HuH+1）+quVk+1（Sk-H+1=Sk-Hd，Sk+1=Sk-HdH+1）,这就完成了证明。类似地，它也可以显示为（2.32）。备注2.10。如果我们感兴趣的只是找出time-0超级复制价格'π（Д），我们只需要概率空间(OhmH、 FH、QH）其中OhmH={0，1}N。那么，我们将得到'π（ν）=e-rNmax公司EQH（Φ（SN）| ZH，0=1），EQH（Φ（SN）| ZH，0=0）.（2.33）引理2.1（其证明见附录）计算公式k（Φ（SN）| Zk，0=1），k=H，N-1、对于H+1≤ 我≤eN+H- 1，1≤ j≤ 最小值（i- H、 eN+H- i） 。定义（i，j）：=eN+H- 我- 1j- 1.我- Hj公司q（j）uq（eN+H-我-j） dp（i-j-H） 向上（j）d.（2.34）也适用于0≤ 我≤恩- 2, 1 ≤ j≤ 最小值（i+1，eN- 我- 1） ，定义（i，j）：=恩- 我- 2j- 1.ij公司-1.q（j）uq（eN-我-j） dp（i-j+1）向上（j-1） d+恩- 我- 2j-1.i+1j-ij公司- 1.q（j+1）uq（eN-我-j-1） dp（i-j） up（j）d.（2.35）引理2.1。对于函数Φ（SN）∈ L∞(Ohmk、 Fk，Qk），k=H。